CC BY
1
УДК 624.04
ёса: 10.55287/22275398_2023_1_140
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ДЕРЕВЯННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ПО ДЛИНЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Р. А. Шорстов *
С. Б. Языев **
А. С. Чепурненко** / ***
* Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова, г. Белгород ** Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону *** Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань
Аннотация
Статья посвящена вопросам расчета на устойчивость деревянных стоек прямоугольного сечения, высота которого меняется в зависимости от длины по линейному закону, а ширина постоянна. Расчет выполняется при помощи метода конечных элементов. Для получения результатов, справедливых при произвольной геометрии стержня, решение приведено к безразмерному виду. Производится сравнение с действующими нормами проектирования деревянных конструкций и вносятся корректировки в представленные там расчетные зависимости.
Ключевые слова
дерево, устойчивость, продольный изгиб, переменная жесткость, стойка, метод конечных элементов
Дата поступления в редакцию
20.01.2023
Дата принятия к печати
23.01.2023
Введение
Древесина на протяжении многих веков является одним из основных конструкционных материалов в строительстве, что обусловлено ее высокими физико-механическими и техническими качествами. На современном этапе развития строительной отрасли в области проектирования и возведения зданий и сооружений с использованием конструкций из дерева имеет место значительный прогресс благодаря применению клееных деревянных конструкций [1 - 3].
Для совершенствования проектных решений и снижения материалоемкости строительства требуется разработка и развитие научно-обоснованных методов расчета строительных конструкций. Во многих конструкциях используются элементы с постоянной по длине геометрией поперечного сечения, однако из соображений уменьшения расхода материала в некоторых случаях целесообразно применять элементы переменной жесткости [4 - 9].
Решению задач устойчивости сжатых элементов переменного по длине сечения посвящено множество работ, включая [10 - 15]. В действующих нормах проектирования деревянных конструкций (СП 64.13330.2017) для сжатых элементов с меняющейся по длине высотой поперечного сечения переменная жесткость учитывается коэффициентом , который для различных вариантов закрепления предлагается определять по одной и той же расчетной формуле, с чем нельзя согласиться. Целью данной работы является совершенствование нормативных методик расчета устойчивости сжатых конструктивных элементов из дерева с переменным по длине сечением.
Материалы и методы
Рассмотрим решение задачи устойчивости стержня переменного сечения методом конечных элементов. Чтобы решение было справедливо для произвольной геометрии стержня, уравнения МКЭ приведем к безразмерному виду. При выводе разрешающих уравнений, воспользуемся вариационным принципом Лагранжа.
Чтобы полученная матрица жесткости позволяла определять критическую нагрузку как в плоскости xz, так и в плоскости xy, положим, что высота и ширина поперечного сечения меняются по линейному закону:
где д = х /1 — безразмерная координата, I—длина стержня. Осевой момент инерции представим в виде:
(1)
где
(2)
Если положить здесь у = 1, то получим решение для стержня, изображенного на рис. 1, при потере устойчивости в плоскости xz. Если же положить в = 1, а у заменить на в, то решение будет справедливо при потере устойчивости в плоскости ху.
Рис. 1 см. на следующей странице
03
г
м О
-I
м
Э СО
х н
л ™ * *
* О 1 Л
ш Ё
1 X
= 1 Ш
У О
Ч £
< га
, I
ш
ш
го к
га н <и т и га а
Ш щ
■ 5
и I га и
0 и н и
1
(и
3 I
ей
о н и а О
Рис. 1. Расчетная схема
Будем использовать конечный элемент переменного сечения, положение концов которого определяется безразмерными координатами £1 и £2 (рис. 2).
Рис. 2. Используемый конечный элемент переменного сечения
Потенциальная энергия деформации КЭ при изгибе вычисляется следующим образом:
П=-\Е1{х
z £
( Л \ ац>
V /
1 Р1 й
V
,
(3)
где Ь — длина конечного элемента.
Работа силы ¥ при выпучивании определяется как [16]:
1
2 ¿¿с
ё№
1 „ 1
с/\\;
Л,
.
(4)
Функционал полной энергии записывается в виде:
(5)
Вместо минимизации функционала Э можно минимизировать функционал Э' = ——, который
Е1П
примет вид:
(6)
где Л =-.
Е1„
Для прогиба принимается следующая аппроксимация:
.
м-1
(7)
Вторую степень свободы в узле, соответствующую углу поворота, будем определять как:
.
