CC BY
32
УДК 621.391
05.00.00 Технические науки
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ С МИНИМАЛЬНЫМ (ЧАСТОТНЫМ) СДВИГОМ И СИНУСОИДАЛЬНЫМ СКРУГЛЕНИЕМ ИМПУЛЬСА
UDC 621.391 Technical sciences
SPECTRAL CHARACTERISTICS OF THE SINUSOIDAL MINIMUM (FREQUENCY) SHIFT-KEYING
Приходько Андрей Иванович
д.т.н., профессор кафедры оптоэлектроники
Тимбай Никита Аркадьевич
магистрант физико-технического факультета
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», 350040, ул. Ставропольская, 149, Краснодар, Россия
Рассмотрены сигналы с минимальным (частотным) сдвигом и синусоидальным скруглением импульса (СММС), форма которого зависит от параметра ц. Получено выражение для спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов с СММС при различных значениях параметра ц. Представлены результаты расчетов СПМ и эффективной ширины спектра сигналов по различным критериям
Prikhod'ko Andrey Ivanovich
Dr.Sci.Tech., professor of chair of optoelectronics
Timbay Nikita Arkadevich
Undergraduate student of Faculty of Physics and
Technology
Kuban State University
350040, 149 Stavropolskaya St., Krasnodar, Russia
Signals with the sinusoidal minimum (frequency) shift-keying (SMSK) which impulse form depends on parameter ^ are considered. Expression for power spectral density (PSD) of SMSK signals at various values of parameter ^ is obtained. Results of PSD calculations and effective bandwidth of signals by various criteria are presented
Ключевые слова: ЧАСТОТНАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ С НЕПРЕРЫВНОЙ ФАЗОЙ, МАНИПУЛЯЦИЯ МИНИМАЛЬНОГО СДВИГА, МАНИПУЛЯЦИЯ МИНИМАЛЬНОГО СДВИГА С СИНУСОИДАЛЬНЫМ СКРУГЛЕНИЕМ, КВАДРАТУРНАЯ ФАЗОВАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ СО СДВИГОМ, СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ, ЭФФЕКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА
Рок 10.21515/1990-4665-132-045
Keywords: CONTINUOUS-PHASE FREQUENCY SHIFT-KEYING, MINIMUM SHIFT-KEYING, SINUSOIDAL MINIMUM SHIFT-KEYING, OFFSET QUADRATURE PHASE SHIFT-KEYING, POWER SPECTRAL DENSITY, EFFECTIVE BANDWIDTH
Частотно-манипулированные сигналы с непрерывной мгновенной начальной фазой (ЧМНФ) находят широкое применение в современных цифровых системах связи, обладающих высокой спектральной и энергетической эффективностью [1, 2, 5, 6]. Наибольший практический интерес среди этого класса сигналов представляют сигналы с ЧМНФ и индексом модуляции 0,5. Такой вид модуляции называется модуляцией минимального (частотного) сдвига (ММС). Важной модификацией сигналов с ММС
являются сигналы с ЧМНФ и синусоидальным скруглением импульса (СММС).
Выражение для спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов с ММС приведено, например, в [1, 2, 5, 6]. Формулы, определяющие СПМ сигналов с СММС, получены в [5].
Цель работы: рассмотреть сигналы с СММС общего вида, у которых форма манипулирующего импульса зависит от неотрицательного параметра ^ (при ^ = 0 они вырождаются в сигналы с ММС, а при ^ = 0,25 - в сигналы с СММС), получить выражения для СПМ этих сигналов, провести расчет СПМ при различных ^ и оценить эффективную ширину спектра сигналов по различным критериям.
Сигнал с ЧМНФ определяется выражением [5, 6]
s(t)
V
2 Е.
