Совместная задача о движении твердого цилиндра и заполняющей его вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.98:532.501

СОВМЕСТНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ЦИЛИНДРА И ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ ЕГО ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

© 2009 г. Е.Ю. Шкуренко

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

dnjme@math. sfedu.ru dnjme@math. sfedu.ru

Рассматривается плоская задача о движении цилиндра и заполняющей его вязкой несжимаемой жидкости. Цилиндр закреплен на пружине и под действием ее силы упругости совершает крутильные колебания. Жесткость пружины периодически меняется со временем. Исследуется параметрическое возбуждение неустойчивости состояния покоя. Численно построены нейтральные кривые, разделяющие пространство параметров на области устойчивости и неустойчивости. Найдены два члена асимптотического разложения нейтральной кривой в случае субгармонического резонанса при бесконечно малой вязкости жидкости и амплитуде модуляции.

Ключевые слова: устойчивость, крутильные колебания, параметрическое возбуждение.

The 2-dimensional problem of the motion of a cylinder, which undergoes the torsional oscillations under the action of elastic force of the spring it is fixed at and an incompressible viscid fluid filling this cylinder is considered. The rigidity of spring depends periodically on time. The parametric excitation of instability is examined and the neutral curves dividing the parameter space into the areas of stability and instability are plotted.

Keywords: stability, torsional modes, parametrical excitation.

Введение

Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями поплавковых приборов и стержней [1, 2]. Параметрическому возбуждению неустойчивости в задачах о колебании тел и жидкости посвящены статьи [3 - 5]. В [3, 5] рассматривается параметрический резонанс в задаче о поступательных колебаниях шара в вязкой жидкости. Получены оценки областей устойчивости в пространстве параметров и проведен их численный расчет. В [4, 6] исследована структура спектра и доказана полнота решений Флоке.

Основная цель данной работы - построение нейтральных кривых, разделяющих пространство параметров на области устойчивости и неустойчивости. Исследование нейтральных кривых проводится как численно, с помощью решения трансцендентного уравнения, так и аналитически - построением асимптотики при малой вязкости.

Постановка задачи

Физическую модель задачи можно представить следующим образом. Имеется бесконечно длинный цилиндр, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью. Он закреплен на пружине. Под действием силы упругости пружины цилиндр совершает вращательные колебания вокруг своей оси около положения равновесия. И как следствие жидкость, помещенная внутрь цилиндра, также приходит в движение из-за условия прилипания на границе. В предположении, что движение жидкости чисто вращательное, изучение описанной модели сводится к плоскому случаю.

Если жесткость пружины постоянна, то амплитуда колебаний цилиндра со временем затухает, жидкость приходит в состояние покоя. В данной работе рассматривается случай, когда жесткость пружины периодически меняется со временем. Это условие влечет параметрическое возбуждение неустойчивости при некоторых значениях параметров.

Скорость движения жидкости 1)= (¿г.и0 , и давление р подчиняются уравнениям Навье-Стокса, которые в полярных координатах г и в имеют вид [7].

до,.

■ + и„

8и,. Un du,.

8t 8r

1 8p r

дий du, ■ + и,. —1

r

8в

и,.

+ v\ Au,.--'--

r

2 du

„2

г- Г дв ив 8ив U r Uß

8t

r

pr 86 ' °

80 Up

r

2 du,.

2 r 86

8u„

1 8 1 82

8г г г дв дг1 г дг г дв

Здесь р - плотность жидкости, которая считается постоянной; у - коэффициент кинематической вязкости.

Предполагается, что движение жидкости чисто вращательное. Это означает, что радиальная компонента скорости иг равна нулю, а азимутальная компонента \>о и давление р не зависят от угла в (рис. 1). При сделанных предположениях давление р в жидкости -функция лишь переменных г и (, определяемая из

уравнения

скорости

дий

1 др р дг

удовлетворяет

а азимутальная компонента уравнению

dt

д ий

дг2

1 доп

r dr2

K(l - среднее значение жесткости; ^ cos 0 -модуляция жесткости; А", и у - амплитуда и частота модуляции. Предполагается, что величины J и K(t) заданы. Момент силы вязкого трения определяется формулой [7]

Ой

M

hydr

дг

где // - коэффициент

динамическои вязкости.

