CC BY
9
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2022, № 1 (65), с. 157-165
157
УДК 372.851
DOI 10.52452/18115942_2022_1_157
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ-БАКАЛАВРОВ НА ПРИМЕРЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
© 2022 г. М.В. Котельникова, А.В. Аистов
Котельникова Мария Владимировна, старший преподаватель кафедры теории и методики обучения математике Нижегородского института развития образования
[email protected] Аистов Андрей Валентинович, к.ф.-м.н.; доц.; доцент кафедры экономической теории и эконометрики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»
Статья поступина 6редакцию 29.06.2021 Статья придята к пубникации 20.01.2022
Приведена методика совершенствования содержания дисциплин математического цикла (линейной алгебры», математического анализа, теории вероятностей и математической статистики) на основании содержания программы «Эконометрика» для направления подготовки 38.03.01 «Экономика» ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Описанная методика может быть применена для любой дисциплины и включает в себя семь основных пунктов. В статье приведены результаты ее использования для «Линейной алгебры»: матрицы логических связей внутри дисциплины и междисциплинарная «Линейная алгебра» - «Эконометрика»; цепочки значимости элементов содержания; результат выделения общей (инвариантной) части программ нескольких выбранных вузов; выстроенная на основании проведенного анализа иерархия тем внутри дисциплины и их рейтинг; вариант перераспределения времени, отводимого на семинарские занятия и самостоятельную работу; примеры возможных тем для исследовательской и проектной деятельности. Часы учебных занятий предлагается перераспределить в зависимости от полученного в результате проведенного исследования рейтинга каждой темы. Для тем с большим рейтингом - выделить больше времени на семинарские занятия, с низким -на самостоятельную работу. По результатам применения методики отмечено улучшение качества освоения студентами материала математических дисциплин, необходимого для более полноценного изучения эконометрики, и, как следствие, для повышения уровня формирования профессиональной математической компетенции экономиста, что положительно влияет на их дальнейшую успешную профессиональную деятельность.
Кнючебые сноба: профессиональная математическая компетенция экономиста, матрица логических связей, цепочки значимости элементов содержания, инвариант, иерархия, рейтинг, эконометрика.
Введение
Современное информационное общество, в отличие от индустриального, представляет новые требования к выпускнику - будущему профессионалу. В первую очередь, это адаптивность в условиях быстро изменяющегося окружения, умение оперативно разрешать различные проблемные ситуации и находить нестандартные решения, обладание основными информационными навыками. Все это реализуется на базе знаний и умений, которыми должен обладать экономист-бакалавр [1].
В продолжение исследований, результаты которых приведены в предыдущих статьях [25], в данной статье на примере линейной алгебры описывается методика совершенствования содержания программ дисциплин математического цикла для экономистов-бакалавров, с учетом содержания дисциплины «Эконометрика».
Выбор этой дисциплины объясняется тем, что, по нашему мнению, она является одной из основных профессиональных дисциплин, наиболее широко использующих математические методы как в процессе ее изучения, так и в ходе реализации полученных знаний на практике после окончания вуза. Мы отдаем себе отчет в том, что и другие экономические дисциплины (не рассмотренные в рамках настоящей работы) используют математические методы. К последним в первую очередь относятся интегральное и дифференциальное исчисление, разностные и дифференциальные уравнения, поиск оптимальных решений при ограничениях, матричная алгебра, теория вероятностей. Заметим, что эти знания используются и в эконометрике, но именно эконометрика во многих университетах воспринимается студентами как более сложный предмет. Возможно, это объясняется тем, что основная масса преподавателей эконометрики
имеет математический склад ума, а преподавать ее приходится (в упомянутых выше вузах) в среде с преобладанием гуманитариев. В результате преподаватель и студенты «разговаривают на разных языках», если не прилагаются дополнительные усилия по совершенствованию преподавания дисциплин математического цикла. Также в пользу выбора в настоящей работе эконометрики как «целевой функции» говорит следующий факт. Начальный курс эконометрики обычно преподается после усвоения студентами экономической теории (микро- и макроэкономики), экономической статистики и некоторых профессиональных экономических дисциплин (поскольку построение эмпирических моделей опирается на знания экономики), но эконометрика все равно вспоминается как более сложный в изучении предмет многими выпускниками экономических вузов. Это происходит несмотря на то, что эконометрику «можно рассматривать как объединение ряда дисциплин -экономической теории (включая микро- и макроэкономику, социальную сферу), социально-экономической статистики и теории измерения общественных процессов, математической статистики и методов экономико-математического моделирования» [6]. Ориентация содержания математических дисциплин на содержание «Эконометрики» улучшит качество освоения последней, позволит решить или по крайней мере сгладить некоторые из перечисленных выше проблем, а также будет способствовать формированию общепрофессиональных и профессиональных компетенций, в их числе — профессиональной математической компетенции экономиста (ПМКЭ) [7].
