CC BY
27
УДК 624.073
О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, Е.В. Запольнова
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ, ОДИН КРАЙ КОТОРОЙ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕН, А ТРИ ДРУГИХ ШАРНИРНО ОПЕРТЫ
Приведено решение уравнения собственных колебаний трансверсально-изотропной пластины, лежащей на деформируемом основании, один край которой упруго закреплен, а три других шарнирно оперты. Колебания пластины описаны уравнением в частных производных четвертого порядка. В ходе решения задачи приближенным методом декомпозиций выведено частотное уравнение для определения собственных поперечных колебаний пластины.
Ключевые слова: трансверсально-изотропная пластина, собственные колебания, шарнирное закрепление, упругое закрепление, деформируемое основание.
Пластина в недеформируемом состоянии занимает область
{0 < х < /1;0 < у < /2;-И < z < И).
Приближенное уравнение поперечных колебаний имеет вид [1—3]
A
d 2W
dt
2 + A2
d4W
dt4 "3 dt2 4
d2 2 - A3 —- AW + A4 ä2W + P(W) = 0,
(1)
где Ж — поперечное смещение точек срединной плоскости пластины; А — оператор Лапласа;
А1 =р1; А2 = р1 (А33 + 3А44 ))'
А3 = {{ [ 2_2 А11А3^3 (( - А11А33 ) А33 А44 ]}}'
А4 = 2 А33 (А11А33 -А13 ))' А = Р1' А = Р1 ~ (Р1А44 + 3 А3 3);
(2)
2 й
S
2п
П,™ л дЖ А д Ж А л дЖ
Р(Ж) = А5--+ А6 —— + А7 А--отпор; р1 — плотность; о — скорость поперечной
дt дг дt
волны; А11 = А13 =... = Апт — коэффициенты анизотропии. Граничные условия для данной задачи имеют вид [1, 4, 5]:
W =
d W dx2
= 0; x = 0;
(3)
K
d 2W
d W
dx
.2 +
dy 2
+ K3 d;:W" = K 4
d 2W
dt2
dx2
d3W
K drr+K6
d3W
dx
2 + K7
W =
ddW
dy
dxdy'
2 = 0; y = 0, /2
d3W dxdt2
= K
d3W
dx3
; x = /1;
вестник
11/2012
где
К =Ц1 (2 + 30,);К2 =2(1 + 0)к-ц2 (1+ 02))]; К = -[р,л (1 + 01) - Р2к (1 + 02 )]; К = (2 + 302);
К5 = 201ц1к2; К6 =(201ц1к2 - 202ц2к); К7 =-(р101к2 -р202к); К8 = 202ц2к12; 0 = 1 • 0 = 1 01 = 2 (1 -V ); 02 = 2 (1 -У2)
при сопряжении 2 горизонтальных пластин.
Будем искать решение уравнения в следующем виде [1, 2, 5]:
Ж (х, у, Г ) = Ж (х, у )ехр (§ £ ),
где § — частота собственных колебаний пластины. Тогда уравнение (1) примет вид
[д2 + ДД + В2 ] Ж (х, у ) = 0,
где
В: = ^
1 Л
В2 = ^
2 Л
(
- Аз к £ ] + а (<£
А.15 £т + А (< £ г + А (< £1+А. о £ "
Введем новые безразмерные координаты и функции прогиба:
х = ^ а; у = ^р; Ж (х,у) = К (а, в).
п п
Запишем уравнение (5) в новых координатах:
д4 _ 2 д4 4 д2
где ц =
да4 к
- + 2ц2
: (з2
да2др2
др2
2
V
2 д
-7 + Ц2—2
да2 др2
14
+ В2 \
п
V (а, р) = 0,
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
к
В соответствии с методом декомпозиций сформулируем три вспомогательные за-
дачи:
д4 V д2У
1) Т-4Т = /1 (а,в); V = —^ = 0, а = 0;
да да
д4К ( в) —1 = /1 (а, в);
, ,д 2К д 2К д 2К
(м1 - м4)—^+м—1+м,—Л = о
47 да2
2 дв2
3 д;2
да
.. чд3К ,, д3к ,, д3г1 п (м5 - м 8)—1+м —^+м —^ = о
да3
6 дадв2
7 дадг2
а = п;
(9)
д V
д V
2) = /2 (а,р); V = —^ = 0; р = 0,п;
др
я 4 /2
2 п2-^+В \
5а25в2 1 п2
др2
д2 2 я 2 ^
—7 + П2 —2
Яа2 Яв2
14
+ В 2 \
2 п4
V, + /1 + /2 = 0,
(10) (11)
где
ll -Л/Г — V 1 -Л Л — V
M — K м2 — K2 M3 — K31 i" I M4 — K4 -L-; M5 — K5 -3; п n l2 V h J п п n
4
M6 = *6= K7 íf-Y= *1
n3 /2 l. h y n4 n3
Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать
V = V2;V3 = 1 (( + V2 ) (12)
в заданных точках пластинки.
