CC BY
64
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 534.512:51
А.В. Авершьева
ФГБОУВПО «МГСУ»
СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ ВОЛНЫ ЛЭМБА В УПРУГОМ СЛОЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА
Исследованы дисперсионные кривые для волн Лэмба различных мод. Дисперсионные соотношения построены методом экспоненциальных отображений совместно с шестимерным комплексным формализмом Коши. Для изотропных материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона получены и проанализированы дисперсионные кривые, отвечающие нулевой симметричной фундаментальной моде.
Ключевые слова: волна Лэмба, ауксетик, формализм Коши, дисперсия, коэффициент Пуассона, метод экспоненциальных отображений.
В 1917 г. Лэмб написал первую работу об особом виде волн [1]. Первые исследования по использованию волн Лэмба для мониторинга состояния конструкций произошли в 1950-х гг. и описаны в [2, 3].
Уникальность волн Лэмба заключается в особенности их распространения. Они распространяются в пластине или слое, причем на всю толщину. Волны Лэмба способны преодолевать большие расстояния. С помощью волн Лэмба удобно совершать мониторинг дефектов в многослойных пластинах и оболочках. Анализ эффектов затухания и отражения, изменения скорости распространения волны делают возможными подобные исследования. Для мониторинга дефектов необходимо владеть знаниями о дисперсионном поведении этих волн в зависимости от механических характеристик анализируемого тела.
В данной работе представлены результаты исследования распространения волны Лэмба в однослойной пластине с отрицательным коэффициентом Пуассона, полученные численно-аналитическими методами.
1. Основные понятия и положения. Зависимость скорости распространения продольных и поперечных волн в зависимости от свойств среды можно представить формулами:
(1.1)
Р
где 1 и т — константы Ламе; р — плотность среды.
Фазовая скорость является одной из основных характеристик волн Лэмба.
с, = Ю, (1.2)
г
где с• — фазовая скорость; ю = 2р/Т — частота волны; Т — период волны; г = 2р/1 — волновое число; 1 — длина волны.
ВЕСТНИК лтлла
4/2015
Константы Ламе, модуль упругости и коэффициент Пуассона связаны следующими соотношениями:
1 Еп Е п оч
1 =-; т =-, (1.3)
(1 + п)(1 -2 п) 2(1 + п)
где Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона.
В перемещениях при отсутствии внешних сил динамическое уравнение движения можно представить в виде [4]
/ = рд]п1. (1.4)
В этом уравнении Л.. — дифференциальный оператор, который в случае анизотропного материала имеет вид
Л, = с. д , д *. (1.5)
Для изотропного материала:
Л. =тьрдкдк + (1+т) д,.д,. (1.6)
Символ Кронекера
[1, / = к;
J (1.7)
В формулах (1.4)—(1.6) дi (д..,дк,д,) и д, — производные по пространственным координатам и времени соответственно.
Для упругой однородной анизотропной среды уравнение (1.4) при учете (1.5) можно представить в векторной форме
divcVu -ри = 0. (1.8)
В случае изотропного тела уравнение (1.4) при учете (1.6) можно представить в виде
д 2и
mV2 и + (1 + m)grad divu = р—-. (1.9)
dt
С учетом известных векторных тождеств
V2u = Du = grad(div u) - rot rot и (110)
и
grad(divu) = V(div u) (1.11)
получим уравнение Ламе
d2u
(1 + 2m)Vdivu -mrotrot u = р—^~. (112)
Это уравнение описывает динамические процессы в изотропных упругих средах без учета объемных сил.
