CC BY
123
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
УДК 514
Козырев Сергей Борисович
кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
kozyrevsb@gmail.com
СОФИЗМЫ В ТЕОРИИ ФРАКТАЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
В данной статье рассматриваются вопросы методики преподавания основ теории фрактальных размерностей. Предлагается использовать софизмы в качестве одной из форм при изложении теоретического материала.
Софизм - это цепочка правдоподобных и внешне строгих рассуждений, приводящая к противоречию или абсурдному выводу. Например, софизмом является доказательство того, что все целые числа равны друг другу. Софизм строится на внедрении в цепочку рассуждений замаскированной ошибки в форме неверного, но правдоподобно выглядящего предположения или преобразования. Задача учащегося - найти эту ошибку в рассуждениях.
Полтора столетия назад математики не знали о существовании множеств, которые сейчас называются фракталами. Более того, математикам того времени казалось очевидным, что множеств со свойствами, которые мы наблюдаем у фракталов, не может быть. Именно открытие в конце XIX века фрактальных множеств в конце концов привело математический мир к осознанию необходимости перевода математических рассуждений на более высокий уровень строгости. Поэтому в теории фрактальных размерностей часто возникает потребность в проведении аккуратных строгих доказательств и тонких аналитических рассуждений.
Однако в современных условиях авторы учебников по фрактальной геометрии зачастую вынуждены дозировать сложность изложения теоретического материала, заменяя строгие громоздкие доказательства упрощёнными правдоподобными рассуждениями. В статье рассмотрен ряд упрощённых правдоподобных рассуждений, которые в действительности оказываются ошибочными. Проведён анализ этих рассуждений. По мнению автора статьи, подача теоретического материала в форме софизмов позволит разнообразить его изложение, продемонстрирует значение строгих рассуждений в математике, а также может послужить отправным пунктом для написания студенческих рефератов.
Ключевые слова: фракталы, теория фрактальных размерностей, фрактальная геометрия, методика преподавания, софизмы.
Постепенно курсы основ теории динамических систем и связанной с ней фрактальной геометрии внедряются в учебные планы высшей школы, но пока ещё в качестве дополнительных дисциплин. В последние годы появляются учебные пособия на русском языке, рассчитанные именно на преподавание в вузах курсов по данной тематике (см., например, [2; 6]), а не на популяризацию среди «широкого круга читателей». В связи с этим можно уже говорить о методических проблемах, связанных с преподаванием в вузе основ теории фрактальных размерностей. Этим вопросам посвящена настоящая статья, тематически связанная с предыдущей работой автора [3].
Пожалуй, основная сложность изучения курса фрактальных размерностей связана с тем обстоятельством, что его теоретическое содержание в значительной степени опирается на аналитические методы. Чтобы усвоить данный курс, от студента требуется владение основами теории функций действительного переменного. В курсе нередко встречаются довольно сложные (по вузовским меркам) строгие доказательства и тонкие аналитические рассуждения. Кроме того, в последнее десятилетие в российских вузах наметилась явная тенденция к уменьшению доли лекционных часов, а значит, меньше времени уделяется изучению аналитических методов. К тому же современное поколение студентов по всем известным причинам в целом менее склонно (и, скажем прямо, менее
способно) к абстрактному анализу. В связи с этим в предисловии [1] (книги, рассчитанной, как заявлено, в первую очередь на студентов и преподавателей) вполне определённо высказывается мысль, что сложность изложения должна быть дозирована и при необходимости объяснение следует «переупростить, даже приврать слегка». В частности, следуя своему совету, автор при изложении идеи размерности Хаусдорфа подменил её более простой идеей размерности Минковского, или ёмкости [1, с. 133].