Обзор литературы
Настоящая работа является продолжением исследований в области совершенствования образовательных программ, проведенных ранее В.М. Соколовым, Д.А. Лошкаревой, О.И. Вагановой, А.Ф. Ан [8-15].
Ранее в работах Д.А. Лошкаревой [13, 14] было проведено исследование совокупности методов компетентностно-ориентированного совершенствования дополнительной профессиональной образовательной программы «Переводчик в сфере профессиональной коммуникации».
В работах О.И. Вагановой [9, 10, 16] предложены варианты адаптации, совершенствования и демонстрации использования методов оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию в курсе математики полной средней школы. Был проведен структурно-логический анализ части содержания обучения,
включающего четыре функции, зафиксированные в учебниках математики, рекомендованных Минобразования РФ, и на этом основании построены структурно-логические схемы, представляющие структуру освоенного содержания обучения.
В работе А.Ф. Ан [8] был предложен системно-технологический подход к анализу и отбору учебного материала, содержание и уровни усвоения которого ориентированы на достижение профессиональной компетентности выпускника. Было представлено количественно обоснованное выделение элементов содержания курса физики на основе построения и анализа матриц логических связей и экспертных опросов преподавателей вузов, позволяющее конкретизировать цели обучения, объективировать процедуру отбора учебного материала по физике, наиболее значимого для успешного освоения профессионально ориентированных дисциплин и фундаментальной подготовки студентов. Также автор провел количественно обоснованное выделение учебных элементов математики, наиболее существенных для успешного усвоения содержания курса физики, позволяющее согласовать программы курсов физики и математики по тематике и последовательности изучения основных разделов.
Похожие исследования в области совершенствования содержания образования, межпредметных связей и компетентностного подхода, организации самостоятельной работы в обучении математике экономистов-бакалавров представлены в работах Н.Н. Бабиковой [17], Н.А. Бурмистровой [18], Н.В. Подошва [19].
Методология
Мы предлагаем проводить анализ содержания каждой дисциплины математического цикла с целью ее дальнейшего совершенствования по следующему плану.
1. Выбираем вуз, специальность для анализа. Для построения инварианта выбираем дополнительно несколько вузов и программ дисциплин той же специальности.
2. Составляем матрицу логических связей внутри каждой дисциплины и между дисциплинами выбранной специальности в вузах.
3. Составляем цепочки значимости элементов содержания между дисциплинами выбранной специальности в вузах.
4. Определяем инвариант для содержания каждой дисциплины математического цикла и эконометрики с помощью анализа программ нескольких вузов по данной специальности.
5. Строим иерархию и рейтинг тем по каждой дисциплине математического цикла на основании полученных данных.
МЛС «Линейная алгебра» - «Линейная алгебра» Табница 1
А в с Е Р в н 1 J к
1 1..1 1. 2 2.. 1 2..2 3 4. 1 4..2 5..1 5..2
2 1..1 1 1 1 0 1 1 0 0 0,625
3 1..2 1 1 0 1 1 0 0 0,571429
4 2..1 1 1 1 1 0 0 0,666667
5 2..2 0 0 0 0 0 0
б 3 1 1 1 0 0,75
7 4..1 1 1 0 0,666667
8 4..2 0 0 0
9 5..1 0 0
10 5..2
11 1 1 г 1 0,25 0,8 0,833333 0,285714 0
12
По горизонтал Табница 2 МЛС дисциплин «Линейная алгебра» - «Эконометрика». и - темы дисциплины «Линейная алгебра», по вертикали - «Эконометрика»
А В с в Е Б
1 1 2 3 4
2 1..1 1 1 1 1
3 1..2 1 1 1 1 1
4 2..1 1 0 1 о 0,5
5 2..2 0 0 0 о о
б 3 0 0 0 0 0
7 4..1 0 0 0 0 0
й 4..2 0 0 0 0 0
9 5..1 0 0 0 0 0
10 5..2 0 0 0 0 0
11 0,333333 0,222222 0,333333 0,222222
17
6. Предполагаем перераспределения времени, отводимого на семинарские занятия каждой дисциплины математического цикла с учетом полученного рейтинга тем.