Уравнение (1.12) можно преобразовать к виду
дЧг-^l^vdivu +mrotrot u = 0. (1.13)
dt2 р р
При учете формул (1.1) уравнение (1.13) преобразуется к виду
-> -> д2 u
с2 Vdivu - с rot rot u = -т-. (1.14)
р s dt2 Если перемещения зависят только от одной координаты u = u(x, t), а возмущения распространяются вдоль оси х, то уравнение (1.14) можно представить в виде следующих двух уравнений:
дЧ 2 дЧ п д2u 2 d2us
—, - cv-f = 0 и —- ^—2l = 0. (1.15)
dt2 p dx2 dt2 ' dx2
Процесс интегрирования уравнения движения теории упругости можно
упростить, используя представление Гельмгольца:
u = grad ф + rot у, (116)
где j и у — скалярный и векторный потенциалы.
С учетом (1.16) уравнения (1.15) преобразуются к виду
d2 ф 2 д2 у -2- = c„Дф и —-т
dt2 p т dt или в соответствии с формулой (1.10)
^ = c2Дф и^-f = c>y (1.17а)
= c2 У2ф и = cS W (1.17б)
dt dt
Нетрудно убедиться, что решением уравнения для (1.17а) и (1.17б) являются
Ф = F (nx - cpt) и у = F (nx - e t), (118)
где F — произвольная достаточно гладкая функция; х = {x, y, z} — радиус-вектор; n — единичный вектор, задающий направление распространения волны.
В [5, 6] показано, что общее решение для определения поля перемещений можно представить как сумму градиента скалярного потенциала и векторного потенциала, каждый из которых удовлетворяет волновым уравнениям (1.17). Такое представление поля перемещений стало ключевым во многих последующих исследованиях.
Решение уравнения (1.18) можно представить для плоской гармонической волны, распространяющейся в слое с произвольной упругой анизотропией в экспоненциальной форме:
u(x, 0 = f (QeHnx-ct), (1.19)
где f — неизвестная векторная функция, определяющая изменение амплитуды на волновом фронте; Z = ir (xv) — мнимая переменная, необходимая для того, чтобы аргумент был безразмерной величиной (например, для разложения в ряды); r — волновое число; х — координата точки; v — единичный вектор нормали (вектор перпендикулярный к срединной поверхности); n — направление распространения волны (в этом направлении распространяется гармоническая волна); с — фазовая скорость.
Представляя решение (1.19) в форме (1.18), получим
ф = f (Z)eir{nx^; V = f (Z)eHnx). (1.20)
Используя представление (1.19), можно преобразовать уравнение (1.8) для анизотропной среды. Полученное уравнение называется уравнением Кристоффеля:
i д2 д }
4-2 + 4 — + A3 f = 0, (1.21)
v дС дС
-r2
где
A = vCv; A2 = vCn + nCv; A3 = nCn -pc21, (1.22)
где I — единичная диагональная матрица размером 3 на 3.
ВЕСТНИК лтлла
4/2015
Данное уравнение представлено в [7—9].
2. Постановка задачи. Основные методы решения. Волны Лэмба — волны плоской деформации, имеющие сагиттальную поляризацию, распространяются в тонкой свободной пластине.
Рассмотрим пластинку толщиной 2Н, с границами х = ±Н. Решение задачи о распространении волн в упругом слое (пластине), когда границы слоя свободны от напряжений, рассмотрено в [2, 10—12].
Ограничимся рассмотрением случая: ыу = V = 0; ихг = и,(х, z, 1).
Движение частиц среды описывается уравнением (1.13).
Граничные условия в напряжениях запишутся следующим образом:
'V | ^ = ^и = 0. (2Л)
В этом случае поверхности считаются свободными. Задача сводится к решению уравнения (1.13) с граничными условиями (2.1).
Прикладываемая к пластине нагрузка приводит к возникновению продольных и поперечных волн. Существует несколько методов решения уравнения (1.13).
2.1 Метод потенциалов. Выражая вектор перемещений через скалярный ф и векторный у потенциалы согласно представлению Гельмгольца (1.16), уравнение (1.13) приводится к двум волновым уравнениям (1.17).
Для случая гармонического процесса решение задачи ищется в соответствии с формулой (1.20) в виде
ф(х, г, t) = ф'(г^"'^0''1 и у(х, г, t) = у'(г)е'г(2.2) где с — неизвестная фазовая скорость.