В современных реалиях преподаватели и авторы учебных пособий по фрактальной геометрии зачастую вынуждены как-то облегчать изложение теоретического материала, заменять строгие, но громоздкие доказательства правдоподобными рассуждениями, опуская некоторые детали. Эти детали воспринимаются учащимися как самоочевидные или вовсе не замечаются ими. Упрощённые, адаптированные, если позволено будет так выразиться, математические рассуждения имеют свои преимущества, но им не следует чересчур доверять. Учащимся надо дать это почувствовать. Ведь в курсе фрактальной геометрии студенты знакомятся с такими объектами, как множество Кантора, кривая Пеано, кривая Коха, ковёр Серпинского и др. - о существовании таких множеств полтора столетия назад математики не знали. Более того, им казалось очевидным, что множеств со свойствами, которые мы наблюдаем у фракталов, не может
8
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова .¿j. № 7, 2014
© Козырев С.Б., 2014
быть. И именно открытие в конце XIX века фрактальных множеств в конце концов привело (этот процесс занял примерно полвека!) весь математический мир к осознанию необходимости перевода математических рассуждений на более высокий уровень строгости.
В настоящей статье предлагается применять в учебном процессе софизмы. Софизм - это цепочка правдоподобных и внешне строгих рассуждений, приводящая к противоречию или абсурдному выводу. Например, софизмом является доказательство того, что длина катета в прямоугольном треугольнике равна длине гипотенузы. Софизм строится на внедрении в цепочку рассуждений замаскированной ошибки в форме неверного, но правдоподобно выглядящего предположения или рассуждения. Задача учащегося - найти эту ошибку в рассуждениях.
Предлагаемая форма подачи материала в принципе не нова. В старых сборниках школьных олим-пиадных задач по математике можно встретить задачи в форме софизмов. Например, широкую известность получил софизм, доказывающий, что все целые числа равны между собой. Доказательство строится на совершении типовой ошибки преобразования алгебраического уравнения. Софизмы наглядно демонстрируют, что «мелких деталей» в доказательстве не бывает. Пренебрежение любой деталью, невнимание к ней способно полностью обесценить математическое рассуждение, приведя его к абсурдному результату. Кроме того, софизмы способствуют выработке у учащихся критического мышления, воспитанию у них уважения к строгим (то есть надёжным, высококачественным) доказательствам.
Напомним некоторые базовые определения и свойства фрактальных размерностей [5].
Определение 1. Ограниченное множество О называется самоподобным в строгом смысле, если существуют преобразования подобия ^ £2, •••, £, п > 1 такие, что
О = £1(О) и £2(О) и... и £п(О), причем множества £(О) попарно не пересекаются. Тогда единственное решение ' уравнения
к' + к! +... + к" = 1, 12 п '
где к. - коэффициенты подобия £ , называется размерностью самоподобия множества О. В частности, если все к равны одному и тому же числу к, то раз-
мерность самоподобия равна d = -
log n log k
= - logkn.
Множество О называется самоподобным в широком смысле, если множества £(О) имеют лишь небольшие пересечения, точнее, если хаусдорфова '-мера пересечений равна нулю.
На практических занятиях обычно встречается тот случай, когда все коэффициенты самоподобия равны между собой, а несущественность пересечений £.(О) более или менее очевидна.
Пусть имеется некоторое множество G в метрическом пространстве. Любой набор ¿-шаров, объединение которых целиком покрывает множество G, назовем шаровым ¿-покрытием множества G. Минимально необходимое число ¿-шаров, которые смогли бы покрыть G, обозначим n(G).
Определение 2. Размерностью множества G, по Минковскому, называется число dimM G, равное пределу отношения порядка роста числа n(G) к порядку роста величины Ш при убывании ¿ к нулю, то есть
dim м G = dm l°g ^ nd(G) = dm
Заметим, что зачастую удобнее вместо ¿-покрытий рассматривать (¿/2)-покрытия, то есть вместо шаров радиуса ¿ брать шары с диаметром ¿. Очевидно, что величина размерности Минковско-го, равно как и самый факт её существования для множества G, от этого не изменится.
Если множество G самоподобно, быть может, в нестрогом смысле, то для него существует размерность Минковского и она равна его размерности самоподобия.
Ниже приводится ряд задач по основам теории фрактальной размерности с неправильными решениями. Мы назвали их софизмами, поскольку каждое решение сопровождается более или менее правдоподобным ходом рассуждений. Конечно, в настоящих софизмах ошибки рассуждений, как правило, хорошо замаскированы, а в нашем случае это не всегда удавалось сделать. Но мы не считаем это недостатком, принимая во внимание, что сама тема фрактальной размерности для студентов вовсе не проста. Польза от загадки (чем по сути является софизм) сводится не только к поучительности её содержания, но и к осознанию учащимся, что ему удалось разгадать её самостоятельно.