7. Предлагаем темы исследовательских работ.
Результаты
Авторами настоящей работы было проведено исследование для содержания каждой из программ: «Линейная алгебра», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика» («ТВ и МС»), учитывая содержание дисциплины «Эконометрика» по направлению 38.03.01 «Экономика» для бакалавров ННГУ им. Н.И. Лобачевского.
Для каждой дисциплины математического цикла нами построены матрицы логических связей (МЛС) внутри дисциплины и междисциплинарные матрицы, содержащие также связи с «Эконометрикой». Методика построения была описана в предыдущих работах [2, 5].
В рамках данной статьи мы приводим иллюстрацию использования предложенной нами методики на примере дисциплины «Линейная
алгебра». В табл. 1 приведен пример МЛС дисциплины «Линейная алгебра» [20]. Единица в клетке означает необходимость изучения темы соответствующей строки для успешного освоения темы столбца. Перечень тем дисциплины (кратко): 1.1 - матрицы и определители; 1.2 -обратная матрица, ранг матрицы; 2.1 - системы линейных уравнений, балансовый анализ; 2.2 -теорема Кронекера-Капелли, схема решения СЛУ; 3 - векторная алгебра; 4.1 - линейные пространства и линейные операторы; 4.2 - базис векторного пространства; 5.1 - элементы аналитической геометрии; 5.2 - кривые второго порядка и их канонические уравнения. Некоторые темы разбиты на подтемы [21].
Величина в каждой строке столбца К — частота использования (равная доле единиц в строке), отображающая значимость содержания темы строки в успешном восприятии тем столбцов. В строке №11 записана частота использования соответствующей темы линейной алгебры при изучении последующих тем. Эти значения далее будут занесены в табл. 3.
В табл. 2 приведен пример междисциплинарной МЛС «Линейная алгебра» — «Эконометрика». Перечень тем дисциплины «Экономет-
Таблица 3
Значения частот и значимостей тем, полученных в соответствующих МЛС_
Темы, имеющие ненулевую частоту в собственной МЛС «Линейная алгебра» Темы, имеющие ненулевую частоту в МЛС «Линейная алгебра» и «Математический анализ» Темы, имеющие ненулевую частоту в МЛС «Линейная алгебра» и «ТВ и МС» Темы, имеющие ненулевую частоту в МЛС «Линейная алгебра» и «Эконометрика» Сумма частот Значимость
Матрицы и определители (1.1) Матрицы и определители (1.1) Матрицы и определители (1.1) 3.34 1
Системы линейных уравнений. Балансовый анализ (2.1) Системы линейных уравнений. Балансовый анализ (2.1) 1.17 (2) 1
Векторная алгебра (3) Векторная алгебра(3) Векторная алгебра (3) 0.89 (3) 0.25
Линейные пространства и линейные операторы (4.1) Линейные пространства и линейные операторы (4.1) 0.67 (2) 0.8
Элементы аналитической геометрии (5.1) 0.29
рика» [22] (кратко): 1) регрессионный анализ; 2) нарушение предпосылок классической модели; 3) системы эконометрических уравнений; 4) анализ временных рядов.
Аналогично, как и в предыдущей таблице, правый столбик содержит значения частот, нижняя строка — значимости тем. Результаты заносим в таблицу 3.
На третьем этапе строим цепочки значимости элементов содержания дисциплин. Фрагмент соответствующих результатов приведен в табл. 4.
Далее для каждой дисциплины выделяем инвариантную часть. Это часть содержания дисциплины, которая совпадает у нескольких выбранных для анализа программ данной дисциплины. Методика выделения описана в работе [2]. Здесь мы ограничимся представлением инварианта дисциплины «Линейная алгебра».
Тема 1. Матрицы и определители. Понятие матрицы произвольного порядка. Действия над матрицами. Виды матриц. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя. Обратная матрица. Ранг матрицы. Ранг матрицы при элементарных преобразованиях матриц.
