Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мёртвом времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Управление, вычислительная техника и информатика № 2 (27)

УДК 519.21

А.М. Горцев, А.А. Калягин, Л. А. Нежельская

СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИНТЕРВАЛОВ ОБОБЩЕННОГО ПОЛУСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ ПРИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕМСЯ МЁРТВОМ ВРЕМЕНИ

Изучается обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок в цифровых сетях интегрального обслуживания. Поток функционирует в условиях непродлевающегося мертвого времени. Приводятся явные выражения плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий наблюдаемого потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов, учитывающие эффект непродлевающегося мертвого времени. Формулируются условия рекуррентности наблюдаемого потока событий.

Ключевые слова: обобщенный полусинхронный поток событий; непродлевающееся мертвое время; плотность вероятностей; совместная плотность вероятностей; рекуррентность потока событий.

В настоящей статье проводится дальнейшее исследование обобщенного полусинхронного потока событий, функционирующего в условиях непродлевающегося мёртвого времени, начатое в работах [1-5].

Обобщенный полусинхронный поток событий (далее поток) относится к классу дважды стохастических потоков и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок, функционирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО) [6]. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще не известны, либо (что ещё более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [7]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [8].

Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов [9], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мёртвое). В качестве примера приведем CSMA/CD - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мёртвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.

Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) параметров потока в первую очередь необходимо знание вероятностных свойств потока. В настоящей работе находятся явные виды плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов, учитывающие эффект непродлевающегося мертвого времени.

1. Постановка задачи

Рассматривается обобщенный полусинхронный поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс X(t) с двумя состояниями и (А4 > ^2). В течение временного интервала, когда X(t) = Xi, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен только в момент наступления события, при этом переход осуществляется с вероятностью p (0 < p < 1); с вероятностью 1 - p процесс X(t) остается в первом состоянии. Тогда длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения /1(т) = 1 - е-^. Переход из второго состояния процесса X(t) в первое состояние может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону F2 (т) = 1 - е-ат. При переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. При этом блочная матрица инфини-тезимальных коэффициентов примет вид

N А||.

Элементами матрицы D\ являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположенным знаком.

В сделанных предпосылках X(t) - скрытый марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности Т (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени Т и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса X(t); дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса X(t) из второго состояния в первое, помечены буквой 5; штриховка - периоды мертвого времени длительности Т; tb t2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.

-\ 0 (1 - p)A,1 p^1

(1 -б) а -(Х2 +а) ба ^2

V

V

Процесс X(t)

-0—0 о-чр—о-

Обобщенный полусинхронный поток

Л

T T T

Схема создания непродлевающегося мертвого времени

-О

t3 t4

Наблюдаемый поток событий

... t

1

а

а

а

2

б

б

T

T

t

t

Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий

Подчеркнем, что если 5 = 0, то имеет место обычный полусинхнонный поток событий [10]. Отметим также, что в соответствии с классификацией MAP-потоков событий, приведенной в [11], обобщенный полусинхронный поток относится к классу MAP-потоков событий второго порядка.

Заметим, что в определении обобщенного полусинхронного потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса X(t) наступает дополнительное событие потока при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое. Данное обстоятельство при последующем выводе плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов является несущественным, так как наступление дополнительного события и переход процесса X(t) из второго состояния в первое происходят мгновенно. В реальных ситуациях возможны два варианта, связанных с наступлением события и переходом процесса X(t) из второго состояния в первое: 1) первично наступление события во втором состоянии процесса X(t), затем его переход из второго состояния в первое; 2) первичен переход процесса X(t) из второго состояния в первое, затем наступление события в первом состоянии. В силу этого при получении численных результатов путем имитационного моделирования наблюдаемого потока необходимо учитывать реальную ситуацию.

Процесс X(t) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только моменты наступления событий ti, t2,... наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий. В силу предпосылок последовательность моментов наступления событий t1, t2,... tk,... образует вложенную цепь Маркова, т.е. наблюдаемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента tk (момента наступления события), к = 1,2,. . Обозначим тк = tk+1 - tk , k = 1,2,., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности k-го интервала pT (тк) = pT (т), т > 0, для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент tk без потери общности можно положить равным нулю, или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Пусть теперь (tk, tk+1), (tk+1, tk+2) - два смежных интервала с соответствующими значениями длительностей ^ = tk+1 - tk , т^^ tk+2 - tk+1; их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить k = 1 и рассматривать соседние интервалы (t1, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей: т1 = t2 - t1, т2= t3 - t2; т1 > 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 - моменту t2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть pT (т1, т2), т1 > 0, т2 > 0.

