Спектральная оценка рисков при статистическом исследовании экономических процессов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 331+33

СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РИСКОВ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Б. А. МАТВЕЕВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономики и управления проектами E-mail: uprariska@mail. ru Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)

Управленческое решение, основанное на статистическом исследовании экономического процесса, принимается в условиях неопределенности и риска. Для количественной оценки рисков предлагается использовать спектральный показатель, который учитывает характер поведения связанной с риском экономической величины и не требует знания закона ее распределения.

Ключевые слова: экономический процесс, статистическое исследование, спектральный показатель, риск.

В экономике нередко используется вероятностно-статистический метод принятия управленческих решений. Для этого проводится статистическое исследование. Статистические методы позволяют имитировать хозяйственные ситуации и оценивать последствия выбора решений, обходясь без дорогостоящих экспериментов.

Управленческое решение, как правило, принимается в условиях неопределенности: недостаточная информация о спросе на продукцию и действиях конкурентов, слабая предсказуемость цены и т. д. Неопределенность допускает получение того или иного результата, тем самым обусловливает появление экономического риска. Под риском понимается возможность отклонения фактического результата от ожидаемого значения. Выявление рисковых ситуаций и количественная оценка риска являются обязательными элементами процесса принятия решения.

На этапе анализа статистической информации и стадии принятия решения исследователя всегда интересуют прогноз поведения исследуемого процесса и риски, связанные с прогнозируемым результатом (прогнозным значением анализируемой экономической величины). Важно дать оценку возможному отклонению фактического результата от ожидаемого, т. е. измерить риск. Желательно это сделать априори, а не после того, как появятся реальные результаты. Величина риска в данном случае может служить объективной оценкой точности прогноза.

Среди задач, решение которых связано с оценкой риска в ходе статистического исследования экономического процесса, можно назвать следующие:

- оценка прогнозного значения результата (экономической величины);

- оценка максимального отклонения исследуемой экономической величины (ЭВ) от ожидаемого значения;

- оценка превышения или непревышения ЭВ порогового уровня;

- оценка количества превышений ЭВ заданного уровня;

- оценка нахождения ЭВ в заданных пределах;

- оценка выхода ЭВ за определенные пределы и др.

Необходимость в измерении риска возникает в

следующих случаях:

- при сравнительной оценке качества (точности) моделей реальных экономических процессов;

- при оценке прогноза ЭВ (или результата) по экономической модели;

- при обосновании тарифной ставки в страховании и т. д.

Широко распространенные в настоящее время статистические методы измерения риска имеют существенные ограничения по применению. Например, для нахождения вероятности — самой информативной и понятной количественной оценки риска — требуется знание закона распределения исследуемой ЭВ (результата), значит, необходим достаточно большой объем статистических данных. Другие измерители риска, такие как показатели вариации, дают сильно завышенную оценку. Общим недостатком всех существующих статистических измерителей является то, что они не учитывают характера поведения экономической величины, связанной с риском.

Таким образом, на практике при измерении экономического риска возникают две существенные проблемы. Первая и наиболее важная заключается в том, что известные статистические оценки не учитывают характера поведения ЭВ, связанной с риском. Вторая проблема — для измерения риска требуется достаточно большой объем статистической информации. Обе проблемы можно решить, если воспользоваться спектральным подходом к оценке риска [2].

Спектральная теория позволяет заменить исследование реального случайного экономического процесса изучением его изображения, полученного с помощью интегрального преобразования Фурье. Ни одна реализация случайного процесса не может быть известна заранее, но можно установить, как распределена дисперсия (мощность) случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Использование этой информации при изучении стационарных (в широком смысле) процессов составляет существо их спектральной теории.

