CC BY
30
Т о м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
№ 3
УДК 629.7.015.3.036:533.697.4
СОКРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИМПУЛЬСА СВЕРХЗВУКОВЫХ СОПЛ ПРИ РАСЧЕТАХ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
С. В. Ягу дин
Уточнен способ определения коэффициента импульса сверхзвуковых сопл [1, 2], основанный на использовании законов сохранения и полей течения, найденных, например, численно. Проведено сравнение с известными способами определения коэффициента импульса при расчетах течений в осесимметричных соплах методами [3] и [5] с различной густотой разбиения расчетного слоя.
1. Коэффициент импульса сверхзвукового сопла можно определить либо интегрированием параметров в выходном сечении сопла с площадью
| (р + ри2) ¿р
7 ^ р
П ~ ~т = ~ Г , (1)
'с (Рс + Рс «с) р
либо, используя уравнение сохранения количества движения вдоль оси х, совпадающей с осью сопла, в виде суммы импульса в минимальном (критическом) сечении сопла с площадью и интеграла сил давления, действующих на стенки сопла:
р
/,+ ^рйР
¡2 = -Г----(2)
'с
где р—давление, р—плотность, и — проекция вектора скорости на ось х, индекс „с" указывает, что параметры течения определяются по одномерным соотношениям.
Точность определения коэффициента импульса 71 интегрированием по сечению полностью определяется точностью входящих в соотношение (1) газодинамических параметров во всем сечении сопла, что налагает высокие требования к точности определения последних при численных расчетах течений в соплах. Точность определения /2 »интегрированием по контуру" зависит от точности расчетов как импульса в критическом сечении, так и давления вдоль стенки сопла. Пусть значение вычислено достаточно точно (например, методом [1], именуемым ниже методом поправок) или известно точно (если рассчитывается сверхзвуковая часть сопла в предположении, что скорости потока в минимальном сечении не дозвуковые). В этом случае погрешности при определении
1_ могут возникнуть лишь при вычислении интеграла сил давления, составляющего з практически интересных случаях не более 20% от поэтому коэффициент импульса сопла чаще определяют именно этим способом. Отметим, однако. что погрешности расчета давления на стенке сопла, как правило, незначительно сказываются на точности определения коэффициента импульса лишь в случае коротких сопл. С увеличением длины сопла эти погрешности могут накапливаться при интегрировании и, так как вклад интеграла сил давления в коэффициент импульса с увеличением длины сопла растет, точность расчетов 12 будет снижаться, оставаясь, тем не менее, выше точности расчетов
В работе [2], используя метод поправок [1], была выведена приближенная формула для определения коэффициента импульса, расчеты по которой позволили получить более высокую, по сравнению с рассмотренными выше способами, точность определения коэффициента импульса в случае профилированных сопл. Дальнейшие параметрические расчеты расширяющихся конических сопл с углами полураствора 6 = 2-^20° и с радиусами скругления контура в минимальном сечении = 0 -ч- 1 (здесь и в дальнейшем линейные геометрические размеры отнесены к минимальному радиусу сопла) показали целесообразность уточнения приближенной формулы [2].
Целью настоящей работы являются уточнение способа определения коэффициента импульса, рассмотренного в [2], и исследование эффективности уточненного способа при расчетах сопл методами [3] и [5].
