Смешанный многомасштабный метод конечных элементов для задач в перфорированных средах с неоднородными граничными условиями Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2

УДК 519.63

СМЕШАННЫЙ МНОГОМАСШТАБНЫЙ

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ В ПЕРФОРИРОВАННЫХ

СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ

М. В. Васильева, Д. А. Спиридонов, Э. Т. Чун, Я. Эфендиев

Аннотация. Рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границе перфораций. Для решения задачи на мелкой сетке (эталонное решение) используется смешанный метод конечных элементов (Mixed FEM), где аппроксимация скорости реализована с помощью элементов Равиарта — Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянных базисных функций для давления. Решение на грубой сетке выполнено с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Поскольку перфорации оказывают огромное влияние на процессы в среде, то возникает необходимость вычисления дополнительного базиса, учитывающего влияние перфораций на решение задачи. Приводятся результаты численного эксперимента в двумерной области, подтверждающие работоспособность предложенного многомасштабного метода.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.102.31512 Ключевые слова: смешанный обобщенный многомасштабный метод конечных элементов, смешанный метод конечных элементов, эллиптическое уравнение, дополнительная многомасштабная базисная функция, перфорированная область.

Введение

Построение математических моделей и вычислительных алгоритмов решения задач в перфорированных средах является актуальной задачей для построения новых математических моделей, позволяющих учитывать разномасштабные процессы, и для построения современных вычислительных методов. Одной из основных сложностей при построении вычислительного алгоритма является учет перфораций, поскольку сеточное разрешение неоднородностей приводит к большому количеству неизвестных и требует большие вычислительные ресурсы. Для решения таких задач используются методы усреднения и многомасштабные методы [1-3]. Такие методы позволяют существенно понизить размерность

Работа выполнена за счет гранта РНФ 17—71—2005 (постановка задачи и теоретическая часть) и мега-гранта Правительства РФ № 14.Y26.31.0013 (численный алгоритм).

© 2019 Васильева М. В., Спиридонов Д. А., Чун Э. Т., Эфендиев Я.

задачи посредством построения макро-модели и расчета задачи на грубой сетке [4-6]. Многомасштабные методы обычно зависят от аппроксимации задачи на грубой сетке, дискретизации расчетной области и выбора подходящей постановки задачи [7-10].

В статье рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границах перфораций. Строится эффективный алгоритм для аппроксимации задачи на грубой сетке с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов [11-13]. Построение базируется на решении локальных задач для вычисления многомасштабных базисных функций для скорости. Для давления мы используем кусочно постоянные базисные функции. В смешанной формулировке сначала определяем снепшот пространства, обеспечивая пространство решений в каждой локальной области. Затем решаем локальную спектральную задачу в снепшот пространстве, чтобы найти многомасштабные базисные функции. Также для учета неоднородных граничных условий Дирихле на границе перфораций строим дополнительную базисную функцию в локальных областях, которые содержат перфорации [14,15]. Мы рассмотрим два примера с условиями Дирихле на перфорациях в двумерной постановке. Проведем численное исследование погрешности для различного числа многомасштабных базисных функций.

Данная статья организована следующим образом. В разд. 1 представлена математическая модель в смешанной формулировке. Конечно-элементная аппроксимация задачи на мелкой сетке описана в разд. 2. В разд. 3 показана аппроксимация задачи на грубой сетке с использованием Смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов. В разд. 4 представлены результаты численного решения модельной задачи, показывающие работоспособность предложенного метода для моделирования течения в перфорированных средах.

Рассмотрим эллиптическое уравнение в смешанной постановке в перфорированной среде. Существует множество процессов в природе, которые могут быть описаны с помощью эллиптического уравнения. В качестве примеров можно привести такие процессы, как фильтрация или теплоперенос.

Пусть расчетная область О является двумерной областью, включающей в себя перфорации (рис. 1). Рассмотрим следующую задачу:

1. Математическая модель

k-1q + Уи = 0, х € О, V • q = /, х € О,

(1)

со следующими граничными условиями:

и = 0, х € Го, и = д, х € Гр.