В общем случае связанная с риском ЭВ может содержать тренд, сезонную, циклическую и случайную составляющие. Отклонения ЭВ, определяемые первыми тремя компонентами, являются систематическими и могут быть учтены в процессе статистического исследования. Учесть отклонения, вызванные случайными факторами, полностью не удается. Поэтому риски, как правило, являются следствием наличия случайной составляющей, но не только. Ожидаемый результат по субъективным причинам не всегда совпадает с математическим

ожиданием изучаемой величины, поэтому возникает дополнительное рассогласование (отклонение) фактического результата от ожидаемого значения, и степень риска возрастает.

Отклонения, наблюдаемые в течение определенного промежутка времени, можно рассматривать как совокупность случайных величин, т. е. случайную функцию или случайный процесс. Риск является причиной отклонения, а само отклонение (сигнал риска) несет сообщение, содержащее информацию о риске. Сигнал риска содержит достаточно полную информацию о риске. Исследование и измерение риска, таким образом, можно свести к исследованию сигнала риска. При этом следует иметь в виду, что сигнал риска и случайная компонента экономической величины — не одно и то же. Как правило, они отличаются на постоянную величину, которая зависит от планируемого результата (оценивается экспертом) и поэтому носит субъективный характер.

Спектральная теория риска предполагает эргодичность, а значит, и стационарность сигнала риска. Если сигнал риска не удовлетворяет этому условию, то необходимо определить причину неэргодичности и по возможности ее устранить. В частных случаях теоретические положения, полученные для стационарных процессов, могут быть использованы и для реальных нестационарных процессов.

Каждому (стационарному) сигналу риска в частотной области соответствует свой энергетический спектр, который показывает распределение средней мощности сигнала риска между спектральными составляющими, т. е. характеризует структуру риска (рис. 1). Чем выше мощность отдельных участков энергетического спектра, тем значительнее их вклад в отклонение ЭВ от ожидаемого значения. Низкочастотные составляющие спектра отвечают за медленное, плавное изменение ЭВ. Высокие частоты определяют быстрые, резкие ее колебания. Чем больше высокочастотных гармоник в спектре сигнала риска, тем менее предсказуемо поведение ЭВ и тем выше уровень риска. Область спектра, заштрихованная на рис. 1, принадлежит наиболее мощным спектральным составляющим. Площадь под кривой энергетического спектра равна дисперсии сигнала риска. Учитывая те или иные участки спектра, можно при измерении риска уточнить его значение, оцениваемое, например, с помощью дисперсии.

Форма кривой энергетического спектра характеризует поведение сигнала риска (значит, и ЭВ)

Р

Рис. 1. Структура риска (заштрихованная область спектра принадлежит наиболее мощным спектральным со ставляющим): а — экономическая величина х (7) и ее ожидаемое значение хо, сигнал риска 5 б — энергетический спектр сигнала риска Fs (ю)

во времени. Наибольшей непредсказуемостью обладает сигнал риска типа «полосовой шум». Полосовой шум обладает равномерным энергетическим спектром в некоторой полосе частот. Риск, связанный с таким гипотетическим сигналом, будет максимальным. Его уровень предлагается принять за 100 %. Различия в энергетических спектрах полосового шума и сигнала риска могут служить мерой риска. Сравнивая энергетические спектры у разных рисков (точнее, сигналов риска) с энергетическим спектром полосового шума, получаем возможность при оценке риска учесть характер поведения ЭВ, а также сравнивать риски между собой. Данное обстоятельство легло в основу спек-

трального подхода к исследованию и измерению риска. С точки зрения спектральной теории риска дисперсия является общей средней мощностью всех спектральных составляющих сигнала риска и не учитывает распределения мощности по частотам. Поэтому дисперсия и другие производные от нее показатели вариации объективно не могут служить мерой неопределенности ЭВ, поскольку не учитывают спектрального состава сигнала риска. Кроме того, традиционные измерители экономического риска не позволяют оценить текущий и прогнозный уровни риска, следовательно, создать эффективную систему управления им. Порядок спектральной оценки рисков представлен на рис. 2.

