CC BY
231
Инвестиции и инновации
Удк 33.76.066
современные теории финансовых инвестиций
А. В. ЗИНЕНКО, кандидат технических наук, доцент кафедры финансов и кредита E-mail: anna-z@mail. ru
С. С. СЕМЕНОВ, аспирант кафедры финансов и кредита E-mail: sergey 19862@ya. ru Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. Решетнева
Статья посвящена классической инвестиционной теории и ее базовым моделям. Проанализированы базовые предпосылки классической теории, показаны ее недочеты и недостатки. Рассмотрена альтернативная модель, основанная на степенных законах.
Ключевые слова: инвестиционный портфель, нормальное распределение, степенные законы.
Введение
В настоящее время существует обширное многообразие самых разных финансовых инструментов, вложения в которые могут принести инвестору прибыль, защитить его от риска либо сохранить его средства независимо от инфляции. Инвестирование в финансовые активы в настоящее время является полноценной наукой, которой посвящено немало дисциплин и учебных курсов. Сложные математические модели позволяют инвестору совершать арбитражные операции, получая безрисковую прибыль от портфеля с нулевыми инвестициями, гарантированно защищать инвестиции в базовые активы и многое другое.
В финансовые калькуляторы встроены функции расчетов стоимости опционов по формуле Блека-Шоулза. Компьютерные программы, пред-
назначенные для оценки финансовых инвестиций, используют формулы Марковитца и Шарпа. Компании-эмитенты предоставляют в открытый доступ свои бета-коэффициенты и коэффициенты цена-прибыль. В каждом экономическом вузе читается курс финансовых инвестиций, в который входят три классические инвестиционные модели:
— модель формирования инвестиционного портфеля Марковитца;
— модель оценки активов САР;
— модель оценки опционов Блэка-Шоулза, а также большое число модификаций и альтернатив, не отличающихся от трех фундаментальных моделей по базовым исходным предпосылкам. Основной базовый постулат всех преподаваемых инвестиционных теорий - это случайный характер динамики биржевых котировок и ее подчиненность нормальному закону распределения. Вспомним, что колоколообразный график плотности нормального распределения означает, что наиболее часто встречаются некие средние значения, а вероятность значительного отклонения от среднего стремится к нулю.
В 1987 г., когда американский фондовый рынок один за другим стали сотрясать коллапсы (что
продолжается и по настоящее время), финансовые аналитики и ученые поставили под сомнение «нормальность» и случайность рыночных котировок. Вероятность таких коллапсов согласно графику нормального рапределения ничтожно мала, и то, что обвалы происходили раз в несколько лет, полностью противоречит тезису о подчиненности котировок нормальному закону.
Американский математик польско-французского происхождения, создатель новой научной школы -фрактальной геометрии, Бенуа Б. Мандельброт (1924-2010), предложил кардинально новый подход к анализу рыночных котировок. Согласно его концепции движение рыночных цен неслучайно, наоборот, текущие котировки зависят от предшествующих, и эта зависимость выражается неким степенным законом. Исследователем Б. Мандельбротом была предложена мультифрактальная модель финансового рынка, но, к сожалению, исследования в области финансов не были доведены им до конца. Серьезным последователем Мандельброта стал инвестиционный брокер Эдгар Петерс, опубликовавший две посвященные финансовым рынкам монографии: «Хаос и порядок на рынках капитала» (1994) и «Фрактальный анализ финансовых рынков» (2002). Он разработал алгоритм выявления показателя степени зависимости размаха вариации котировок от количества временных периодов и назвал алгоритм R/S-анализ.
В представленном исследовании авторы рассмотрят недостатки классических инвестиционных моделей, выявленные Мандельбротом, а также рассмотрят новую степенную и фрактальную концепцию.
Классические модели финансового инвестирования
Среди классических моделей инвестирования можно выделить три базовые. Это модель формирования оптимального портфеля Гарри Марковитца (1959), ценовая модель рынка капиталов (САРМ) Уильяма Шарпа (1964) и модель ценообразования опционов Фишера Блэка и Майрона Шоулза (1973). Прочие финансовые теории, такие как модель арбитражного ценообразования АРТ, модели с нулевым бета, биномиальные опционные модели и т. д., являются модификациями трех данных базовых математических моделей.
