Создание эффективной модели эволюции цен активов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

СОЗДАНИЕ ЭФФЕКТИВНОМ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ ЦЕН АКТИВОВ

УДК 519.865

Александр Петрович Анненков

Аспирант Евразийского Открытого

Института

Тел.: (926)606-24-06

E-mail: [email protected]

В рамках статистического подхода к эволюции цен активов обосновывается вывод о том, что предсказания будущих значений цен возможно в статистическом смысле. Для достижения цели эффективной оценки будущих значений цен на активы создается новая математическая модель (Non-stationary volatility model - модель с нестационарной волатильностью). Основой для создания данной модели послужила волновая теория Эллиота.

Ключевые слова: эволюция цен активов, статистическая оценка, справедливая стоимость.

Alexander Petrovich Annenkov

Postgraduate Open Eurasian Institute

Те!.: (926)606-24-06

E-mail: [email protected]

CREATING OF EFFECTIVE ASSETS PRICES EVOLUTION MODEL

Using statistical approach to assets prices evolution we make a conclusion that it is possible to predict statistically future prices. To achieve effective evaluation of future assets prices we create a new mathematical model of assests prices evolution - NSVM (Non-stationary volatility model). The basis of creating of this model is the wave theory of Elliot.

Keywords: assets prices evolution, statistical estimation, fair value.

Сложившаяся в мире кризисная ситуация и резкое падение мирового фондового рынка летом-осенью 2008 года диктует необходимость более точного прогнозирования эволюции цен активов. Проанализировав текущую ситуацию с моделями эволюции цен, автор пришел к выводу, что они не позволяют должным образом предсказывать поведение цен в будущем. Например, существуют модели, согласно которым лучшей статистической оценкой будущей нормированной цены является ее текущее значение. Очевидно, что процесс изменения цен является нестационарным случайным процессом, поэтому подобные модели не применимы в реальной обстановке рынка. В настоящем исследовании разрабатывается новая модель эволюции цен активов, которая позволит более точно предсказывать поведение цен в будущем. Это делается на основе волновой модели Эллиота. Как показывает практика, движение цен происходит волнообразно, причем характер изменения цен на большем временном масштабе повторяет характер изменения на малом масштабе. В финансовой математике это явление называется фрактальностью. Следовательно, для финансовых аналитиков появляется возможность более точного предсказания будущего поведения цен. Автор проанализировал существующую литературу и ему не удалось найти стройной математической формализации волновой теории Эллиота. В литературе присутствует качественное словесное ее описание. Так как предсказание цен в данном исследовании осуществляется на основе компьютерного моделирования, то необходимо создать математическую модель волновой теории Эллиота и использовать ее в создаваемой нами модели эволюции цен активов. В современном финансовом мире с последней четверти прошлого столетия прочное место заняли опционы. Опционами называют ценные бумаги дающие право их владельцам купить или продать актив по заранее оговоренной цене. Более точное определение справедливой стоимости опционов поможет определить является ли текущая рыночная их стоимость переоцененной или недооцененной. Вложение в недооцененные активы позволяет увеличить прибыльность портфеля, поэтому необходимо их точное определение. Модели эволюции цен активов разрабатываются постоянно, поэтому создание новых моделей будет всегда актуально. Разработанная нами модель эволюции цен активов станет очередным этапом в развитии финансовой математики.

.1. Теоретические основы прогнозирования цен активов.

Финансовая математика по многим направления заложила фундамент статистической оценки будущего поведения цен. Следует отметить также вклад ученых над разработкой моделей экономического равновесия. Как показывает эмпирический анализ, цены на активы то совершают незначительные колебания вокруг равновесного значения, то за короткий промежуток времени изменяются и приходят к новому равновесному значению.

В развитие моделей эволюции цен активов внесли свой вклад следующие ученые: Р.Энгель (авторегрессионная модель условной неоднородности), Т.Боррес-лев (обобщенная модель условной неоднородности), Дж. Коксом, С.Россом и М.Рубинштейном (модель Кокса-Росса-Рубинштейна) и т.д.