2. В отличие от работы [1] будем определять коэффициент импульса по формуле:
7 /т [Рт«£(1+2 А + В+\Г) + Р1)Р
ут--=-, (о;
/с 'с
в которой величины рт, рт и ит определяются из системы уравнений, описывающих изоэнергетическое, изэнтропическое незакрученное течение идеального газа в осесимметричном сопле:
0=Рт ит(1+Л)Л
2 6 * +-24-
* Рт 1 4- Р ^ _1_ , [1 + 3 (Л ч- Б + + С+г+ К+Г] X р0 *-1 Рт 1+А т 2 "т 1 + А '
где х — показатель адиабаты, О —расход газа через сопло, индекс „0" относится к параметрам торможения потока, величины А, В, ... , \У (параметры формы профилей) определяются по полученным в результате численных расчетов сеточным распределениям давления р, плотности р и компонентов скорости и и V на оси декартовой системы координат х, у:
ДрД и „ ДцЗ Д1>2 Др2 ДпДц
А — ~ , В = , С=—=— , Е= —=—, В — --
рц и2 и3 р2 ри
^ ^ ДрДц2 ^ _ Да3 ДрДи2 ДдДи2 ^ ДрДц (Дц2 д^з)
ри2 и3 ри5 и3 ' ри3
рЗ р4
Средние по площади значения (с чертой наверху) и отклонения Д определяются следующим образом:
а = -р- ^ айР, Да = а — а.
р
При расчете коэффициента импульса по формуле (3) значения /т получаются добавлением к результату, следующему из одномерной теории, малых поправок, учитывающих двумерность течения и определяемых с помощью параметров формы профилей. Эти поправки максимальны на начальном участке сопла и уменьшаются с увеличением длины сопла. Поэтому погрешности в определении газодинамических параметров, которые могут возникнуть при
численных расчетах, повлияют лишь на относительно малые поправки, и расчеты коэффициента импульса будут точнее, чем расчеты ^ „интегрированием по сечению", а при увеличении длины сопла — точнее расчетов /2 „интегрированием по контуру". Если же профили параметров р, р, и и V определены правильно, то значения Д, /2 и /т должны совпадать ввиду тождественности преобразований при выводе формулы (3). Отметим, что если поток в выходном сечении сопла равномерен и параллелен оси сопла, то /т = /р//с, где /р — так называемый „расчетный* импульс сопла. Если при этом в минимальном сечении сопла поток имеет звуковую скорость, направленную вдоль оси сопла, то /т = 1 (одномерная теория).
3. Для расчетов течений идеального газа в соплах применялись следующие методы:
а) сеточно-характеристический метод [3] второго порядка точности, в дальнейшем для краткости обозначаемый как метод „С — X"; расчеты проводились по программе, применяемой в работе [4];
б) метод [5] первого порядка точности, обозначаемый „К"; расчеты выполнялись по программе, приведенной в работе [6];
в) метод характеристик [7] второго порядка точности.
Число М на входе в сверхзвуковую часть сопл принималось равным 1,01, показатель адиабаты — равным 1,4.
Расчеты методами „К" и „С—X" выполнялись с различным числом разбиений N расчетного слоя, что приводило к различным уровням погрешностей сеточных распределений газодинамических параметров. Затем по рассчитанным сеточным распределениям определялись значения 1и /2 и /т и сравнивались с „точными" значениями коэффициента импульса 1Х, полученными по формуле (2) при расчетах методом характеристик с точностью 0,001%.
На рис. 1 и 2 для сопл с 8 = 20°, Я = 0 и 1 в зависимости от безразмерного радиуса стенки сопла ук (х) представлены погрешности 6? (в процентах) определения коэффициента импульса методом поправок (о/= /т — 7Х, пунктирные кривые) и „интегрированием по контуру" [й7= ± (72 — /г), сплошные кривые, верхний знак соответствует расчетам течений в соплах методом „К", нижний — методом „С—X"] Результаты расчета коэффициентов импульса ¡1 „интегрированием по сечению" не приводятся, поскольку они уступают по точности расчетам коэффициентов импульса 72 и /т. Зачерненными кружками на рис. 1 и 2 отмечены сечения, начиная с которых расчеты коэффициента импульса методом поправок являются более точными, чем расчеты „интегрированием по контуру". На рис. 3 приведены результаты расчетов коэффициента импульса сопла, обеспечивающего равномерный и прямолинейный поток на выходе (контур сопла определялся методом характеристик, число М в выходном сечении сопла было равно 3,989, Iх = 1). Численные значения /т в выходном сечении сопла уже при N=10 равны 0,99994 и 0,99997 при расчетах методами „К" и „С—X", тогда как значения 72 даже при N=100 (метод „К") и N = 30 (метод „С—X") равны соответственно 1,00035 и 0,99779.