Все эти модели основаны на одном базисном утверждении, которое сделал французский математик
Луи Башелье в 1900 г. в своей докторской диссертации «Теория спекуляции». Предметом исследования Башелье был рынок французских правительственных облигаций. Он сравнил колебания ценовых котировок с броуновским движением, которое подчиняется случайному вероятностному закону и, соответственно, имеет нормальное распределение. Именно на этом постулате базируется львиная доля современных финансовых теорий. Необходимо отметить, что Башелье был первым математиком, который описал изменения биржевых цен как случайный процесс, наряду с подбрасыванием монеты или игральной кости. При этом он утверждал, что движения рынка невозможно предсказать, но возможно вычислить вероятность появления определенных колебаний рынка [3]. Исследователь Башелье адаптировал для финансовых рынков известные физические формулы, описывающие случайные блуждания. Диссертация Башелье была удостоена не самой высокой оценки (хотя и успешно защищена), и его по тем временам новаторские идеи не получили широкого распространения.
Лишь в середине XX в. работой Башелье заинтересовались ученые, такие как Пол Самуэльсон и Юджин Фама. Именно Фама развил из постулата Башелье гипотезу эффективного рынка ЕМТ (1965 г.), основу современной инвестиционной теории, которая до недавнего времени не имела альтернатив. Основная мысль данной гипотезы - это то, что все инвесторы владеют одной и той же информацией, и любая информация тут же отражается на рыночных котировках. На эффективном рынке невозможно получить безрисковую прибыль, используя доступную информацию. Исследователь Фама взял за основу своей гипотезы утверждение Башелье о «честной игре». Это значит, что количество покупателей соответствует и количеству продавцов, и сделка состоится только в том случае, если покупатель и продавец сойдутся в цене. Для того чтобы обеспечить информационную эффективность рынка, необходимо выполнение четырех условий.
— информация становится доступной всем субъектам рынка одновременно, и ее получение не связано с какими-либо затратами;
— отсутствуют транзакционные затраты, налоги и другие внешние факторы;
— сделки, совершаемые отдельным лицом, не могут повлиять на общий уровень цен;
— все субъекты рынка действуют рационально, стремясь максимизировать ожидаемую прибыль.
ФИНАНСЫ И КРЕДИТ
49
Очевидно, что данная модель является идеальной. Для приближения к реальности были выделены слабая, умеренная и сильная формы эффективности. При слабой форме информационная эффективность заключается лишь в том, что текущие котировки содержат в себе информацию о прошлых. Такое утверждение отрицает возможность ретроспективного анализа, активно используемого трейдерами. При умеренной форме эффективности текущие цены, помимо данных о прошлых котировках, содержат в себе всю общедоступную информацию, такую как финансовые показатели компаний, политические и экономические события в государстве и пр. Эффективный в сильной форме рынок реагирует не только на общедоступную информацию, а на абсолютно всю, даже известную лишь отдельным лицам.
Следующая, основанная на постулате Башелье, модель финансового рынка - это модель формирования оптимального инвестиционного портфеля Гарри Марковитца. По сути, данная модель представляет собой обычную задачу нелинейного математического программирования. Главным новаторством Марковитца было то, что он предложил рассматривать ожидаемую доходность каждой акции как ее математическое ожидание (при анализе исторических котировок - среднее арифметическое), а риск — как дисперсию либо стандартное отклонение. Все прочие классические инвестиционные модели трактуют доходность и риск именно так. Задача Марковитца сформулирована таким образом: необходимо найти такие доли активов, входящих в портфель, чтобы совокупный риск портфеля был минимальным (целевая функция) при какой-либо заданной доходности (ограничения). Допустима также обратная формулировка задачи: определение максимальной доходности при заданном уровне риска.
Модель Марковитца неоднократно пересматривалась и совершенствовалась другими учеными. Например, модель Тобина с включением в портфель безрискового актива, либо модель Блэка с учетом коротких продаж (короткие продажи математически описываются отрицательными долями в портфеле).
Одной из проблем модели Марковитца являлась громоздкость расчетов. Неофициальным учеником Марковитца, Уильямом Шарпом, была предложена альтернативная модель Capital Asset Pricing Model (CAPM). Основу данной модели составляет бета-коэффициент - показатель взаимосвязи динамики доходности конкретной акции и рынка в целом.
Этот показатель был разработан Шарпом в модели, предшествующей САРМ, которая называлась «рыночная модель». Модель САРМ также решает прямую и обратную оптимизационные задачи, только риск и доходность вычисляются другим, нежели у Марковитца, способом, через безрисковую ставку и бета-коэффициенты каждой акции. Поскольку в данной формуле нет необходимости строить ковариационную матрицу по всем акциям, расчеты здесь значительно проще, чем у Марковитца.
