Совместные приближения корня, логарифма и арксинуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

2-й случай: p+ соединяется скобкой C с некоторым вхождением p в (другую) положительную формулу Rk', но не третьим слева от p*. Тогда либо во внутренней, либо во внешней по отношению к C области расположены два Противоречие.

3-й случай: p+ соединяется с третьим слева от p* вхождением p в Rk' скобкой C. Опять введем фрагмент Ж. Как и в доказательстве леммы 4, #(K) = 0. Но тогда #(D(C, K)) = — (N — к' + 1)+#(K)=0. Противоречие.

4-й случай: p+ соединяется с p* из некоего Rj. Противоречие с леммой 3. □ Лемма 6. Вхождение p+ из Rj соединяется с p+ из некоторого Rk'.

Вхождение символа старое, если оно не входит во вхождение положительной или отрицательной формулы (т.е. ему соответствует вхождение в Г).

Лемма 7. Если вхождение т символа ® старое, то Л(т) тоже старое.

Доказательство. От противного. Пусть Л(т) — не старое вхождение. Будем считать, что т находится правее Л(т) (в противном случае все рассуждения проводятся симметрично относительно дуги {т, Л(т))).

1-й случай: Л(т) расположено в Rj. Положим D = 1п({т, Л(т))) и определим K как часть Г между Rj и т. Имеем #(K) =0 и #(D) = 0. Противоречие.

2-й случай: Л(т) есть вхождение ^ в Rk, причем не второе справа. Противоречие получится так же, как и в первом случае, если в качестве D взять то из множеств 1п({т,Л(т))) и Out({^Л(т))), в котором не лежит p* из рассматриваемого Rk. (K = D — Z, где Z — рассматриваемое вхождение Rk.)

3-й случай: Л(т) есть второе справа вхождение ^ в Rk. Определим D и K так же, как и в первом случае. Количества p* и p* в K совпадают. Значит, совпадают и количества p+ и p+ в K. То же самое верно и для D. Противоречие: в D столько же вхождений p+, сколько и в K, а вхождений p+ на одно больше. □

Положим N' ^ {Пг, Л', E'), где Л' состоит из всех дуг Л, идущих из старых а ребра E' соединяют такие вхождения pk и pk, что у соответствующих Rk и Rj соединены вхождения p* и p)*. В силу лемм 1-7 N' есть сеть доказательства для ^ Г, поэтому MCLL ^^ Г. Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложений // Математическая лингвистика: Сб. пер. / Под ред. Ю.А. Шрейдера, И.И. Ревзина, Д.Г. Лахути, В.К. Финна. М.: Мир, 1964. 47-68.

2. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Preprint N 2 of the Department of Math. Logic, Steklov Math. Institute. Ser. Logic and Comput. Sci. Moscow, 1992.

3. Métayer F. Polynomial equivalence between LLNC, LLNCa, and LLNC0 // Theor. Comput. Sci. 1999. 227, N 1. 221-229.

4. Pentus M. Free monoid completeness of the Lambek calculus allowing empty premises // Proc. Logic Colloquium '96 / Ed. by J. M. Larrazabal, D. Lascar, G. Mints. Berlin etc.: Springer, 1998. 171-209 (Lect. Notes Logic. Vol. 12).

Поступила в редакцию 28.04.2008

УДК 517.53

СОВМЕСТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КОРНЯ, ЛОГАРИФМА И АРКСИНУСА

В. Н. Сорокин1

Построены аппроксимации Эрмита-Паде к трем функциям — квадратному корню, логарифму и арксинусу. Предъявлена формула Родрига. Получена оценка меры линейной независимости значений этих функций в натуральных точках.

Ключевые слова: формула Родрига, диофантовы приближения.

Hermite-Pade approximations are constructed for three functions: the square root, logarithm,

1 Сорокин Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

and arcsine. The Rodrigues formula is presented. An estimate of the measure of linear independence for values of these functions at natural points is obtained.

Key words: Rodrigues formula, Diophantine approximations.

