CC BY
57
УДК 517.957:539.3:534.21
А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев
СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Проведен краткий анализ нелинейных динамических систем, обладающих точными уединенно-волновыми решениями. Предложены два обобщения уравнения Островского, возникающие в нелинейной волновой динамике деформируемых систем. Получены их точные солитоноподобные решения, а также установлена связь с нелинейным уравнением Шредингера.
Нелинейная волновая динамика, солитоноподобные решения, обобщенное уравнение Островского
SOLITON-LIKE SOLUTIONS TO THE GENERALIZED EVOLUTION EQUATIONS OF NONLINEAR WAVE DYNAMICS IN DEFORMABLE SYSTEMS
Nonlinear dynamic systems with exact solitary-wave solutions are analyzed. Two generalizations of the Ostrovsky equation arising in nonlinear wave dynamics of deform-able systems are proposed. The exact soliton-like solutions to these equations are received, as well as a connection is established with the nonlinear Schrodinger equation.
Nonlinear wave dynamics, soliton-like solutions, generalized Ostrovsky equation
В 1978 г. было впервые выведено нелинейное эволюционное уравнение для внутренних волн во вращающемся океане [1]:
где п - возмущение свободной поверхности жидкости, h - глубина, с0 - скорость распространения
возмущения, в - параметр высокочастотной дисперсии, О - параметр Кориолиса, характеризующий вращение жидкости. Уравнение (1) называется уравнением Островского, не интегрируется методом обратной задачи рассеяния и не имеет точных солитоноподобных решений.
В [2] отмечено, что (1) в действительности имеет отношение к широкому кругу нелинейных систем, характеризующихся наличием бездисперсионной полосы в спектре частот, разделяющей области с низко- и высокочастотной дисперсиями. Примерами здесь могут служить необыкновенные электромагнитные и косые магнитозвуковые волны в замагниченной плазме, возбуждения в цепочке атомов, описываемые моделью Френкеля - Конторовой (ФК), волны в линиях передачи типа полосового фильтра, акустические волны в изогнутом стержне и волны в случайно-неоднородных средах.
В последние годы большое число работ посвящено усеченному бездисперсионному варианту уравнения (1):
АЛ. Zemlyanukhin, А^. Bochkarev
(1)
Известно [3], что при помощи введения новых независимых и зависимой переменных уравнение (2) приводится к интегрируемому и обладает классами точных решений [4].
За несколько лет до вывода уравнения (1) появились работы [5, 6], содержащие в определенной степени его обобщения, обладающие точными уединенно-волновыми решениями. Так, в [5] на основе модели ФК, учитывающей ангармонизм специального вида взаимодействия соседних атомов, предложены эволюционные уравнения:
Utt = a(üxx + a^ - р UUx) - gU(a - U )(a - 2U). (3)
Utt = aUx + a^xx -pUUxx )-g— sin—U. (4)
a a
В [6] рассмотрена редукция уравнения (4), называемая уравнением Конно - Камеямы - Сану-ки (ККС):
U* =-о sin U + hU]Utt + к3 Utttt. (5)
6
Показано, что при определенном соотношении между параметрами нелинейности и дисперсии, уравнение ККС (5) становится интегрируемым и обладает N-солитонными решениями [7].
В 1997 г. в [8] были получены точные солитоноподобные решения в обобщенных динамических моделях квазиодномерного кристалла. Проанализировав обобщенные уравнения Буссинеска:
Utt -cUxx -6GUXUXX -FUxx =-—, (6)
2 ЭФ
Ut - С U xx - HUxUxx - PUxxxx =- — , (7)
где Y = a(u2 — l) , Ф = B(l + cos pU), авторы отметили, что [5, 6] с уравнениями (3)-(5) - единственные известные работы, относящиеся к обобщенным моделям. Кроме того, показано, что простейшие обобщения потенциалов ¥ и Ф видов
y* = a (и2 — i)2 + A2 (u 2 — l)3,
Ф* = B1 (l + cos pU) + B2 (l + cos2pU) позволяют получить точные решения без ограничений на соотношения между параметрами в левых частях уравнений (6), (7).
