Собственные колебания жидкости в жестких оболочках вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

П.А. ГЛУШИЧ, В.И. ГНИТЬКО, ВВ. НАУМЕНКО, E.A. СТРЕЛЬНИКОВА

Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ЖЕСТКИХ ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ

В работе предложен метод расчета собственных колебаний жидкости в оболочке вращения с жесткими стенками под действием силы тяжести. Предполагается, что жидкость идеальная, несжимаемая, а ее движение безвихревое. Метод решения основан на сведении задачи к системе сингулярных интегральных уравнений для определения потенциала скоростей. Численная реализация задачи основана на применении метода граничных элементов с применением специальных квадратур. Определены частоты и формы колебаний жидкости в жесткой конической оболочке.

Ключевые слова: свободные колебания, сила тяжести, метод граничных элементов.

П.О. ГЛУШИЧ, В.1. ГНИТЬКО, В.В. НАУМЕНКО, О.О. СТРЕЛЬН1КОВ А

1нститут проблем машинобудування iM. А.М. Пщгорного НАН Укра1ни

ВЛАСН1 КОЛИВАННЯ Р1ДИНИ В ЖОРСТКИХ ОБОЛОНКАХ ОБЕРТАННЯ

В роботi запропоновано метод розрахунку власних коливань рiдини в оболонц обертання з жорсткими сттками тд дieю сили тяжтня. Припускаеться, що рiдина е iдеальною та нестисливою, а и рух е безвихоревим. Метод засновано на редукци задачi до системи сингулярних ттегральних рiвнянь для визначення потенщалу швидкостей. Чисельна реалiзацiя задачi заснована на використанш методу граничних елементiв з використанням спещальних квадратур. Визначет частоти i форми коливань рiдини в жорсткт котчнш оболонщ.

Ключовi слова: втью коливання, сила тяжтня, метод граничних елементiв.

P. GLUSHYCH, V. GNITKO, V. NAUMENKO, E. STRELNIKOVA

A.N. Podgorny Institute of Mechanical Engineering Problems

LIQUID OWN VIBRATIONS IN RIGID SHELLS OF REVOLUTION

In this paper we present a method for evaluating the own frequencies and modes of the liquid in a shell of revolution with rigid walls under the force of gravity. The liquid is supposed to be an ideal and incompressible one and its flow induced by vibrations of the shell is irrotational. The method is based on reduction of the problem considered to the system of singular integral equations for the velocity potential. The numerical simulation is based on the boundary element method using the special quadratures.

Keywords: free vibrations, hydro-elastic interaction, finite and boundary element methods, different filling level.

Постановка проблемы

Проблема плесканий жидкости в контейнерах и баках находится в центре внимания многих исследователей на протяжении нескольких последних десятилетий. Феномен плесканий можно описать как интенсивное движение свободной поверхности жидкости, находящейся в резервуаре, под действием внезапно приложенной нагрузки. Плескания - это явление, наблюдающееся в широком диапазоне промышленных объектов: в контейнерах для хранения сжиженного газа, топливных баках ракет и самолетов, в резервуарах грузовых танкеров. Известно, что именно частично заполненные резервуары испытывают действие особенно сильных плесканий. Интенсивное движение жидкости может привести к высокому давлению на стенки резервуара, что в свою очередь ведет к разрушению конструкции или к потере устойчивости. Особенного внимания заслуживает изучение распределения давления на стенки резервуара, определение локальных максимумов, которые могут почти вдвое превышать аналогичные величины в незаполненном резервуаре [1]. В [2] определено давление на стенки круговых и призматических резервуаров, которые движутся с ускорением. В работах [3, 4] решалась плоская задача, и было установлено, что динамические характеристики существенно зависят от соотношения уровня заполнения и ширины контейнера. В [5] изучено распределение давления на стенки горизонтального цилиндрического резервуара сразу после действия ударной нагрузки при уровне заполнения жидкостью до 95%. В [6] проведено численное исследование для двумерного прямоугольного резервуара с жесткими стенками под действием горизонтального и вертикального ускорений. Эффекты вязкости исследованы в [7, 8], где показано, что вязкость проявляется при незначительных амплитудах и высоком уровне заполнения. Анализ большого количества исследований, посвященных проблемам плескания жидкости в резервуарах, проведен в основательных обзорах Р.А. Ибрагима [9, 10].