Задача заключается в нахождении явного вида pT (т) и явного вида pT (т1, т2), а также в установлении условий рекуррентности наблюдаемого потока событий и при T = 0 условий рекуррентности обобщенного полусинхронного потока событий.

2. Вывод плотности вероятностей pT (т)

Рассмотрим интервал времени (0, т) между соседними событиями в наблюдаемом потоке. С другой стороны, значение длительности этого интервала есть т = T + t, где t - значение длительности интервала между моментом окончания мертвого времени и следующим событием наблюдаемого потока (t > 0). Пусть pjk(t) - условная вероятность того, что на интервале (0, t) нет событий наблюдаемого потока и X(t) = Xk при условии, что в момент t = 0 имеет место X(0) = Xj , j, k = 1,2. Отметим, что переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен только при наступлении события наблюдаемого потока, тогда p12(t) = 0, t > 0. Аналогично обозначим pjk (t) - условная плотность вероятностей значений длительности интервала (0, t) при условии, что X(0) = Xj , X(t) = Xk , j,k = 1,2. Введем переходную вероятность qij(T) - вероятность того, что за мертвое время длительности T процесс X(t) перейдет из состояния i (момент времени т = 0) в состояние j (момент времени т = T), i, j = 1,2, и веро-

ятность лг-(0|7) - условная (финальная) вероятность того, что процесс Цт) в момент времени т = 0 находится в состоянии / (/ = 1, 2) при условии, что в этот момент времени наступило событие наблюдаемого потока и наступило мертвое время длительности Т. Тогда искомую плотность вероятностей рТ (т) можно записать в виде

"0, 0 <т<Т,

Рт (т) = <

2 2 2 (1)

2*(01Т)2 4у(Т)2 Рк(т-Т), т>Т. 1 '

г=1 у=1 к=1

Найдем явные выражения для рук (т-Т), 4у(Т), лг(0|Т), I, у, к = 1,2.

В соответствии с определением обобщенного полусинхронного потока введем вероятность р11(^)Х1А^(1 - р) + о(Д() - совместная вероятность того, что без наступления событий наблюдаемого потока процесс Ц0 перешел на интервале (0, 0, ^ = т - Т, из первого состояния в первое и на полуинтервале [?, ^+Д(), где А( - здесь и далее достаточно малая величина, произошло событие пуассоновско-го потока интенсивности Х1 и процесс Х(0 остался в первом состоянии. Аналогичные совместные вероятности для различных у и к (у,к = 1,2) примут вид

р^О^Агр + о(А0; р^О^А/1^ - р) + о(А0; р21(0кАгр + о(А0;

Р22(0^2Д/1 + о(А0; Р22(0аА^5 + о(А^).

Соответствующие введенным совместным вероятностям плотности вероятностей запишутся в

виде

Рп(() = (1 - Р)к Рп(* ); р12^) = Р\Рп(( ); р 21^) = 5ар22(^); р ) = (1 - р)к р2^);

р22 (г) = к2Р22 (0 ; р22 (*) = Рк1Р21 (() , ' ^ 0.

Тогда условные плотности вероятностей рук (^) того, что без наступления событий наблюдаемого потока на интервале (0, 0 и наступления события наблюдаемого потока в момент времени ^ процесс Х(0 перейдет на этом интервале из состояния у в состояние к (у,к = 1,2), запишутся для разных у и к в виде

Р11 (() = (1 - Р)к Р11 (I); Р12 (*) = Р^хРп ((); Р21 (') = §ар22 (Г) + (1 - р)кР21 (*); р22^) = к2Р22(() + Р\Р21({X ' > 0.

Для вероятностейрук(() справедлива следующая система дифференциальных уравнений:

Рп(^) = ~\Рп(*); Ри(') = -(а + ^2)Р22(^); р2^) = -\Р21(1) + (1 -8)ар22(^), ' > 0,

с граничными условиями рц(0) = р22(0) = 1; р21(0) = 0, решая которые находим

рп«) = ^;Р22(0 = е-^;Р21«) = к (1~5)а Ге-(^ ^], Г > 0, (3)

Л1 - к 2 - а-1

где - Х2 - а Ф 0.