Ключевым понятием моделей Шарпа, помимо бета-коэффициента, является рыночный портфель. Концепция рыночного портфеля возникла, когда Марковитц и Шарп задались вопросом, что будет, если все инвесторы будут следовать правилам Марковитца при формировании своего портфеля. Очевидно, что математически полученный эффективный портфель будет одинаков у всех инвесторов. Если рынок изменится, то изменится и эффективный портфель, тогда все инвесторы станут перемещать в него все свои активы. Согласно Шарпу рыночный портфель - это портфель, в котором доли активов соответствуют весам этих активов на рынке (в отличие от индексного портфеля, при формировании которого рассматривается конкретный индекс). Дисперсия и ожидаемая доходность каждого конкретного актива находятся через его связь с рыночным портфелем. Аналогично рассчитывается дисперсия и доходность эффективного портфеля. Помимо формирования оптимального инвестиционного портфеля САРМ применяется для определения справедливой цены акции, а также цены собственного капитала компании. Бета-коэффициенты применяются при анализе взаимосвязи предприятия и отрасли в целом, что делает возможным применять САРМ при оценке капитальных вложений. В заключение о модели САРМ стоит сказать, что одновременно с Шарпом подобную модель разрабатывали ученые Джон Линтнер, Ян Мосин и финансист Джек Трейнор.
Последняя фундаментальная классическая модель - это модель оценки европейского опциона колл Блека-Шоулза. Стоимость опциона пут по этой модели рассчитывается через уравнение паритета. Как и в прочих классических моделях, здесь рассматривается безрисковая ставка, риск по базовому активу - стандартное отклонение и функция нормального распределения. Риск базового актива Блек и Шоулз назвали волатильностью, т. е. показателем того, насколько сильно может колебаться цена акции
в течение прогнозируемого промежутка времени. Согласно данной модели, премия опциона должна быть такой, что, одновременно купив базовый актив и продав опцион (или наоборот), инвестор создаст хеджированную позицию, т. е. получит нулевую прибыль. Прибыли и убытки по базовому активу и опциону компенсируют друг друга. Подчеркнем, что данная модель основывается на подчиненности динамики котировок базового актива нормальному закону распределения. Отметим, что все рассмотренные авторами модели, а также их различные модификации основываются на утверждении, что у всех инвесторов одна цель - максимизировать свою прибыль, и все они идут к этой цели одним путем. Это значит, что все инвесторы делают одинаковые правильные выводы о динамике рынка, используя общедоступную информацию.
неточности классической концепции
Необходимо отметить, что в эпоху безоговорочного «царствования» классической инвестиционной теории существовало несколько объектов и явлений, которые ей полностью противоречили. При этом они были созданы последователями той самой классической теории.
1. Аналитические отделы на фондовых биржах, в финансовых компаниях и др. — они существовали столько же, сколько и сами компании. Их главная задача - доводить до сведения инвесторов основные тенденции рынка, формировать рекомендации по инвестированию. Это противоречит постулату классической теории о том, что все участники рынка видят одинаковую информацию и трактуют ее одинаково верно.
2. Технический анализ - существует с начала прошлого века (примерно с 1900 г.), с того момента, как выдающийся финансист Чарльз Доу представил в свет свою теорию. Авторы не будут вдаваться в подробности, необходимо лишь отметить, что все методы технического анализа (а их в настоящее время насчитывается довольно много) основаны на том, что прогноз будущей цены делается на основании прошлых котировок. Это относится как к простейшим скользящим средним, так и к сложным торговым системам (система трех экранов Элдера, РгойШпйу Вильямса). Это противоречит утверждению об эффективности рынка, так как текущие котировки уже содержат информацию о прошлом. Также и наличие каких бы то ни было трендов проти-
воречит главной предпосылке классической теории -случайному характеру биржевых котировок.
3. Противоположность техническому - фундаментальный анализ. Фундаменталисты не рассматривают графиков котировок, они прогнозируют цены акций исходя из политических и экономических факторов в мире и в стране, а также анализируя финансовые показатели компаний-эмитентов. Хотя фундаментальный и технический анализ - это две противоположные школы, обе они противоречат гипотезе об эффективном рынке и утверждению о случайном, броуновском движении биржевых цен.
4. Сложные опционы. На мировых и отечественных рынках (в последнее время) брокеры предлагают инвесторам сложные опционные модели (с полной защитой, с частичной маржой и др.). Если бы формула ценообразования опционов Блека-Шо-улза работала, то не было бы необходимости в таких сложных моделях. Цена опциона колл всегда была бы обратно зависима от цены опциона пут и прямо — от движения цены спот акции.