Как видим, в большинстве работ рассматриваются плоские задачи либо изучаются цилиндрические резервуары.

Данная работа посвящена определению частот и форм колебаний жидкости в произвольных оболочках вращения, в частности, конических резервуарах.

Анализ публикаций по теме исследований

Рассматривается задача о колебаниях жидкости в оболочке. Обозначим смоченную поверхность оболочки через £ 1, а свободную поверхность - £0. Пусть декартова система координат 0хуг связана с оболочкой, свободная поверхность жидкости £0 совпадает с плоскостью х0у в состоянии покоя.

Предполагается, что жидкость идеальная, несжимаемая, а ее движение, начавшееся из состояния покоя, является безвихревым. В этих условиях существует потенциал скоростей жидкости Ф

у - . у - дФ . у - дФ

' х- - ; у у- - ; у г-^ '

дх дУ дг

удовлетворяющий уравнению Лапласа. Величину давления р на стенки оболочки определяем из линеаризованного интеграла Коши-Лагранжа по формуле

(дФ ^ р --р/^ + ^ ] + р0,

в которой Ф - потенциал скоростей, g - ускорение свободного падения, г - координата точки жидкости, отсчитываемая в вертикальном направлении, р^ - плотность жидкости, р0 - атмосферное давление. На свободной поверхности жидкости должны быть выполнены следующие условия:

дФ дп

дС.

дх

; Р - РО е

'"Г

- О,

где функция ^ описывает форму и положение свободной поверхности.

Таким образом, для потенциала скоростей имеем следующую краевую задачу

2 дФ

V 2Ф- 0; -

дп

- 0; —

£1 дп

дС | п дФ

-¥; Р -Р0£0 - 0; ^ + &

дх

- 0.

50

Здесь м - нормальное перемещение упругой оболочки, ^ - д(х, х, у, г) - функция, описывающая поведение свободной поверхности.

Требуется определить частоты и формы свободных колебаний жидкости в зависимости от уровня заполнения с учетом действия гравитационной силы.

Основная часть

Представим потенциал Ф в виде

М

Ф - Е Ск Рк .

к-1

Для функций (р2к имеем следующие краевые задачи:

дФк

^Рк - 0,

дп

£

- 0,

дФк

дп

дд дрк

(1)

(2)

(3)

Продифференцируем второе из соотношений (3) по X и подставим в полученное равенство

дд . х

выражение для —. Далее представим функции р2к в виде Ф2к (х, х, у, г)- в1^ф2к (х, у, г). Приходим к

дх

проблеме собственных значений, при этом на свободной поверхности будет выполнено равенство

дФ2к _ Х2

Ф2к ■

дп g

Для уравнения свободной поверхности получим выражение

дФк

М

с-Е ск-

к-1

дп

(4)

(5)

В цилиндрической системе координат искомые базисные функции допускают представления

Фк (г, г,в)-фк (г, г)ео8 ав . (6)

0

Здесь а - номер гармоники. Таким образом, отдельно рассматриваются частоты и формы свободных колебаний для различных а.

Представим ф в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя

2п<р(Р0)= ff^^^rdS - dS . (7)

v 0/ S dn P -P0| S dn P -P0|

Здесь предполагается, что S = Si <u S0; точки P и P0 принадлежат поверхности S. Величина I P - P0 I представляет собой декартово расстояние между точками P и P0. Удовлетворив граничным условиям (2),(3), приходим к системе интегральных уравнений в виде:

2пФ + \\ф1-д-{-]dSi 1Гф0-dSо + ГГф0 irf-!dS0 = 0

•• dn V r j g J J r J J dz V r j Si S0 S0

-Яф^г( - ldS1 -2пФ0 +~([ф0-dS0 = a

J J dn V r j g J J r

S1 S0

(8)

Решение системы (8) ищем в виде (6).