Как следует из результатов расчета методом ,С—X', точность определения коэффициента импульса /2, достаточно высокая в случае сопла с плавным вхо-
~Л7
0,2
0
67 0,2
® 1 У М'Ш \П У-., ы ¿у
—п --1----
' 0 N=25 х
^ 1 / __ь _ _
£91 в =20,
С за — Щ N=10
го
1,2
ЬЧ 7,6
Рис. I
1,8
У*
0
дом (см. рис. 1), снижается в случае сопл с угловой точкой (см. рис. 2 и 3). Подчеркнем, однако, что целью настоящей работы является не анализ и сравнение точностей применяемых численных методов и не рассмотрение возможных модификаций для их уточнения, а сравнение расчетов коэффициента импульса методом поправок с известными способами при различных погрешностях полей течения, определяемых в данной работе с помощью численных методов. В общем же случае при определении коэффициента импульса методом поправок можно использовать либо экспериментально измеренные профили параметров, либо найденные по приближенным методам. На примерах расчетов методом „С—X" сопл с угловой точкой видно, что применение метода поправок позволяет без специальных усовершенствований программы на случай сопла с угловой точкой определить коэффициент импульса 7Т точнее, чем ?2, даже в случае коротких сопл.
Интересно отметить, что отклонения /2 от 1Х оказываются разного знака при расчетах методами „К" и „С—X", тогда как значения /т, независимо от численного метода, оказываются выше значений 1Х при малых длинах сопла и ниже при больших.
8 — Ученые записки № 3
113
Из представленных результатов можно сделать вывод, что применение метода поправок позволяет увеличить точность определения коэффициента импульса сопл (в указанных диапазонах длин) и, тем самым, сократить затраты машинного времени при параметрических расчетах сопл численными методами. Заметим, что уменьшение числа разбиений N расчетного слоя в два раза приводит к сокращению времени расчета приблизительно в четыре раза. Тот факт, что в случае длинных сопл значения Гт практически не отличаются от точных значений даже при относительно грубом разбиении расчетного слоя, можно использовать для уточнения распределений параметров вдоль стенки сопла следующим образом. По значениям /т при различных длинах сопла можно найти уточненные значения давления на стенке, а затем, используя условие непротекания, уравнения сохранения энергии и энтропии, найти уточненные значения плотности и компонентов скорости.
Если течение в сопле является изэнтропическим лишь до сечения с площадью Ра< а при в потоке возникают скачки уплотнения, то коэффициент
импульса можно рассчитывать комбинированным способом:
р
4+ ,]' рЛР
где 1а определяется в сечении с площадью Ра методом поправок.
Автор признателен В. Л. Зимонту за внимание к работе и полезные обсуждения результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зимонт В. Л. Метод повышения точности определения интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 2, 1976.
2. Зимонт В. Л., Ягудин С. В. К вопросу об увеличении точности определения интегральных характеристик сопл на основании численных расчетов полей течения. .Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 3, 1978.
3. Кацкова О. Н., Чушкин П. И. Об одной схеме численного метода характеристик. ДАН СССР, 154, № 1, 1964.
4. Верховский В. П. Численный расчет течений неравновесно диссоциирующего воздуха в осесимметричных соплах. Труды ЦАГИ, вып. 1494, 1973.
5. Иванов М. Я., Крайко А. Н., Михайлов В. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений, 1, II. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", т. 12, № 2, № 3, 1972.
6. Благосклонов В. И., Иванов М. Я. Алгоритм и программа расчета двумерных сверхзвуковых течений идеального газа. Труды ЦАГИ, вып. 1660, 1975.
7. Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Ш м ы г л е в с к и й Д. Д., Шумишнина Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М., ВЦ АН СССР, 1961.
Рукопись поступила 16\1 1978 г.