Возвращаясь к уравнению Островского (l), заметим, что оно естественно возникает в задачах нелинейной волновой динамики деформируемых систем [9]. Рассмотрим обобщенное уравнение Бус-синеска, моделирующее распространение продольной волны в геометрически нелинейном стержне, лежащем на линейно-упругом основании (взаимодействующем с упругой средой) [ 10]:
utt — clUx + a UUx + b U_ + gU = 0, (8)
где U - перемещение, c0 - скорость звука в стержне, а, в, у - параметры, характеризующие нелинейность, дисперсию и влияние упругой среды.
Считая а, в, у величинами одного порядка малости s, вводим новые независимые переменные £ = х— ct,т = stи разложение компоненты перемещения по степеням малого параметра: U = U 0 + eUl +... Тогда в линейном приближении получаем выражение для скорости распространения возмущения c = c0, а в первом нелинейном порядке по параметру s - эволюционное уравнение
U oxt + alU oxU oxx + PlU 0ХХХХ = glU o. (9)
Дифференцируя обе части (9) по £ и обозначая U= W , получим для компоненты продольной деформации уравнение Островского
(Wt + cwW + pwy^glW. (l0)
В случае нелинейно-упругого основания вместо (8) получается уравнение
Ut — clUxx + aUxUxx + b Uxxxx = glU ± glU3, (l l)
где знак перед последним слагаемым справа выбирается в зависимости от вида нелинейности -«жесткой» соответствует плюс, а «мягкой» - минус. В последнем случае (ll) практически совпадает с уравнениями (3), (6) и обладает точным солитоноподобным решением.
В моделях нелинейной волновой динамики деформируемых сред с микроструктурой могут возникать члены с пространственными производными высокого порядка. В [11] выведено неинтегри-руемое эволюционное уравнение пятого порядка с кубической нелинейностью
Фх -«Ф2Фх _РФххх + РФххххх = 0, (12)
моделирующее осесимметричное распространение пучка продольных волн деформации в физически нелинейной цилиндрической оболочке, усиленной ребрами жесткости, построено точное солитоноподобное решение с использованием метода сингулярного многообразия [12], а также установлена его связь с нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Заметим, что учет только геометрической нелинейности в соотношениях «деформации - перемещения» приводит вместо (12) к уравнению Кавахары
Фх + «ФФх- рФххх + рФххххх = 0, (13)
обладающему точным солитоноподобным решением.
Уравнения (12), (13) для компоненты продольного перемещения принимают вид
- aU р XX _ рР хххх + РР хххххх = 0, (14)
итх + аихРххх -Ррхххх + Ррхххххх = 0. (15)
Учет взаимодействия оболочки с внешней нелинейно-упругой средой приводит к появлению в (14), (15) правых частей, аналогичных уравнению (11):
рхх - аирхх - Ьрхххх + Ррхххххх = Ъи _ ^и3, (16)
рхх +«1рхрхх -Ррхххх+Рихххххх = ъи-ъи3. (17)
Теперь построим точные солитоноподобные решения уравнений (16), (17) и установим связи этих уравнений с НУШ.