В отличие от разработанных методик оценки характеристик вероятностных распределений цен активов апостериори методики предсказания вероятного движения цен в будущем слабо разработаны. В данной работе мы примем фрактальную гипотезу эволюции цен на активы. Понятие фрактальности означает, что цены на большом временном масштабе повторяют поведение цен на малом временном масштабе. Примером описания фрактальности эволюции цен на активы может послужить волновая теория Ральфа Нельсона Эллиота, сформулированная в монографии «Волновой принцип» в 1938 г. Рассмотрим представленный в [1,2] волновой прицип Эллиота.

Как показано в литературе по волновой теории Эллиота вся «математика» волн сводится к подсчету относительных длин волн. Очевидно, что этого недостаточно для количественного описанию стохастического процесса, которым является эволюция цен на активы. Как следствие, он, как и большинство других методов, помогает анализировать прошлые движения цен активов, а не предстоящие. Получив модель эволюции цен активов, мы без труда можем найти справедливую

стоимость опционов на данный актив. Например, справедливая стоимость колл-опциона будет рассчитываться по следующей формуле:

Рс = Ет (Б, — С) где Рс - цена колл-опциона, Ет -математическое ожидание с начала наблюдения до момента времени , = Т, - стохастический процесс, описывающий движения цен активов, С -страйк опциона (цена, по которой будет куплен актив в случае исполнения опциона). Более точное определение цены опционов позволит находить недооцененные опционы из массы представленных на бирже и получать дополнительную прибыль. В качестве индикатора качества модели эволюции цен активов возьмём простую и имеющую ясный физический смысл величину:

предполагать

«-Е s - pn )2

N

(1)

Sn = S0e

Hn

И,

= in^

S0

hn = in

S„

S„

(3)

= E(h2|Fn-1) =

= a 0 +

I а .ИП +1 ßjO П

1=1 j=i

Модель GARCH это последовательность h таких, что

n ^

hn = оnen

В качестве прототипа разрабатываемой модели возьмем измененную GARCHмодель с цn = а0 + a1hn-1 + + ... + arhn-r с заданными изначально (h1-r,..., h0). Тогда для доходностей h имеем:

n

h = а0 + a1h„ 1 +... + arh r +

где Бп - прогноз цены в момент п; Рп - реальная цена в момент п; N - число разбиений временного интервала.

Как видно из формулы, величина ОN показывает средний квадрат отклонений прогноза цены от ее реального значения. Согласно [5] ряд ОN является сходящимся, поэтому для бесконечно малого шага разбиения временного интервала имеем:

1 N

О = НШТ72XБ -Рп)2.

Л п=1

Как показывает эмпирический анализ эволюции цен активов, цены большую часть времени совершают колебания вокруг определенного значения, а потом за относительно короткий промежуток времени изменяются на значительную величину. Это говорит о том, что процесс изменения цены нестационарен, т.е. математическое ожидание и дисперсия доходностей меняется со временем. Воспользуемся методикой представления цен активов, рассмотренной в [4]. Пусть Бп - цена актива в момент п. По формуле сложных процентов имеем:

К=

+ (ао + £а^ + £PjOj)в (4)

1=1 j=i

Назовем модель (4) MGARCH (Modified GARCH). Как показывает эмпирический анализ эволюции цен, цены в какой-то период времени совершают колебания возле определенного значения, а затем за короткий промежуток времени изменяются на значительную величину. Это большое изменение происходит за счет увеличения волатиль-ности цен, которая определяется величиной сп. Следовательно, в некоторые случайные моменты времени волатиль-ность значительно увеличивается, а затем уменьшается. Введем коэффициент К такой, что

Без ограничения общности, мы положили значения К, заданного выражением (5), в момент резкого увеличения

волатильности равное 3. Безусловно, в дальнейшем имеет смысл обобщить нашу модель. Но данное обобщение качественно на результат настоящего исследования не влияет. Тогда для значений hn в нашей модели имеем:

hn = ao + aihn-i + ••• + arhn-г +

+К(ао +¿^-1 +JPj02-j)8 (6) 1=1 j=i

Назовем модель (6) моделью с нестационарной волатильностью (non-stationary volatility model - NSVM). Как видно из формулы, данная модель является синтезом MGARCH и модели с дискретным вмешательством случая с той лишь разницей, что в модели с дискретным вмешательством случая изменяется цена, а в нашей модели - вола-тильность.

