CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т ом VI 197 5
№ 5
УДК 533.6.011.8
СОПРОТИВЛЕНИЕ СФЕРЫ В ПОТОКЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА МАЛОЙ СКОРОСТИ
Ю. И. Хлопков
Проводится решение линеаризованного уравнения Больцмана методом Монте-Карло. Вычисляется сопротивление сферы, обтекаемой потоком разреженного газа малой скорости с различными законами отражения молекул от поверхности. Получена зависимость силы сопротивления от числа Кп в переходном режиме течения.
Результаты экспериментального измерения сопротивления сферы в потоке разреженного газа с малой скоростью были опубликованы Милликеном еще в 1923 г. [1]. Однако сравнительно недавно, с середины 60-х годов, стали делаться попытки теоретического определения сопротивления сферы в переходной области, простирающейся от течений сплошной среды до свободномолекулярного режима. Для обоих пределов имеются аналитические выражения величины силы сопротивления.
В первом случае сила сопротивления дается теорией стокса. Считается, что число М стремится к нулю быстрее, чем число Кнудсена Кп. Это обеспечивает условия существования предположения Стокса о малости числа Рейнольса Не.
Как известно, в этом случае теория Стокса [2] для случая диффузного отражения молекул от поверхности сферы (условие прилипания) дает значение силы сопротивления, равное F0 д = 6 ny-RU, а при зеркальном отражении значение F0 з = 4 -k\i.RU , где/? — радиус сферы, ц — вязкость, U — скорость набегающего потока.
Во втором случае, при Кп ->■ оо, значение силы сопротивления определяется формулой (Гудвин) свободномолекулярного обтекания сферы [3]. Перехода к пределу при U ->0, получаем
^ Tt/?2 t/2
•^оо д = Роо 25 для диффузного отражения молекул
Т1Д2£У2 16
^со 3 — Роо 25 3 Уъ
и для зеркального отражения ____
Для вычисления сопротивления в переходной области необходимо решать уравнение Больцмана, что сопряжено со значительными трудностями математического характера, связанными, с одной стороны, со сложным видом интеграла столкновений и, с другой, — с многомерностью задачи. Поэтому все попытки решения кинетического уравнения ограничивались либо аппроксимацией функции распределения, либо анализом уравнения Kpyjca [4—6]. Особо следует отметить работу [6], в которой вариационным методом для модельного уравнения
16
3 Уп
У я
Крука вычисляется сопротивление сферы для всех режимов течения от сплошной среды до свободномолекулярного потока. Отражение молекул от сферы в работе Черчиньяни [6] считалось диффузным. Расчет показал хорошее соответствие с экспериментальными данными [1].
В данной работе для определения сопротивления сферы методом Монте-Карло [7] решается уравнение Больцмана.
1. Вывод уравнения. Рассмотрим обтекание сферы радиуса медленным потоком разреженного газа со скоростью I) -*■ 0. В этом случае функцию распределения / можно представить в виде
Аналитические выражения £ (г>) и Цу, і»!) для молекул, взаимодействующих по закону твердых сфер, имеют форму
Интегрируя уравнения (2) вдоль траекторий, приходим к линейному интегральному уравнению
к которому применима статистическая процедура Улама—Неймана [8].
2. Описание метода. В общем случае расчет методом Монте-Карло сводится к вычислению интегралов. Этими интегралами являются математические ожидания случайных величин, используемых в качестве оценок. Другими словами, производится оценка интеграла типа Лебега — Стильтьеса по некоторой
ВерОЯТНОСТНОЙ Мере [X '
В случае решения интегральных уравнений [8] интеграл (8) представляет собой функционал от решения уравнения
где Э — область «-мерного евклидова пространства; х^й, _уЄС>, <р (х) и <рг(х) — функции, определенные в й, ядро К (х, у) определено на декартовом произведении й на себя, и интеграл в уравнении понимается в смысле Лебега. Легко
/ —/() + ¥>
где у — малая добавка,
(1)
и уравнение Больцмана линеаризуется
(2)
здесь
(3>
где g = v1 — v,
(4>
(5)
где
к =
(в)
(7)
г;
1 = „С 'К-*) Iа (4х)
(8)
с помощью среднего арифметического по количеству испытаний
(9)
(10)
о
видеть, что уравнение (5) есть частный случай общего линейного интегрального уравнения (10). Решение такого уравнения дается сходящимся рядом Неймана:
СО
? (*) = 2 (*)’
/=о
где <р0 (х) = <рг (х), (х) к {х, у) ф/—1 (.у) Йу.