Подстановка (2.2) превращает (1.17) в обыкновенные дифференциальные уравнения относительно ф' и у'.
V' (г) = 0, (2.3)
Л2 ^ Г И 2 ^
а__к2 2 1 ф'(г) = 0 и а__V2 2 2
^ йг ) ^ аг ;
где V =7г2 -гр2; У2 = ^
2 2 га га
г — г ' г =—' г = —
я ' р ' я
с с
р в
В [2, 10] решения уравнений (2.3) описываются гиперболическими функциями и будут содержать в себе произвольные постоянные:
ф = (а 8Ьуг + а2сЬуг)(V = ( зЬУ2г + Р2 сЬУ2г)(\ (2.4)
Эти выражения удовлетворяют волновым уравнениям (2.2).
Получим систему четырех линейных однородных уравнений, содержащих константы. Если приравнять детерминант этой системы к нулю, придем к дисперсионному уравнению, из которого при заданных р, 1, т, га находится фазовая скорость. Решение можно упростить, рассмотрев две системы частных решений:
и = а 2е-(^сЬу г; V: = Р1е'г (^ ^ г;
|ф2 = а1е,у (х-* ^Ьу г; V 2 = в2 е*(х-)сЬУ; г.
Первая описывает распространение симметричных волн Лэмба, а вторая — асимметричных. Дисперсионное уравнение представлено в [2, 9—11, 13, 14].
Для симметричных волн дисперсионное уравнение имеет вид
th (Vph) _( 1 + Р2 )2
(2.6а)
r r
r
th (Vph) _ 4P pP, th (V.h )_( 1 + P2 )2.
(2.66)
Эти уравнения обычно упоминаются как классические частотные уравнения Рэлея — Лэмба для случая распространения волн в бесконечной упругой пластине со свободными краями. Более поздние работы привели к всестороннему изучению поведения волн, подчиняющихся этому уравнению, их спектров и режимов.
2.2. Метод экспоненциально-численных отображений. Уравнение (1.21) имеет матричный вид. Основной прием для решения данного уравнения — шестимерный формализм, когда дифференциальное уравнение второго порядка сводят к шести обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. В зависимости от выбора вспомогательной функции V различают несколько эквивалентных представлений уравнений движения (1.21). Рассмотрим наиболее удобные формализм Стро и формализм Коши, подробно рассмотренные в [14]:
А. Формализм Стро. В 1962 г. Стро предложил новое представление для решения уравнения (1.8), которое было названо формализмом Стро. Первоначально формализм Стро был применен при анализе волн Рэлея, распространяющихся на свободной границе анизотропного полупространства [15]. В [16] формализм Стро был применен для описания волн Лэмба, распространяющихся в однородных анизотропных пластинах.
Представление для гармонической волны Лэмба ищется в виде (1.19). Вспомогательная вектор-функция принимается в виде
Основная идея формализма Стро в переписывании уравнения движения в терминах перемещений и поверхностных сил. Умножение обеих частей (2.9) на матрицу А— дает следующее выражение для производной:
(2.7)
(2.8)
где A4 = vCn.
f (Z) _ A-1V(Z) - A-1A4 f (Z).
(2.9)
С учетом (2.9) уравнение (1.21) примет вид
(2.10)
где N — фундаментальная матрица.
( -А-1 А А-1 \
A1 A4 A1
ч A4 A1 A4 — A3 — A4 A1
N_
(2.11)
v
l4^1 J
ВЕСТНИК
МГСУ-
Общее решение (2.10) может быть переписано в форме
( / Л
V У у
= ехр(С N) *6
(2.12)
где Х6 является шестимерным комплексным вектором неизвестных коэффициентов, который определяется при помощи граничных условий.
Исключение вектора Х6 дает следующее дисперсионное уравнение для анизотропной пластины:
det ШО I) ехр (—ТлгИ N )]|
'I Л О
= 0.
