Составление обращённых математических задач учащимися как элемент развития творческой деятельности Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

122 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2017, № 2 (46), с. 122-127

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 510 (075.5)

СОСТАВЛЕНИЕ ОБРАЩЁННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УЧАЩИМИСЯ КАК ЭЛЕМЕНТ РАЗВИТИЯ ТВОРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

© 2017 г. О.М. Абрамова

Абрамова Олеся Михайловна, к.пед.н.; доцент кафедры физико-математического образования Арзамасского филиала Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

e-mail: olesia144@mail.ru

Стетья поступиле вредекцию 02.04.2017 Стетья приняте к публикеции 28.04.2017

Представлена одна из задачных конструкций, зарекомендовавших себя в практике математического образования, - обращённые задачи, рассматриваемые как элемент творческой деятельности в процессе обучения математике. Выявлена дидактическая ценность обращенных задач для математического образования, развития творческих способностей и гибкости мышления обучающихся. Проведен теоретико-методологический анализ существующих подходов к трактовке понятия «обращённая задача». Выявлены семантические различия терминов «обращённая задача» и «обратная задача». Раскрыты перспективы и возможности использования в школьной практике обучения математике обращённых задач, которые учащиеся должны уметь решать, чтобы можно было считать их математическое образование полноценным. Показаны конкретные примеры прямой, обратной и обращённых задач, а также представлены методические рекомендации по их конструированию. Рассмотренный подход к построению и использованию обращённых задач для математического развития учащихся может найти применение в современных условиях организации математического образования в школе.

Ключевые слове: математическое образование, обращение задач, процедура обращения, творческая деятельность, задачная конструкция.

Введение

Вопросы организации творческой математической деятельности школьников, формирования её основных элементов, поиска и создания методического обеспечения данного процесса на сегодняшний день составляют одну из наиболее актуальных проблем педагогической науки, поскольку государство ставит перед школой задачу подготовить учащихся к жизни в этом быстро изменяющемся мире, сформировать их познавательную самостоятельность, умение творчески подходить к решению задач.

В последнее время на страницах методических изданий вновь актуализировалась дискуссия по вопросу о падении мотивации к учению в целом и к изучению математики в частности как о свершившемся факте или неизбежном зле. «И эта тенденция характерна не только для нашей страны. Поэтому педагоги-математики всего мира ищут способы приобщить школьников к математической деятельности, заинтересовать их, дать шанс на успех в освоении премудрой «царицы наук» [1, с. 63].

Вместе с тем усилия многих ученых и педагогов-математиков сосредоточены сегодня на поиске виртуальных средств обучения математике, способствующих развитию учащихся. Однако не стоит забывать, что основным средством обучения математике остаются задачи.

Сам процесс математического развития школьников, который основан на использовании специальных задачных конструкций, может быть организован как на уроках математики, так и во внеурочной деятельности (на занятиях математических кружков, факультативных и элективных курсов). Особое развивающее значение имеет самостоятельное составление школьниками задачных конструкций, так как оно не только позволяет более полноценно изучить методы, приемы и способы решения типовых задач, но и способствует развитию творческих способностей [2, с. 3].

Не претендуя на исчерпывающее решение вышеуказанных проблем, укажем, что большие резервы в этом связаны с использованием новых высокоэффективных методических приёмов обучения, к которым по праву может быть

отнесено обращение математических задач в процессе их решения.

В методических и научных статьях по теории и методике обучения математике, в учебных и дидактических пособиях по математике довольно часто встречаются словосочетания «обращён-ная задача» и «обратная задача». Однако при этом авторы не уточняют, какие же именно математические задачи следует считать обращёнными, а какие обратными. Но закономерен вопрос: почему, чему и насколько «обратны» вновь получаемые задачи из исходной? Попытаемся разобраться в сложившейся ситуации.

Данное обстоятельство побуждает к более глубокому анализу этой дефиниции. Прежде всего представляется важным осмыслить этот феномен, выявить функциональные и структурные отличия понятий обратной и обращённой задачи, раскрыть их дидактические возможности в приобщении школьников к математическому творчеству как одной из задач вышеназванной проблемы.

Итак, ниже речь пойдёт об одном из приёмов видоизменения задач, позволяющем получать обращённые задачи.