Подставляя (3) в (2), получаем явный вид плотностей вероятностей рук(^),у,к = 1,2.

Для вероятностей Чу(т), 0 < т < Т, справедливы следующие системы дифференциальных уравнений:

Чп(т) = -Ркдп(т) + ач12(т); 4/2 (т) = Ркдп(т) - ач12 ( т); ч21 (т) = -ркЧ21 (т) + аЧ22 (т); Ч/22 (т) = рк1Ч21 (Т) - аЧ22 (т),

с граничными условиями 4и(0) = Ч22(0) = 1, Ч12(0) = 421(0) = 0, решая которые, находим (для т = Т):

Чп(т ) = * +^2е"( а+рк1)Т; Ч12(Т) = *2 -*2^(а+Л)Т;

Ч21(Т) = *1 -*-(а+Л)Т; Ч22 (Т) = *2 + *-(а+рк1)Т, (4)

Ч11 (Т) + Ч12 (Т ) = 1, Ч21 (Т) + 422 (Т ) = 1; *1 = а / (а + рк ), *2 = Рк / (а + рк).

(2)

Перейдем к нахождению вероятностей п/(0|Т), / =1, 2. Так как моменты наступления событий наблюдаемого потока образуют вложенную цепь Маркова, то для вероятностей лг(0|Т) справедливы следующие уравнения:

*1(0 | Т) = *1 (0 | Т)*п + *2(0 | Т)*21; *2(0 | Т) = *1(0 | Т)*12 + *2(0 | Т)*22,

*1 (01Т) + *2(01Т) = 1,

(5)

где Пу - переходная вероятность того, что за время, которое пройдет от момента времени т = 0 до наступления следующего события наблюдаемого потока, процесс к(т) перейдет из /-го состояния в у-е (У = 1,2).

Введем в рассмотрение вероятность р/у - переходная вероятность того, что за время, которое

пройдет от момента времени ^ = 0 (момента окончания мертвого времени) до момента наступления

следующего события наблюдаемого потока, процесс к(0 перейдет из /-го состояния в у-е (/,у = 1,2). Так как ^ - произвольный момент времени, то вероятности переходар/у определятся в виде

да да да да

Р11 = I Рп({ № = (1 - р)к I рц(г )Л, Р12 = I р12^ )Л = р—1 рп(( )Л,

Р21 = IР 21 ( *)& = (1 - р)к IР21 ( 0^ + 5а IР22 ( ОЛ,

(6)

Р22 = I Р22 ( 0^ = рк1 I Р21 ( + к2 I Р22 ( №,

где рук ( 0 определены в (2),рук(0 - в (3). Подставляя (3) в (6), находим

а(1 - р + р5) к2 + ра(1 -5)

Р11 =1- Р, Р12 = Р, Р21 =-----------:------, Р22 = —---------------:-;

а + к2 а + к2 (7)

Р11 + Р12 = I Р21 + Р22 =1.

В силу марковости процесса Ц 0 полученные переходные вероятности 4/у(Т) и р/у , /,у = 1,2, позволяют выписать выражения для переходных вероятностей Пу:

*11 = 411(Т)Р11 + 412(т)Р21, *12 = 411(Т)Р12 + 412(т)Р22,

*21 = 421(Т)р11 + 422 (Т)р21, *22 = 421(Т)р12 + 422(Т)р22.

Подставляя в (8) сначала (4), затем (7), получаем

*11 =1 - Р -

а + к

-[к2 - р(к2 +5а)]

1 - е

-(а+рк )Т

*12 = Р + Т"[к2 - Р(к2 + 5а)]

а + к2

1 - е

-(а+рк1)Т

*21 =

*22 =

а(1 - р + р5) *1

а + к2

+-1—[к2 - р(к2 +5а)] 1 - е-(а+рк1)Т

а + к

'2 ^ ^ Л2 к2 + ра(1 - 5) *1

а + к2 а + к2

[к2 - р(к2 +5а)]

1 - е

-(а+р—1)Т

Наконец, подставляя (9) в (5), находим

*1(01Т) =

*2(0 |Т) =

а(1 - р + р5) + *1 [к2 - р(к2 + 5а) 1 - е-(а+Рк1)Т

а + р(к2 + 5а) + [к2 - р(к2 + 5а)] р(а + к2) + *2 [к2 -р(к2 +5а)] 1 -е-(а+Рк1)Т" 1 -е-(а+Рк1)Т"

а + р(к2 + 5а) + [к2 - р(к2 + 5а)] ^ -е-(а+Рк1)Т

(8)

(9)

(10)

где Л1 , п2 определены в (4).