Софизм 1 (см. [1, с. 194]). Для простоты будем считать, что Россия простирается с запада на восток на расстояние примерно 10 тысяч километров, или 10 миллионов метров. Карта России масштаба 1 : 10 000 000, на которой все расстояния уменьшены в 10 миллионов раз, по размеру будет составлять примерно один метр. Если население России в 150 миллионов человек уменьшить во столько же раз - в 10 миллионов, то получится 15 человек. Но на карте не может поместиться такое количество человек. Как объяснить это несоответствие?
Софизм 2. Пусть множество M - это множество чисел отрезка [0,1], которые могут быть записаны в девятеричной системе счисления без использования цифр 3, 4 и 5. Вычислить фрактальную размерность множествам.
Решение. Обозначим через M0 отрезок [0,1] и разделим его на 9 равных частей (рис. 1). Три средние части отрезка соответствуют тем числам, в девятеричной записи которых в первом разряде после дробной запятой обязательно присутству-
Рис. 1. Построение М
ет цифра 3, 4 или 5. Поэтому выбросим их из отрезка, тогда мы получим множество М1. Затем из множества М1 (длина которого равна 2/3) мы выбросим те точки, которые соответствуют числам, у которых во втором после запятой девятеричном разряде должна быть цифра 3, 4 или 5. Тем самым мы получим множество М. Продолжая так далее до бесконечности, мы в итоге получим требуемое
М = | Мп. Заметим, что сумма длин
множество
Рис. 2. Ломаные L0 - L3
отрезков любого множества M составляет 2/3 от аналогичной суммы предшествующего множества M—v Точно такая же ситуация была при построении множества Кантора, фрактальная размерность которого равна log32. Следовательно, фрактальная размерность множества M также равна log3 2. С другой стороны, формальное применение определения 1 даёт ответ log9 6. Почему получаются разные результаты? Какой из них верен?
Софизм 3. Экспоненциальная спираль в полярных координатах задаётся уравнением р = ej, где, как обычно, р - расстояние от полюса, а ф -угол поворота относительно начального луча. Если график спирали как множество точек уменьшить, скажем, в 2 раза, то получившееся множество будет представлять собой ту же спираль, но повёрнутую на угол ln 2 радиан, поскольку
р =1 ej = e~'°2ej = ej-ln2. Следовательно, график
экспоненциальной спирали является самоподобным множеством. Тогда согласно определению 1 его размерность самоподобия должна равняться log 21, то есть нулю. Это действительно так, или в рассуждения вкралась ошибка?
Софизм 4. Определение длины кривой Коха.
Решение. Для начала напомним вкратце построение кривой. Возьмем в качестве начальной ломаной единичный отрезок на плоскости с координатами концов (0,0) и (1,0). Обозначим его L0. Разделим его на три равные части и на средней части как на стороне построим равносторонний треугольник. Затем эту среднюю часть отрезка выбросим, а вместо него добавим две другие стороны построенного треугольника. Получится новая ломаная, которую мы обозначим L1. С каждым звеном ломаной L1 поступим аналогичным образом и получим следующую ломаную L2 (рис. 2). Продолжая этот процесс до бесконечности, в пределе мы получим кривую L - кривую Коха (рис. 3).
Рис. 3. Кривая Коха
Займёмся теперь длиной Ь. Здесь можно предложить два подхода. Первый основан на наблюдении, что длина каждой ломаной Ьп составляет 4/3 от длины предшествующей ломаной Ьп Следовательно, длины ломаных Ьп с ростом п неограниченно растут, а длина кривой Ь бесконечна. С другой стороны, при построении кривой мы много отрезков выбрасываем. Возьмём, к примеру, единичный отрезок Ь0. По мере построения кривой из него последовательно выбрасываются отрезки и в конечном счёте пересечение Ь0 п Ь оказывается множеством Кантора. Мы знаем, что при построении множества Кантора на единичном отрезке из него удаляются интервалы суммарной длины 1. Можно сказать, что суммарная длина оставшихся частей единичного отрезка, то есть канторова множества, равна нулю. Далее, пересечение Ь1 п Ь включает в себя рассмотренное пересечение Ь0 п Ь и отличается от последнего добавлением двух множеств Кантора, уменьшенных в 3 раза. Поэтому длина всех частей пересечения Ь1 п Ь, то есть того, что осталось от Ь1 после всех удалений, тоже равна нулю. Аналогичными рассуждениями можно установить, что длина любого пересечения Ьп п Ь равна нулю. Проще говоря, длина каждого отрезка каждой ломаной Ьп равна сумме длин интервалов, которые были из него удалены в ходе построения
кривой. Исходя из того, что Ь = У (Ьп п Ь), при-
п=0
ходим к выводу, что суммарная длина всех частей кривой Ь также равна нулю, то есть длина кривой не может быть положительной.