Тема 2. Системы линейных уравнений. Виды СЛУ. Решения СЛУ. Система линейных уравнений в матричной форме. Метод решения линейных систем, у которых число уравнений равно числу переменных, переходом к обратной матрице. Правило Крамера решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Схема решения СЛУ. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные решения.
Тема 3. Векторная алгебра. Геометрический вектор. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Декартов базис в пространстве и
на плоскости и декартова система координат. Координаты вектора. Линейные операции в координатах.
Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы. Понятие линейного векторного пространства. Векторы в п-мерном евклидовом пространстве. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность векторного пространства. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Переход к новому базису. Матрица перехода. Линейные операторы и их свойства. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Тема 5. Элементы аналитической геометрии. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Полуплоскость. Уравнение плоскости. Полупространство.
Сопоставляя полученные данные, составляем таблицу 5.
Темы линейной алгебры при предыдущем анализе были разбиты дополнительно на более мелкие составляющие. В таблице же мы приводим результаты уже в целом, темы указываем в той же формулировке, что и в программе изначально.
Далее составляем рейтинг тем дисциплины «Линейная алгебра». Для этого используем показатель суммы для каждой темы из последнего столбца таблицы 5. Результаты представлены в табл. 6.
По результатам показателей рейтинга выстраивается иерархия тем. Для этого каждое значение из последнего столбца таблицы 6 делим на значение суммы (13.24) из таблицы 5.
Тема 1. Матрицы и определители. 40.3%
Тема 2. Системы линейных уравнений. Балансовый анализ. 24%
Таблица 4
Цепочки значимости элементов содержания дисциплин математического цикла (фрагмент)_
Темы дисциплины «Эконометрика» Тема дисциплины «ТВиМС» Тема дисциплины «Математический анализ» Тема дисциплины «Линейная алгебра»
Тема 1. Регрессионный анализ. Эконометрика и ее связь с экономической теорией. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Нелинейная регрессия. Множественная регрессия. Проверка гипотез и выбор наилучшей модели. Фиктивные переменные Правила действий со случайными событиями и вероятностями их осуществления (1) Числа, множества, функции (1). Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Случайные величины (2) Числа, множества, функции (1)
Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Дифференциальное исчисление функции одного переменного (3)
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (4) Матрицы и определители (1.1), векторная алгебра (3)
Интегральное исчисление (5)
Основы статистического описания (3) Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Интегральное исчисление (5)
Обыкновенные диф ференциальные уравнения (6)
Оценивание параметров распределений (4)
Проверка статистических гипотез и корреляционный анализ (5) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (4) Матрицы и определители (1.1), векторная алгебра (3)
Тема 2. Нарушение предпосылок классической модели. Мультиколлинеарность. Автокорреляция в остатках. Гетероскедастичность Правила действий со случайными событиями и вероятностями их осуществления (1) Числа, множества, функции (1) Матрицы и определители (1.1), векторная алгебра(3)
Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Случайные величины (2) Числа, множества, функции (1)
Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Дифференциальное исчисление функции одного переменного (3)
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (4) Матрицы и определители (1.1), векторная алгебра (3)
Интегральное исчисление (5)
Основы статистического описания (3) Введение в теорию пределов. Непрерывные функции. Асимптоты (2)
Интегральное исчисление (5)
Обыкновенные диф ференциальные уравнения (6)
Оценивание параметров распределений (4)
Проверка статистических гипотез и корреляционный анализ (5) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (4)
Тема 3. Векторная алгебра. 17.4% Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы. 16.2%
Тема 5. Элементы аналитической геометрии. 2.1%
Далее, используя полученные результаты, предлагаем перераспределение часов, отводимых на практические занятия и самостоятельную работу. Темы с большим рейтингом, по нашему мнению, требуют более детального и
Показатели результатов исследования
Табница 5
Тема дисциплины ЛА (без дополнительного разбиения) Вхождение темы в инвариант Суммарная частотность Суммарная значимость из МЛС Значимость из цепочки значимости тем Сумма
Тема 1. Матрицы и определители да 3.34 1 1 5.34
Тема 2. Системы линейных уравнений. Балансовый анализ да 1.17 2 3.17
Тема 3. Векторная алгебра да 0.89 0.25 1 2.14
Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы да 0.67 1.63 2.3
Тема 5. Элементы аналитической геометрии да 0.29 0.29
Всего 13.24
Рейтинг тем
Тема дисциплины ЛА Рейтинг
Тема 1. Матрицы и определители 5.34
Тема 2. Системы линейных уравнений. Балансовый анализ 3.17