Далее индекс в при переменной и„ опускается, а обозначение и следует понимать как азимутальную компоненту скорости.

В результате перехода к безразмерным переменным исходная задача принимает вид

■ = V

(

д и

dt

V , =1

1 du

dr2 r dr2

ф = ~K{t)(p - 27TT]V\

dr

(1) (2) (3)

(4)

др и дг г

Были введены безразмерные параметры: вязкость , единичная средняя жесткость, амплитуда модуляции А, так функция К(1) принимает вид 1 + А сочу!. частота у и параметр 77, характеризующий отношение плотности жидкости к плотности цилиндра.

Неизвестными задачи (1)-(4) являются азимутальная компонента скорости и^,/ , угол отклонения <р угловая скорость вращения цилиндра ф К. и давление жидкости

Основной режим и его устойчивость.

Дисперсионное уравнение

Поставленная задача имеет нулевое решение, со-

ответствующее состоянию покоя:

р- = 0 ;

Рис. 1. Плоская модель цилиндра, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью, а - радиус цилиндра; ф - скорость вращения цилиндра

Общая краевая задача для этого уравнения включает граничное условие = иф. где ф^- угловая скорость вращения цилиндра; (р( - угол отклонения цилиндра от положения равновесия; a - радиус цилиндра.

Уравнение движения стенки цилиндра имеет вид .¡(р = —К(1)ср + Мhvih.. где J — момент инерции стенки

цилиндра; К ( - жесткость пружины; Мhydr - момент

силы вязкого трения. Пусть Kit) =К0 +Кг cos где

<р" = 0. Задача, описывающая эволюцию возмущений состояния покоя, имеет тот же вид (1) - (4). Поэтому далее будем считать переменные и, р, ср возмущениями задачи (1) - (4).

Разыскивается решение Флоке, представляющее

собой произведение функций еы и 1л - периодической по времени. Показатель Флоке - параметр а -должен быть выбран так, чтобы решения Флоке было ненулевым. Для ег получено дисперсионное уравнение, причем вывод этого уравнения осуществлялся двумя способами.

1-й способ состоит в следующем: разыскивается решение Флоке задачи (1) - (3) в виде

<рС

■ Ъ<Рке

k——со

(jfc+crl)

(5)

oCtjf

к- г

Разложения (5) подставляются в уравнения (1)-(3). Получается трехдиагональная система

М„<Р„ + 9п-1 + <Рп+\ — н = 0,±1,±2,..., (6)

r

1-й

r

r

r

r=1

2

r

2

r

.. 2 (iyn + a)2 2 М„ = —-—+ — +

A

A

4 m]v(iyn + cj) iyn + a

A

iyn + <7

nyn + CF

-1

ство Mn = -pn

1

Pn+\

w = 0, ± 1, ± 2,

кают две рекуррентные формулы рп = -Мп +

Рп+1

/Vi =

1

-1

+

-1

-M

п+2

Рп =■

-1

м„

-1

м.

+...

м0-

мх -

1

м_х -

1

(8)

ф =-K(t)q> - AnrjV J f>

(9)

э n=1

И лишь на 3-м шаге разыскивается решение Флоке и для неизвестных функций фк и выписывается трехдиагональная система вида (6), коэффициенты которой задаются формулой

здесь 1Х - модифицированная функция Бесселя [8].

Известно [9, 10], что для трехдиагональных систем оказывается возможным записать дисперсионное уравнение для а в явном виде с использовани-

<Рп-\

ем цепных дробей. Для этого, полагая рп = ■

<Рп

интересуемся лишь значениями параметров, при которых система (6) имеет ненулевое решение,

со 2

такое что < 00 • Тогда из (6) следует равен-

к--т

м =

2 (iyn + а)2 2 8я"77 i/(iyn + er)2

2 %nt]v(iyn + &) _ -+-А-

1

А А А к=йуП + <7 + \х£

Далее, повторяя рассуждения, приведенные в 1-м способе, выводим дисперсионное соотношение, описываемое выражением (7).