Подставляя в (1) сначала (2), затем (3), (4) и (10), проделывая при этом достаточно трудоемкие преобразования и учитывая, что г = т - Т, получаем

[0, 0 <х<Т,

Рт (Т) “ [у(Т) V-"1(Х-Т} + [1 - у(Т)](а + X2)е-(а+"2)(Х-Т\ X > Т, (11)

У (Т) = 1 - *2 (Т) Х -5а , *2 (Т) = *2 - ["2 - *2(0 | Т )]е-( “+Р"1)Т , ; - X 2 - а * 0,

;1 ; 2 а

где п2 определена в (4), п2(0|Т) - в (10).

В частности, положив в (11) Т =0, получаем формулу для рТ (т), приведенную в [3].

3. Вывод совместной плотности вероятностей рт(ті, т2)

Пусть т = Т + г(1), т2 = Т + г(2) - значения длительностей двух смежных интервалов между моментами наступления последовательных событий наблюдаемого потока. т = 0 - момент наступления первого события, т2 = 0 - момент наступления второго события. В силу того что последовательность моментов наступления событий наблюдаемого потока образует вложенную цепь Маркова, в обозначениях раздела 2 совместная плотность вероятностей рТ (т^ т2) примет вид

Рт (т) = <

0, 0 <т <Т, 0 <т2 <Т,

I (01 т) | ду.(Т) | Р]к(Ті -т)| дь(Т) | рт(Т2 -Т),

і =і , .

(12)

г=1

Ті > T, І2 > T,

к=1

,5=1

п=1

где р]к (хх - Т) = р]к (г(1)), рт (х2 - Т) = рп (г(2)) определены в (2), при этом в выражениях для р)1] (г), I,] = 1, 2, нужно произвести замену г на г(1) либо на г(2). Тогда, подставляя в (12) сначала

р]к (г(1)), рт (^;), затем р;к(г(1)), рет(г(/)), определенные в (3) для г = г(1) и г = г(/), затем ду(Т), дь(Т),

определенные в (4), и, наконец, лг(0|Т), \ =1, 2, определенные в (10), и проделывая достаточно трудоемкие преобразования, находим

рт(Х1,Х2) = 0; 0<х1 <Т, 0<Х2 <Т,

Д2)ї

/2)

= /1)

- /2)

Рт (Т1, Т2) = Рт (Т1)Рт (Т2) + е (р+РМту(Т)[1 — у(Т)]2 Р(Х2 +а5) X

р + А2

^е^ Т1—т} — (р + Х 2)е—(р+х2)( Т1—т) ІГх^ Т2—т} — (р + Х2)е—(р+х2* Т2—т)'

(13)

Т1 > т, Т2 > т,

где у(7), Рт (тк) определены в (11) для т = тк, к = 1, 2.

Из (13) следует, что обобщенный полусинхронный поток, функционирующий в условиях мертвого времени, в общем случае является коррелированным потоком. Положив в (13) т = 0, получаем формулу для Р(т1, т2), приведенную в [3].

Нетрудно получить вероятностные характеристики наблюдаемого потока, такие как математическое ожидание длительности интервала между соседними событиями, дисперсию и ковариацию:

у(т) , 1—у(т) п = ± 1 г - п2

ит ,2

м Т= т+-

Х1

X-

1

Х1(р + X 2)

[-(X — Х2 —р5)л2(т)] ,

— Х — р)2 Х2 — (Х2 +р5)Р е—(р+Р^1)т

СОУ(х1, х2) = У(Т ) [1 -У (Т )](Х1 -Х 2 -а)

Х2 (а + Х2 )3

В рассматриваемом потоке присутствуют события трех типов: 1) события пуассоновского потока интенсивности Х1; 2) события пуассоновского потока интенсивности Х2; 3) дополнительные события. Типы событий являются неразличимыми. Введем вероятность: д[г)(Т)- стационарная вероят-