Сущность и дидактическая ценность обращения математической задачи

Формирование представлений об обращении задачи происходило в контексте теоретического осмысления видового многообразия математических утверждений (теорем). Известно, что ещё А.Н. Острогорский в позапрошлом столетии определял обратную теорему следующим образом: «если, имея теорему, составим другую, в которой условия первой станут заключением, а заключение первой её условием, то такая теорема называется обратной» [3, с. 44]. Такое же понимание обратной теоремы можно найти в книге И.С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы», вышедшей в середине прошлого столетия: «теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением -условие данной теоремы» [4, с. 26].

В руководствах по методике преподавания математики, следуя этим представлениям, прямую теорему записывают как:

а обратную теорему:

где через А обозначено единственное условие, а через В - единственное заключение теоремы.

Что же касается обратных задач, то значение их постановки и решения в обучении математике впервые остро обозначил академик П.М. Эрдни-ев. Учёный рассматривал их в своей теории укрупнения дидактических единиц как одно из особых средств «выращивания» знаний школьников. Он настоятельно подчёркивал, что «если решена задача, то важно исследовать обратную задачу» [5, с. 35].

Условная схема обратной теоремы, приведённая выше, в данном случае не всегда приводит к корректно поставленной задаче, а потому постановку обратной задачи рекомендуется осуществлять на основе приёма обращения.

В понимании П.М. Эрдниева суть приёма обращения задачи заключается в том, что «в условие исходной задачи вводится её ответ, а некоторые числа из условия переводятся в разряд искомых» [5, с. 35].

Несколько точнее, но, по сути, так же выражается и Л.М. Фридман, когда полагает, что «обратной задачей называется задача, в которой одним из требований является какое-то известное условие прямой задачи, а это условие заменяется ответом прямой задачи» [6, с. 139].

Заметим, что в методической литературе по математике наряду с термином «обратная задача» можно встретить термин «обращённая задача».

Именно так называет задачи, получаемые приёмом обращения, Е.С. Канин: «имеются в виду задачи, полученные из исходной, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными» [7, с. 11]. Хотя он и употребляет уже термин «обращённая» задача, но тем не менее в это понятие вкладывает такой же смысл, что и выше названные авторы. Как видим, Е.С. Канин свёл понятие «обращённая» задача в конечном смысле к понятию «обратная» задача.

Имеется и ещё одна, более расширительная, трактовка обращённой задачи, она принадлежит И.Е. Дразнину. Он справедливо полагает, что «не стоит заканчивать работу над задачей с получением ответа или с завершением доказательства, а «поиграть» с ней подольше, рассмотрев обратную задачу, противоположную, расширенную, т.е. обогащённую каким-то дополнительным условием или, наоборот, обобщённую - такую, из которой какое-либо условие удалено. Все такие дополнительные задачи часто называют обращёнными, поскольку они не совсем оригинальны, а придуманы (превращены, обращены) на основе каких-то других задач» [8, с. 52].

С таким толкованием обращённой задачи нельзя согласиться, ведь им охватывается весьма широкий класс задач, полученных из данной в результате того или иного её видоизменения.

Исследователи уже неоднократно разводили задачи, получаемые путём изменения того или иного вида (к примеру, различают задачи-обобщения, задачи-обращения, задачи-аналогии и др.).

Интегрируя всё вышесказанное, отметим, что под обращением математической задачи будем понимать последовательное видоизменение её путём извлечения из её условия части или даже всех данных и включения их в требование; при этом из него, соответственно, исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в условие; обращённая задача станет обратной по отношению к исходной, если все её требования и условия полностью поменяются местами. Обратная задача получается в предельном случае обращения исходной задачи. Кроме того, всякую обратную задачу можно назвать обращённой, обратное утверждение не верно, то есть не всякая обращённая задача является обратной.

Приём обращения задачи содержит в себе значительный дидактический и развивающий потенциал. О том, что он далеко не полностью используется в школьной практике обучения математике, упоминали многие педагоги-математики: А.К. Артёмов, В.Г. Болтянский, Г.В. Дорофеев, В.А. Крутецкий, В.В. Репьёв, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.

Синтезируя различные мнения, выделим следующее.