Ясно, что оба предложенных метода определения длины Ь не могут быть верными одновремен-
n=0
(0,0)
[1,0)
Рис. 4. Ломаные P0 - P3
но. Какой же из них верен и в чём ошибка другого метода?
Софизм 5. Определение фрактальной размерности модифицированного множества Леви.
Модифицированное множество Леви строится следующим образом. Сначала, как и при построении кривой Коха, возьмём на плоскости единичный отрезок, обозначим его P0. Далее на нём как на основании построим равнобедренный треугольник с отношениями длин сторон 4/3:1:1. Две боковые стороны этого треугольника составляют двухзвен-ную ломаную, обозначим её P . Далее с каждым звеном P проделаем те же действия, в итоге получим четырёхзвенную ломаную P2 и так далее (на рис. 4 изображены ломаные P0 - P3). Предельное к последовательности ломаных Pn множество обозначим P - это и есть модифицированное множество Леви. (Оригинальное множество Леви получилось бы, если бы соотношение длин сторон равнобедренных треугольников было V2:1:1.) Итак, чему равна фрактальная размерность P?
Решение. Из построения видно, что множество P самоподобно. Согласно определению 1 его размерность самоподобия равна log 4/32. Нет ли в полученном числе чего-то странного?
Софизм 6. Рассмотрим следующую вариацию кривой Коха. Опять возьмем в качестве начальной ломаной единичный отрезок на плоскости, обозначим его Q0. Разделим его на пять равных частей и на средней части как на основании построим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными по длине 2/5. Затем основание треугольника из единичного отрезка выбросим, а вместо него добавим боковые стороны построенного треугольника. Получится четырёхзвенная ломаная с длиной звеньев, равной 2/5; обозначим её Q (см. рис. 5, а). Далее к каждому звену Q применим те
Рис. 5. Q и его покрытие
же действия и получим 16-звенную ломаную Q2. Продолжая этот процесс до бесконечности, в пределе мы получим множество Q - множество типа кривой Коха. Какова фрактальная размерность Q?
Решение. Один студент попытался найти для Q размерность Минковского следующим образом. Для покрытия Q шарами единичного диаметра достаточно одного шара. Если уменьшить диаметры шаров в 5 раз, то для покрытия кривой их уже потребуется 8 штук (рис. 5, б). Иными словами, для S = 1/ 5 имеем ns (Q) = 8. Очевидно, что длина любой ломаной Qn составляет 8/5 от длины предшествующей ломаной Qn V Отсюда следует, что для покрытия кривой шарами диаметра S = (1/5)n их потребуется nS(Q) = 8n. Таким образом, на основании определения 2 имеем
^ ln ns (Q) ln 8n ln 8 , n dimM Q = lim-= lim-=-= log5 8.
S^o -lnS n^o ln5n ln5 65
В то же время кривая Q - самоподобное множество, а её размерность самоподобия равна log5/2 4. Но ведь log5 8 ф log5/2 4, хотя по свойству 1 размерности самоподобия и Минковского для Q должны совпадать. Как объяснить полученное противоречие?
1. Этот софизм у многих студентов вызывает только улыбку. Им сразу всё понятно. Эта задача хороша для активизации мышления на первом занятии, когда ещё ничего не рассказано. Она в лёгкой форме демонстрирует, что числовые характеристики имеют размерность. Простое напоминание о том, что «площадь двумерна», было бы скучно.