Тема 3. Векторная алгебра 2.14
Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы 2.3
Тема 5. Элементы аналитической геометрии 0.29
Табница 6
Табница 7
Тематическое планирование _
Тема дисциплины «Линейная алгебра» Количество часов на практические занятия Количество часов на самостоятельную работу
Программа С учетом рейтинга Программа С учетом рейтинга
Тема1. Матрицы и определители. 40.3% 2 4 18 13
Тема 2. Системы линейных уравнений. Балансовый анализ. 24% 2 4 18 17
Тема 3. Векторная алгебра. 16.2% 2 3 18 17
Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы. 17.4% 1 3 18 13
Тема 5. Элементы аналитической геометрии. 2.1% 9 2 3 15
Всего часов 16 16 75 75
подробного разбора, требуется большее время для аудиторной практики, темы же с более низким рейтингом, наоборот, требуют больше времени для самостоятельной работы, для выполнения исследовательских и проектных работ. Стоит отметить, что речь идет только о семинарских занятиях (распределение времени на лекции остается неизменным) — мы предлагаем немного сместить акцент на более подробную отработку навыков решения практических задач по темам с большим рейтингом.
В табл. 8 приведены примеры темы проектных и исследовательских работ (фрагмент оригинальной таблицы).
Аналогичным образом, по приведенному плану, проводится анализ по оставшимся дисциплинам «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика» по той же специальности ННГУ. Составляется рейтинг, предлагается перераспределение часов, отводимых на практические задания, и темы
проектных и исследовательских работ. По такому же плану нами проведено исследование содержания программ дисциплин и для НИУ ВШЭ.
Пока наши результаты получены в ходе исследования содержания математических дисциплин и эконометрики. В дальнейшем планируется их дополнение результатами исследования содержания других экономических дисциплин, изучаемых экономистами-бакалаврами.
Для оценки результатов применения алгоритма совершенствования преподавания дисциплин математического цикла нами было организовано преподавание в двух группах студентов в прошедшем учебном году. В одном потоке студенты обучались традиционно (это контрольная группа), в другом — с перераспределенными часами преподавания по предложенной выше методике (это группа воздействия). По завершении процесса преподавания была проведена контрольная работа (в соответствии с учебным планом), состоявшая из 10 заданий.
Примеры тем самостоятельных исследовательских работ (фрагмент)
Таблица 8
Разделы дисциплины «Линейная алгебра»
Разделы дисциплины «Эконометрика»
Темы самостоятельных исследовательских работ
Элементы аналитической геометрии. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов
Векторы и связанные с ними понятия (действия с векторами) - основной язык эконометрики
1) Вектор - «язык» эконометрики
2) Использование векторов в записи эмпирических моделей
3) Векторы в изучении свойств оценок параметров эконометрических моделей
4) Использование векторов при описании качества подгонки эконометрических моделей
5) Векторы в разработке методов оценки неизвестных параметров эконометрических моделей
6) Векторы в оценке неопределенностей, присущих оценкам параметров эмпирических моделей
7) Векторы при проверке статистических гипотез
8) Векторы в разработке методов прогнозирования с использованием эмпирических моделей
9) КМЛР и МНК в векторно-матричной форме
10) Векторные случайные величины в эконометрике
11) Векторы в теореме Гаусса-Маркова
12) Геометрический смысл МНК_
Расстояние от точки до прямой
Метод главных компонент
13) Использование векторов и понятия расстояния от точки до прямой в задаче наилучшей аппроксимации конечного множества точек прямыми и плоскостями (Пирсон, 1901)_
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Суть метода наименьших квадратов. Геометрическая интерпретация МНК. Свойства оценок параметров, полученных с помощью МНК_
14) Разложение вектора по трем некомпланарным векторам в МНК
15) Основные понятия аналитической геометрии -базис параметрической эконометрики
Эта контрольная работа проверяла знания математики у студентов контрольной группы (25 человек) и группы воздействия (23 человека). Задания контрольной работы были совершенно одинаковы. Процент учеников, справившихся с работой (верно выполнивших 5 и более заданий), составил 83% в экспериментальной и 60% в контрольной группе. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей успешного написания контрольной работы в рассмотренных группах студентов (при использовании двухстороннего теста) говорит о том, что студенты, которые осваивали математику по программе с учетом элементов ее совершенствования, приступили к изучению «Эконометрики» более подготовленными. К сожалению, из-за малого объема наблюдений мы вынуждены признать, что полученный результат справедлив лишь на 10% уровне статистической значимости. Для получения более достоверных выводов эксперимент требует продолжения — увеличения количества контрольных работ и/или групп студентов. Тем не менее даже такой предварительный результат выглядит, на наш взгляд, обнадеживающим в плане подтверждения возможности совершенствования преподавания.
