CC BY
46
УДК 539.3
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НОРМАЛЬНОЙ И СКРУЧИВАЮЩЕЙ НАГРУЗОК НА ТОННЕЛЬ С КРУГОВОЙ КРЕПЬЮ
В.Н. Украинец
Павлодарский государственный университет E-mail: [email protected]
Получено решение задачи о воздействии подвижных нормальной и скручивающей нагрузок на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, находящуюся в упругом инерционном полупространстве. Полагается, что функции нагрузок могут быть разложены в ряд Фурье по угловой координате и интеграл Фурье по осевой координате. Движение оболочки описывается классическими уравнениями теории тонких оболочек, а упругого полупространства - динамическими уравнениями теории упругости в потенциалах Ламе, для решения которых используется метод интегрального преобразования Фурье. Настоящая задача является модельной для расчёта напряжённо-деформированного состояния массива пород при неравенстве динамических нагрузок, передаваемых на каждый из рельсов, уложенных в тоннеле цилиндрической формы, или при вращательном движении очистных устройств в подземном трубопроводе.
1. Задача о действии подвижной осесимметричной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде рассматривалась в работе [1]. Движение периодической нагрузки вдоль цилиндрической полости в упругом полупространстве изучалось в [2].
Аналогично [2] рассмотрим бесконечную круговую цилиндрическую полость радиуса Я расположенную в упругом, однородном и изотропном полупространстве с параметрами Ламе Я, ¡ли плотностью р. В отличие от [2] полость подкреплена тонкой упругой оболочкой (в силу малости толщины оболочки полагаем, что окружающая среда контактирует с оболочкой вдоль её срединной поверхности) по внутренней поверхности которой с постоянноё скоростью с поступательно движутся апериодические нормальная и тангенциальная (скручивающая) нагрузки. Введём декартовую систему координат, ось 2 которой совпадает с осью полости, параллельной свободной от нагрузок плоской границе полупространства, а ось X перпендикулярна к этой границе: х<Н, где Н - расстояние от оси полости до границы полупространства.
Вследствие того, что рассматривается установившийся процесс можно перейти к подвижной декартовой (X, У, п=2-а) или цилиндрической (г, в, ц=2-с1) системе координат.
В подвижной системе координат для описания движения оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек (1), а для описания движения окружающей среды - динамическими уравнениями теории упругости (2):
1 -
(1 -vo) Ро с2 2М>
д ы,
дп2
о^ + 1 -vo д ы0п +
1 + vo д Ыо
vo дыог
2R дв2 1 — v„
2R дпдв R дп
1 + vo д ыоп_+ (1 -vo)
2R + 1
дпдв д 2ыо
2
1 дыо
1-
Рос
2нА
2 \ Д2.
Мо
1 - Vo
д ыо,
R2 дв2 R2 дв 2^Д
дп 2 (Рв- Чв\
V дыо 1
*0 оп + 1
ды
R дп
И2
+ V 2V 2Ы
R2 дв 12 о
(1 -vo)Роg2 дЧг
2Мо
дп 2
R2
1 -vo 2Мо Ио
(Рг - Чг ) (1)
где ыц, и0в, и0г - перемещения точек срединной поверхности оболочки; дп, дв, д, - составляющие реакции окружающей оболочку среды (при г=Я дц=ощ, дв=огв, дг=о„, где оп - компоненты тензора напряжений в среде,}=г\, в, г); v0, л, Ро _ соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки, Но - её толщина; Рв(в,п), Рг(в,п) - соответственно интенсивность скручивающей и нормальной нагрузки;
1
1
л
M2 m2
grad div u + -^-V2u =
M2 дп
(2)
где и — вектор смещения упругой среды; Мр=е/ер, М!=с/с! - числа Маха; ср, сх - скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.
Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при х=Н
= 0.
и = и = и
хх xy хп
(3)
В случае жёсткого сцепления оболочки с окружающей средой
UA=R = Ыоj ,
j = п,
(4)
Здесь иг, ив, ип - компоненты вектора и.
Выразив вектор смещения упругой среды через потенциалы Ламе [3] и=§гаёф1+го1;(ф2еп)+го1 го1;(ф3еп), преобразуем (2) к виду
, , д2ф vv = m2 j
J = 1, 2,3,
(5)
1 дп2
где М1=Мр, M2=M3=Ms.
Применив к (5) преобразование Фурье по п, на ходим
VV -m2l2q>] = о, j = 1,2,3.
(6)
Здесь т2 = 1 —М2, m1 = mp, m2 = m3 = mJ,
да
Ф* (г,в,£) = | ф, (г,в,п)е—£пСп.