ность того, что наступившее событие есть событие пуассоновского потока интенсивности Х7 и процесс Х(г) перешел при этом из первого состояния в 7-е (7 =1, 2); „2(Т) - стационарная вероятность того, что наступившее событие есть событие пуассоновского потока интенсивности Х2; „3(Т) - стационарная вероятность того, что наступившее событие есть дополнительное событие. Тогда, используя вышеприведенные результаты, нетрудно получить явные выражения для введенных вероятностей:

^ (Т) = (1 - р)* а + ;2 + р;1(1 - 5) - ( ;2 - раде-(а+^

+ ;2-[2 - р(;2 +а5)]е-(а+рХ1)Т ’

а

Л(2)(Т) а + ; + рХ1(1 -5)-(X -рХ15)е-(а+р;1)Т „1 (Т ) = р*г

Ч2(Т) =

а+; 2 -[; 2 - р(; 2 +а5)]е-(а+рХ1)Т ’

рХ2 { +[а-Х1(1 - р)]е-(а+рк1)Т |

(а + р'к1)|а + Х2 -[Х2 -р(Х2 + а5)]е-(а+рХ1)Т|

= *1 р;15 + р8(а-;1 + р;1)е-( ^ . (14)

3 1 а + Х2 -[2- р(Х2 +а5)]е“(а+Л)Т

Тогда стационарная вероятность д1(Т) того, что наступившее событие есть событие пуассоновского потока интенсивности Х1, запишется в виде

„1 (Т) = „|1)(Т) + „12) (Т) = *1 а + Х2 + р;1(1 - ■5) -(Х2 - р;5)е-<^Т (15)

а + X2 -[ -р(Х2 + а5)]е (а+р 1)

Отметим, что *1 (01Т) = „^(Т) + „3(Т), *2(0| Т) = „12) (Т) + „2(Т). Полагая в (14), (15) величину

Т = 0, получаем формулы для „1 , „2 , „3 , приведенные в [3].

4. Условия рекуррентности наблюдаемого потока событий

Рассмотрим частные случаи, при которых обощенный полусинхронный поток, функционирующий в условиях мертвого времени, становится рекуррентным потоком. Используя выражения (11) для у(Т), п2(Т) и выражение (10) для л1(0|?^, п2(0|Т), можно показать, что

У(Т)[1 -У(Т)]= ра(;1 -Х2 -а5)[Х1(1 - р + 5р) -Х2 -а](арХ2) х

(а + рХ1)2(Х1 -Х2 - а)2 {а + Я2 -[2 - р(Х2 +а5)]e■)а+^ }2

х{Х1(а + Х2) -[2А,1(а^ 2) - (а + рХ1)(Х1 +Х2 +а)]е _)а+])Т + (16)

+[[ + *, 2) - (а + рХ1)(Х1(1 - р) + Х2)]е М 1)Т }.

Предварительно отметим, что выражение в фигурных скобках формулы (16), обозначим его ДТ), после преобразования примет вид

f (Т) = Х1(а + Х2) [1 - еЧа+Л)Т ]2 +

+(а + рХ1)[(1 - р) + X2]е-(а+рХ1)Т [1 - е-(а+рХ1)Т ] + (а + рХ1 )2е-(а+Л)Т,

так что для любых Т > 0 имеем ДТ) > 0.

Из (16) вытекает:

1) если Х1 - Х2 - а5 = 0, то совместная плотность (13) факторизуется: рТ (т1,т2) = рТ (т1)рТ (т2),

т1 > Т, т2 > Т; при этом из (11) следует у(Т) = 1, и тогда рТ (хк) = X1e_Xl)Хк-Т), тк > Т, к = 1, 2, т.е.

рт (х) ^е'"1^\ т > Т;

2) если А^1 - р + р5) - А2 - а = 0, то совместная плотность (13) факторизуется; при этом из (11)

следует у(7) = 0, и тогда рт (тк) = (а + А 2)е-(а+А2)( Тк -т), тк > Т, к = 1, 2, т.е.

рт (т) = (а + А 2)е-(а+х2)( т-т), х > т.