Помимо перечисленных теоретических недочетов существуют и практические доказательства несостоятельности классических инвестиционных теорий. Вероятностные модели рынка успешно работали вплоть до обвала американского рынка в 1987 г. (индекс Доу-Джонса за один день упал на 29,2 %). Аналитики уверяли, что это редчайшее событие (согласно кривой Гаусса), в следующий раз нечто подобное может наступить через несколько миллионов лет. Но затем последовали кризисы 1992, 1995, 1998, 2008 гг., что противоречило всем теоретическим постулатам вероятностного подхода.
Это были значительные коллапсы, которые привлекли к себе внимание общественности. На самом деле несоответствие реального движения котировок теоретическому вероятностному закону можно было обнаружить на протяжении всей истории рынков. Впервые это сделал Бенуа Мандельброт еще в 1960-х гг. Итоги были опубликованы им в статьях, также некоторые результаты по исследованию динамики индекса Daw Jones Industrial Average и колебаний цен на хлопок на протяжении более чем 100 лет были представлены им в работе «Непослушные рынки». Иссследователь Мандельброт утверждает, что начиная с 1962 г. отклонения колебаний цен на хлопок от нормального закона нельзя назвать случайными либо исключениями, подтверждающими правило. Дисперсия таких колебаний менялась в сотни раз, что противоречит вероятностной тео-
рии. Ученик Мандельброта Юджин Фама повторил его исследования на рынке акций, также взяв длительный промежуток времени, и получил, что, например, колебания, превышающие пять сигм, встречались в 5 тыс. раз чаще, чем это позволяет нормальное распределение.
Далее Мандельброт резюмировал свои исследования в двух несоответствиях нормальному «колоколу» — это «высокие пики» и «толстые хвосты». Первое означает, что наиболее часто встречающееся значение имеет более высокую вероятность, чем предсказывает нормальное распределение. Второе, и это наиболее значимое, открытие Мандельброта -это то, что значения, значительно отклоняющиеся от наиболее вероятного, встречаются намного чаще, нежели это предполагает нормальное распределение.
В качестве альтернативы вероятностной модели финансовых инвестиций Мадельбротом и его последователями была предложена степенная фрактальная модель.
новый подход: персистентность и степенной закон
Степенные законы исследовались и применялись в гуманитарных областях задолго до Мандель-брота. Например, закон Парето о распределении национального богатства свидетельствует о том, что наибольшая часть национального богатства находится у малочисленной группы населения. При этом данное распределение подчиняется степенному закону:
х(и) = (и / т)-а,
где и - уровень дохода;
т — минимальный доход;
х(и) — доля населения, имеющая доход и;
а — параметр.
Подчиненность степенному закону наглядно изображается в логарифмической шкале. В такой шкале деление арифметической шкалы соответствует его десятичному логарифму. Например, единица по арифметической шкале является нулем по логарифмической. График степенного закона всегда выглядит в логарифмической шкале как прямая линия с наклоном - показателем степени. В случае с законом Парето наклон отрицательный, соответственно, чем выше доход, тем меньше людей такой доход имеет.
Также степенные законы были выявлены Альфредом Лоткой в исследованиях количества публикаций учеными и Джорджем Ципфом в анализе
частоты использования слов. Все эти степенные законы были рассмотрены и проанализированы Бенуа Мандельбротом. В 1962 г. Мандельброт по примеру Парето изобразил данные об изменениях цены на хлопок на логарифмических координатных осях [3]. По оси Х он отложил изменения в цене, а по оси У — частоту встречаемости. У него получились нисходящие прямые, у которых также можно измерить угол наклона.
Помимо подчиненности степенному закону Мандельброт обнаружил еще одно ключевое и важное свойство рыночной динамики — фрактальность. Одно из толкований этого свойства - самоподобие. Графики ценовой динамики имели одинаковый вид и одинаковый наклон для разных таймфреймов. На основании этого Мандельброт сделал верное предсказание об изменении цен на хлопок, а также сделал вывод о фрактальной сущности движения котировок.
Фрактальность тесно связана со степенными законами. Для определения этой связи следует рассмотреть разработанный финансовым аналитиком Эдгаром Петерсом R/S-анализ [4]. R/S-анализ предназначен для вычисления показателя Херста -показателя степени в уравнении R / 5 = с • пн, где R - нормированный размах вариации;
5 - стандартное отклонение;
с - константа;
п - количество элементов выборки;
Н - показатель Херста.