сов[2/ + ф(^ а) + Ф0 ], кТь £ t £ (к + 1)ТЬ (1)
т и
ь
где Еь и Ть - энергия и длительность элемента сигнала; /с и ф0 - частота и начальная фаза несущего колебания; {ак} = { ...,а_1,а0,а1,...} - последовательность статистически независимых одинаково распределенных двоичных символов, каждый элемент которой с одинаковой вероятностью принимает значения +1 и -1. Передаваемая информация заключена в фазе
¥ t
ф^, а) = 2р ^ ак | (т- кТь ут, (2)
к=_¥ -¥
где И = А/Ть - индекс модуляции А/ - разнос частот; g(t) - частотный импульс, отражающий форму изменения частоты сигнала.
В случае, когда в (2) И = 0,5 и частотный импульс имеет прямоугольную форму
1
g ^) =
при 0 £ t £ ть,
2Ть (3)
0 при t < 0, t > Ть,
сигнал (1) представляет собой сигнал с ММС. В случае, когда в (2) И = 0,5 и частотный импульс имеет форму «приподнятого косинуса»
1
g ($) =
2Т
1 _ СОБ
V Ть )
при 0 £ t £ Ть
(4)
0 при t < 0,t > Ть,
сигнал (1) представляет собой сигнал с СММС.
Изменение фазы сигнала можно определить формой фазового импульса q(t), который связан с частотным импульсом g ^) очевидным соотношением
) = | gШт.
—¥
В этом случае последовательность фаз (2) принимает вид
¥
ф^, а) = 2р £ а^ - кТь),
(5)
(6)
к=_¥
где согласно (3)-(5) фазовые импульсы для сигналов с ММС и СММС соответственно составляют
g (t) =
0 при t < 0, t
при 0 £ t £ Ть
2Т
(7)
2
при t > Ть
и
0
2Ть
1 2
Бт (2Р / Ть)
2р / Т
при t < 0, при 0 £ t £ Ть,
при t > Ть.
1
1
г
В работах [5, 6] показано, что сигналы с ММС и СММС можно представить в виде сигналов с квадратурной фазовой манипуляцией со сдвигом (офсетной квадратурной фазовой манипуляцией):
^) =
2 Би
[I(г)с(г)соБ2р/сг + 0(г))ът2р/сг],
(9)
где
I(г) = £ (г - 2кТь);
к=-¥
б(г) = £ «2к+1 8Я (г - 2кТъ)
(10)
(11)
к=-¥
- манипулирующие последовательности в синфазном и квадратурном канале соответственно;
1 при |г| £ Тъ, 0 при 1г| > Тъ;
[1 при 0 £ г £ 2Тъ,
£с (г)
(12)
^^ (г) =
(13)
0 при г < 0, г > 2Тъ
- прямоугольные импульсы единичной амплитуды и длительности 2Тъ; а2к и а2к+1 - символы двоичной полярной фазокодирующей последовательности {ак} с четными и нечетными номерами, связанные с символами последовательности {ак} в (6) соотношением а к =-а2ка2 к+1, а скругляющие функции с(г) и s(г) определяются выражениями [5]
рг
с(г) = соб
и
Б(г) = Бт
2Т
рг
Ж
(14)
(15)
- для сигнала с ММС;
c(t) = cos
и
s(t) = sin
r pt 1 . ptA ---Sin—
V 2Tb 4 Tb J
r pt 1 . ptA ---Sin —
V 2Tb 4 Tb J
(17)
- для сигнала с СММС.
Рассмотрим наиболее общий случай сигналов с СММС, представляя функции е(1;) и ) в виде
c(t) = cos
pt pt --m sin—
V 2Tb Tb J
(18)
и
s(t) = sin
с + Л pt pt --m sin—
V 2Tb Tb J
(19)
где ^ - неотрицательный параметр. При ^ = 0 сигналы (18), (19) вырождаются в сигналы (14), (15) для ММС, при ^ = 0,25 - в функции (16), (17) для СММС. При т> 0,25 скругленные импульсы (18), (19) внутри интервалов длительности 2ТЬ могут принимать отрицательные значения, что нарушает условие непрерывности мгновенной фазы сигнала в квадратурных каналах.