Рис. 1. Вычислительная область

Основной особенностью задачи является неоднородная перфорированная область. Для численного решения задачи классическими методами необходимо строить расчетные сетки, которые разрешают перфорации сеточно с использованием неструктурированных сеток. Второй особенностью является наличие в задаче неоднородных граничных условий на перфорациях, которые приводят к построению специальных многомасштабных методов для их учета.

Подобные задачи изучались ранее. В работе [14] рассматривалась задача в классической постановке и использовался метод конечных элементов как для аппроксимации на мелкой, так и грубой расчетных сетках. В [15] также рассмотрена классическая постановка с методом Галеркина для аппроксимации на мелкой сетке и предложен новый метод апскейлинга для задач с неоднородными граничными условиями на перфорациях. В данной работе мы рассматриваем смешанную постановку задачи и предлагаем метод аппроксимации на грубой сетке посредством построения многомасштабных базисных функции для q.

2. Аппроксимация на мелкой сетке

Для аппроксимации задачи (1), (2) по пространству будем использовать смешанный метод конечных элементов. Данный метод позволит естественным образом аппроксимировать функцию q, поскольку функция и в данном случае кусочно постоянна. Смешанный метод конечных элементов дает локально консервативную аппроксимацию, что является одним из необходимых условий при моделировании прикладных задач.

Определим следующие пространства:

V = [у е Ь2(П)а : V • V е Ь2(П)}, Я = Ь2(П), (3)

при d = 2.

Вариационная постановка задачи записывается следующим образом: найти (q, u) £ (V, Q) такие, что

m(q, v) + b(u, v) = h(v) Vv £ V, (4)

b(q,r)= l(r) Vr £ Q, (5)

где

m(q,v) = -J k-1q ■ vdX, b(u,q) = j u V. qdX, (6)

n n

l(r) = j frdx, h(v) = j gv ■ nds. (7)

n rP

Для аппроксимации на мелкой сетке полагаем, что вычислительная область разделена на треугольники, при этом все перфорации разрешаются с помощью сетки. Пусть Jh — триангуляция области О на конечные элементы размером h, &h — набор всех граней мелкой сетки и Ne — количество граней мелкой сетки. Запишем аппроксимацию задачи в матричной форме:

AT) (о = ( h)- <8»

где для переменных скорости и давления возьмем элементы Равиарта — Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянные функции соответственно.

3. Аппроксимация на грубой сетке

Опишем построение аппроксимации на грубой сетке с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Пусть JH — грубая сетка вычислительной области О с размером

грубой сетки H, Sh — набор всех граней грубой сетки, Ne — количество граней

ne

грубой сетки и §н = У Ei. В качестве локальной области определим окрест-

i= 1

ность грубой грани E £ £н (рис. 2):

^ = LI{Kj £&H | E £ dKj}, (9)

j

где Kj — ячейка грубой сетки.

Построим многомасштабное пространство для скорости qms £ Vms:

Vms = span{^i,. . . ,^Nc-Ne}, (10)

где ^i — многомасштабная базисная функция, которая вычисляется в локальной области ше, и Nc — количество базисных функций в каждой локальной области. Для давления используем кусочно постоянные функции Qms на всей грубой сетке H.

Начинаем с построения снепшот пространства в и после этого выполняем понижение размерности решения спектральной задачи. Целью этого действия

Рис. 2. Схема алгоритма смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов

является выделение доминантных мод в снепшот пространстве и получение пространства малой размерности для аппроксимации решения.

Для построения снепшот пространства решаем локальную задачу в области ше с заданием однородных граничных условий Дирихле на перфорациях

„ = 0, x е Гр,

где Гр — граница перфораций.