—да
Представив компоненты напряжённо-деформированного состояния среды через потенциалы Ламе и применив преобразование Фурье по п, можно получить выражения для трансформант перемещений щ и напряжений в декартовой (1=х,у,п, ]=х,у,п) и цилиндрической (=г,в,п, ]=г,в,п) системах координат как функции от фф.
Предположим, что скорость нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей полость среде. В этом случае М<1 (т2=т3=т5>0), и решения уравнений (6) можно представить в виде
ф* = ф® + ф(2),
(7)
где
Ф, =
I
2/
еПСС, (8)
■ ,ф ■ = , п>
,■ = 1,2,3.
з А да
■ (£>0 =Т~^е-¥к У апк Фпк .
К=1 ^ п=—да
(9)
ф* = |
------У а ■ Ф ■ +
4/ ■ п=—да
+е
(*—и )/,
е‘гжСС,. (10)
К=1 А
Для представления (7) в цилиндрической системе координат воспользуемся разложением
да
е'КгС08в = У 'пУп (Кг)е'пв. Находим, что
п=—да
ехр(/у£ + (* — й)-у/£2 + К2) =
= у ¡п (кг у
с +л/с2+к 2
Ф(1) = У а К (к г) е'пв,
п=—да
да
Ф(2) = I Я,(£,С)ехр('УС + (*—)С£.
Здесь Д,(£/) - функции Макдональда, к=т£, §(£,п); аи- - неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению.
Как показано в [4], представление потенциалов в форме (7) приводит к следующим выражениям для трансформант потенциалов в декартовой системе координат:
— / да
У ап,Фп + Я,(£,С)е*—И^
Тогда
да ( да
ф* = У %Кп (Кг) + 1 (Кг) I Я (£)
п=—да V —да
Подставляя в последнее выражение из (9) §■(£,0, имеем
Ф* = У (апКп (К/) + ЬЛ ■))е”
(11)
Воспользуемся переписанными для трансформант граничными условиями (3), с учётом (8). Выделяя коэффициенты при ёк и приравнивая, в силу произвольности у, их нулю, получим систему трёх уравнений, из которой выражаем §■(£,£) через коэффициенты ащ■:
где
3 да да А
Ьп, =У У а^, 4”К = I Фтк Ф, е"И (/к +Л) СС,.
К=1 т=—да —да
Подставляя (10) и (11) соответственно в выражения для трансформант напряжённо-деформированного состояния (НДС) среды в декартовых и цилиндрических координатах, получим новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты ап. Для определения последних воспользуемся граничными условиями (4), представив их в виде
м*|г=* = Ы* ■ ’ ■ = П’ вг, (12)
да
где и*■ (в,£) = | Ыо, (в,п)е-'(пСп.
Вид определителя А и алгебраических дополнений Ад определён в [4]. Там же показано, что А -определитель Релея, который не обращается в ноль, если скорость бегущей нагрузки меньше скорости релеевской волны в упругом полупространстве. В этом случае условия существования преобразования Фурье выполняются, и для вычислений интегралов (8) можно воспользоваться одним из численных методов интегрирования, предварительно определив коэффициенты ап].
Для дорелеевской скорости движущейся нагрузки соотношения (8) перепишутся в виде
Применяя к (1) преобразование Фурье по п и разложив функции перемещений точек срединной поверхности оболочки и нагрузку в ряды Фурье по в, для и-го члена разложения получим:
еХ„п + У2п£0Ы0пв — 2'У0£0Ы0пг = —П0% ,
V2п£0Ы0пп + е1Ы0пв — 2'пЫ0пг = П0 (Рпв — Япв X (13)
2'Ч£0Ы0пп + 2'пЫ0пв +Фп = П0(Рпг — Япг X
где е2 = а0 —е1, е] = в2 —е1, =у0 —е1,
Б0 =Vl£оjM2, £0 =&, а = +У,п\
£0 =£Я, в2 =Vl£оj + 2и2, г2 =^2(£02 + п2)2 + 2, V = 1 —У0^2 = 1 +^0> М,0 = С- =
С = \К = _ИL п у1к2-
80 \ л 5 ^ ^0^ 0 ,, и
V р0 6К Л0 И0
п=—ад
п=—да
и0ит, Рщ - соответственно коэффициенты разложе-
да
ния и0т(в,£) и р*(в,£) = I Р(в,п)е—£пСп в ряды
—да
Фурье по угловой координате в (у=в; г; т=п; в; г). При г=Я дп„=(Огп)п, д„в=(о'гв)п, дт=(о'Х-
Разрешая (13) относительно и0тп, и0тв, и0тг, находим
ы,
0щ = Go tiT (P - qnj )>
j=i °n
=Go 1S (P - qnj ),
j=1 n
= Go tS (Pj - % )•
j=1 n
(14)
Здесь Sn = (Sie2S3)2 -(е^2 -(e2£2)2 + 2£i£2£3,
S = (^з)2-£i2, S„2 = D S = D S = Di, S g 2 = (e^)2£ S =
= iD3,Sri =-iD2,Sr 2 = -iD3>
Sr3 = (e^)2 -£2, Si = 2n, £2 = 2Vo£o, £3 =
= V2£on, Di =£on(4vo -е3ЧХ
D2 = 2£o(SïVo - «ЧХ D3 = 2n(ei2 -£o2vov2);
P„1=0, P„2=P„e, ^„3=^ для gnj индекс j=1 соответствует индексу n, j=2—6, j=3-r.