Из (13) следует третье условие факторизации совместной плотности вероятностей рт (т1,т2): А2 - р(к2 + а5) = 0. Тогда рт (т) определяется формулой (11), в которой

л2(0| Т) = р, %2(Г) = р

А,

а + рА,

1 --

А,

а + рА,

у(Т) = 1 -

а + А,

А, - (А, -а- рА,)е-(а+рА,)Т

А, (1 - р) - а5

,-(а+рА,)Т

а(! -р + Ьр) л

а + А 2 = —— ------—, р р 1.

(1 - р)(Ах -А2 - а) ’ ^ 1 - р

Для р = 1 из третьего условия факторизации вытекает, что 5 = 0. Тогда рт (т) определяется формулой (11), в которой

я2(0| т) = 1; л2(т) = л2 +л1е-(а+А1)т,

у (Т) =! - А А 2

А, А2

^2 + Л,е

-(а+А1)T

а

А,

Л, =-

а + А,

Л о —

2

а + А,

Поскольку последовательность моментов наступления событий наблюдаемого потока 72,...,

4,... есть вложенная цепь Маркова, то при выполнении одного из вышеприведенных условий факторизации (либо их комбинации) нетрудно показать, что факторизуется и совместная плотность вероятностей рТ (т,,..., тк) для любого к. Последнее означает, что для этих ситуаций наблюдаемый поток является рекуррентным потоком.

Отметим, что условия факторизации для случая Т = 0 [3] и Т Ф 0 идентичны.

Если связать изложенные здесь результаты для рекуррентных обобщенных полусинхронных потоков событий, функционирующих в условиях мертвого времени, с результатами для апостериорных вероятностей состояний процесса А(ґ), приведенных в [2], то получим точно такие же выводы относительно близости наблюдаемого рекуррентного потока к пуассоновскому потоку, что и в [3].

5. Особый случай

Рассмотрим особый случай, когда в выражении (11) для у(Т) реализуется деление на ноль: (А, - А2 - а = 0). Можно показать (проделывая выкладки, аналогичные выкладкам в разделах 2 и 3), что

Г0; 0<т<Т,

рт (т) = -

Г[- а(1 -5)л2(Т)(1 -АДт-Т))]е“А1(т_Т ] т> Т; рт (Т1, т2 )= 0, 0 < І! < Т, 0 < І2 < Т,

рт (т, т2) = рт (т)рт (т2 ) + е-(а+рХі)Т А, [а(1 -5)]2 [а(1 - р + р5) - Ах (1 - р)] х

л2 + (р -Л2)е-(а+рА1)Т

А, + [а(1 - р + р5) - Ах(1 - р) ]е-( а+рА,)Т

[1 -А1(т1 -Т)][1 -АХ(Т2 -Т)]

хе

-А,( т,+^2-2Т)

т, > Т, і = 1,2;

л2(Т) = л2 -[л2 -л2(0|Т)]е (а+рА,)Т, л2 = рА, /(а + рА,),

Л2(0|Т) =

рА, - л2 [а(1 - р + р5) - А, (1 - р)]

1 - е

-(а+рА, )Т

А, + [а(1 - р + р5) - А, (1 - р)]е

-(а+рА,)Т

(17)

(18)

В (18) рт (Т1), рт (т2) определены формулой (17) для т = т и т = т2. В частности, положив в (18) т = 0, получаем для этого особого случая формулы рт (т), рт (ть т2), приведенные в [3].

Из (18) следует, что при 5 = 1 (первое условие факторизации) наблюдаемый поток становится рекуррентным. Тогда рт (ть т2) = рт (тОрт (т2), т > т, т2 > т, и рт (т;) = А^-^т-т}, тг > т, /' = 1, 2, т.е.

рт (т) = А1е-А1(т-т >, т > т.

Для второго условия факторизации ^(1 - р + р5) - ^(1 - р) = 0, р Ф 1, вытекающего из (18), плотность вероятностей рт (т) определяется формулой (17), в которой Л2(0|т) = р.

Для р = 1 из второго условия факторизации вытекает, что 5 = 0. Тогда рт (т) определяется формулой (17), в которой 5 = 0, я2(т) = А1 +ае-(а+А1)т /(а + А2).

Отметим, что условия факторизации для ситуации т = 0 [3] и ситуации т Ф 0 идентичны.

Связав изложенные в особом случае результаты для рекуррентных обобщенных полусинхрон-ных потоков событий, функционирующих в условиях мертвого времени, с результатами для апостериорных вероятностей состояний процесса Ц0, приведенных в [2] для особого случая, получим точно такие же выводы относительно близости наблюдаемого рекуррентного потока к пуассоновскому потоку, что и в [3].