Здесь fi (а, р) — произвольные функции, которые в общем случае представим в виде
да
f (а, р)= X ОН sin (па) sin (тр), (13)
n,m =1
где аП}т — произвольные постоянные, i = 1,2.
Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде:
" a(l) а 3 а 2
V (а,р)= X "Тsin(wa)sin(mp) + ^V! (P) + ^V2 (Р) + а¥з(р) + ¥4(p);
nm=1 n 6 2
' (1) 3 2 (14)
к aV) o3 в2
V2 (а P) = Z "T^T^ (na)sin (mP) + —9l (а) + —Ф2 (а) + Рфз(а) + Ф4(а);
n,m=1 n m 62
где и ф. — произвольные функции.
Найдем произвольные функции у., входящие в состав выражения V (а, Р) в системе (14), используя граничные условия (9): при а = 0 у4 (Р) = 0; у2 (р) = 0;
при а = п ^3 (в) = 0; у i (в) = a^ sin (в),
Ai -1
где
A = Mi - M4 - ms + M8 + 3M3 - M7 bf.
1 M2 £ - Мб ^ 3 M2 - M61 h y ;
bN2
Ms - M8 + M, - M7I \ h
A —
2 2 2 « г П » г П
M2--Mr —
2 6 6 2
Таким образом, для V1 (a, P) при n, m = 1 получим
,3
V (а, Р) = —sin (а) sin (р)+^- ^^ «n sin (р). (15)
Найдем произвольные функции ф., входящие в состав выражения V2 (а, р) в системе (14), используя граничные условия (10): при р = 0 ф4 (а) = 0; ф2 (а) = 0; при р = п ф1 (а) = 0; ф3 (а) = 0;
(2)
V2 (а, р) = «1—sin (а) sin (р). (16)
Л1
вестник
11/2012
Подставим в выражения (11) и (12) выражения (15) и (16) при n, m = 1,
2"2
2 Í "Л
да2Зр2
+
2
За2 + " Зр2
14
+ B2 \
з a —(2)
—Ц sin (a)sin (р)н---— —Ц sin (P) + —^sin (a)sin (p)
6 A1 -1
ni
+-ii- sin(a)sin(P) + -n- sin(a)sin(p) = 0;
з a — (2)
-11 sin (a)sin (Р) + а--— —1(1) sin (p)- —i1-sin (a)sin (p) = 0.
6 Ai-1 П1
Систему (17) представим в виде
Сц —11 + —i 2 — 0;
.(2) = I
С21—11 + С22 —1V = 0'
.(2) = I
(18)
где
С11 =П1
' 1 A2 ^ 2 A1 -1 ,
12 ' п
1 п A2
— + — 2
1 ,2 _2 п3 A2 Л
v 2 4 A1 -1 2
96 A1 -1
l4
+ B2 Ат
2 п4
1 п3 A2
Л
2 96 A1 -1
+1;
1 1 л К
С12 ="7 - 2 B1 "V ni 2 п
1 - 1
4 2
Л
1 n о ,
+- bj-^—t+1;
О 2 4 4 '
2 п
(19)
С21 = 1+
Ai ; 6 A1 -1;
n1
Нетривиальное решение (18) приводит к частотному уравнению вида
+ + d£A + d 4+ d£2 + d£ + d7 = 0,
где
d1 = A2 \ , v h j
d2 = A6 \ , v h j
л6 f ,4 A
4 4 v л J j
5 f / 4 A
z;
л j
z;
d3 = \ —
3 V h j
- A
/ 2 f 1 A
l1 (J2+1
Vj
-3 2 2 j л
Zj + A3
f l2 9л12A
—1--l--—
4tcj4 96j4
z2 +
+ A,
( I 4 A n
4 4 Л J
z3 + A1
d f¿
d4 = 1 T
V h j
+A
A
l12 f 1
7 2 2
J Л
^ / 4 A
4 4
V л J У
A
J2 +1
Z1 A7
f + 9л112 A 4лл4 96j4
( I 4 A n
4 4
V л J j
z3 + A5
^ 14 A 4 4
л J
(20)
X
= -
22
d5 =
(
— A
3 2 2 П п
2 iii — + -Т +1 I zi-n n
vn
(
2 + 1 I z3 - A3
l2 9п/
2
4nn4 96n4
z4 + Ai
4
4 4
п n
z, +■
7/
96nn
^ +
4 2
3
2n2 6n2
п "6"
d6 =
d7 = —
7/i2
96nn
2 2 n п
z4 +
- + 1 I Z3 +
/12 9п/1
2
4пп4 96n4
4 4
- + 1
nn
где
( M.
— M,
M
—M
z3 +
M
3
2n2 6n2
M
— MÄ
п "6"
M1 — M4 — M5 + M8
M
—M,
M5 — M8 + M6
M 2
—M6
6 u 2
Полученные в данной работе результаты могут быть использованы для решения актуальных прикладных задач.