Измерение риска, связанного с исследуемой ЭВ, преследует две цели: во-первых, оценить возможное отклонение ЭВ от ожидаемого значения; во-вторых, оценить ее неопределенность (непредсказуемость). Каждая из этих оценок может быть получена с помощью некоторого частного показателя. Задача заключается в построении обобщающего показателя, позволяющего объединить эти оценки. Трудность состоит в том, что частные показатели могут иметь различную физическую природу и, соответственно, различную размерность. Поэтому при построении обобщенного показателя риска следует оперировать не натуральными частными показателями, а их нормированными значениями. Это позволит привести частные показатели к одному масштабу, что необходимо для их сопоставления. Задачу нормировки можно решить введением относительных безразмерных показателей риска ^орм (1 = 1,2), представляющих собой отношение натурального частного показателя г1 к некоторой нормирующей величине г'э, измеряемой в тех же единицах, что и сам натуральный показатель:

П1 =

"^норм 1

где г'э — некоторое эталонное значение 1-го частного показателя г1. Тогда обобщенный показатель риска R может быть представлен в виде вектора, компонентами которого являются частные показатели.

Представим себе гипотетическую экономическую величину, имеющую в качестве случайной составляющей сигнал риска типа полосового шума. Среднеквадратическое отклонение ЭВ (сигнала риска) положим равным ее математическому ожиданию. Полученную таким образом ЭВ и ее сигнал

0

0

Рис. 2. Этапы спектральной оценки риска

риска будем считать эталонными. Уровень риска, связанный с эталонной экономической величиной, предлагается принять за 100 %: Яэ = 1 или 100 %. Тогда относительное отклонение эталонной экономической величины vэ от своего математического ожидания будет равно единице. Величина vэ играет роль мощности эталонного риска (эталонного сигнала риска), так как определяет мощность колебаний эталонной ЭВ. Возьмем величину vэ в качестве эталонного значения частного показателя риска, характеризующего возможное отклонение ЭВ от ожидаемого значения и построим нормированный безразмерный частный показатель риска Я который равен отношению натурального частного показателя V к нормирующей величине V

Я> = 7,

э

где vэ — нормирующий делитель (эталонное значение частного показателя V).

х'

Частный показатель Яр оценивает возможное отклонение ЭВ от ожидаемого значения, поэтому назовем его показателем мощности. Он показывает, во сколько раз риск, связанный с реально наблюдаемой ЭВ, выше риска, связанного с эталонной ЭВ.

Для оценки неопределенности (непредсказуемости) ЭВ построим нормированный безразмерный

частный показатель риска Я. Его, как и показатель риска Яр, выразим в виде отношения натурального частного показателя к нормирующей величине

я,=к,,

' кэ

где к — натуральный частный показатель, оценивающий форму энергетического спектра реального (центрированного) сигнала риска;

кэ — нормирующий делитель (эталонное значение частного показателя кД оценивающий форму энергетического спектра эталонного сигнала риска (полосового шума).

Гипотетическая ЭВ, у которой сигнал риска—полосовой шум, обладает максимальной неопределенностью (непредсказуемостью). Частный показатель риска Я^ (показатель формы) характеризует форму энергетического спектра реального сигнала риска. Его значение зависит от характера поведения ЭВ. Следовательно, частный показатель Я^ характеризует неопределенность, непредсказуемость поведения ЭВ.

Для построения обобщенного (спектрального) показателя риска Я, компонентами которого являются нормированные безразмерные частные показатели Яр и Я^, предлагается использовать мультипликативную модель

Я(%)= Яр Яг 100, 0 < Я < 100. Полученный таким образом спектральный показатель риска принимает максимальное значение, равное 100 %, когда максимальны и равны единице

оба частных показателя: Я = 1 и и Я = 1, т. е. для

р / ' ^

эталонной ЭВ. Обобщенный показатель равен нулю, если равен нулю хотя бы один из частных показателей Rp или Я_.. Например, Я = 0, когда Яр = 0. Это случится, когда равен нулю сигнал риска (у наблюдаемой ЭВ отсутствует вариация). Уровень риска также равен нулю, если равен нулю частный показатель риска Я_. Это возможно, когда энергетический спектр состоит из одной единственной, а значит, предсказуемой с точки зрения дальнейшего поведения гармонической составляющей сигнала риска. В этом случае наблюдаемая ЭВ не является случайной.