Имеем следующую вариационную постановку: найти (фо , „) е х ^^ такую, что

[k-фj«.¡х - [„V. Уdx = 0, у е V-,

J ^ • фj dx с граничными условиями

£

фо • п = 0, х е 8ше

(11)

(12)

Рис. 3. Результат решения двух снепшот задач

где п — вектор внешней нормали, дш6 — внешняя граница области ш6, |ез- | — длина грани мелкой сетки е^, Бше — площадь локальной области ш6. На грубой грани Е применяем дополнительное граничное условие

фз • п = 53 ,

(13)

где 2 = 1, 3^ и количество локальных задач равно 3^ , 3^ — количество граней

мелкой сетки ез на

Е, Е = У ео, 5о — кусочно постоянная функция, опреде-

з=1

ленная на Е, которая принимает значение 1 на ез и 0 во всех остальных гранях мелкой сетки. Полученные решения снепшот задачи представлены на рис. 3. Определим решение спектральной задачи на снепшот пространстве

А фк =\кБ фк ,

где А" =К*еАшеК*еТ,

А = \атп ], атп =

Яш Яш , Яш = [ф1 ] и

,Фп) = / к-1 (Фт • п)(фп • п) *,

(14)

(15)

= К«], *тп = 3Ш< (Фт, Фп) = ^ к-1 фтФп ¿X + ^ V • фт V • фп ¿X. (16)

Сортируем собственные значения в возрастающем порядке и выбираем первые Мш собственных значений и берем соответствующие им собственные векторы = в качестве базисных функций, к = 1,2,..., М^. Базисные функции, полученные в результате решения спектральной задачи, представлены на рис. 4.

Далее вычисляем отдельно базисную функцию, которая будет являться первой в нашем наборе базисов. Для этого решаем следующую локальную за-

Рис. 4. Первые четыре базиса в области и)е

РВЯ

С#

Рис. 5. Пример дополнительных базисов

дачу в области ш6: найти (хш ,„) е х такую, что

J к-1 у dx -/

р1,087е+00

|0,5434

р1,1339е-6

|-0,5434

Е-1,087е+00 У

. 8,875е-01 |0,44374

1°

|-0,44374 С-8,875е-01

к-1 хш V dx - „ V • у dx = 0, у е У^ ,

(17)

где Е — длина грани грубой стеки Е, со следующими граничными условиями:

Х^ • п = 0, х е дш6,

„ = 0, х е Гр, (18)

Х^ • п = 1, х е Е,

Первые три базиса в случайной области ш6 представлены на рис. 4, в данном рисунке в первом столбце представлен первый базис, вычисленный по задаче (17), (18), а остальные два столбца содержат два первых собственных вектора решения спектральной задачи (14).

Для учета граничного условия Дирихле на границах перфораций возникает необходимость вычисления дополнительного базиса в каждой ш6, в которой

присутствуют перфорации (рис. 5). Для этого в локальных областях с перфорациями решается следующая задача: найти (дш ,ц) € У^ х ^^ такую, что

к-1дш - -цУ • V ¿х = 0, V €

гУ ■ дш° Лх = ( Лх, г €

со следующими граничными условиями:

дш° • п = 0, х € П = 1, х € Гр.

(19)

(20)

где |Гр | — длина границы Гр.

Далее определим многомасштабное пространство для д, используя полученные базисные функции:

Ута = 8рап{хш°,дш', 1 < к < , 1 < { < Мв},

и запишем матрицу проекции

К

Кд 0

0 Ки

Кд = [Кд,1, . . . , Кд,МЕ ]Т , (21)

где = [хш , ф^ ,..., Фм е, дШ1\ и Ки — матрица проекции для и, содержащая константы на ячейке грубой сетки в каждой строке. Здесь Мв — количество граней грубой сетки, Мд — количество дополнительных базисных функций, которое равно и>е с перфорациями, Ш— количество локальных многомасштабных базисных функций.

Используя полученное многомасштабное пространство, имеем следующую систему на грубой сетке в матричной форме:

Ас БТ\ [дЛ = (Нс

Бс 0 \ис I Ьс

(22)

где

Ас = Кд АКТ, Бс = Кд БК1, Нс = КдН, Ьс = КиЬ. (23)

Используя решение на грубой сетке дс, можно восстановить решение на Т

д

мелкой сетке дтз = КТдс и использовать дтз для представления результатов.