(2.13)
Б. Формализм Коши. Формализм Коши — еще один вариант шестимерного формализма для анализа дисперсии волн Лэмба в пластинах с произвольной анизотропией.
Данный вид формализма основан на преобразовании уравнения второго порядка (1.21) к нормальным формам Коши.
Для рассматриваемого формализма представление для гармонической волны Лэмба ищется в виде (1.19). При введении новой вектор-функции
V (С) = ^ / (С) (2.14)
уравнение движения (1.8) преобразуется к нормальной форме Коши
г/Л
VУ
= G
V У у
где
G =
( О I
—А— А3 — А1 А2
(2.15)
(2.16)
Подобно (2.12) общее решение (2.15) может быть представлено в Эйлеровой экспоненциальной форме
(1 (О Л
У (О
= е*Х6.
(2.17)
(2.18)
Вектор поверхностной тяги определяется по формуле
К (О = ( + а4 ) / (С), а матрицы А—, А2, А3, А4 определены в (1.22) и (2.8).
Объединяя (2.17) и (2.18), перемещения на поверхности на обеих сторонах пластины имеют вид ( / (±згИ)Л
где
V К (±1гИ) ( I О Л
= Z ехр(±1гН G) Х6
Z =
V А4 А1 у
(2.19)
(2.20)
Уравнение (2.19) позволяет исключить Х6, выражая перемещения и поверхностные силы на одной стороне пластины, через соответствующие векторы с другой стороны.
г/(-irh) ^ = т f f (+irh^
tv (-irh)
К (+irh)
где
T = Ze-2,rhGZ
(2.21)
(2.22)
3. Численный алгоритм и дисперсионные кривые. Для изотропного материала матрицы Ар А2, А3, А4 имеют вид
4 =
0 О
о о
ц 0
О
4 =
о
+ ц О
X + ц 0 о
ц-рс2 0 0 0 X 0"
4 = 0 Х + 2ц-рс2 0 j 4_ Ц 0 0
0 0 ц-рс2 _ 0 0 0
(3.1)
После подстановки (3.1) в (2.16) матрица G примет вид
G =
0 0 0
m-pc2 i+2m
0 0
0 0 0
1 + 2|m-pc2
m
0
m-pc m
1
0 0
0
i+m
m
0
0 1 0
i+m i+2m
0 0
0
(3.2)
Матрица Т определяется по выражению (2.22), где г = ю/с; 2И — толщина пластины. Матрица Т является основной матрицей для получения дисперсионных соотношений.
Представление (2.17) справедливо, если матрица G является вырожденной. Условием вырожденности матрицы является следующее выражение
(I У
(3.3)
det
(O I)T
v O у
= 0.
Были проведены расчеты для однослойной пластины при р = 1, с= 1, И = 1 при изменении коэффициента Пуассона в интервале (-1; 0,5). Дисперсионные кривые для различных коэффициентов Пуассона, полученные по результатам расчета, приведены на рис. 1.
В [8] был проведен асимптотический анализ уравнения (1.21) при ю ^ 0
с=т2Й. (34)
Сравнение графика зависимости второй предельной скорости от коэффициента Пуассона по формуле (3.3) с графиком, полученным по формуле (3.4), приведено на рис. 2.
ВЕСТНИК
МГСУ-
Рис. 1. Дисперсионные кривые при вариации коэффициента Пуассона от -1 до 0,5
Рис. 2. Сравнения графиков для 2-й предельной скорости при вариации коэффициента Пуассона от -1 до 0,5
Те же результаты могут быть получены, если по формуле, полученной в [17], построить графики при т = 1, Р = 1:
с + т
—-—-- при р = —.
Р
(3.5)
в Х + 2ц
Выводы. На основе комбинированного метода, включающего в себя шестимерный комплексный формализм Коши и экспоненциальные отображения, разработана теория получения дисперсионных соотношений для волн Лэмба, распространяющихся в пластинах из ауксетиков.