Обобщающий спектральный показатель Я является одновременно и мерой возможного отклонения экономической величины от ожидаемого значения (оценивается частным показателем риска Яр) и мерой ее неопределенности (оценивается частным показателем риска Я) Для расчета спектрального показателя риска на ЭВМ разработана специальная программа [3]. Условия применения и возможности известных статистических измерителей риска и спектрального показателя представлены в табл. 1.

Приведенные данные свидетельствуют о преимуществе спектрального показателя риска перед остальными. Основными его достоинствами являются учет характера поведения исследуемой ЭВ и относительно невысокая требовательность к объему выборки. Спектральный показатель может использоваться в статистических исследованиях финансовыми, страховыми, сельскохозяйственными и другими компаниями для количественной оценки рисков и организации процесса управления ими, например:

- в статистических исследованиях для измерения рисков, связанных с получением того или иного экономического результата (того или иного значения ЭВ);

-хозяйствующими субъектами для текущей оценки рисков и организации процесса управления ими;

- для априорной оценки точности статистических моделей, предназначенных для описания экономических процессов;

Сравнительная характеристика статист!

- для повышения точности прогнозов, построенных на базе имеющихся статистических данных;

- для уточнения размера рисковой надбавки страхового тарифа в страховании и др.

Обоснованность (верификацию) измерения риска с помощью спектрального показателя рассмотрим на примере оценки качества экономических моделей. Важнейшими характеристиками их качества являются показатели точности: средняя ошибка аппроксимации и среднеквадратическая ошибка. Они характеризуют расхождение между фактическими и теоретическими значениями ЭВ. Если модель предназначена для прогнозирования, то оценка ее точности осуществляется либо при рассмотрении исследуемой величины на ретроспективном участке, либо после того, как получены фактические данные о ее прогнозном значении.

Используемые в практике показатели качества модели обладают одним существенным недостатком — они не учитывают характера поведения исследуемой величины, в то время как экономические величины, у которых динамика поведения выше, менее предсказуемы. Поэтому риск получения большой ошибки моделирования для них больше.

Повысить надежность и избежать крупных ошибок при моделировании можно, используя спектральный метод оценки качества модели. Для этого воспользуемся спектральным показателем предсказуемости Р, который дополняет спектральный показатель риска Я до 100 %

Таблица 1

:ских измерителей экономического риска

Статистические измерители риска Вероятность Показатели вариации Энергетические показатели

Среднее квадратическое отклонение Коэффициент вариации Дисперсия Спектральный показатель

Условия применения

Большой объем выборки + — — — —

Знание закона распределения + — — — —

Возможности

Объективность оценки риска + + + + +

Учет характера поведения ЭВ — — — — +

Оценка среднего отклонения ЭВ + + + + +

Оценка максимального отклонения ЭВ + — — — +

Оценка превышения (или непревышения) ЭВ порогового уровня + — — — +

Оценка нахождения ЭВ в пределах заданного коридора + — — — +

Оценка выхода ЭВ за пределы заданного коридора + — — — +

Оценка прогнозного значения ЭВ + — — — +

Р (%) = 100 — R.

Показатель предсказуемости Р служит оценкой точности теоретической модели, позволяет оценить ее качество, адекватность реальному экономическому процессу.

Результаты расчета точности и ранги моделей урожайности зерновых культур для Оренбургской области представлены в табл. 2 [1].