Подробнее об R/S-анализе и показателе Херста можно прочитать в исследовании [1]. Показатель Херста вычисляется для того, чтобы определить, действительно ли временной ряд является случайным (предположение классической инвестиционной теории), либо в нем присутствует некая трен-довость. При Н = 0,5 выборка является случайной (таков Н, например, для броуновского движения). Если показатель Херста колеблется от 0,5 до 1, то процесс характеризуется долговременной памятью. Это означает, что последующие показатели сильно зависят от прошедших. К этому близка характерная для хаоса чувствительность к начальным условиям. Показатель Херста, колеблющийся от 0 до 0,5, означает антиперсистентный процесс. То есть система меняется быстрее, чем случайная. Это означает частые, но небольшие изменения. Можно сказать, что чем выше показатель Херста, тем меньше на временном ряду «зазубрин». При показателе Херста,
Показатели Херста для разных рынков
рынок расчет произведен Показатель Херста
Ставки по американским онкольным кредитам (до 1968 г.) Б. Мандельбротом 0,7
Цены на пшеницу (до 1968 г) Б. Мандельбротом 0,5
Облигации Великобритании (до 1968 г) Б. Мандельбротом 0,5
Курс USD/JPY (январь 1972 г - декабрь 1990 г.) Э. Петерсом 0,642
Акции Apple (январь 1972 г - декабрь 1990 г) Э. Петерсом 0,75
Акции Anheuser-Bush (январь 1972 г - декабрь 1990 г) Э. Петерсом 0,64
S&P 500 (1989-1994, мин) Э. Петерсом 0,603
Курс EUR/USD (апрель 2009 г.) Э. фон Нейманом 0,6146
DJIA (декабрь 2008 г. - декабрь 2011 г) А. Зиненко 0,6
Shanghai Inc (декабрь 2008 г. - декабрь 2011 г.) А. Зиненко 0,64
MICEX (декабрь 2008 г. - декабрь 2011 г) А. Зиненко 0,67
равном единице, наблюдается гладкая прямая (восходящий или нисходящий тренд). Для корректных расчетов показателя Херста необходим обширный объем выборки, а также проверка значимости исходного регрессионного уравнения и проверка с помощью смешивания данных.
Исследователями Мандельбротом и Петерсом был рассчитан показатель Херста для самых разных временных рядов на товарных, фондовых и валютных рынках. Приведем примеры рассчитанных показателей Херста для разных рынков и временных промежутков (см. таблицу).
Только два рынка (рынок британских облигаций и товарный рынок пшеницы) можно назвать случайными. Все остальные рынки показывают персис-тентность. Стоит отметить, что для всех рынков нет показателя Херста, близкого к единице (а чем ближе он к единице, тем более явный тренд), скорее он близок к 0,5, т. е. к случайному временному ряду.
Персистентные временные ряды характеризуются независимостью от временного масштаба. Дневные изменения зависят от прошедших дневных изменений в той же степени, как и, к примеру, недельные изменения зависят от прошедших недельных изменений. Это свойство персистентных временных рядов является фрактальным. Также показатель Херста использовался Мандельбротом при построении фрактальной модели. Он являлся соотношением высоты и ширины прямоугольника, образующего инициатор [2], т. е. соотношение показателей цены и времени для фрактальной модели.
В настоящее время степенная фрактальная модель финансового рынка Мандельброта является еще недоработанной и с ее результатами можно ознакомиться только в некоторых статьях, а также на сайте Мандельброта1. При всей ее недоработанное™ существует немало как теоретических, так и практических аргументов в ее пользу, в том числе приведенных авторами ранее. Необходимо отметить, что в настоящее время изучением фрактальных свойств финансовых рынков занимаются немало ученых и аналитиков как в России, так и за рубежом.
Список литературы
1. Зиненко А. В. R/S анализ на фондовом рынке // Бизнес-информатика. 2012. № 3 (21). С. 21-27.
2. Мандел ьброт Б. Фракталы, случай и финансы. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2004. 256 с.
3. Мандельброт Б. Непослушные рынки. Фрактальная революция в финансах / Б. Мандельброт, Р. Хадсон. М.: Вильямс. 2006. 400 с.
4. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение хаоса в инвестициях и экономике М.: Интернет-трейдинг. 2004. 291 с.
5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка М.: Мир. 2000. 274 с.
1 URL: http://users.math.yale.edu/mandelbrot.