Во-первых, составление и решение обращён-ных задач способствует лучшему пониманию структуры математической задачи, обеспечивает более глубокое осознание тех взаимосвязей и отношений, которые свойственны задачной ситуации, позволяет школьникам как бы заглянуть внутрь структуры задачи и увидеть взаимосвязи её данных, данных и искомых и тем самым понять её математическую сущность.

Во-вторых, такая работа над уже решённой задачей приобщает учащихся к математическому творчеству, способствует развитию их креативности, поскольку процесс обращения адекватен процессу исследования определенной проблемы и обеспечивает формирование у школьников умений, необходимых для выполнения творческих исследовательских работ.

В-третьих, что, на наш взгляд, является наиболее важным в условиях развивающей образовательной парадигмы современной школы, ценность приёма обращения заключается в превращении прямой связи мыслей в обратную связь, что способствует развитию такого фундаментального умственного качества, как гибкость мышления. При традиционной методике

обучения математике, основанной на решении однотипных задач, какими бы сложными они ни были, мышление обогащается преимущественно цепью переходов между мыслями одного направления, что способствует формированию конвергентного мышления, но не дивергентного, так необходимого современному человеку.

Заметим, что особую ценность для развития гибкости мышления школьников представляют не прямые и обращённые задачи, взятые как таковые сами по себе, в отдельности. Наиболее значимый развивающий эффект достигается в процессе преобразования одной задачи в другую, в проявлении тех «невидимых» и трудноуловимых при логическом анализе элементов мысли, которые связывают процессы решения обеих задач.

В-четвертых, в процессе обращения задачи и последующего решения обращённых задач происходит формирование действий, необходимых для овладения общим умением решать задачи: извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы и комбинировать их, переформулировать условие и требование, выводить следствия, работать с математическими моделями задачи, а также умения формулировать новую задачу.

И наконец, в-пятых, подходы к поиску решения обращённых задач нередко отличаются от тех, что использовались при поиске решения исходной задачи, а знакомство с ними существенно обогащает математическую культуру и кругозор учащихся [9].

Процедура обращения математических задач

Проиллюстрируем сказанное выше на примере построения окрестности обращенных задач для одной алгебраической задачи.

Пусть в качестве исходной задачи взята следующая.

Задача 1. Найти первый и шестой члены геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 2, а сумма семи первых членов равна 381. (Ответ: Ъ\ = 3; Ъ6 = 96) д=2 57=381

Й1=3

Ъ6=96

Для того чтобы упорядочить и облегчить процесс составления новых задач, полезно после решения исходной задачи записать поэлементный состав условия и требования этой задачи в виде числовой цепочки, присоединив к нему и найденное искомое (ответ) в следующем виде:

Следуя рекомендациям П.М. Эрдниева, будем заключать искомое в числовой цепочке в рамочку - это позволит школьникам более на-

глядно представить исходные и искомые элементы задачи, поскольку весь поэлементный состав задачи будет находиться у них перед глазами. А это, в свою очередь, увеличивает степень осознания учащимися возможных вариантов образования новых обращённых задач на базе исходной. К тому же по составленной числовой цепочке ученикам легче обнаружить и исправить допущенную ошибку, что способствует развитию критичности их мышления, навыков самоконтроля.

Затем составляются всевозможные числовые цепочки обращённых задач, в которых искомым элементом последовательно выступает каждый элемент данной задачи или их комбинация.

Поскольку в исходной задаче 2 данных и 2 искомых, то всего можно составить Р = (2п — -1)(2к - 1), где п - число данных задачи, к -число её искомых, - девять обращенных задач.

В результате последовательной реализации обращения исходной задачи числовые цепочки структурных элементов всех обращённых задач будут следующими:

1.1. 1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8. 1.9.

¿у 57

=381 =381

Ь,=3

¿6=96

ЬЛ=3

4= Г

57=381

Ь,=3

¿6=96 ¿6=96

57 =381

57 =381

57 =381

¿1=3 ¿1=3 ¿1=3

¿6=96

57=3§1

¿1=3

¿6=96 ¿6=96 ¿6=96;

и ¿>=381

II (ч) 57=381

¿1=3 ¿1=3

Ъ 6=96:

¿6=96.