Заключение

Приведенные результаты делают возможным решение задачи оценки неизвестных параметров, задающих обобщенный полусинхронный поток событий, функционирующий в условиях мертвого времени, по наблюдениям за моментами наступления событий. Рабочими методами оценки параметров при этом могут быть либо метод максимального правдоподобия, либо метод моментов [12]. Полученные явные формулы для плотностей вероятностей рт (т) и рт (ть т2) позволяют выписать в явном виде либо функцию правдоподобия, либо уравнения моментов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного

потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66-81.

2. Горцев А.М., Калягин А.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий в

условиях непродлевающегося мертвого времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 4(13). С. 50-60.

3. Горцев А.М., Калягин А.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полу-

синхронного потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 2(19). С. 80-87.

4. Калягин А.А. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями обобщенного полусинхронного потока при непродлевающемся мертвом времени // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Девятой Рос. конф. с междунар. участием. Томск : Изд-во НТЛ, 2012. С. 89.

5. Горцев А.М., Калягин А.А. Условия рекуррентности обобщенного полусинхронного потока событий // Новые

информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Девятой Рос. конф. с между-нар. участием. Томск : Изд-во НТЛ, 2012. С. 84.

6. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск : Изд-во

БГУ, 2000. С. 175.

7. Bushlanov I.V., Gortsev A.M. Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events //

Automation and Remote Control. V. 65. Is. 9. 2004. P. 1389-1399.

8. Vasil’eva L.A., Gortsev A.M. Parameter estimation of a doubly stochastic flow of events under incomplete observability // Automation and Remote Control. 2003. V. 64. Is. 12. P. 1890-1898.

9. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом экс-

перименте. Минск : Университетское, 1988. 254 с.

Ш. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous doublestochastic stream of events // Measurement Techniques. 2GG3. V. 4б, No. б. P. 5Зб-545.

11. Горцев A.M., Нежельская Л-A. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2G11. № 1(14). С. 13-21.

12. Шуленин В.П. Математическая статистика. Томск: Изд-во НТЛ, 2G12. Ч. 1. С. 54G.

Горцев Александр Михайлович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: [email protected] Калягин Алексей Андреевич. E-mall: [email protected]

Нежельская Людмила Алексеевна, канд. техн. наук, доцент. E-mail: [email protected]

Томский государственный университет Поступила в редакцию 5 февраля 2G14 г.

Gortsev Alexander M., Kalyagln Aleksey A., Nezhelskaya Lyudmlla A. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation).

The joint probability density of duration of the intervals in a generalized semisynchronous flow of events with unprolonging dead time.

Keywords: generalized semisynchronous flow of events; probability density; joint probability density; recurrence of the event flow; unprolonging dead time.

Generalized semisynchronous stream of events which intensity is a piecewise constant stochastic process X(t) with two values X1 and X2 (X1 > X2) is considered. During the time interval when X(t) = X, , Poisson flow of events takes place with the intensity X, , і = 1,2. Transition from the first state of the process X(t) into the second is possible only at the moment of event occurrence, thus, the transition is carried out with probability p ф < p < 1); with probability 1 - p process X(t) remains in the first condition. In this case

the duration of process stay X(t) in the first state is a random variable with exponential distribution function F1 (т) = 1 - e рХіт . Transition from the second state of process into the first state can be carried out at any moment of time. Thus, duration of process stay X(t) in the second state is distributed according exponential law: F, (т) = 1 - e ат . By transition X(t) from the second state into the first one an additional event in the first state is initiated with probability 5 ф < 5 < 1).

The flow is considered in the condition of constant dead time. The dead time period of the fixed duration Т begins after every registered event at time t, . During this period no other events are observed. When the dead time period is over, the first coming event causes the next Т -interval of dead time and so on (unprolonging dead time).

We solve the problem of finding the explicit form of probability density pT (т) of the interval between two events and the joint probability density рт (т1, т2) of the length of two adjacent intervals with unprolonging dead time:

10, G <т< T,

РТ (т) = lj(T)А1є——і(т—т) + [1 - Y(T)] (tt + А2)e—(tt+—2)(т—T), т > T,

Y(T) = 1 - л2(Т) —------------2-, л2(Т) = л2 -[л2 — л2 (G | Т)](tt+Р—1')T, А1 - А2 -tt Ф G.