Примечание. Статья написана в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», проект № 14.В37.21.0375.
Библиографический список
1. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2005. 239 с.
2. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Уравнение колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин // Вестник отделения строительных наук. 2009. № 13. С. 9.
3. Собственные колебания упругой пластинки, лежащей внутри деформируемой среды, два противоположных края которой упруго закреплены, а два других шарнирно оперты [Электронный ресурс] / О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, О.И. Поддаева, Т.В. Прохорова // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2011. Вып. 3(17). 9 с. Режим доступа: www.vestnik.vgasu.ru.
4. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Поддаева О.И. Приближенные уравнения поперечных колебаний плоских элементов строительных конструкций. М. : МГСУ, 2008. 164 с.
5. Филиппов И.Г., Чебан И.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 1988. 190 с.
>
z. =
4
Поступила в редакцию в сентябре 2012 г.
Об авторах: Егорычев Олег Александрович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 739-33-63, [email protected];
Егорычев Олег Олегович — доктор технических наук, профессор, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 739-33-63, [email protected];
Запольнова Евгения Валерьевна — аспирант кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
вестник 11/2012
Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Запольнова Е.В. Собственные колебания трансверсально-изотропной пластины, лежащей на деформируемом основании, один край которой упруго закреплен, а три других шарнирно оперты // Вестник МГСУ 2012. № 11. С. 55—60.
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, E.V. Zapol'nova
SELF-EXCITED OSCILLATIONS OF A TRANSVERSALLY ISOTROPIC PLATE RESTING ON THE STRAINED FOUNDATION BED, IF ONE OF THE PLATE EDGES IS FLEXIBLY FIXED, WHILE THE THREE OTHER EDGES ARE HINGED
Plates are widely used as flat structural elements in various spheres of construction and engineering. Development of industrial and residential building techniques furthers development of the construction science. Therefore, the design and the refined theory of plate vibrations is one of significant issues considered within the framework of the applied theory of elasticity, which is of practical interest to the researchers. The authors provide a summary of frequency equations that describe self-excited oscillations of a transversally isotropic plate resting on the strain foundation bed, if one edge of the plate is flexibly fixed and the other three edges are hinged. Oscillations are described by partial differential equations of the fourth order. The problem is resolved through the employment of an approximate method of decompositions. As a result, the frequency equation is derived to identify self-excited lateral oscillations of the plate. The equations derived by the authors for the purpose of identification of the frequencies of self-excited transverse vibrations of a plate are fit for practical use, and they may be applied in calculations to identify the dependence of the self-excited frequency of the plate on its geometry.
Key words: transversely isotropic plate, self-excited vibrations, flexibly fixed, hinged, strain foundation bed.
References
1. Egorychev O.O. Kolebaniya ploskikh elementov konstruktsiy [Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, ASV Publ., 2005, 239 p.
2. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Uravnenie kolebaniy predvaritel'no napryazhennykh transversal'no-izotropnykh plastin [Equation of Vibrations of Pre-stressed Transversally Isotropic Plates]. Vestnik otdeleniya stroitel'nykh nauk [Bulletin of Section of Construction Sciences]. 2009, no. 13, p. 9.
3. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Poddaeva O.I., Prokhorova T.V. Sobstvennye kolebaniya up-rugoy plastinki, lezhashchey vnutri deformiruemoy sredy, dva protivopolozhnykh kraya kotoroy uprugo zakrepleny, a dva drugikh sharnirno operty [Natural Vibrations of a Flexible Plate in a Strain Media, If the Two Opposite Edges Are Flexibly fixed, and the Two Other Edges are Hinged]. Internet-vestnik Volg-GASU. Ser.: Politematicheskaya [Internet-Vestnik VolgGASU. Multidisciplinary Series]. 2011, no. 3(17), 9 p. Available at: www.vestnik.vgasu.ru.
4. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Poddaeva O.I. Priblizhennye uravneniya poperechnykh kolebaniy ploskikh elementov stroitel'nykh konstruktsiy [Approximated Equations of Transverse Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, MGSU Publ., 2008, 164 p.
5. Filippov I. G., Cheban V. G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkouprugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988.
About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@ mgsu.ru; +8 (495) 739-33-63;
Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Chancellor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@ mgsu.ru; +8 (495) 739-33-63;
Zapol'nova Evgeniya Valer'evna — postgraduate student, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Zapol'nova E.V. Sobstvennye kolebaniya transversal'no-izotropnoy plastiny, lezhashchey na deformiruemom osnovanii, odin kray kotoroy uprugo zakreplen, a tri drugikh sharnirno operty [Self-excited Oscillations of a Transversally Isotropic Plate Resting on the Strained Foundation Bed, If One of the Plate Edges Is Flexibly Fixed, While the Three Other Edges Are Hinged]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 11, pp. 55—60.