В этом случае искомый функционал представляется в виде суммы кратных интегралов
/=(<?, А) = 2 1 ?Г (-«о) к (*0> Х1)’ К (*,_ 1, XI) (В , (11)
1=0
где Яг = Ох, Их, . . ., хР, /?0=О,
/
<Й0 = (1х0, а!0/ = Л*г0 <1x1.
Обычно с уравнением (10) связывают однородную цепь Маркова, заданную плотностью начального распределения % (х) и переходной плотностью р (х у). Выборочная траектория цепи строится в соответствии с начальной и переходной плотностями вероятности. Тогда оценка (9) искомого функционала (И) будет иметь вид
й
' + = 2 ^С*о. хи . . ., х1)к(х1),
1=0
где
& = \{ХГ’ Х‘\ - ---- А.^т-1» ; (12)
Я (*г) /> С*г - *1) (■*(-! -* хд
к— количество столкновений в траектории.
Таким образом, зная аналитическое выражение ядра, можно строить простой алгоритм вычисления различных функционалов решения интегрального уравнения.
3. Постановка и решение задачи. Сфера радиуса И помещалась в начале прямоугольной системы координат. Поле течения ограничивалось кубом с центром в начале координат и стороной 10 калибров. Ввиду симметрии задачи бралась только верхняя половина течения, а на плоскости у=0 задавался зеркальный закон отражения молекул (фиг. 1). На бесконечности (на гранях куба) задавалась равновесная функция распределения с параметрами на бесконечности п<х' ^со' Тсо, а закон отражения молекул от поверхности сферы брался либо зеркальным, либо диффузным с температурой, равной температуре на оо.
/то= пт ^ 2 ъкТ ) е ‘ ^ ^
I — нормаль к поверхности.
Число Кнудсена вводится обычным образом, как в работе [6]:
Г-
Цепь Маркова представляет собой случайное блуждание пробной молекулы на равновесной функции распределения:
а) скорость влетающей с границы молекулы распределена пропорционально
(VI) е
б) время свободного пролета т и столкновение в элементе йх происходят с вероятностью
е-к'Ыт;
в) скорость после столкновения пропорциональна .
Искомый функционал (8)—сила сопротивления
рх = т. | ух (VI) <ра,
где интегрирование ведется по всей поверхности сферы, оценивается как среднее арифметическое (9) от случайной величины к = тух(у1) в точках поверхности сферы с весом (12).
В случае зеркального отражения от поверхности сферы схема расчета существенно упрощается, поскольку траектория пробной частицы легко находится
изменением нормальной скорости на обратную. В случае диф-
Uoo
Фиг. 1
фузного отражения в функцию распределения отраженных частиц (13) входит неизвестная плотность пт. В этом случае
9г — fw е
4
где V и т,— добавки к равновесной плотности и температуре. Неизвестную добавку к плотности \>ш выражают через искомую функцию распределения
|
и вновь полученное уравнение остается линейным, аналогичным по форме исходному с несколько видоизмененным ядром, которое необходимо учитывать в точках отражения частицы от поверхности сферы.
Результаты расчета силы сопротивления, отнесенной к свободномолекулярному значению, от числа Кп представлены на фиг. 2. Точками на графике представлены результаты, полученные при зеркальном отражении от сферы, треугольниками - при диффузном. Для сравнения сплошной кривой показаны результаты работы [6]. Значение силы сопротивления Стокса дает величину угла наклона в начале координат (сплошная линия — условие прилипания, пунктирная—равенство нулю тангенциального импульса).
ЛИТЕРАТУРА
1. Mil lie ап R. A. The general law of fall on a small spherical body through a gas, and its bearing upon the nature of molecular reflection from surfaces, Phys. Rev., 22, N 1, 1923.
2. J1 а н д a у Jl. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред.
М., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.
3. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., .Наука*, 1967.
4. Liu С. Y., Sigimura Т. Rarefied gas flow over a sphere at low
Mach numbers. Rarefied gas Dynamics. 6 simposium, vol. 1, 1963.
5. Willis R. Sphere drag at high Knudsen number and low Mach
number. Phys. Fluids, vol. 9, N 12, 1966.
6. Cercignani C., Pag an i C. D., В ass an ini P. Flow of Rarefied gas past an axisymetric body Phys. Fluids, vol. 11, N 7, 1968.
7. Хлопков Ю. И. Решение линеаризованного уравнения Больцмана. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., Mi 5, 1973.
8. Ермаков. С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., „Наука", 1971.
Рукопись поступила 17/IV 1974 г.