2. Моделирование в MATLAB Моделирование было осуществлено в системе Matlab. Для сравнения данных моделей было проведено сначала моделирование для обобщенной GARCH модели, а затем для NSVM-мо-дели.

На рис. 1 представлен пример моделирования для MGARCH модели.

На рис. 2 представлен пример моделирования для NSVM модели. Цена вычисляется на основе выражения (2). В свою очередь, выражения (3) вычисляются из выражения (6). Как видно из рис. 2 цена большую часть времени совершает колебания возле определенного значения, а потом за короткое время изменяется на значительную величину, что соответствует эмпирическим данным.

(2)

где Нп—доходность актива за п периодов; Нп = к1+...+кп. Здесь Ь доходности в периоды 1. Следовательно

-"0 п—1

Рассмотрим обобщенную авторегрессионную модель условной неоднородности (вЛЯСН), рассмотренную в [3,4]. Считая ^п = Е(Ип | 1) = 0, будем

tdoya

Рис. 1. MGARCH

№6, 2010

2

о

n

n=1

30

Для того, чтобы доказать превосходство NSVM модели над MGARCH моделью была проведена серия экспериментов. Для моделирования были взяты реальные значения цен акций. Согласно математической статистике одна модель дает более эффективную оценку, чем другая, если величина (1) для первой из двух моделей меньше, чем для второй. В ходе экспериментов было показано, что для модели NSVM величина (1) меньше, чем для модели MGARCH.

3. Заключение

Эксперимент был проведен для MGARCH(p,q) и NSVM(p,q) моделей различных порядков: (1,1), (3,3), (5,5), (10,10). Результаты эксперимента для наглядности отражены в Таб.1. В данной таблице в качестве значений была взята величина ^И N , вычисляемая по формуле (1) и имеющаю размерность долларов.

Как видно из таблицы 1 величина

N для модели NSVM всех порядков меньше, чем для моделей MGARCH. Это означает, что модель NSVM дает более точный прогноз по сравнению с моделью MGARCH.

Автор выражает благодарность профессору, доктору экономических наук Уринцову Аркадию Ильичу за помощь в подготовке данной статьи.

Литература

1. Технический анализ. Курс для начинающих. М.: Альпина Паблишерз, 2009. 184c.

2. Джеральд А. Технический анализ. Эффективные инструменты для активного инвестора. СПб: Питер, 2007. 304c.

3. Duan J.C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance. 1995. V 5. P. 13-32.

46

36

30

26

20

16

к ; . . . VA. \ \

.........

10 20 30 40

tdnys

Рис. 2. NVSM

Таблица 1. Результаты эксперимента

50

Порядок MGARCH(p,q) NSVM(p,q)

(1,1) 2,34 2,05

(3,3) 2,27 1,86

(5,5) 2,03 1,57

(10,10) 1,97 1,43

4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. М.: Фазис, 1998. 489с.

5. Колмогоров А.Н. Избранные труды. В 6 томах. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Наука, 2005. 584с.

References

1. Technical analysis. Course for beginners //Alpina Publishers, 2009. P. 184.

2. Jerald A. Technical analysis. Effec-

tive instruments for an active investor. // Piter. 2007. P.304.

3. Duan J.C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance. 1995. V 5. P. 13-32.

4. Shiryaev A.N. Fundamentals of stochastic financial mathematics. // Fazis. 1998. V1. P.489.

5. Kolmogorov A.N. Selected works in 6 volumes. Probability theory and mathematical statistics. // Mathematical institute after VA.Steklov, RAS, Nauka. 2005. V2. P. 584.