Применяя методику [5], получаем, что в соответствии с (18) и (19) СПМ комплексной огибающей сигнала (9) в общем случае определяется выражением
G (f) = 2 Eb
J o(m) A(f) + 2£ j2 n (m) b2 n (f) + 2^ j2n-1(m) b2 nM)
(20)
n=1 n=1
где Jk (x) - функция Бесселя k-го порядка аргумента x, а соответствующие функции составляют
sin 2pfTb
A( f) = 2-
2pfTb
(21)
2
А( / У
2
А
/ +
47
+ А
ъ
/ ■
47
ъ
4 соб2р/тъ
ъ
А2П (/) = 2
А
/+
2п
л
г
А2п-1(/)
2
А
/ +
4Тъ у 2п -1
+ А
V
Л /
/
р 1 - (4/7)
2п
2
47
47
+ А
ъ
/
ъ У
2п -1
В2п (/) = 2
А
2п
/+
47
+ А
2п
ъ У
/
47 1
ъ У
Л
47
ъУ
В2п-1(/):
2
А2п-1
/ +
47
+ А2 п-1
ъУ
/
47
ъУ
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
При ^ = 0, когда J0(0) = 1 и Jk(0) = 0 для к > 0, согласно (21) и (22) формула (20) сводится к известному выражению для СПМ комплексной огибающей сигнала с ММС:
2
. (27)
о{/) =32 Еъ
р
соб2р/Тъ
1 - (4/Тъ )2
Точность расчета СПМ по формулам (20)-(26) зависит от числа N учитываемых членов рядов в (20):
N N
GN (/) = 2 Еъ
J0 (т)А(/) + 2£J2п (т)в2п (/) + 2£J2п-1 (т)в2п-1 (/) . (28)
п=1 п=1 _
Для оценки погрешности расчета воспользуемся представлением функции Бесселя в виде [4]
Jk (т)
= ч 2 у
' тЛк+2
\2у
г т лк+4
\2у
г т лк+6
\2у
+ К ,
0!к! 1! (к +1)! 2!(к + 2)! 3!(к + 3)! где к! = 1 • 2 • к • к; 0! = 1. Из представления (29) вытекает неравенство
(29)
К (т)|
£
т
Лк
к!
1
1
1
1
1
1
1
1
согласно которому
\к
± к (т) £ х(т/2 >
к=М к =М
к!
причем из разложения экспоненты в степенной ряд следует, что
#/2
(т / 2)к (т /2)М
к=М к! М! ' 7
В соответствии с (21)-(26) величины \Л0( Г )| \В2п (Г)| и |В2п-1( Г)| не могут
быть больше единицы. Поэтому из формул (20), (28) и (30) следует, что верхняя граница ошибки расчета при ^-членном приближении ограничена неравенством
( /2 )2 N+1
е„ = \в(1) - GN (Г)| £ 2 (|2^+1)Г^ (31)
В силу того, что односторонняя СПМ О + (Г) вещественного радиосигнала (9) связана с СПМ G( Г) его комплексной огибающей простым соотношением [5, 6]
о + (Г)=2 О(Г - Гс), (32)
их эффективная ширина спектра одинакова. Поэтому эффективную ширину спектра сигнала Р можно оценивать по комплексной огибающей с использованием следующих критериев [3]:
- ширина полосы по половинному уровню - интервал Р, на котором основной лепесток СПМ комплексной огибающей сигнала уменьшается вдвое (на 3 дБ) относительно максимального значения:
(33)
тах
- ширина полосы прямоугольного эквивалента (шумовая полоса) -ширина полосы Р комплексной огибающей воображаемого сигнала, име-
ющего прямоугольную СПМ с уровнем Gmax и такую же среднюю мощность P = FGmax, что и комплексная огибающая рассматриваемого сигнала:
P 1 ¥
F = — = — J G(f )df; (34)
max max -¥
- ширина полосы по первому нулю - ширина полосы F основного лепестка СПМ, в пределах которого сосредоточена основная доля средней мощности комплексной огибающей сигнала;
- ширина полосы F, в пределах которой сосредоточена заданная часть g (обычно 99%) средней мощности комплексной огибающей сигнала:
P(F) 1 F/2
J G(f)df = g; (35)
PP
- F/2
- ширина полосы по уровню g дБ - ширина полосы F, за пределами которой боковые лепестки СПМ комплексной огибающей Обок (f) не превышают заданный уровень (обычно -35 дБ или -50 дБ) относительно максимального значения Gmax :
max
10ig F / 2) = g, дБ; (36)
max
- ширина полосы, вычисляемая с помощью метода моментов и представляющая собой величину среднего квадратического отклонения относительно начальной частоты f = 0 :
F
P J f 2G(f )df . (37)
Рассчитанные по формулам (20)-(28) графики СПМ комплексных огибающих сигналов с СММС (в децибелах) при N = 10 и различных значениях ^ представлены на рисунке для f > 0 .