Качество моделей оценивалось тремя показателями:

1) средняя ошибка аппроксимации

N

18 =11 АТ ¿—I

N

i=1

У i - У,

У,

где N — число наблюдений; у — фактическое значение урожайности; у, — расчетное (прогнозное) значение урожайности, полученное по модели; 2) средняя квадратическая ошибка

5 =

N

- y,)

i=1

N

3) спектральный показатель предсказуемости Р = 100 — R, %.

Согласно данным, представленным в табл. 2, ранг модели по спектральному показателю совпадает со средним рангом, полученным из рангов двух других показателей точности. По спектральному показателю качество модели МР по сравнению с моделью П оценивается выше. Такое заключение совпадает с оценкой, полученной с помощью средней ошибки аппроксимации, которая признает модель МР лучшей среди всех рассматриваемых. Следует обратить внимание на то, что оценки точности, полученные на основе ошибки аппроксимации и средней квадрати-ческой ошибки, приводят к неоднозначным (модели ЭС и АРПСС) и даже противоречивым (модели МР и ПД) результатам, в то время как показатель предсказуемости позволяет однозначно оценить качество всех моделей и уверенно их ранжировать.

Спектральный показатель имеет еще одно преимущество перед рассмотренными показателями. Ранжирование моделей по спектральному показателю не критично к объему обрабатываемой статистической информации (табл. 3).

Согласно представленным результатам ранг модели не зависит от того, за какой период ис-

Таблица 2

Сравнительная оценка точности моделей урожайности

Модель урожайности Показатели точности модели Ранг модели

Средняя ошибка аппроксимации |s|, % Средняя квадратическая ошибка s, ц/га Спектральный показатель по 8 по s средний по 8 и s по P

риска R, °% предсказуемости P, °%

Линейная регрессия для панельных данных ПД 34 2,9 9,0 91,0 2 1 1,5 1

Множественная регрессия МР 20 4,4 15,0 85,0 1 4 2,5 2

Полином второго порядка П 45 3,5 51,0 49,0 3 2 2,5 3

Экспоненциальное сглаживание ЭС 48 3,9 80,8 19,2 4,5 3 3,75 4

Модель авторегрессии АРПСС 48 4,5 83,4 16,6 4,5 5 4,75 5

Таблица 3

Связь между оценкой точности модели и объемом исходной информации, %

Модель урожайности Спектральный показатель предсказуемости P, рассчитанный Средняя ошибка аппроксимации |8|, рассчитанная

по последним По всем по последним По всем

6 годам 9 годам 12 годам данным 6 годам 9 годам 12 годам данным

Линейная регрессия 90,9 91,0 — — 25,0 25,0 — —

для панельных данных ПД

Множественная регрессия МР 87,9 85,0 — — 15,0 20,0 — —

Полином второго порядка П 69,8 71,6 60,7 49,0 101,0 85,0 69,0 44,0

Экспоненциальное сглаживание ЭС 64,1 70,9 45,7 19,2 127,0 107,0 85,0 47,0

Модель авторегрессии АРПСС 30,7 15,0 31,8 16,6 60,0 62,0 52,0 47,0

пользуются данные для расчета спектрального показателя: за шесть, девять, двенадцать лет или весь период (45 лет) наблюдения. Это можно легко объяснить, если вспомнить, что спектральный показатель учитывает характер поведения ЭВ, которая проявляется уже при сравнительно небольшом объеме анализируемой статистической информации. В то же время согласно данным, представленным в табл. 3, использование в качестве критерия качества средней ошибки аппроксимации не всегда приводит к однозначным выводам. Для выборки, состоящей из шести и девяти наблюдений, лучшей моделью признается МР, далее следует модель ПД. Среди остальных моделей по данным 6, 9 и 12 лет высший ранг имеет модель АРПСС. Однако с учетом всей имеющейся информации первое место занимает модель П, а две другие оцениваются одинаково.

Проведенные исследования показали, что спектральный показатель может быть рекомендован в качестве критерия сравнения качества экономических моделей. К его достоинствам следует отнести однозначность получаемых выводов и невысокую требовательность к объему необходимых для анализа статистических данных.