4. Численные результаты

Мы рассматриваем численное моделирование в вычислительной области О размером 1 х 1. На рис. 6 представлены грубая и мелкая сетки для перфорированной области. Мелкая сетка, которая разрешает перфорации явно, содержит 152560 граней и 101152 ячеек. Мы рассматриваем две грубые сетки: 5 х 5-сетку с 60 гранями и 25 ячейками, 10 х 10-сетку с 220 гранями и 100 ячейками.

Рис. 6. Грубая и мелкая сетки

Для перфорированной области рассматриваем два тестовых примера с разными граничными условиями первого рода на перфорациях:

Пример 1. и = 0.

Пример 2. и = 1.

Для примера 1 и примера 2 взяты следующие значения коэффициентов: к =1, ^ = 1, / = 1. Для примера 1 на перфорациях применяем однородное нулевое граничное условие Дирихле и = 0, для примера 2 — и = 1.

Численное решение на мелкой сетке для примера 2 представлено на рис. 7. Результаты сравнения в Ь2-норме на грубой сетке 5 х 5и10 х 10 представлены в табл. 1 и 2. Также мы вычислили погрешности решения задачи без использования дополнительного базиса на грубой сетке 10 х 10 (табл. 2).

Численное решение на мелкой сетке для примера 2 представлено на рис. 8. Результаты сравнения в Ь2-норме на грубой сетке 5 х 5 и 10 х 10 представлены в табл. 3 и 4. Также вычислены погрешности решения задачи без использования дополнительного базиса на грубой сетке 10 х 10 (табл. 4).

Из полученных результатов можно сделать вывод, что предложенный метод хорошо справляется с данным типом задач. Например, при использовании двух базисов в каждой локальной области ш6 получаем погрешность меньше 1% во всех случаях, что является очень хорошим показателем. Из табл. 4 хорошо видно, что дополнительный базис значительно улучшает решение нашей задачи.

В итоге приходим к выводу, что смешанный обобщенный многомасштабный метод конечных элементов обеспечивает хорошее решение для эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде. Из проведенных исследований погрешности метода наблюдается улучшение точности при измельчении грубой сетки.

Рис. 7. Решение на мелкой сетке (верхний ряд), многомасштабное решение с использованием восьми базисов (нижний ряд)

Таблица 1. Относительная погрешность в Ь2-норме для разного количества базисных функций. Размерность грубой сетки 5 X 5 (пример 1)

Номер базиса Я, % щ %

1 141 4.0001 0.2241

2 201 1.3193 0.0267

4 321 0.3496 0.0031

8 577 0.2386 0.0021

Таблица 2. Относительная погрешность в Ь2-норме для разного количества базисных функций. Размерность грубой сетки 10 x 10 (пример 1)

Номер базиса ВО¥с Я, % щ %

1 452 2.0435 0.0711

2 672 0.7959 0.0157

4 1112 0.0286 0.0001

8 1992 0.0172 0.0001

. г. ИЬч.^. Я

• •

• л • • •

О 11*1

г'

• • ^

« • • • •

Рис. 8. Решение на мелкой сетке (верхний ряд), многомасштабное решение с использованием восьми базисов (нижний ряд)

Таблица 3. Относительная погрешность в Ь2-норме для разного количества базисных функций. Размерность грубой сетки 5 X 5 (пример 2)

Номер базиса ВО¥с Я, % щ %

1 141 1.8424 0.0207

2 201 0.1267 0.0002

4 321 0.0227 0.0001

8 577 0.0119 0.0001

Таблица 4. Относительная погрешность в Ь2-норме для разного количества базисных функций. Размерность грубой сетки 10 x 10 (пример 2)