Пусть Г - образующая поверхности 5. В формулах (8) на поверхности S1 будет г = г (г). Устанавливаем, что система (8) принимает вид

Я

2^)+\ч>(гго)г(г)0Г-{ц(р)*(Р,Рор = {w(z)^(Р,Р0)г(г)йГх;Ро е

Г 0 Г

Я

\ц>(гУ2(г,го )г- \д(р)¥(Р,Ро )рйр = {w(z)^(Р,Ро )г(г^ Ро е 5 0. (9)

Г о Г

Здесь

г 2 - го2 +(г о - г )2

ß(z, Z0 ) = -T=r\---

■4a + b \ 2r

a - b

-Ea(k)-Fa(k)

z0 - z.

nr + Ea(k )n

a-b

^(P, P0 ) = ~r^= Fa(k ). л/a + b

Отметим, что величины a и b вычисляются на соответствующих поверхностях. При вычислении по S0 будем иметь (здесь мы вводим полярные координаты)

2 2 I * г

a = р +Р0 + \z -z0); b = 2РР0.

*

Здесь z - координата свободной поверхности.

Итак, для каждого w = w(r, z)cos ав имеем систему интегральных уравнений вида (9).

Решение систем сингулярных интегральных уравнений осуществляется методом граничных элементов с постоянной аппроксимацией плотности [11]. Внутренние интегралы в (9) представляют собой эллиптические интегралы первого и второго рода. Для вычисления эллиптических интегралов второго рода, не имеющих особенностей, используются стандартные квадратурные формулы Гаусса. Вычисление эллиптических интегралов первого рода осуществляется с привлечением среднего арифметико-геометрического значения AGM(a,b) (см. [12]). Имеет место характеристическое свойство AGM(a,b)

a0 = a; b0 = b; ai = a°+ b°; bi =4a0b0;....an+i = ün + bn; bn+i = Vanbn;...

AGM (a, b) = lim an = lim bn.

n n

Это приводит к чрезвычайно эффективному методу вычисления эллиптических интегралов первого

I I -8

рода. Сходимость s = \an - bn \ < i0 достигается уже при n = 6 .

Отметим, что ядра в интегральных операторах (9) имеют логарифмическую особенность [ii]. Для вычисления таких интегралов неприменимы стандартные квадратурные формулы, поскольку подынтегральные функции резко меняются внутри элемента. Для их вычисления в данной работе применены специальные квадратурные формулы Гаусса [i3].

Численные результаты

Рассмотрена задача о собственных колебаниях жидкости в коническом баке (рис.1). Аналитические значения собственных частоты и формы колебаний жидкости определяются формулами, полученными в

2

[14]. Численно собственные частоты колебаний жидкости х /g в конической оболочке определены по методике, описанной выше.

граничных элементов на свободной поверхности жидкости. В табл. 1 приведены результаты расчетов первых двух собственных чисел х2 / g при H - H^ , Ь = И/2 для а = 0 и а = 1 в зависимости от параметров п и m .

Таблица 1.

Сходимость собственных чисел в зависимости от разбиения

п+ m а- =0 а =1

1 2 1 2

10+10 3.54 6.93 1.39 5.15

20+20 3.50 6.78 1.38 5.05

30+30 3.48 6.74 1.37 5.02

40+40 3.47 6.71 1.37 5.01

3.46 6.70 1.36 4.97

Хорошее согласование и сходимость результатов свидетельствует о достоверности полученных данных, эффективности метода и алгоритма решения задачи.

На рис. 2 приведены собственные формы колебаний свободной поверхности жидкости, соответствующие двум низшим частотным параметрам.