Уравнение (17) после перехода к новым зависимым и независимым переменным по формулам
3 1 11 3 1 3 1
Р1
принимает вид
и(х,г) = а-1р4у4ф(х,х), х = 74Р 4х, х = у4р4г, с1 = р ^у?, с2 = а-2р2у2у2 (18)
3
Фхх+ФхФхх- Фхххх+сФхххххх = Ф _ С2Ф , (19)
Будем искать решение (19) в форме
Ф = А Л (в (х - Сх))_ А Л3 (в (х - Сх)). (20)
После подстановки (20) в (19) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Ш в обеих частях уравнения (19). Для параметров из (19) и (20) получаются уравнения:
420В 83 _ 144 В2 133 11 9
А =-----, С =--+--, с =--- + ■
13 624В3' 13 936В2' 1 52 В2 14976 В6' 2 4А2 '
Как видим, параметры с1 и с2 не являются независимыми, а связаны между собой посредством параметра В. Задав значение В, мы однозначно определим все коэффициенты функции (20) и получим из (18) два условия на коэффициенты исходного уравнения (17). Заметим, что производная решения (20) имеет вид
Фх = авоЬ-4 (в(х- сх))
и представляет собой точное солитоноподобное решение уравнения (19).
Аналогично перейдя к новым переменным в уравнении (16), придем к
2 3
Фхх - ФхФхх - Фхххх + сФхххххх = Ф - С2Ф , (21)
где
_1 1 1 3 1 _3 1
и(х,г) = а"2рФ(х,х), х = У4Р~4х, х = у4Р4г, с1 = р"2р1У2, ^ = а_1ру_1у2. Решение (21) имеет вид
Ф = АЛ (В (х- Сх)), (22)
где
А = 3л/2, В = —С = 10с--—. (23)
Щ с1 1 25с1
3
При этом параметры (21) подчинены условию с2 = 1/18 . Легко видеть, что производная решения (22) имеет вид
фХ = абсК2 (в(Х-ст))
и представляет собой точное солитоноподобное решение уравнения (21).
Используем теперь метод многих масштабов для получения НУШ из уравнения (19). Для этого будем искать решение (19) в виде ряда по степеням малого параметра е :
ф = ¿еЧ, (24)
к=1
в котором величины ик являются функциями переменных Х,,Ti, , = 0,1,2,... :
X, = е X, г, =е' X.
С учетом
д ^ к д д ■А к д
--»У ек-,--» У ек-
дХ к=0 дХк дх к=0 дТк
запишем все частные производные от (24), входящие в (19). Затем подставим эти выражения в (19), перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и сгруппируем их по степеням е. Приравняв к нулю множитель при е1, получим линейное уравнение для и1 :
д 6и1 д 4и1 д 2и1
с с „ +--1--и = 0,
1 дХ06 дХ04 дХ0 дТ0 1 решение которого имеет вид квазигармонической волны
и1 = Ае'в + к.с, (25)
амплитуда которой зависит только от «медленных» переменных: А = А(Х 1,Х2,..., Т1,Т2,...), а параметры фазы 0 = юТ0 - кХ0 подчинены дисперсионному соотношению
1 с <;
Ю = —+ к3 + с1к5. (26)
к
Приравняв к нулю множитель при е2 , получим линейное уравнение для функции и2 :
д6и д4и д2и д2и, д2и, , д4и, д6и, ди, д2и, ,-_ч с,-2--2 +-2--и2 =--1---^ + 4-Ц- - 6с-Ц---1--(27)
1 дХ06 дХ04 дХ0 дТ0 2 дХ1дТ0 дХ0дТ1 дХ1дХ03 1 дХ1дХ05 дХ0 дХ02
Подставим (25) в правую часть (27), сгруппируем по степеням экспоненты и приравняем ну-
¿0
лю множитель при е :
, дА ,,3 дА ^ ,5 дА дА л
к-+ 4к -+ 6с к--Ю-= 0. (28)
дТ1 дХ1 1 дХ1 дХ1
Если множитель при ег0 не приравнять к нулю, решение (27) для и2 будет иметь секулярный
характер, поскольку функция ег0 обращает в ноль левую часть (27). С использованием (26) равенство (28) принимает вид
М + Ю'— = 0, (29)
дт дх1
где
Ю' = — = —^ + 3к + 5с к с1к к2 1
есть групповая скорость распространения волны (25).