По результатам анализа дисперсионных кривых, представленных на рис. 1, можно сделать вывод, что с увеличением коэффициента Пуассона от -1 до 0,5, происходит увеличение второй предельной скорости распространения волн Лэмба.
Проведен сравнительный анализ результатов, полученных в различной литературе. Результаты, полученные по формуле (3.3), подтверждают полученные ранее асимптотические решения.
Библиографический список
1. Lamb H. On Waves in an Elastic Plate. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1917. No. 93 (648). Pp. 114—128.
2. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М. : Наука, 1966. 168 с.
3. Worlton D.C. Ultrasonic Testing with Lamb Waves // Non-destructive Testing. 1957. Vol. 15. No. 4. Pp. 218—222.
4. Гузь А.Н., Зозуля В.В. Неклассические проблемы механики разрушения // Хрупкое разрушение материала при динамических нагрузках. Т. 4. Кн. 2. Киев : Наукова Думка, 1993. 240 с.
5. LaméM.G. Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides. Paris : Bachelier, 1852. 335 p.
6. Poisson S.D. Mémories de l'academic des science. 1829. Vol. 8. Pp. 356—580.
7. Кузнецов С.В., Кузнецова М.Н., Нафасов А.Э. Численное моделирование распространения упругих волн и их взаимодействие с горизонтальными сейсмическими барьерами. Препринт № 945. М. : ИПМ им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2010. 44 с.
8. Djeran-Maigre I., Kuznetsov S.V. Soliton-Like Lamb Waves in Layered // Waves in Fluids and Solids. InTech, 2011. Pp. 53—68.
9. Rose J.L. Ultrasonic Guided Waves in Solid Media. Cambridge : Cambridge University Press, 2014. 547 p.
10. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М. : Физматлит, 2002. 208 с.
11. Andrews J.P. Lamb wave propagation in varying thermal environments. USAF. 2007. 201 p.
12. Oldham R.D. On the Propagation of Earthquake Motion to Great Distances // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1900. Vol. 194. P. 135.
13. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб. : Изд-во СПбГТУ 1999. 341 с.
14. Kuznetsov S.V. Cauchy Six-Dimensional Formalism for Lamb Waves in Multilayered Plates. Hindawi Publishing Corporation. ISRN Mechanical Engineering. Article ID 698706. 2013. 11 p.
15. StrohA.N. Steady state problems in anisotropic elasticity // Journal of Mathematical Physics. 1962. Vol. 41. No. 2. Pp. 77-103.
16. ShuvalovA.L. On the theory of wave propagation in anisotropic plates // Proceedings of the Royal Society A. 2000. Vol. 456. Issue 2001. Pp. 2197—2222.
17. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. McGraw-Hill Book Company, New-York, Toronto, London, 1957. 390 p.
Поступила в редакцию в марте 2015 г.
Об авторе: Авершьева Анна Владимировна — аспирант кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Авершьева А.В. Солитоноподобные волны Лэмба в упругом слое с отрицательным коэффициентом Пуассона // Вестник МГСУ 2015. № 4. С. 39—49.
BECTHMK
A.V. Avershyeva
SOLITON-LIKE LAMB WAVES IN ELASTIC LAYER WITH NEGATIVE POISSON RATIO
The uniqueness of Lamb waves is in features of their distribution. They are distributed all through a slab or a layer. The Lamb waves may cover great distances. With the help of Lamb waves it is easy to monitor the defects in multilayered slabs and shells. In order to monitor the defects it is necessary to possess the knowledge about the disperse behavior of these waves depending on mechanical characteristics of the analyzed body.
Dispersion curves are analyzed for Lamb waves of different modes. The dispersion relations are constructed by the exponential mappings coupled with a 6-dimentional complex Cauchy formalism. For an isotropic medium with negative Poisson's ratio the dispersion curves are obtained and analyzed, special attention is paid to the zero fundamental symmetric modes.