Далее по полученным числовым цепочкам структурных элементов задачи можно формулировать условия и требования обращённых задач. Число без рамочки включаем в условие задачи, а число в рамочке в её требование, поскольку оно должно быть скрыто, т.е. сделано неизвестным, и для него подбираем соответствующий вопрос. Таким образом, числа, заключенные в рамочку, становятся своеобразными опорными пунктами для составления формулировок обращённых задач.

Так, выбрав в качестве неизвестного, например, знаменатель прогрессии и включив при этом найденное искомое - первый член геометрической прогрессии в условие конструируемой задачи (см. схему 1.1), можно сформулировать следующую обращённую задачу:

Задача 1.1. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а сумма первых семи ее чле-

нов равна 381. Найти знаменатель прогрессии и шестой член.

В случае когда в качестве искомого выбрана сумма семи первых членов геометрической прогрессии, а найденный шестой её член введён в условие задачи (см. схему 1.3), можно получить уже такую обращённую задачу:

Задача 1.3. Шестой член геометрической прогрессии равен 96, а её знаменатель равен 2. Найти первый член этой прогрессии и сумму семи первых членов.

Аналогичным образом могут быть составлены и все остальные обращённые задачи по соответствующим числовым цепочкам.

Обратим внимание на то, что в результате обращения исходной задачи получаются не только обращённые задачи, представленные числовыми цепочками 1.1—1.8, некоторые из которых являются неразрешимыми (например, 1.7, 1.8), но и разрешимая обратная задача (1.9), которая формулируется так:

Задача 1.9. Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны 3 и 96. Найти ее знаменатель и сумму семи первых членов.

Заметим, что конструировать обращённые задачи нетрудно, труднее найти хорошее решение или спрогнозировать, решается ли построенная задача.

Разумеется, не всегда необходимо составлять все обращённые задачи, поскольку они могут оказаться, во-первых, тривиальными, во-вторых, просто неразрешимыми или противоречивыми; кроме того, иногда не исключается возможность выхода за пределы математических знаний учащихся. Естественно, нет необходимости и решать все полученные обращён-ные задачи, - важно, чтобы школьники осознавали технологию их конструирования.

Рассмотренный выше процесс обращения математической задачи составляет основу для построения окрестности обращенных математических задач, применение которых в обучении математике может способствовать повышению уровня математической подготовки школьников, их математического развития и совершенствованию всего педагогического процесса в целом. Кроме того, процесс построения подобных окрестностей обращённых математических задач несет в себе черты исследовательской деятельности, которая может являться частью проектных заданий школьников.

Заметим, что кроме так называемого внутренного обращения задачи, о котором шла речь выше (когда происходит обращение структурных элементов задачи - условий и

Прямая задача. Решить

х + 9 х

---— 1.

3 5

Решение:

л + 9 _ л _ 3 5 ~ :

> г

15(.т + 9) 15 л*

= 15.

уравнение Обратная задача. Составить уравнение корень которого равен -12.

3 5

5(.г + 9)-3 л =15, 5 л +45-З.У = 15. 2 л = 15-45. л = -15.

Ответ: л = -15 Учитель предлагает составить и записать справа уравнение такого же вида, но чтобы решение его было иное, например х — -12.

Правильность составленного уравнения школьник проверяет, просматривая запись сверху вниз (то есть уже решая свое уравнение).

требований), возможно осуществить внешнее обращение задачи, предполагающее обращение хода решения искомой задачи или операций. Например, задачей, обратной решению готового уравнения, является его составление.

Таким образом, процесс составления уравнения реализует алгоритм его решения, но в обратном порядке. Именно в этом случае имеет смысл составление уравнения, а в противном -формальная его запись школьникам ничего не дает. Примечательно, что при конструировании своего примера учащийся отвечает за все этапы его композиции и решения, за выбор числовых данных, за правильное построение условия, не говоря уже о решении и ответе.

Можно привести и такой пример.

Задача. Вычислить: 1652-352 1652-352=(165+35)(165-35)=200-130=26 000

После вычисления учащимися данного выражения уместно предложить им обращенное задание.

Обратная задача. Представить число 34 000 в виде разности квадратов двух чисел.

Это задание записывается под предыдущим примером, и решение осуществляется справа налево: 34 000=200-170=(185+15)(185-15)=1852-152.