После описанного исключения секулярных членов уравнение (27) упрощается:
д и д и д и ..,2 13 2,0
с-2--2 +-2--и2 = -¿А к е + к.с.,
1 дХ06 дХ04 дХ0 дТ0 2
и его частное решение теперь легко находится:
,А2к Зе2г0
60к 6с1 + 12к4 + 3
+ к.с. (30)
и2 =
Наконец, приравняем к нулю множитель при £ :
Э6и3 Э4и3
с аХТ
ЭХ4
д 2щ
д 2щ
д 2щ
д 2и
д 2и
д 2щ
дХ 0 дТ0
дХ0дТ1 дХ1дТ0 дХ 2дТ0 дХ1дТ1 ЭХ0дТ2
- +
+
„ д 4щ
4- 2
дХ1дХ03
-+6-
д 4и1
дХ12дХ02
+ 4
д 4и1
дХ 2дХ 0 у
^ д 6и2 6 2
ди1
2
дХ
д 2и
дХ
+ 2-
д и1
Л
дХ 1дХ| д2и1 Г ди
+6-
д 6и,
дХ 2 дХ 0
+15
д6и
дХ 2дХ 0 у
(31)
'0 У
дХ
ди
2 + 1
Л
V
дХ0 дХ1
У
дХ1 дХ0
Подставим в правую часть (31) функции (25) и (30), сгруппируем по степеням экспоненты и
¿в
приравняем к нулю, как и раньше, множитель при е :
■8 ,1 О т,6 ~ . 2 \ дА
¿(60с1к8 + 12к6 - 3к2)— + ¿(300с12к12 + 240с&10 + 36к8 - 75ск6 - 21к4 + 3^-дА + 11 УдТ 1 дХ.
22 22
+ (- 60с1к7 - 12к5 + 3к) д А +(- 900с2к11 - 540с1к9 - 72к7 + 45с1к5 + 18к3 )дА +
У 1 /дХ1дТ1 У 1 1 1 УдХ2
+ (-180с1с2к7 - 2к7 - 36с2к5 + 9с2к)а2А = 0. Заметим, что, продифференцировав (29) по Х 1 :
Э2А , Э2А
(32)
ЭТ1ЭХ1 " ЭХ2 '
можно избавить (32) от смешанной производной. Затем, разделив на общий множитель - 3к2 (- 20с1к6 - 4к4 +1), уравнению (32) можно придать окончательный вид
ЭА ЭТ
+ ю'
ЭА ЭХ
2 У
Ю" Э2а .2Т а
--^ + аА2 А = 0,
2 ЭХ2
где
ю"
ё ю ¿к2"'
:20с1к3 + 6к +
2
Р ■ «=-
1
3к
2к6 9 >
-з-г- 9с2
1 - 4к4 - 20с1к6 2 у
(33)
(34)
Равенство (33) есть НУШ, соответствующее уравнению (19).
Аналогичную последовательность действий нужно проделать и для получения НУШ из уравнения (22), выведенного из (16). Приведем только отличающиеся выражения.
Линейное уравнение для и2 в порядке £ :
Э6щ. Э и
1 эх06
ЭХ4
-+-
Э и
ЭХ0 ЭТ0
- щ =-
Э 2и1 Э 2и1
+4
ЭХ1ЭТ0 ЭХ0ЭТ1 ЭХ1ЭХ,
Э 4и1 Э6и1
1 - 6сг 1
ЭХ1ЭХ 05
после исключения секулярных членов становится однородным и его решение
и2 = 0.