(8)
Коэффициенты а можно выразить через узловые перемещения, если подставить в (7) и (8) координаты узлов:
1 й с,2
0 I
1 & Й О 1
& з й.
«0 V
ах
> = <;
а2 и>2
А.
(9)
Или [С] {а} = {(У}, откуда {а} = [С] 1 {(У}.
Первая и вторая производная прогиба могут быть записаны в виде:
03
г
м О
-I
м
Э СО
х н
л ™
* *
* О
1 .0
ш £
1 я
= 1 Ш
У О
ч £
<1 га
, I
ей пз
ш н
"Я ш
-О т
го о
К го
. а
Ш щ
■ 5 и I
, ГО
ей и
О 2
I- £
и и
а I
О «
з I
> .
л?
а1 у»
л?
= [0 0 2 6с]И=[0 0 2 6£][С]">} = [£]{!/} .
С учетом (10) функционал Э ' примет вид:
з'Л 2
й й Минимизируя Э' по вектору узловых перемещений, получим:
Или
(11)
(12)
где
I ВI — безразмерная матрица жесткости; [а;.] = | [у]' [Т]^-безразмерная геометрическая матрица жесткости.
Выражения выше записаны для одного конечного элемента. Для получения матрицы жесткости всего стержня выполняется суммирование матриц жесткости всех элементов. Параметр X определяется из условия равенства нулю определителя системы (13).
В действующих нормах проектирования деревянных конструкций переменная жесткость стержня учитывается коэффициентом , зависящим от параметра в. Данный коэффициент для шарнирно опертого по концам стержня выражается через параметр X следующим образом:
//2Л
К
.2 '
(14)
где у — коэффициент приведения длины.
Матрицы
и Кг ^ элемента были определены путем символьного интегрирования в среде
МЛТЬЛБ.
Матрица £ Кг ^
имеет вид:
(15)
Матрица К ^ здесь не приводится ввиду ее
громоздкости.
Результаты и обсуждение
На рис. 3 представлена полученная в результате расчета зависимость коэффициента А^ от параметра в для шарнирно опертого по концам стержня при потере устойчивости в плоскости XX. Штриховой линии соответствует представленная в нормах формула:
.
(17)
1
0.9 0.8 0.7 0.6 N0.5
<
0.4 0.3 0.2 0.1
г- -1-
-авторы — --нормы
V
у?
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
/3
Рис. 3. Зависимость коэффициента А^ от параметра в при потере устойчивости в плоскости XX для шарнирно опертого по концам стержня
При потере устойчивости в плоскости ху коэффициент А^ для шарнирно опертого по концам стержня в нормах проектирования деревянных конструкций определяется по формуле:
(18)
На рис. 4 приведен полученный в результате расчета график зависимости коэффициента А^ от в. Штриховой линии соответствует прямая, построенная по формуле (18).
Максимальное отклонение решения автора от нормативных значений наблюдается также при в = 0,3 и составляет, как и ранее, 5,7%. Нами предлагается следующая уточненная формула для коэффициента Аж^
.
(19)
03
г
м О
-I
м
Э СО
х н
л ™ * *
* О
1 А Ш £
1 X
= 1 Ш
У О
Ч £
< га
, I
ей пз ш н
"Я ш
-О т
го о
К га
. а
Ш щ
■ 5
и I га и о и н и х <и
з I
Сй
о н и а О
/V
// / / / / / / / у - ■ / у -авторы ^^^ * — — нормы у' У
/ у / / // // // у 1 уг у ^ У / ✓ / ✓ / ✓
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 09 1
(3
Рис. 4. Зависимость коэффициента к^ от параметра в при потере устойчивости в плоскости ху для шарнирно опертого по концам стержня
Перейдем далее к вариантам закрепления «шарнир-защемление» и «защемление-защемление». В нормах проектирования деревянных конструкций коэффициент к^ при закреплении «шарнир-защемление» определяется по той же формуле, что и для варианта «шарнир-шарнир». Вариант «защемление-защемление» в СП 64.13330.2017 отсутствует.
Нами было установлено, что коэффициент к^ для вариантов «шарнир-шарнир» (ш-ш), «шарнир-защемление» (ш-з) и «защемление-защемление» (з-з) при потере устойчивости в плоскости XX практически не отличается. Сравнение коэффициентов к^ при различных значениях параметра в приведено в табл. 1. Табл. 2—то же для случая потери устойчивости в плоскости ху.