А1 — — 2 — tt-

Рт (ті , т,) = G; G < т < Т, G < т, < Т,

Рт (т, т2) = Рт (ті )Рт (ті ) + e—(tt+р— )т y(T) [1 - Y(Т)] —2 Р(—А +tt5) x

tt + А2

x Ца1e—Аl(т1 —т) - (tt + А2)e—(tt+—2)(т1 —т) ][А1e—А1(т2 —т) - (tt + А2)e—(tt+—2)(т2 —т) ], т1 > Т, т2 > Т,

The conditions for the recurrence of generalized semisynchronous flow of events with unprolonging dead time are given.

REFERENCES

1. Gortsev A.M., Kalyagin A.A., Nezhelskaya L.A. Optimum estimation of states in generalized semi-synchronous flow of events.

Vestnlk Tomskogo gosudarstvennogo umverstieta. Upravleme, vychlslltel'naya tekhmka і mformatika - Tomsk State Unlverslty Journal of Control and Computer Sclence, 2G1G, no. 2(11), pp. бб-Sl. (In Russian).

2. Gortsev A.M., Kalyagin A.A. Optimum estimation of conditions of generalized semisynchronous stream of events in the condi-

tions of non-extended dead time. Vestmk Tomskogo gosudarstvennogo unlverslteta. Upravleme, vychlslltel'naya tekhmka і іп-formatlka - Tomsk State Unlverslty Journal of Control and Computer Sclence, 2G1G, no. 4(13), pp. 5G-6G. (In Russian).

3. Gortsev A.M., Kalyagin A.A. The joint probability density of the duration of the intervals of a generalized semi-synchronous

stream. Vestnlk Tomskogo gosudarstvennogo unlverslteta. Upravleme, vychlslltel'naya tekhmka і mformatika - Tomsk State Unl-verslty Journal of Control and Computer Sclence, 2G12, no. 2(19), pp. SG-S7. (In Russian).

4. Kalyagin A.A. [The probability density of duration of the intervals between neighboring events a generalized semisynchronous

flow with unprolonging dead time]. Novye mformatslonnye tekhnologn v lssledovann slozhnykh struktur : materlaly Devyatoy

Rossiyskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem [New information technologies in research of complicated structures. Proc. of the 9th Russian conference with international participation]. Tomsk: NTL Publ., 2012, p. 89. (In Russian).

5. Gortsev A.M., Kalyagin A.A. [The recurrence conditions of a generalized semisynchronous flow of events]. Novye infor-matsionnye tekhnologii v issledovanii slozhnykh struktur : materialy Devyatoy Rossiyskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchas-tiem [New information technologies in research of complicated structures. Proc. of the 9th Russian conference with international participation]. Tomsk: NTL Publ., 2012, p. 84. (In Russian).

6. Dudin A.N., Klimenok V.I. Sistemy massovogo obsluzhivaniya s korrelirovannymi potokami [Queueing systems with correlated

flows]. Minsk: BSU Publ., 2000. 175 p.

7. Bushlanov I.V., Gortsev A.M. Optimal estimation of the states of a synchronous double stochastic flow of events. Automation and

Remote Control, 2004, vol. 65, pp. 1389-1399. DOI: 10.1023/B:AURC.0000041418.09187.63

8. Vasileva L.A., Gortsev A.M. Parameter estimation of a doubly stochastic flow of events under incomplete observability. Automa-

tion and Remote Control, 2003, vol. 64, issue 12, pp. 1890-1898.

9. Apanasovich V.V., Kolyada A.A., Chernyavsky A.F. Statisticheskiy analiz sluchaynykh potokov v fizicheskom eksperimente [Sta-

tistical analysis of stochastic flows in physical experiment]. Minsk: Universitetskoe Publ., 1988. 254 p.

10. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events. Measurement Techniques, 2003, vol. 46, no. 6, pp. 536-545. DOI: 10.1023/A:1025499509015

11. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. On relationship of MC- flows and MAP- flows of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2011, no. 1(14), pp. 13-21. (In Russian).

12. Shulenin V.P. Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Tomsk: NTL Publ., 2011. Pt. 1, 540 p.