Подставляя (14) в (12) и приравнивая коэффициенты рядов Фурье-Бесселя при ё"в, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов anj.
и?
0,4
-3,2 -1,6 0 1,6 3,2
-0,4 и° 0,2
-3,2 -1,6
0 1,6 3,2
y/R
y/R
-0,2
,уу
Рисунок. Изменения компонент НДС земной поверхности
После определения коэффициентов ат, используя обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды в декартовой и цилиндрической системах координат. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной из граничных условий системы уравнений не обращается в ноль.
2. В качестве примера расчёты проводились для равномерно распределённых в интервале |п!^0,2 м по внутренней поверхности бетонной оболочки осесимметричных нормальной и скручивающей нагрузок одинаковой интенсивности, движущихся со скоростью с=100 м/с в массиве алевролита при следующих значениях параметров: Я=1 м, Н=2 м, Н0=0,02 м; ^=0,2, л0=12,1.103 МПа, р0=2,5.103 кг/м3, Я=1,68 8.103 МПа, л=2,532.103 МПа, р=2,5403 кг/м3.
Интенсивность нормальной нагрузки выбиралась таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения равнялась сосредоточенной нормальной кольцевой нагрузке р.
На рисунке показан результат воздействия нагрузок на земную поверхность, где в поперечной плоскости (п=0) приведены кривые изменения перемещений и°х=ихл/р (м), и°у=иул/р (м) и нормальных напряжений ст°уу=стуу/р.
Как следует из анализа поведения кривых, экстремальные прогибы их земной поверхности и экстремальные нормальные напряжения оу имеют место при у=—0,4Я, а максимальное горизонтальное смещение иу — при у=0,8Я (оу здесь равно нулю). С увеличением у перемещения и напряжения быстро затухают, и при У=3,2Я динамическое воздействие нагрузки на земную поверхность практически неощутимо.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пожуев В.И. Действия подвижной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. - 1984. - № 6. - С. 58-61.
2. Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок // Известия АН КазССР. 3. Сер. физ.-матем. - 1986. - № 5. - С. 75-80.
3. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
4. Украинец В.Н. Реакция упругого полупространства на бегущую вдоль оси периодическую нагрузку // Математический журнал. Алматы. - 2005. - № 3. - С. 96-102.
Поступила 05.06.2006 г.
УДК 624(007.2:57.085)
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
А.Г. Юрьев, С.В. Клюев, А.В. Клюев
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова E-mail: [email protected]
Предложена методика оптимального проектирования несущих конструкций на основе генетического алгоритма. В качестве примера рассмотрено проектирование стальной рамы при варьировании 9 параметров с использованием метода конечных элементов. Выявлен наилучший вариант, соответствующий минимуму объема материала рамы.
В последние десятилетия в области инженерного дела, а также экономики и планирования намечается стремительный переход от допустимых инженерных и управленческих решений к оптимальным решениям. Однако современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инже-нера-проектировщика в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач. Вместе с тем современная, все более усложняющаяся практика проектирования и конструирования нуждается в эффективных математических средствах решения таких задач.
Характерной чертой нового подхода является комплексная разработка, позволяющая проектировать систему в целом, а не по отдельным ее частям. Поэтому одной из чрезвычайно важных научных и
прикладных задач является разработка методологии оптимального проектирования сложных технических систем - системного проектирования.
Конструкцию характеризует ряд показателей: стоимость, надежность, вес, габариты, время разработки и др., которые могут находиться во взаимном противоречии. Трудность решения задачи состоит в недостатке априорной информации, необходимой для поиска оптимального варианта конструкции. Поэтому процедуру проектирования целесообразно строить так, чтобы на каждом его последующем этапе объем информации о конструкции возрастал. В то же время необходимо исключать неудовлетворительные варианты, выявленные в ходе проектирования. Таким образом, должны сочетаться две тенденции - генерация многообразия вариантов и усечение выявленного