С дополнительным базисом Без дополнительного базиса

Номер базиса Я, % щ % Я, % щ %

1 452 0.9442 0.0029 320 93.4922 90.8947

2 672 0.1231 0.0004 540 93.4903 91.0023

4 1112 0.0044 0.0001 980 93.4899 91.0204

8 1992 0.0023 0.0001 1860 93.4897 91.0259

5. Заключение

Проведено численное исследование решения эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированных средах. Для решения данной задачи использовался смешанный многомасштабный метод конечных элементов. Метод хорошо показал себя в двух модельных задачах. Полученные решения сравнивались с решением на мелкой сетке методом конечных элементов с использованием двух грубых сеток. Исследование показало, что точность данного метода зависит от размерности грубой сетки и количества базисов: чем мельче берем грубую сетку, тем лучше точность. Для учета граничных условий Дирихле на перфорациях целесообразно использовать дополнительный базис. Показано, что данный базис необходим при решении задачи с помощью смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Le Bris L., Legoll F., Lozinski A. An MsFEM type approach for perforated domains // Multiscale Modeling and Simulation 2014. V. 13, N 3. P. 1077-1077.

2. Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verl. 1991.

3. Allaire G., Brizzi R. A multiscale finite element method for numerical homogenization // SIAM J. Multiscale Modeling and Simulation. 2005. V. 4, N 3. P. 790-812.

4. Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for non-Newtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1773, N 1. P. 100001.

5. Vasilyeva M., Tyrylgin A. Machine learning for accelerating effective property prediction for poroelasticity problem in stochastic media. arXiv preprint arXiv:1810.01586. 2018.

6. Vasilyeva M., Tyrylgin A. Convolutional neural network for fast prediction of the effective properties of domains with random inclusions //J. Physics: Conference Ser. 2019. V. 1158, N 4. P. 042034.

7. Chung E. T., Efendiev Y., Li G., Vasilyeva M. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. 2016. V. 95. N 10. P. 2254-2279.

8. Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains //J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389-405.

9. Васильева М. В., Стальнов Д. А. Численное усреднение для задачи теплопроводности в неоднородных и перфорированных средах // Вестн. Северо-Восточ. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2017. № 2. С. 49-59.

10. Tyrylgin A., Spiridonov D., Vasilyeva M. Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media // J. Physics: Conference Series. 2019. V. 1158. N 4. P. 042030.

11. Chung E., Efendiev Y., Lee C. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications // Multiscale Model. Simul. 2015. V. 13, N 1. P. 338-366.

12. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains //J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519-535.

13. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84-99.

14. Spiridonov D., Vasilyeva M., Leung W. T. A Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) for perforated domain flows with Robin boundary conditions //J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 319-328

15. Vasilyeva M. Chung E. T., Leung W. T., Wang Y., Spiridonov D. Upscaling method for problems in perforated domains with non-homogeneous boundary conditions on perforations

using Non-Local Multi-Continuum method (NLMC) // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 35T. P. 215—227.

Поступила в редакцию 13 апреля 2019 г. После доработки 7 мая 2019 г. Принята к публикации 3 июня 2019 г.

Васильева Мария Васильевна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, кафедра вычислительных технологии, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000 [email protected]

Спиридонов Денис Алексеевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Международная научно-исследовательская лаборатория

«Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления», ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000 [email protected]

Eric T. Chung (Чун Эрик Т.)

Department of Mathematics,

The Chinese University of Hong Kong (CUHK),

Hong Kong

[email protected]

Yalchin Efendiev (Эфендиев Ялчин) Department of Mathematics and Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, College Station, TX, USA [email protected]

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2

UDC 519.63

MIXED MULTISCALE FINITE ELEMENT

METHOD FOR PROBLEMS IN PERFORATED

MEDIA WITH INHOMOGENEOUS

DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS

M. V. Vasilyeva, D. A. Spiridonov, E. T. Chung, and Y. Efendiev

Abstract: We consider the solution of an elliptic equation in mixed formulation in a perforated medium with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions at the perforation boundary. To solve the problem on a fine grid (reference solution), the mixed finite element method (Mixed FEM) is used, where the approximation of speed is implemented using Raviart—Thomas elements of the smallest order and piecewise constant basis functions for pressure. The solution on a coarse grid was obtained with the use of the mixed generalized multiscale finite element method (Mixed GMsFEM). Since the perforations have a great influence on the processes in the medium, it is necessary to calculate an additional basis, taking into account the effect of perforations on the solution. The article presents the results of a numerical experiment in a two-dimensional domain which confirm the efficiency of the proposed multiscale method.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.102.31512

Keywords: mixed generalized multiscale finite element method, mixed finite element method, elliptic equation, additional multiscale basis function, perforated region.