(35)
(36)
Линейное уравнение для и3 в порядке £3
Э6и3 Э4и3
с эХ0Г
эх 04
+-
Э 2щ
Э 2щ
Э 2и1 Э 2и1 Э 2и1
ЭХ0 ЭТ0
Э 2щ
эх0эт1 эх 1эт0 эх2эт0 эх 1эт1
ЭХ 0ЭТ2
■+
+
Э 4щ
+6-
Э 4и1
V
эх 1эх 0 эх 1 эх
+ 4-
Э V
ЭХ2ЭХ0 у
- с
Э 6щ
+6-
Э 6и1
- +15-
Э 6и1
^ Г Эи ^2 Э 2и1
эх 1эх 0 эх 2 эх 0 эх 1 эх,
4
0 У
ЭХ,
0У
ЭХ I
после подстановки в него (25), (36) и группировки по степеням экспоненты дает следующий множи-
¿в
тель в правой части при е
■ +1 (5с1кь + 3к
¿к2 ЭА '-6 ■
эт
1)
ЭА
к
Э2 А
7)2 А
(15с1к5 + 6к3 - (3с2к + к5 )А2А = 0. (37)
ЭХ 1
ЭХ2 ЭХ1ЭТ1
С учетом выражений для ю' и ю", равенство (37) дает НУШ (33), в котором
3
с
3
4
6
q=— [ k3+) (38)
Решение уравнения (33) обладает модуляционной устойчивостью, если знаки коэффициентов перед дисперсионным и нелинейным слагаемыми противоположны:
w"
--q < 0.
2
Заключение
Таким образом, показано, что впервые предложенные обобщения (l6), (l7) уравнения Островского обладают точными солитоноподобными решениями (22), (20), соответственно, и при помощи метода многих масштабов приводятся к нелинейному уравнению Шредингера (33).
ЛИТЕРАТУРА
1. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане / Л. А. Островский // Океанология. l978. Т. l8. № 2. С. l8l-l9l.
2. Островский Л.А. Нелинейные волны во вращающейся жидкости / Л.А. Островский, Ю.А. Степанянц // Нелинейные волны: физика и астрофизика. М.: Наука, l993. С. l32-l53.
3. Vakhnenko V.O. The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Nonlinearity. l998. Vol.ll. P. l457-l464.
4. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики: учеб. пособие / Н.А. Кудря-шов. Долгопрудный: Изд. Дом «Интеллект», 20l0. 368 с.
5. Kosevich A.M. The supersonic motion of a crowdion. The one-dimensional model with nonlinear interaction between the nearest neighbours / A.M. Kosevich, A.S. Kovalev // Solid State Communication. l973. Vol. l2, P. 763-765.
6. Konno K. Effect of weak dislocation potential on nonlinear wave propagation in anharmonic crystal / K. Konno, W. Kameyama, H. Sanuki // J. Phys. Soc. Jap. l974. Vol. 37. P. l7l-l76.
7. Сазонов С.В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов / С.В. Сазонов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 20l3. №5 (87). C. l-22.
8. Гендельман О.В. Точные солитоноподобные решения в обобщенных динамических моделях квазиодномерного кристалла / О.В. Гендельман, Л.И. Маневич // ЖЭТФ. l997. Т ll2. № 4(l0). С. l5l0-l5l5.
9. Землянухин А.И. Численное исследование уравнения Гарднера-Островского пятого порядка / А.И. Землянухин, А.В. Ковалев // Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 20l4. Т. 3. № 3. С. 3ll-3l5
10. Ерофеев В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. М.: Физматлит, 2002. 208 c.
11. Землянухин А.И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич // Акустический журнал. 200l. Т. 47. № 3. С. 359-363.
Землянухин Александр Исаевич - Aleksandr I. Zemlyanukhin -
доктор физико-математических наук, профессор, Dr. Sc., Professor,
заведующий кафедрой «Прикладная математика Head: Department of Applied Mathematics и системный анализ» Саратовского государственного and System Analysis,
технического университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Бочкарев Андрей Владимирович - Andrey V. Bochkarev -
кандидат технических наук, доцент кафедры Ph.D., Associate Professor,
«Прикладная математика и системный анализ» Department of Applied Mathematics
Саратовского государственного технического and System Analysis,
университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 17.01.15, принята к опубликованию 10.02.15