а=0 п=1 п=2 п=3

а=1 п=1 п=2 п=3

Рис.2. Формы колебаний свободной поверхности жидкости в коническом баке. Низшая частота собственных колебаний жидкости в коническом резервуаре отвечает а=1; п=1.

Выводы и перспективы дальнейших исследований

Построена математическая модель и разработаны теоретические основы численного метода анализа колебаний жидкости в жестком резервуаре, имеющем форму оболочки вращения. Разработан метод численного определения собственных частот и форм колебаний идеальной несжимаемой жидкости в жестком резервуаре. Метод основан на применении интегральных уравнений для определения потенциала жидкости. При численной дискретизации использован метод граничных элементов. Построенные формы колебаний будут в дальнейшем использованы как базисная система для решения задачи о вынужденных колебаниях упругих резервуаров, частично заполненных жидкостью.

Список использованной литературы

1. Khezzar L. Water Sloshing in Rectangular Tanks - An Experimental Investigation Numerical Simulation / L. Khezzar, A.C. Seibi, A. Goharzadeh // International Journal of Engineering. - 2010. - Vol. 3. - № 2. -Р. 174-184.

2. Chwang A.T. Nonlinear Impulsive Force on an Accelerating Container / A.T. Chwang, K.H. Wang // J. of Fluids Eng. -1984. - Vol. 106. - P. 233-240.

3. Popov G. Liquid Sloshing In Rectangular Road Containers / G. Popov, S. Sankar, T.S. Sankar, G.H. Vatitas // Computers Fluids. - 1992. - Vol. 21. - № 4. - P. 551-569.

4. Popov G. Dynamics of liquid sloshing in horizontal cylindrical road containers / G. Popov, S. Sankar, T.S. Sankar, G.H. Vatitas // Journal of Mechanical Engineering Science. - 1993. - Vol. 207. - P. 399-406.

5. Ye Z. Fluid Pressures in Partially Liquid-Filled Horizontal Cylindrical Vessels Undergoing Impact Acceleration / Z. Ye, A.M. Birk // Journal of Pressure Vessel Technology. - 1994. - Vol. 116. - № 4. -Р. 449-459.

6. Chen B.F. Complete 2D and Fully Nonlinear Analysis of ideal fluid in tanks / B.F Chen, H.W. Chiang // Journal of Engineering Mechanics. - 1999. Vol. 125. - P. 70-78.

7. Faltinsen O.M. Sloshing / O.M. Faltinsen, O.F. Rognebakke // NAV2000: International Conference on Ship and Ship Research. - Venice, 2000.

8. Bass R.L. Modeling criteria for scaled LNG sloshing experiments / R.L. Bass, J.E.B. Bowles, R.W. Trundell, J. Navickas, J.C. Peck, N. Yoshimura, S. Endo, B.F.M. Pots // Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. 1985. - Vol. 107. - P. 272-280.

9. Ibrahim R.A. Recent Advances In Liquid Sloshing Dynamics / R.A. Ibrahim, V.N. Pilipchuck, T. Ikeda // Applied Mechanics Reviews. - 2001. - Vol. 54. - № 2. - P. 133-199.

10. Ibrahim R.A. Liquid Sloshing Dynamics / R.A. Ibrahim. - New York: Cambridge University Press, 2005. -970 p.

11. Ventsel E. Free vibrations of shells of revolution filled with a fluid. / Е. Ventsel, V. Naumenko, E. Strelnikova, E. Yeseleva // Engineering analysis with boundary elements. - 2010. - Vol.34. - P. 856-862.

12. David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss / A. Cox. David // L'Enseignement Mathématique. -1984. - Vol. 30. - P. 275-330.

13. Stroud A.H. Gaussian Quadrature Formulas / A.H. Stroud, D. Secrest // Prentice-Hall, Englewood, NJ, Cliffs, 1966. - 374 p.

14. Луковский И. А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость / И.А. Луковский. - Киев: Наукова думка, 1990. - 296 с.