REFERENCES

1. Le Bris C., Legoll F., and Lozinski A., "An MsFEM type approach for perforated domains," Multiscale Model. Simul., 12, No. 3, 1046-1077 (2014).

2. Jikov V. V., Kozlov S. M., and Oleinik O. A., Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer, Berlin (1994).

3. Allaire G. and Brizzi R., "A multiscale finite element method for numerical homogenization," Multiscale Model. Simul., 4, No. 3, 790-812 (2005).

4. Chung E. T., Iliev O., and Vasilyeva M. V., "Generalized multiscale finite element method for non-Newtonian fluid flow in perforated domain," in: AIP Conf. Proc., 1773, No. 1, pp. 100001, AIP Publ. (2016).

5. Vasilyeva M. and Tyrylgin A., "Machine learning for accelerating effective property prediction for poroelasticity problem in stochastic media," arXiv preprint arXiv:1810.01586 (2018).

6. Vasilyeva M. and Tyrylgin A., "Convolutional neural network for fast prediction of the effective properties of domains with random inclusions," J. Phys., Conf. Ser., 1158, No. 4, 042034 (2019).

The authors were supported by the Russian Science Foundation (Grant No. 17-71-2005) (formulation of the problem and the theory) and the Government of the Russian Federation Megagrant No. 14.Y26.31.0013 (the numerical algorithm).

© 2019 M. V. Vasilyeva, D. A. Spiridonov, E. T. Chung, Y. Efendiev

7. Chung E. T., Efendiev Y., Li G., and Vasilyeva M., "Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains," Appl. Anal., 95, No. 10, 2254— 2279 (2016).

8. Chung E. T., Vasilyeva M., and Wang Y., "A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains," J. Comput. Appl. Math., 321, 389-405 (2017).

9. Vasilyeva M. V. and Stalnov D. A., "Numerical homogenization for the heat problem in heterogeneous and perforated media [in Russian]," Vestn. Sev.-Vost. Feder. Univ., No. 2, 49-59 (2017).

10. Tyrylgin A., Spiridonov D., and Vasilyeva M., "Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media," J. Phys., Conf. Ser., 1158, No. 4, 042030 (2019).

11. Chung E. T., Efendiev Y., and Lee C. S., "Mixed generalized multiscale finite element methods and applications," Multiscale Model. Simul., 13, No. 1, 338-366 (2015).

12. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M., and Wang Y., "Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains," J. Comput. Appl. Math., 330, 519-535 (2018).

13. Chung E. T., Leung W. T., and Vasilyeva M., "Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains," J. Comput. Appl. Math., 304, 84-99 (2016).

14. Spiridonov D., Vasilyeva M., and Leung W. T., "A Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) for perforated domain flows with Robin boundary conditions," J. Com-put. Appl. Math., 357, 319-328 (2019).

15. Vasilyeva M., Chung E. T., Leung W. T., Wang Y., and Spiridonov D., "Upscaling method for problems in perforated domains with non-homogeneous boundary conditions on perforations using Non-Local Multi-Continuum method (NLMC)," J. Comput. Appl. Math., 357, 215-227 (2019).

Submitted April 13, 2019 Revised May 7, 2019 Accepted June 3, 2019

Maria V. Vasilyeva

Department of Computational Technology, Institute of Mathematics and Information Science, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovskogo Street, Yakutsk 677000, Russia [email protected] Denis A. Spiridonov

International research laboratory "Multiscale model reduction", M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovskogo Street, Yakutsk 677000, Russia [email protected]

Eric T. Chung

Department of Mathematics,

The Chinese University of Hong Kong (CUHK),

Hong Kong

[email protected]

Yalchin Efendiev

Department of Mathematics and Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, College Station, TX, USA [email protected]