2. При изучении темы размерности самоподобия у студентов может сложиться стереотип, позволяющий предсказывать (а правильнее сказать, угадывать) ответ по первой же операции в построении фрактала. Например, при построении канто-рова множества делим отрезок на 3 части и 2 из них оставляем. Размерность получается log32. Далее строим кривую Коха, на сей раз 3 части каждого отрезка заменяем на 4; в ответе получаем log3 4. Ещё пример. Требуется определить размерность множества чисел, в десятичной записи которых нет цифры 7, на единичном отрезке числовой оси (см. задачу из [5, с. 44]). То есть из 10 возможных цифр в записи числа может встречаться только 9. Рассуждения в [5] по определению размерности занимают целую страницу, а результат - вполне предсказуем: log10 9. На неправильном применении этого стереотипа и построен софизм 2. Первый этап построения множества M полностью совпадает с первым этапом построения канторова множества. Для покрытия обоих множеств отрезками длины 1/3 требуется 2 таких отрезка. Но это только после первого шага построения. Если же длины покрывающих отрезков брать равными (1/9)n, то для покрытия M их необходимо 6n, а для канторова множества достаточно 4n. Таким образом, метод угадывания ответа дал осечку, а правильный ответ - log9 6.
3. Спираль, конечно, самоподобна в том смысле, в котором самоподобна и вся плоскость. Но определение 1 применимо лишь к ограниченным (в некоторых учебниках - только к компактным) множествам. Преподаватель говорит об этом условии один раз, предполагая его в дальнейшем само собой разумеющимся. Студенты тоже могут упустить его из виду, привыкнув не беспокоиться о корректности поставленной задачи.
4. Первое рассуждение приводится в [7] в качестве правильного. Однако в данном случае всё-таки следует подчеркнуть, что все ломаные Ln являются вписанными в кривую L. Ошибка второго рассуждения кроется в том далеко не очевидном (для студентов) факте, что преобладающее большинство точек кривой L не принадлежит ни одной ломаной Ln. Они появляются в L в результате предельного
перехода, то есть на самом деле L = U (Ln n L).
n=0
Ниже мы рассмотрим этот софизм более подробно.
5. Результат, разумеется, неправдоподобный, если заметить, что log4/3 2 > 2. Такой размерности у плоских множеств не может быть. Но ведь P выглядит самоподобным, хотя и в нестрогом смысле. Единственное объяснение результата - при совмещении уменьшенных копий множества P возникают пересечения, размерность которых не менее размерности самого P.
Здесь мы сталкиваемся с методической проблемой. Множество P может быть представлено в виде объединения двух своих уменьшенных копий. Однако факт самоподобности множества зависит от хаусдорфовой размерности пересечения копий - она должна быть меньше хаусдорфовой размерности самого множества. На рисунке 6а изображено модифицированное множество Леви, точнее его 15-я итерация. Ниже (см. рис. 6б) показаны две его копии, уменьшенные в 4/3 раза.
а
б
Рис. 6. Множество P15 (a) и две его уменьшенные копии (б)
Если правую копию переместить на вектор, показанный на рисунке, то она наложится на левую копию таким образом, что в объединении они дадут само P. По рисунку видно, что копии будут иметь пересечение сложного вида и эффективно оценить его размерность, основываясь на изображении, не представляется возможным. Следовательно, вопросы о самоподобии P и о применимости формулы размерности самоподобия также остаются неясными. Ясность наступает только после противоречия, получающегося в результате принятия гипотезы о самоподобии P.
Добавим, что если при построении множества P использовать треугольники с отношением сторон V2:1:1 (то есть в случае оригинального множества Леви), то хаусдорфова размерность P будет равна 2; прямое доказательство этого можно найти в [4] или в [6]. В нашем случае размерность P, вероятно, тоже равна 2.
6. Студент не заметил, что его покрытия накрывают предфракталы Qn, но не сам фрактал Q. Он просто скопировал рассуждения, применявшиеся при нахождении размерности Минковского для кривой Коха. И выбери он диаметры накрывающих шаров, равными d = (2/5)n, то получил бы правильный результат. И наоборот, если бы для нахождения размерности Минковского для кривой Коха выбирать покрывающие шары размера d = (1/6)n, то тоже получился бы ошибочный результат log 6 8. Но в этом случае выбор таких значений диаметров ни чем не спровоцирован.