Заключение
В настоящей статье описан пример использования подхода, предложенного ранее В.М. Соко-
ловым, О.И. Вагановой, Д.А. Лошкаревой, А.Ф. Ан [8-15], но примененного к оптимизации преподавания учебных дисциплин математического цикла, ориентированной на дальнейшее изучение студентами предмета «Эконометрика». Выполненная экспериментальная проверка описываемой в работе методики показала более глубокое усвоение студентами необходимого учебного материала в группе воздействия по сравнению с контрольной группой. Таким образом в ходе эксперимента удалось показать, что у студентов были сформированы навыки, позволяющие усвоить эконометрику более качественно. В результате мы ожидаем, что у них в большей степени будут сформированы общепрофессиональные и профессиональные компетенции, а также и профессиональная математическая компетенция экономиста (ПМКЭ), которые необходимы для дальнейшей их успешной профессиональной деятельности. Естественным продолжением описываемого в настоящей работе эксперимента будет сравнительный анализ результатов сдачи студентами экзамена по эконометрике.
Список литературы
1. ФГОС ВО 3+. URL: http://www.edu.ru/file/ docs/2015/11/62304.pdf#page=3 (дата обращения: 23.01.2021).
2. Котельникова М.В., Аистов А.В. Совершенствование преподавания дисциплин математического цикла на основе инвариантов, необходимых для преподавания курса «Эконометрика» экономистам-бакалаврам // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. 2019. № 3. С. 183-189.
3. Котельникова М.В., Аистов А.В. Метод построения цепочек значимости элементов содержания математических дисциплин применительно к курсу «Эконометрики» для экономистов бакалавров // Нижегородское образование. 2019. № 1. С. 71-76.
4. Котельникова М.В. Об оптимизации содержания дисциплины «Линейная алгебра» для бакалавров-экономистов на основании анализа учебных программам ведущих российских вузов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. 2016. № 4 (44). С. 192198.
5. Котельникова М.В., Соколов В.М. «Линейная алгебра» в математическом цикле подготовки бакалавров-экономистов: анализ содержания // Нижегородское образование. 2014. № 4. С. 125-131.
6. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. М., 2003. 512 с.
7. Севастьянова С. А. Математические компетенции бакалавров по направлению подготовки «Экономика», MSWorld - 2-12 October 2012. URL: http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferen ces/oct-2012 (дата обращения: 15.11.2020).
8. Ан А.Ф. Проектирование компетентностно ориентированного курса физики в техническом вузе. 13.00.02. - Теория и методика обучения и воспитания (физика). Автореф. дис. ... д-ра пед. наук. Н. Новгород, 2016.
9. Ваганова О.И., Соколов В.М. Выборочная оценка успешности усвоения наиболее значимых элементов содержания обучения (на примере элементарных функций школьной математики) // Актуальные проблемы науки и гуманитарного образования: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4. СПб.: Мирт, 2004. С. 47-51.
10. Ваганова О.И. Методы оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию в курсе математики полной средней школы. 13.00.02. -Теория и методика обучения и воспитания по (математике, уровень общего образования): Автореф. дис. ... канд. пед. наук. Н. Новгород, 2004.
11. Котельникова М.В., Соколов В.М. Связи содержания дисциплин математического блока в подготовке экономиста-бакалавра // Сборник тезисов докладов и статей методической конференции ННГУ им. Н.И. Лобачевского 6-8 февраля 2017 г. «Разработка образовательных программ в условиях повы-
шения конкурентоспособности экономического образования». С. 49-56.