й = 0(£лг<0)
ц = 0.1 (едг < 1.9623е-47) " ц = 0.25 (е <4.8093е-39)
Рисунок - Графики СПМ комплексных огибающих сигналов с СММС
В таблице представлены результаты расчетов эффективной ширины спектра сигналов с СММС по формулам (33)-(37).
Таблица - Результаты расчетов эффективной ширины спектра
Критерий оценки эффективной РТь рть
ширины спектра 7 при ^ = 0 при ^ = 0,25
1. По половинному уровню 0,59 0,70
2. Прямоугольного эквивалента 0,62 0,73
3. По первому нулю 1,50 1,72
4. По 99% мощности 1,18 2,20
5. По уровню -35 дБ 3,24 3,20
6. По уровню -50 дБ 8,18 4,71
7. По методу моментов 0,50 0,61
Расчеты показали, что при ^ = 0 сигнал с СММС в области центральной частоты /с (в основной полосе частот) имеет наиболее ком-
пактный спектр, а при увеличении отстройки Df = |f - fc\ скорость спада
внеполосных излучений пропорциональна 1 / А/4 (составляет 40 дБ на декаду или 12 дБ на октаву). По мере роста параметра ^ основной лепесток спектра расширяется, но при этом скорость спада внеполосных излучений
увеличивается и в предельном случае при ^ = 0,25 пропорциональна 1 / А/6 (составляет 60 дБ на декаду или 24 дБ на октаву).
Литература
1. Варгаузин В. А., Цикин И. А. Методы повышения энергетической и спектральной эффективности цифровой радиосвязи. - СПб.: БХВ-Петербург, 2013. - 352 с.
2. Голдсмит А. Беспроводные коммуникации. - М.: Техносфера, 2011. - 904 с.
3. Приходько А.И. Детерминированные сигналы. - М.: Горячая линия-Телеком, 2013. - 326 с.
4. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.: Наука, 1977. - 344 с.
5. Simon M.K. Bandwidth-Efficient Digital Modulation with Application to Deep-Space Communications. - Pasadena: California Institute of Technology, JPL Publication, 2001. - 229 p.
6. Xiong F. Digital Modulation Techniques. - Boston - London: Artech House, 2006.
- 1017 p.
References
1. Vargauzin V.A., Cikin I.A. Metody povyshenija jenergeticheskoj i spektral'noj jef-fektivnosti cifrovoj radiosvjazi. - SPb.: BHV-Peterburg, 2013. - 352 s.
2. Goldsmit A. Besprovodnye kommunikacii. - M.: Tehnosfera, 2011. - 904 s.
3. Prikhod'ko A.I. Determinirovannye signaly. - M.: Gorjachaja linija-Telekom, 2013.
- 326 s.
4. Janke E., Jemde F., Ljosh F. Special'nye funkcii. Formuly, grafiki, tablicy. - M.: Nauka, 1977. - 344 s.
5. Simon M.K. Bandwidth-Efficient Digital Modulation with Application to Deep-Space Communications. - Pasadena: California Institute of Technology, JPL Publication, 2001. - 229 p.
6. Xiong F. Digital Modulation Techniques. - Boston - London: Artech House, 2006.
- 1017 p.