В рассмотренной подборке софизмов несколько выделяется четвёртый софизм. Если для студентов он окажется слишком сложным (в понимании сути противоречия), то имеет смысл разделить его на несколько отдельных проблем. Рассмотрим их подробнее.
Прежде всего заметим, что строгое доказательство бесконечной длины кривой Коха должно включать следующее. Во-первых, следует убедиться, что все ломаные Ln вписаны в кривую. Во-вторых, надо убедиться, что они вписаны в правильном порядке. То есть надо построить непрерывное отображение отрезка [0,1] на кривую и убедиться, что прообразы узлов ломаных строго возрастают. Конечно, в реальном учебном процессе на подобную работу не находится времени. Поэтому, вероятно, авторы пособий [7] делают вид, что никаких проблем с длиной кривой Коха нет, её бесконечность очевидна. Думается, что это тоже не совсем хорошо. Предложим студентам пример последовательности ломаных, которые сходятся к единичному отрезку, но длины которых стремятся к бесконечности. Такой пример несложно построить. Например, определим на всей вещественной оси периодическую, с периодом 1, пилообразную функцию g(x), значение которой равно расстоянию её аргумента x до ближайшего цело-
го числа. В частности, на положительной полуоси g(х) = шт{х - [х], [х +1] - х}. Тогда последовательность функций Ип(х) = g(п2х)/п будет обладать заданным свойством. Наш опыт показывает, что этот пример ставит студентов в тупик. Он наглядно демонстрирует, почему ломаные последовательности должны быть вписаны в кривую, а не просто сходиться к ней.
Теперь остановимся на «доказательстве» нулевой длины кривой. Его суть удобно объяснить с помощью следующей аналогии. Допустим, мы строим некоторое подмножество натуральных чисел следующим образом. На первом шаге включим в него целые числа от 1 до 10 и затем удалим из него число 1. На втором шаге добавим к получившемуся множеству целые числа от 11 до 20, а затем удалим из него число 2. Продолжая этот процесс далее, мы замечаем, что после каждого шага количество элементов множества растёт. Однако если мы выполним бесконечное количество шагов, то в итоге множество окажется пустым. Нечто похожее возникает при построении кривой Коха. На каждом шаге из ломаной Ь удаляются некоторые отрезки, но взамен добавляются некоторые другие отрезки и получается ломаная Ь . Добавленных отрезков больше, чем удалённых, поэтому длины ломаных растут. Однако из каждого однажды добавленного отрезка на всех последующих шагах производятся удаления некоторых его частей. После совершения бесконечного числа шагов из каждого звена каждой ломаной Ьп оказываются удалёнными интервалы, длина которых в сумме равна длине звена; от последнего остаётся только канто-рово множество. Таким образом, сколько отрезков добавили, столько и выкинули.
Как уже говорилось, противоречие объясняется наличием в кривой точек, не принадлежащих ни одной ломаной, и такие точки в кривой составляют подавляющее большинство. Но коль скоро такие точки в кривой присутствуют, их надо предъявлять. Ведь когда говорится, что канторово множество состоит из точек I и II рода, причём последние составляют преобладающее большинство, немедленно приводится пример точки II рода (обычно точка х = 1/4). Методический парадокс: ни в одном учебном пособии по фрактальной геометрии мы не встречали, чтобы после построения кривой Коха приводился пример хотя бы одной точки кривой, появившейся в ней в результате предельного перехода. Более того, в некоторых пособиях вовсе замалчивался тот факт, что такие точки в кривой имеются. Приведём пример такой точки.
Будем передвигаться по плоскости в терминах Ь-системы. От точки (0,0) на плоскости пройдём вправо расстояние 1/3 (первое звено ломаной Ь1). Далее поворачиваем налево под уголом 60° и проходим расстояние 1/9 (одно звено ломаной Ь2). Далее опять поворачиваем влево на 60° и проходим
расстояние 1/27, то есть одно звено ломаной Ь3. Продолжая бесконечно двигаться таким образом, мы придём в некоторую точку плоскости г такую, что расстояние р(г, Ьп) ^ 0 при п ^ 0. При этом все точки поворота принадлежат кривой, поскольку являются концами звеньев ломаных.