12. Котельникова М.В. О линиях логических связей тем дисциплин математического цикла и эконометрики в подготовке бакалавров-экономистов // Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Технологии продуктивного обучения математике: традиции и инновации», 14 октября 2016 г. (Арзамас, Россия). Сб. ст. С. 187-192.
13. Лошкарева Д.А. Совокупность методов ком-петентностно-ориентированного совершенствования дополнительной профессиональной образовательной программы. 13.00.08. - Теория и методика профессионального образования: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. Н. Новгород, 2012.
14. Соколов В.М., Лошкарева Д.А. Структурно-логические схемы и матрицы логических связей в анализе содержания образовательной программы // Научно-методический журнал «Наука и школа». 2011. № 6. С. 15-20.
15. Соколов В.М., Кострова Н.Б., Маршевская В.А. и др. О возможном методе построения промежуточных (этапных) целей обучения по общенаучным дисциплинам // Межвуз. сб. науч. трудов «Оптимизация учебного процесса в вузе» / Под ред. В.М. Соколова. Горький: Изд-во ГГУ, 1988. С. 50-55.
16. Ваганова О.И., Соколов В.М. Методы оценки объема учебного материала, подлежащего запоминанию в курсе математики полной средней школы: Монография. Н. Новгород: Изд-во ВГИПА, 2004. 101 с.
17. Бабикова Н.Н. Реализация комплекса межпредметных связей при обучении математике студентов-экономистов: Дис. . канд. пед. наук. Киров, 2005. 152 с.
18. Бурмистрова Н.А. Методическая система обучения математике будущих бакалавров направления «Экономика» на основе компетентностного подхода: Автореф. дис. ... д-ра пед. наук, Красноярск, 2011.
19. Подошва Н.В. Интенсификация самостоятельной работы студентов вузов при обучении курсу высшей математики. М., 2012.
20. Рабочая программа по линейной алгебре ННГУ им. Н.И. Лобачевского. URL: http://www.unn. ru/sveden/education/edu-op.php (дата обращения: 13.09.2020).
21 . Рабочая программа по математическому анализу ННГУ им. Н.И. Лобачевского. URL: http://www. unn.ru/sveden/education/edu-op.php (дата обращения
17.10.2020).
22. Рабочая программа по эконометрике, ННГУ им. Н.И. Лобачевского. URL: http://www.unn.ru/ sveden/education/edu-op.php (дата обращения:
02.01.2021).
IMPROVING THE CONTENT OF MATHEMATICAL CYCLE PROGRAMS FOR UNDERGRADUATE ECONOMISTS ON THE EXAMPLE OF THE DISCIPLINE «LINEAR ALGEBRA»
M. V. Kotelnikova,1 A. V. Aistov1
1 Nizhny Novgorod Institute of education development 2 HSE University
The article presents a method for improving the content of the disciplines of the mathematical cycle ("Linear algebra", "Mathematical analysis", "Probability theory and mathematical statistics") based on the content of the program "Economet-
rics" for the direction of training 38.03.01 Economics of N.I. Lobachevsky National Research University. The described methodology can be applied to any discipline and includes seven main points. The article presents the following results of the methodology use for "Linear algebra": matrices of logical connections (MLS) within the discipline and the interdisciplinary "Linear algebra"-"Econometrics"; chains of significance of content elements (a fragment of a table); the result of allocating a common (invariant) part of the programs of several selected universities; a hierarchy of topics within the discipline and their rating built on the basis of the analysis; a variant of redistribution of time allocation for seminars and independent work; examples of possible topics for research and project work. It is proposed to redistribute the hours of training sessions depending on the rating of each topic obtained as a result of the conducted research. For those with a high rating, it is necessary to allocate more time for seminar classes, for those with a low rating-for independent work. According to the results of the application of the methodology, there was an improvement in the quality of students 'mastering the material of mathematical disciplines necessary for a more complete study of "Econometrics", and, as a result, to increase the level of formation of "Professional mathematical competence of an economist" (PMCE), which positively affects their further successful professional activity.
Keywords: professional mathematical competence of an economist (PMCE), matrix of logical connections (MLS), chains of significance of content elements, invariant, hierarchy, rating, econometrics.