Таблица 1
Сравнение коэффициентов для различных вариантов закрепления стержня при потере устойчивости в плоскости XX
в 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
ш-ш 0,1096 0,1845 0,2706 0,3675 0,4747 0,5917 0,7184 0,8545
kжN ш-з 0,1052 0,1804 0,2675 0,3655 0,4738 0,5919 0,7196 0,8565
з-з 0,1033 0,1783 0,2653 0,3633 0,4716 0,5898 0,7174 0,8541
Таблица 2
Сравнение коэффициентов для различных вариантов закрепления стержня при потере устойчивости в плоскости ху
в 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
ш-ш 0,5482 0,6149 0,6766 0,7351 0,7911 0,8453 0,8980 0,9495
kжN ш-з 0,5322 0,6045 0,6703 0,7317 0,7900 0,8457 0,8995 0,9516
з-з 0,5172 0,5946 0,6634 0,7266 0,7861 0,8425 0,8967 0,9490
Несмотря на относительно небольшую разницу между тремя вариантами закрепления, нами для вариантов «шарнир-защемление» и «защемление-защемление» были подобраны уточненные аппроксимирующие формулы коэффициента , погрешность которых при (3 е [0,2; 1] не превышает 1,3%. Результаты сведены в табл. 3.
Таблица 3
Аппроксимирующие формулы для коэффициента
закрепление плоскость XX плоскость ху
шарнир-защемление 0,515 в2 + 0,5054в - 0,0157 -0,1731 в2 + 0,793 в + 0,3783
защемление-защемление 2 0,5158в + 0,5037в - 0,0172 2 -0,2186 в + 0,8624в + 0,3499
Перейдем далее к варианту закрепления «защемление-свободный конец». На рис. 5 представлен ф
полученный в результате расчета график зависимости коэффициента А^ от в при потере устойчи- 2
вости в плоскости XX. Штриховой линии соответствуют нормативные значения, рассчитанные по Д
формуле: Н
(20)
СО
Максимальное отклонение решения автора от нормативных значений в диапазоне (3 £ [0,2; 1] составило 5,83%. Нами была подобрана аппроксимирующая формула, погрешность которой в том же диапазоне не превышает 0,6%:
.
(21)
1
0.9 0,8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
-авторы — нормы
- -
//
//
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6
0
0.7
0.8
0.9
Рис. 5. Зависимость коэффициента А^ от параметра в при потере устойчивости в плоскости XX для варианта закрепления «защемление-свободный конец»
X н
л ™ * *
* О
1 А Ш £
1 X
= 1 Ш
У О
Ч £
< га
, I
ей пз ш н
"Я ш
-О т
го о
К га
. а
Ш щ
■ 5
и I га и о и н и х <и
з I
Сй
о н и а О
При потере устойчивости в плоскости ху нормативная формула для коэффициента имеет
(22)
Полученная авторами для этого случая зависимость, а также прямая, построенная по формуле (22), приведены на рис. 6. Вычислять коэффициент кж^ вместо выражения (22) предлагается по формуле:
(23)
0.95
0.9
t 0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
-авторы
нормы /V
/V /i
AT
✓ ✓ / У /
F /
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Р
Рис. 6. Зависимость коэффициента к^ от параметра в при потере устойчивости в плоскости ху для варианта закрепления «защемление-свободный конец»
Выводы
Разработана методика определения критических нагрузок для сжатых стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения при произвольных вариантах закрепления на основе метода конечных элементов. Выполнено сравнение с расчетными зависимостями, представленными в СП 64.13330.2017. В ряде случаев отклонение результатов превышает 5%. С использованием метода наименьших квадратов подобраны уточненные формулы.
Установлено, что для вариантов закрепления стержня «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «защемление-защемление» коэффициент kжN , учитывающий переменную жесткость, отличается незначительно.
Библиографический список
1. Karamisheva, A. A. Calculation of plane bending stability of beams with variable stiffness / A. A. Ka-ramisheva, S. B. Yazyev, A. A. Avakov // Procedia Engineering. — Т. 150. — 2016. — С. 1872 - 1877.
2. Лапина, А. П. Устойчивость плоской формы изгиба деревянной балки с учетом ползучести / А. П. Лапина // Строительство и архитектура. — 2021. — Т. 9. — №. 2. — С. 6 - 10.
3. Calculation of wooden beams on the stability of a flat bending shape enhancement / A. S. Che-purnenko, V. V. Ulianskaya, S. B. Yazyev, I. M. Zotov // MATEC Web of Conferences. — EDP Sciences, 2018. — Т. 196.— С. 01003.