The authors conducted a comparative analysis of the results obtained in disserent literature. The results obtained in the article are confirmed by the asymptotic solutions worked out before.
Key words: Lamb wave, auxetics, Cauchy formalism, dispersion, Poisson ratio, exponential mapping method.
References
1. Lamb H. On Waves in an Elastic Plate. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1917, no. 93 (648), pp. 114—128.
2. Viktorov I.A. Fizicheskie osnovy primeneniya ul'trazvukovykh voln Releya i Lemba v tekhnike [Physical Foundations of Rayleigh and Lamb Ultrasonic Waves Application in Technics]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 168 p. (In Russian)
3. Worlton D.C. Ultrasonic Testing with Lamb Waves. Non-Destructive Testing. 1957, vol. 15, no. 4, pp. 218—222.
4. Guz' A.N., Zozulya V.V. Neklassicheskie problemy mekhaniki razrusheniya [Non-classical Problems of Fracture Mechanics]. Khrupkoe razrushenie materiala pri dinamicheskikh nagruzkakh [Brittle Fracture of a Material at Dynamic Loads]. Vol. 4, book 2. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1993, 240 p. (In Russian)
5. Lamé M.G. Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides. Paris, Bachelier, 1852, 335 p.
6. Poisson S.D. Mémories de l'academic des science. 1829, vol. 8, pp. 356—580.
7. Kuznetsov S.V., Kuznetsova M.N., Nafasov A.E. Chislennoe modelirovanie raspros-traneniya uprugikh voln i ikh vzaimodeystvie s gorizontal'nymi seysmicheskimi bar'erami [Numerical Modeling of Elastic Waves Propagation and their Interaction with Horisontal Seismic Barriers]. Preprint № 945. Moscow, IPM im. A.Yu. Ishlinskogo RAN Publ., 2010, 44 p. (In Russian)
8. Djeran-Maigre I., Kuznetsov S.V. Soliton-Like Lamb Waves in Layered. Waves in Fluids and Solids. InTech, 2011, pp. 53—68.
9. Rose J.L. Ultrasonic Guided Waves in Solid Media. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, 547 p.
10. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Semerikova N.P. Volny v sterzhnyakh. Dispersiya. Dis-sipatsiya. Nelineynost' [Waves in Rods. Dispersion. Dissipation. Nonlinearity]. Moscow, Fiz-matlit Publ., 2002, 208 p. (In Russian)
11. Andrews J.P. Lamb Wave Propagation in Varying Thermal Environments. USAF, 2007, 201 p.
12. Oldham R.D. On the Propagation of Earthquake Motion to Great Distances. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1900, vol. 194, pp. 135.
13. Eliseev V.V. Mekhanika uprugikh tel [Mechanics of Elastic Bodies]. Saint Petercburg, SPbGTU Publ., 1999, 341 p. (In Russian)
14. Kuznetsov S.V. Cauchy Six-Dimensional Formalism for Lamb Waves in Multilayered Plates. Hindawi Publishing Corporation. ISRN Mechanical Engineering. Article ID 698706, 2013, 11 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1155/2013/698706.
15. Stroh A.N. Steady State Problems in Anisotropic Elasticity. Journal of Mathematical Physics. 1962, vol. 41, no. 2, pp. 77-103.
16. Shuvalov A.L. On the Theory of Wave Propagation in Anisotropic Plates. Proceedings of the Royal Society A. 2000, vol. 456, issue 2001, pp. 2197—2222. DOI: http://dx.doi. org/10.1098/rspa.2000.0609.
17. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic Waves in Layered Media. McGraw-Hill Book Company, New-York, Toronto, London, 1957, 390 p.
About the author: Avershyeva Anna Vladimirovna — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Avershyeva A.V. Solitonopodobnye volny Lemba v uprugom sloe s otritsatel'nym koeffitsientom Puassona [Soliton-Like Lamb Waves in Elastic Layer with Negative Poisson Ratio]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 4, pp. 39—49. (In Russian)