Приведем один пример использования формул Родрига в теории диофантовых приближений. Определим функции

h(z) = 2[l-x/l-^, /2W = _^iog^±i> fs(z) = ^= arcsin-L

Здесь log — натуральный логарифм. В области C \ [0; 1] выделяем голоморфные ветви функций условием fj(z) ~ 1/z при z ^ ж. Справедлива

Теорема. Если для натурального числа q выполняется неравенство

223 e6

Q>Qo = -p-, (1)

то для любых целых рациональных чисел 0,0,0,1,0,2,0,3, таких, что a = max{|ai|, |a21, |аз|} > 0, величина l = о0 + aifi(q) + a2f2(q) + a3f3(q) удовлетворяет неравенству

c

l'l > ¡f. М

где

_ 3 log g + 23 log 2 + 6 — 3 log 3 ^ ~ log q - 23 log 2 - 6 + 3 log 3 ' U

а с — эффективно вычислимая положительная постоянная.

Доказательство теоремы. 1) Определим многочлены Qn степени 3п формулой Родрига

Qn{x) = - - x)2nJ^-^, (4)

^ v ; v n\\dx) v ; л/Г^ж(2nVAdxJ v J У х 7

n\\dxJ yjl — x (2n) \\dxJ

где n E Z+. Положим

C" = 26"/ Q (5)

Тогда многочлен CnQn(x) имеет целые рациональные коэффициенты. Действительно, пусть

1 — х п! \dxJ

Перенормируем этот многочлен так, чтобы его свободный член был равен единице:

4П

(х).

V п )

По свойствам многочленов Чебышева второго рода многочлен (~~*п имеет целые рациональные коэффициенты. Действительно, хорошо известно, что многочлены, определенные следующим рекуррентным соотношением:

ГхТп(х) = Тп+1(х) + Тп_1(х), п е (б)

1Т_1(х)=0, То(х) = 1, ()

ортогональны на отрезке [—2; 2] с весом \/4 — х2 . Из (6) следует, что Тп(х) Е Ж,[х] и Т2га(0) = ( — 1)п. Таким образом, = (~1)пТ2п(2^).

Далее, рассмотрим многочлен

3n

v k=0 k=0 4 7

где a^ — некоторые целые рациональные числа. Имеем

п + к-\\ _ 1 (2п + 2к - 1)... (2к + 3)(2Л + 1)

n J 2n n!

Если p — простое число, p = 2, то p не входит в знаменатель числа (7), откуда следует формула (5)

По формуле Стирлинга сП/п — 4 при n — ю. 2) Заметим, что fj(z) суть функции марковского типа

№1=/'^ ./ = 1,2.3.

J 0 z — х

При этом

d/j,i(x) = — \ -—- dx, d/j,2(x) = -гт=, ф3(ж) = —^= log 1 + -,

^ V ж 2vx ^Vx Vх

где берутся арифметические значения функций.

Функции fj(z) имеют следующие разложения в ряд Лорана при \z\ > 1:

(7)

fi(z) = Е

n=0 те

f2(z) = Е

n=0 те

f3(z) = Е

0/2V (2)га

1

^п+1

— - 2-^1 z

1

2n + 1 zn+1

(1/2)»_

¿¿(l)ra(2n + l)

— - 2Fl

z

1 _1 F — - 2^1

z

3 2

1 1

2' 2 3 2

(8)

где

2^1

a, b

x =

£

n=0

(a)n(b)n of

(C)r

n!

гипергеометрическая функция Гаусса и (а)п = а(а + 1)... (а + п — 1) — символ Похгаммера. Иррациональность отношения рядов типа (8) изучалась в работе [1]. 3) Интегрированием по частям проверяются соотношения ортогональности

/ Qn(x)xmd^j(ж) = 0, m = 0,...,n — 1, j = 1,2,3. 0

Другими словами, справедливы интерполяционные условия

Ящ3(г) = Яи(г)/3(г) — РЩ1 (г) = 0(1/гп+1), г ^ гс,

где Рп^ — соответствующие многочлены второго рода, ] = 1, 2, 3.

4) Обозначим через им = ЬСМ{1, 2,... , К] наименьшее общее кратное N первых натуральных чисел.

1/N N

e при N — <х>. Положим Qn = 2 W6n. Из (8) следует, что многочлены CnQnPnj

Напомним, что и

имеют целые рациональные коэффициенты.

5) Из (4) по теореме Ролля вытекает, что все нули многочлена Qn лежат в интервале (0; 1). Следовательно, имеет место оценка

Пп(г)| < дп(\г\ + 1)3п, г е С, (9)

1

1

2

2

1

2

c

где дп — модуль старшего коэффициента многочлена Qn. Полагая в (4) х ^ ж, получаем

'4п\ /4п-\ qn=[2n [ п

По формуле Стирлинга имеем неравенство

_ i 212

Hm \Qn{z)\~ (N + 1)3.