Основной недостаток известных приемов верификации прогнозов заключается в том, что они не опираются на объективные априорные оценки качества разработанного прогноза. Спектральный показатель лишен этого недостатка. Например он позволяет ожидать лучших прогнозных результатов по моделям линейной регрессии для панельных данных и множественной регрессии (см. табл. 2). Чтобы убедиться в правильности такого предположения, воспользуемся рассмотренными моделями

для построения краткосрочного прогноза и оценки его точности. Результаты прогнозирования показаны в табл. 4.

Относительная апостериорная погрешность прогноза рассчитывалась по формуле

5 =

У - У

У

100%.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что точность прогноза по всем рассмотренным вариантам (за исключением моделей ЭС и АРПСС) следует признать хорошей (5 = 0—17 %). Оценки точности, полученные с помощью спектрального показателя риска Я и относительной ошибки 5 для лучших прогнозных моделей ПД и МР очень близки. Но спектральный показатель определяется априори на основе ретроспективных данных, в то время как абсолютная и относительная погрешности прогноза могут быть найдены только после получения фактических данных об исследуемой экономической величине.

Таким образом, спектральная оценка точности прогноза подтверждает выводы относительно качества моделей урожайности, полученные ранее с помощью спектрального показателя предсказуемости (см. табл. 2). Его преимущество заключается в том, что он позволяет оценить точность прогноза еще до того, как станут известными фактические данные об исследуемой экономической величине.

Проведенные исследования и рассмотренные примеры доказывают обоснованность применения спектрального подхода и спектрального показателя для анализа и измерения экономического риска.

Оценка риска в процессе статистического исследования экономических процессов осущест-

Таблица 4

Сравнительная оценка точности прогноза урожайности на 2003 и 2004 гг.

Прогнозная модель Погрешность прогноза Спектральный показатель Ранг модели

урожайности Абсолютная А, ц/га Относительная 5, % риска предсказуе- Средний По Я

2003 2004 средняя 2003 2004 средняя Я, °% мости Р, °% по А по 5 по А и 5

Линейная регрессия для 0,8 0,9 0,85 8,2 11,1 9,65 9,0 91,0 1 1 1 1

панельных данных ПД

Множественная 0,5 1,9 1,2 5,9 26,8 16,35 15,0 85,0 3 4 3,5 2

регрессия МР

Полином второго 1,8 0,2 1,0 18,4 2,5 10,45 51,0 49,0 2 2 2 4

порядка П

Экспоненциальное 1,3 2,9 2,1 13,3 35,8 24,55 80,8 19,2 5 5 5 5

сглаживание ЭС

Модель авторегрессии 1,1 7,6 4,35 11,2 93,8 52,5 83,4 16,6 6 6 6 6

АРПСС

вляется на этапе анализа данных и учитывается при принятии управленческого решения. Спектральный подход позволяет исследовать и измерять риски при ограниченном объеме исходных данных и не требует знания закона распределения связанной с риском ЭВ. Благодаря этому, а также учету характера поведения ЭВ спектральный показатель риска выгодно отличается от всех известных статистических измерителей риска.

Вопросы, связанные с применением спектральной теории случайных процессов к исследованию и измерению рисков, в отечественной и зарубежной литературе до сих пор не рассматривались. Теоретические положения и методология спектральной оценки риска могут служить базой для дальнейших научных исследований в области спектральной

теории экономического риска и ее практических приложений.

Список литературы

1. Афанасьев В. Н., Лебедева Т. В. Статистические методы прогнозирования в экономике: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2009.

2. Матвеев Б. А. Теоретические основы спектрального метода измерения статистических рисков // Экономический анализ: теория и практика. 2007. № 20. С. 34—41.

3. Матвеев Б. А., Орлов П. О. Программа расчета спектрального показателя риска // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012660696: зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 28.11.2.