Далее показано, что коэффициенты Мп и Мп совпадают, т.е. выполняется равенство

1

2(z>w + cr)X-

откуда выте-1

к—liyTl С

-П

CT + VX

к

(i

yn + er

(10)

■-1 .

n

Доказательство основано на использовании мит-таг-леффлеровского разложения мероморфной функции в ряд по полюсам. Введем новую переменную

Мп+Рп

Последовательно применяя их для каждого рп, получим два выражения в виде бесконечных цепных

дробей рп = -Мп +-

q =

iyn + а

2 q2T

k=iq2 + х2 4

Равенство

J'A.

(10) примет вид После преобразований

получим

4'(q) = 2q£

1

2 , 2 ыщ + xk

Для решения Флоке эти выражения должны совпадать при всех п . На самом деле достаточно потребовать совпадения при одном каком-нибудь значении п . Если его выбрать равным нулю, то дисперсионное уравнение, определяющее показатель Флоке а , примет вид

1 1 (7)

Идея 2-го способа заключается в том, что сначала находится явное выражение для скорости движения жидкости о посредством решения задачи (1), (2).

.где 440 = (П)

(д)

Нужно показать, что это есть не что иное, как так называемое миттаг-леффлеровское разложение меро-морфной функции Чг'(^г) . Его можно рассматривать как разложение мероморфной функции на простейшие дроби [11].

Функция имеет полюсы вида у к . у к - кор-

ни модифицированной функции Бесселя первого рода первого порядка, т.е. 1х(ук) = 0. ук вьфажаются через хк по формуле ук = ±гхк. Вычеты для функции 1Р(<7) имеют вид ге.\СУ.Ихк) — 1.

С учетом этого составляется разложение функции 1 1 1 „ " 1

4(q) = I

к=\

= 2qZ-

; < г ^2.71 <х„ ^

Здесь Jl - функция Бесселя 1-го рода; xn - ее корни [8].

Затем производится подстановка (8) в (3). Получаем интегро-дифференциальное уравнение для неизвестной функции <р(1)

д-1хк д+1хк ) к=1д~+хк

Это разложение совпадает с выражением (11), что и доказывает равенство (10).

При выводе дисперсионного уравнения во 2-м способе получено явное выражение для скорости движения жидкости (8). С помощью этого представления и уравнения (4) выписывается выражение для

г «2 ?

'<=0=1 (— + 2 +

давления р \ р\

1

+ —

г

¡KCt-r^i^z

)dr.

2

1

r

Построение амплитудно-частотной характеристики А(у)

Пространство параметров задачи (1)-(3) разделяется на области устойчивости и неустойчивости (параметрического резонанса). Переход из устойчивой области в неустойчивую сопровождается переходом показателя Флоке с из левой полуплоскости в правую. При этом выход показателя через точки

¡у\ — + к ] называют основным резонансом, а через V 2

остальные точки мнимой оси - комбинационным.

Значения параметров, при которых задача (1)-(3) имеет показатель Флоке на мнимой оси, составляют нейтральные поверхности (или кривые). Чтобы их построить, необходимо решить комплексное диспер-

IV

сионное уравнение (7). В случае <т = 0, <т = — оно

допускает упрощение.

При изменении параметров показатель Флоке может пройти через мнимую ось через нуль (монотонная

IV

неустойчивость), точку — (удвоение периода) либо

через точку мнимой оси , % > 0 «одновременно» проходит пара комплексно-сопряженных показателей Флоке (колебательная неустойчивость).

Для построения амплитудно-частотной характеристики А(у) были рассмотрены упрощения общего

уравнения (7), возникающие при сг = 0 и а = /' .

1. При <т = 0 имеет место соотношение Мп = М_п , где черта сверху означает знак комплексного сопряжения, и уравнение (7) принимает вид

Re-

1

Мп

М1 -

iy

во М_„ =М„_1

iy

ется в форме М0 - Z = —

М0 -Z

Z =

М1 --

1

м2-...

нимает вид

M 0-

1

Мх -

= 1.

тральные кривые для которого известны [12]. С появлением вязкости чередование кривых остается, но их месторасположение на графике меняется - они смещаются вверх и влево.