п^Ж 3°

6) Оценим функции второго рода

Qn(x)

RnÁ*)= С Q^-diijix), j = 1,2,3. J o z — x

Разложим их в ряд Лорана:

где

ж Jn) k,j

z

к=п

Í' l

kj = J ХкQn(x)d^j(x).

Из (9) следует, что Isk^A ^ qn2°n. Таким образом,

Окончательно

i 215 1

lim \Rnj(z)\n <; ——, \z\ > 1.

33 N;

7) Заменяя в (4) х2п на х2п+я, где в = 0,1, 2, 3 , получим линейно независимую систему аппроксимаций

= Qn,sfз — Рп,з,з, 3 = 1,2,3, в = 0,1,2,3. (10)

Это означает, что следующий определитель есть отличная от нуля константа (зависящая от п) ¿е^Рп^^о,1,2,3 = 0, где Р^о^ = Qn,s. Действительно, отношение мер

dц,2(x) п 1 d|J,l(x) 4 д/1 - х

аналитически продолжается до функции, голоморфной в области С \ [1; +ж); при этом ее мнимая часть на берегах разреза не меняет знак. Аналогично отношение мер

da з(х) 1 1 + V 1-х -— = -7-

d/j,i(x) 2л/1 — х \[х

аналитически продолжается до функции, голоморфной в области C\ (-то;0], и ее мнимая часть не меняет знак на берегах разреза. Промежутки (-то; 0), (0; 1) и (1; попарно не пересекаются. В этой ситуации, как было доказано в работе [2], функции {fj} образуют так называемую совершенную по Малеру систему. В работе [3] было показано, что для таких систем описанная выше конструкция приводит к линейно независимым аппроксимациям.

Заметим, что все полученные нами оценки сохраняются и для аппроксимаций (10). 8) Для натурального q ^ 2 имеем

°

(q)l = Cn,s^n+iaoQn,s(q) + ^ Cn,s^n+iaj (Rn,j,s(q) + Pn,j,s(q)),

j=i

где Cn,s — некоторые нормировочные постоянные. Они выбраны так, что число

3

Cn, s^n+i(aoQn , s(q) + Е aj Pn ,j, s(q)) (11)

j=i

целое рациональное. При этом сП/п — 4 при n — ю.

Для некоторого s, зависящего от n, число (11) отлично от нуля. Следовательно, модуль этого числа не меньше единицы. Таким образом,

(q)l\ ^ 1 — 3aCn,s^n+1 max \Rn,j,s(q)\,

j=1,2,3

или

\l\ ^ An — 3a(BA)n (12)

для всех достаточно больших n, где

33 „ 223e6

А = В =

223e6q3 33q

Условие B < 1 равносильно неравенству (1). Полагая в (12) n =

, получаем оценку (2), (3).

Теорема доказана.

Работа частично поддержана грантами РФФИ № 08-01-00317, НШ-3906.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Huttner M, Matala-aho T. Diophantine approximations for a constant related to elliptic functions //J. Math. Soc. Japan. 2001. 53, N 4. 957-974.

2. Гончар А.А., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем функций марковского типа // Матем. сб. 1997. 188, № 5. 33-58.

3. Сорокин В.Н. О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов // Матем. сб. 2001. 192, № 8. 139-154.

Поступила в редакцию 16.06.2008

УДК 519.217.3

ЗАДАЧА О СКОРЕЙШЕМ ОБНАРУЖЕНИИ СМЕНЫ РЕЖИМА

ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ЛЕВИ

Ф.А. Устинов1

Найден оптимальный момент в задаче о скорейшем обнаружении смены режима (разладке) в обобщенной байесовской постановке для произвольного процесса Леви.

Ключевые слова: скорейшее обнаружение смены режима, задача о разладке, обобщенная байесовская постановка, процессы Леви, процесс Ширяева.

The optimal stopping time for the quickest regime change detection (disorder) problem in the generalized Bayesian setting is determined for an arbitrary Levy process.

Key words: quickest detection of regime change, disorer problem, generalized Bayesian setting, Levy processes, Shiryaev process.

Задача о скорейшем обнаружении смены режима в обобщенной байесовской постановке была впервые рассмотрена в работе [1] в случае броуновского движения. В работе [2] исследуется случай простого

1 Устинов Филипп Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].