Умение решать прямую и обратную задачи является важным критерием достигнутой школьником глубины понимания изучаемого раздела математики.

Реализуя внешнее обращение следующей математической задачи, заметим, что полученные обратные задачи будут отличными от тех,

которые мы получили бы, если бы осуществляли внутреннее обращение данной задачи.

Задача. У прямоугольного треугольника известны его катет а и гипотенуза с. Найти его второй катет и острые углы.

Формулировка обратной задачи может быть такой: «Что нужно знать, чтобы можно было найти катет и два острых угла прямоугольного треугольника?».

Тогда можно выделить следующие комбинации элементов треугольника:

1) два катета;

2) катет и гипотенуза;

3) угол и гипотенуза;

4) угол и прилежащий к нему катет;

5) угол и противолежащий ему катет, -задав которые можно найти и другие элементы. Тем самым возможно получить 5 обратных задач.

Как видим из данного примера, к обратным задачам относятся весьма разнообразные задачи, и не только обратной структуры, но и такие, в которых изменилась связь между вновь выбранными данными, что, на наш взгляд, является весьма условным, поскольку таким образом полученная обратная задача будет являться таковой не только по отношению к какой-то единственной первоначальной исходной задаче, но и к ряду других задач, которые также будут прямыми по отношению к ней.

Выводы

Таким образом, можно говорить о том, что использование обращения задач в процессе обуче-

ния математике создаёт основу для осуществления творческой математической деятельности учащихся, поскольку сам процесс конструирования обращённых задач имеет черты творческой математической деятельности.

Более того, использование в обучении математике обращения задач даёт возможность создавать условия сближения учебной и исследовательской деятельности учащихся, что, в свою очередь, позволяет пробудить у них осознанную активную заинтересованность как в самом учебном процессе, так и в его результатах. У них появляются интерес к изучению математики, заинтересованность в результатах своего труда и, как следствие, повышается качество математической подготовки.

И наконец, использование обращения задач в процессе обучения математике - шаг к технологическому обновлению школьного математического образования. Это крайне актуальная задача современной методической науки, одно из перспективных направлений развития интенсивно формирующейся методической теории математических задач.

Список литературы

1. Седова Е.А. В поисках мотивации к изучению математики // Математика в школе. 2015. № 4. С. 63-66.

2. Задачные конструкции математического развития школьников: Сборник статей участников научно-методического семинара / Под общ. ред. С.В. Арют-киной, С.В. Напалкова; Арзамасский филиал ННГУ. Арзамас, 2015. 102 с.

3. Острогорский А.Н. Материалы по методике геометрии. СПб.: Санкт-Петербург, 1884. 175 с.

4. Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. М. - Л.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1950. 80 с.

5. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1970. 319 с.

6. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. 3-е изд. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 248 с.

7. Канин Е.С. Развитие темы задачи // Математика в школе. 1991. № 3. С. 8-12.

8. Дразнин И.Е. Обращение условий планиметрических задач // Математика в школе. 2001. № 8. С. 52-55.

9. Абрамова О.М. Обращение школьной задачи как основа современных технологий обучения в математическом образовании // Педагогика и просвещение. 2014. № 3. С. 30-41.

DRAWING UP INVERTED MATHEMATICAL PROBLEMS BY SCHOOL STUDENTS AS AN ELEMENT IN THE DEVELOPMENT OF CREATIVE ACTIVITY

O.M. Abramova

Arzamas branch of Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod

This paper examines inverted problems, one of problem patterns which have proved useful in the practice of mathematical education as an element of creative activity. Their didactic value in mathematical education, development of creative abilities and flexibility of school students' thinking is revealed. Theoretical and methodological analysis of the existing approaches to the interpretation of the concept of the inverted problem is carried out. Semantic distinctions between the terms «inverted problem» and «inverse problem» are revealed. We reveal the prospects and possibilities of using inverted problems in the school practice of teaching mathematics. School students should be able to solve such inverted problems so that their mathematical education can be considered full and complete. Specific examples of direct, inverse and inverted problems are given along with methodological recommendations for designing such problems. The proposed approach to the construction and use of inverted problems for students' mathematical development can be applied in modern conditions to organize mathematical education at school.

Keywords: mathematical education, inversion of problems, procedure of inversion, creative activity, problem pattern.