2. При а = — для любого и имеет место равенст-

. Теперь уравнение (7) записыва-1 „ 1

Рис. 2. График нейтральных кривых А(у)

при V = 0,0001, 77 = 1, в случаях а = 0 а = —

2

Построение асимптотики при малых вязкостях

В данной части работы сделана попытка проверить полученные численные результаты путем явного нахождения первых членов асимптотического разложения нейтральных кривых при антипериодическом параметрическом резонансе вблизи значений параметра у = 2.

Асимптотическое разложение функции А V ^ при у —> 0 вытекает из асимптотических разложений членов интегро-дифференциального уравнения (9). Было выяснено, что требуемую асимптотику следует

искать в виде Ау }= А0 (А С + Л2 ( V—>0, т.е. в разложении должны присутствовать члены, степень вязкости которых кратна 1. Была

введена расстройка частоты д". а именно: у— 2 + 8. где 5 «1 и получены вьфажения для А0 С , и А, ^ соответственно.

Вьфажения для коэффициентов А0 и А1 най-

2

дены с точностью до членов порядка [12] (рис. 3).

Таким образом, характеристическое уравнение, отвечающее возникновению нейтрального колебания двойного периода, становится вещественным и при-

2 8 + — + 0$

лО-

>

8> 0

_2 ö-8— + o<k

8

¿<0

242л + 42л8 -

>

з4в 42

32 Я 8 ^

Решение обоих уравнений приведено на рис. 2. Из их анализа вытекает, что графики кривых, полученных при различных резонансах, чередуются, с приближением к оси ординат становятся все уже.

При нулевой вязкости интегро-дифференциальное уравнение (9) переходит в уравнение Матье, ней-

А О ■

- 242л - 42л8 —

>

Гз76 42 ^

, >

¿>0

¿2 +

л--л

32 8

v у

8< 0

1

2

2

2

1

045

< 0.25 0.2

°1 ■Aw + ;

т ц 1 8 2 V 2.1 2.2

Рис. 3. Сравнение между численным и асимптотическим решением в малой окрестности у = 2 уравнения (7) -

график нейтральной кривой А(у) при v = 0,00001, i] = \ . ++++ - левая ветка асимптотики; ооо - правая ветка асимптотики;----численное решение уравнения (7)

Задача, рассмотренная в статье, была поставлена В.И. Юдовичем и решалась под его руководством. Работа выполнена при частичной поддержке Гранта РФФИ 07-0100099-а.

Литература

1. Chen S.S., Wambsganss M.W., Jendrzejczyk J.A. Added mass and damping of a vibrating rod in confined viscous fluid // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1976. Vol. 43, № 2. P. 325-329.

Поступила в редакцию_

2. Микишев Г.Н., Столбецов В.И. Крутильные колебания эллипсоида вращения, погруженного в вязкую жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 2. С. 34-39.

3. Цывенкова О.А. Колебания шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. X междунар. конф. Ростов н/Д, 2006. Т. 1. С. 276-279.

4. Гуда С.А. Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с периодической по времени жесткостью. Ростов н/Д, 2007. Деп. ВИНИТИ. № 508-В2007 от 08.05.2007.

5. Юдович В.И. Колебания твердого шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы и параметрический резонанс. Ростов н/Д, 2006. Деп. ВИНИТИ. № 1482-В2006 от 29.11.2006.

6. Гуда С.А. Полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости. Ростов н/Д, 2007. Деп. ВИНИТИ. № 738-В2007 от 17.07.2007.

7. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., 1965. 521 с.

8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., 1963. 358 с.

9. Зеньковская С.М., Юдович В.И. Метод интегро-дифференциальных уравнений и цепных дробей в задаче о параметрическом возбуждении волн // ЖВМиМФ. 2004. № 4. С. 731-745.

11. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., 1967. Т. 2. 624с.

10. Мешалкин Л.Д., Синай А.Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой жидкости // ПМШ. 1961. Т. 25, вып. 6. С. 1140-1143.

12. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика. М., 1988. 215 с.

24 сентября 2008 г.