Однако, глядя на этот пример, мы наблюдаем нечто странное: к точке г мы приближаемся по бесконечно закручивающейся против часовой стрелки ломаной. Получается, что кривая Коха в окрестности любой своей точки имеет бесконечно закручивающиеся спирали, причём в обе стороны. Представить это крайне трудно. Кривая Коха не имеет самопересечений, вначале это кажется довольно очевидным, но теперь уверенность в этом факте должна поколебаться. И главное - как доказать отсутствие самопересечений сомневающимся в этом факте? Нельзя считать очевидным то, что трудно доказать.
Для разрешения поставленного вопроса мы предлагаем рассмотреть ещё один метод построения кривой Коха. Возьмем на плоскости треугольник Т с вершинами в точках (0,0), 1| и (1,0).
2 6 ^
Длины его сторон находятся в отношении 43 Разделим наибольшую сторону Т0 на три равных отрезка. Точки деления стороны соединим отрезками с противолежащей тупоугольной вершиной треугольника. Из треугольника Т0 удалим образовавшийся равносторонний треугольник, а оставшиеся два тупоугольных треугольника будут подобны исходному треугольнику Т0; объединение их вместе с их границами обозначим Т1. Далее с каждым треугольником Т1 проделаем ту же операцию.
Рис. 7. Другой способ построения кривой Коха
Объединение четырёх получившихся треугольников обозначим Т2. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим вложенную последовательность множеств Тп (рис. 7). Обозначим Т = !тп.
п=0
Можно заметить, что каждое Т2п представляет собой цепочку 4п равнобедренных треугольников, подобных треугольнику Т0 с коэффициентом подобия 3". При этом основания треугольников образуют ломаную Ьп. Отсюда следует, что для любой точки у е Т можно подобрать сходящуюся последовательность точек хп ^ у таких, что гп е Ьп. Но множество Т замкнуто как пересечение замкнутых множеств. Следовательно, Т - это множество, к которому сходятся ломаные Ь . То есть Т = Ь - это и есть кривая Коха.
Этот способ построения кривой даёт много преимуществ. Во-первых, легко видеть, что кривая Т связна (как пересечение связных множеств) и не имеет самопересечений. Во-вторых, в Т сравнительно несложно отыскать пример точки, которая не принадлежит границе ни одного треугольника из множеств Т. Причём существование таких точек очевидно. В-третьих, нетрудно заметить, что когда при вычислении размерности Минковского мы покрываем ломаную Ь шарами диаметра 3", то эти же шары покрывают и множество Т2п, а следовательно, и всю кривую. Кроме того, можно заметить (и легко доказать), что кривая Коха состоит из двух своих копий, уменьшенных в л/3 раз и развёрнутых на 150°, то есть кривая Коха сверху и снизу выглядит одинаково. По рисунку 3 об этом можно было только догадываться, но доказать - сложно.
В заключение отметим, что в историческом плане кривая Коха явилась первым примером кривой, у которой нет касательной ни в одной точке. (Это и было целью её построения.) Данное свой-
ство кривой тоже несложно доказать. Действительно, возьмём произвольно точку у е T и число е > 0. Подберём теперь n так, чтобы 3-n < е. Тогда треугольник из множества T2n, содержащий точку у, будет целиком лежать в её е-окрестности. Выберем в этом треугольнике две его различные вершины A и B, отличные от у. Тогда угол, образованный векторами yA и yB, будет составлять не менее 30°, что и требовалось доказать.
Библиографический список
1. Босс В. Интуиция и математика. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 224 с.
2. Гринченко В.Т. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы / В.Т. Гринченко, В.Т. Ма-цыпура, А.А. Снарский. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. - 280 с.
3. Козырев С.Б. О методике формирования понятия фрактальной размерности // Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А.Н. Колмогорова: Материалы международной научно-методической конференции. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011. - С. 82-91.
4. Козырев С.Б. Вычисление фрактальных размерностей некоторых множеств на вещественной прямой и вещественной плоскости / С.Б. Козырев,
B.С. Секованов // Труды VI международных Кол-могоровских чтений. - Ярославль: ЯГПУ, 2008. -
C. 68-80.
5. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Техносфера, 2006. - 488 с.
6. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 248 с.
7. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd ed. - Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003. - 367 p.