4. Fertis, D. G. Large deflection of determinate and indeterminate bars of variable stiffness / D. G. Fertis, A. Afonta // Journal of engineering mechanics. — 1990. — Т. 116. — №. 7. — С. 1543 - 1559.
5. Fertis, D. G. Free vibration of variable stiffness flexible bars / D. G. Fertis, A. Afonta // Computers & structures. — 1992. — Т. 43. — №. 3. — С. 445 - 450.
6. Li, Q. S. Flexural free vibration of cantilevered structures of variable stiffness and mass / Q. S. Li // Structural engineering and mechanics: An international journal. — 1999. — Т. 8. — №. 3. — С. 243 - 256.
7. Farsadi, T. Fundamental frequency optimization of variable stiffness composite skew plates / T. Far-sadi, D. Asadi, H. Kurtaran // Acta Mechanica. — 2021. — Т. 232. — №. 2. — С. 555 - 573.
8. Efficient post-buckling analysis of variable-stiffness plates using a perturbation approach / R. Vescovini, E. Spigarolo, E. L. Jansen, L. Dozio // Thin-Walled Structures. — 2019. — Т. 143. — С. 106211.
9. Vescovini, R. Thermal buckling behaviour of thin and thick variable-stiffness panels / R. Vescovini, L. Dozio // Journal of Composites Science. — 2018. — Т. 2. — №. 4. — С. 58.
10. . Тимошенко, С. П. Устойчивость упругих систем / С. П. Тимошенко.—Л., М.: Гостехиздат, 1946. — 532 с.
11. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций / Ф. Блейх. — М.: Физматгиз, 1959. — 544 с.
12. Ржаницын, А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем / А. Р. Ржаницын. — М.: Гостехиздат, 1955.—475 с.
13. Flexural buckling of a revolving bar in a rigid pipe with a gap exposed to axial force and dead weight / S. B. Yazyev, P. V. Ivanova, Y. G. Konoplev, B. M. Yazyev // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — IOP Publishing, 2020. — Т. 913. — №. 2. — С. 022021.
14. Buckling of glass reinforced plastic rods of variable rigidity / S. V. Litvinov, S. B. Yazyev, 1.1. Rud-chenko, G. S. Molotkov // Materials Science Forum. — Trans Tech Publications Ltd, 2018. — Т. 931. — С.133 - 138.
15. Andreev, V. I. On the stability of rod with variable cross-section / V. I. Andreev, N. Y. Tsybin // Procedia Engineering.—2015. — Т. 111. — С. 42 - 48.
16. Energy method in solving the problems of stability for a viscoelastic polymer rods / S. B. Yazyev, M. Yu. Kozelskaya, G. P. Strelnikov, S.V. Litvinov// MATEC Web of Conferences. — EDP Sciences, 2017. — Т. 129. — С. 05010.
IMPROVEMENT OF THE CALCULATION
FOR THE STABILITY OF COMPRESSED WOODEN RODS
OF A RECTANGULAR SECTION VARIABLE IN THE LENGTH
и z
м О
-I
м
D CD
x н
л ™ * *
* О
1 A Ш £
Ш ,s У О
Ч £
< га , i ш
ш
rn к
га н
(U
т и га а
ш щ
■ S
и X га и о со н и х
(U
з I
ш
о н и а О
R. A. Shorstov*
S. B. Yazyev **
A. S. Chepurnenko**/ ***
* Belgorod state technological university named after V. G. Shukhov, Belgorod ** Don State Technical University, Rostov-on-Don *** Kazan (Volga region) Federal University, Kazan
Abstract
The article is devoted to the issues of calculating the stability of wooden bars of rectangular section, the height of which varies depending on the length according to a linear law, and the width is constant. The calculation is performed using the finite element method. To obtain results that are valid for an arbitrary rod geometry, the solution is reduced to a dimensionless form. A comparison is made with the current standards for the design of wooden structures and adjustments are made to the calculated dependencies presented there.
The Keywords
wood, stability, buckling, variable stiffness, bar, finite element method
Date of receipt in edition
20.01.2023
Date of acceptance for printing
23.01.2023
Ссылка для цитирования:
Р. А. Шорстов, С. Б. Языев, А. С. Чепурненко. Совершенствование расчета на устойчивость сжатых деревянных стержней переменного по длине прямоугольного сечения. — Системные технологии. — 2023. — № 1 (46). — С. 140 - 150.
