Смешанное нагружение (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) элемента конструкции с трещиной в материале с дробно-линейным законом ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)

УДК 539.42

123

СМЕШАННОЕ НАГРУЖЕНИЕ (НОРМАЛЬНЫЙ ОТРЫВ И ПОПЕРЕЧНЫЙ СДВИГ) ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ С ТРЕЩИНОЙ В МАТЕРИАЛЕ С ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

© 2009 Л.В. Степанова, Т.Б. Элекина1

Получено приближенное решение задачи о трещине, находящейся под одновременным действием растягивающей и сдвигающей нагрузки, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в предположении реализации плоского деформированного состояния. Найдено аналитическое решение задачи определения напряженно-деформированного состояния в непосредственной окрестности вершины трещины в образце, находящемся под действием растягивающей и сдвиговой нагрузки для различных значений коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений состоит из шести областей (секторов), внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Границы введенных секторов находятся численно из решения системы трансцендентных уравнений. Приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону Бейли - Нортона теории установившейся ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает.

Ключевые слова: смешанное нагружение, коэффициент смешанности нагружения, напряженно-деформированное состояние у вершины трещины, дробно-линейный закон теории установившейся ползучести.

1. О дробно-линейном законе ползучести

В рамках теории установившейся ползучести предполагается, что при заданной температуре между скоростью деформации ползучести и напряжением существует определенная зависимость. В большинстве случаев для описания этой функциональной зависимости используется либо степенной

1 Степанова Лариса Валентиновна, Элекина Татьяна Борисовна

([email protected]), кафедра математического моделирования в механике Самарского государственного университета, 443011, Россия, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

закон Бейли - Нортона, либо экспоненциальный закон. Когда применяются соотношения такого типа, оказывается, что даже для постоянной температуры невозможно подобрать единые константы для всего диапазона напряжений, где необходимо учитывать ползучесть. В [1] указывается, что сначала необходимо определить диапазон напряжений для каждого конкретного случая и для выделенного интервала изменения напряжений подобрать значения показателя степени п степенного закона теории установившейся ползучести. Таким образом, оказывается, что п = п(а), и все преимущества, связанные с применением степенной зависимости, исчезают. Для преодоления указанных сложностей были предложены принципиально другие функциональные зависимости скоростей деформаций ползучести от напряжений, в которых материальные параметры имеют четкий физический смысл [2,3]. Опираясь на анализ экспериментальных данных для ряда металлов, С.А. Шестериков и М.А. Юмашева показали [2], что если для установившейся ползучести записать соотношение вида

ё = в——, (1.1)

аь — а

где аа - напряжение, ниже которого нет ползучести, аь - напряжение типа предела прочности, то удается достаточно хорошо единой зависимостью (1.1) описать весь диапазон изменения напряжений. Следует также отметить, что, в отличие от степенной и экспоненциальной зависимостей, использование соотношения (1.1) позволяет описать и мгновенные пластические деформации. Действительно, условие предельного состояния а = = аь аналогично условию наступления пластического течения. Таким образом, в предельном случае получается задача для идеально пластического материала. Следовательно, данная модель физически более обоснована по сравнению со степенной моделью Бейли - Нортона и имеет перед ней неоспоримые преимущества. Дробная модель [2] учитывает максимальное предельное напряжение, характеризующее мгновенное разрушение металла при температуре испытаний, она также может описывать линейную ползучесть при малых напряжениях и различие характеристик длительной прочности при растяжении и сжатии. Более того, дробная модель может учитывать наличие ненулевого предела ползучести, ограничивающего снизу диапазон напряжений, при котором развивается процесс ползучести. В настоящее время дробная модель установившейся ползучести и длительной прочности является предметом многочисленных исследований [4-10]. Для каждого типа определяющих уравнений необходимо разработать методы решения краевых задач при расчете элементов конструкций. Наиболее изученными являются степенной и экспоненциальный определяющие законы [11]. Поэтому интерес представляет зависимость (1.1). В данной работе изучаются поля напряжений и скоростей деформаций ползучести вблизи вершины трещины в условиях смешанного нагружения для частного случая аппрок-

симации (1.1) - для дробно-линейного закона ползучести

е = В & . (1.2)

аь — а

В последнее время смешанное нагружение элемента конструкции с трещиной, находящегося под действием сложной системы нагрузок, в условиях пластического деформирования, ползучести, циклической нагрузки вызывает особый интерес [12, 13]. В настоящем исследовании получено приближенное решение задачи о трещине, находящейся под одновременным действием растягивающей и сдвигающей нагрузки, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в предположении реализации плоского деформированного состояния. Вид нагружения характеризуется параметром [14]:

Мр = 2а.^ (11т ОвррЖ \ , (13)

п 6\г^0 агв(г,в = 0)/

принимающим нулевое значение для трещины поперечного сдвига; значение, равное единице, для чистого растяжения и значение 0 < Мр < 1 для смешанного нагружения образца с трещиной.

2. Постановка задачи

Анализ полей напряжений и скоростей деформации ползучести вблизи вершины трещины в условиях смешанного нагружения в материале, подчиняющемуся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести:

3 /(ае) л/ ч ТЗ ае /Г) -| \

е*7 = -—— вЧ, / (ае) = В~------—, (2.1)

2 ае аь ае

где В,аь - материальные константы, вщ - девиатор тензора напряжений,

Ое = (3вщвц/2)1/2 - интенсивность напряжений, приводит к необходимости

исследования системы уравнений, состоящей из уравнений равновесия

дагг 1 -агв агг — авв -агв 1 -авв агв , .

-ОТ + - + -11----- =0, + - -От +2 — = 0 (2.2)

дг г дв г -г г -в г

и условия совместности деформаций, сформулированного для скоростей деформаций ползучести,

^( -ёгЛ = 02ёгг_ г-ёгг + г-2 (гевв) (23)

-Г \ -в ) -в2 -г -г2

в полярной системе координат с полюсом в вершине трещины.

Определяющие соотношения, связывающие скорости деформаций ползучести и напряжения, замыкают сформулированную систему уравнений и в рамках предположения о реализации плоского деформированного состояния имеют вид

3 агг — авв 3 „ авв — агг 3 0 агв /п Л\

е„ = ~. в----, евв = 7в-------, вгв = -в-----------------------------, (2.4)

4 аь ае 4 аь ае 2 аь ае

где

+ 4^2

тв'

Граничные условия задачи есть условия отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины

авв(г, в = ±п) = 0, атв(г, в = ±п) = 0. (2.5)

По мере удаления от вершины трещины уровень напряжений снижается и, следовательно, определяющие уравнения (2.4) постулируют линейную зависимость между скоростями деформаций ползучести и напряжениями. Поэтому граничные условия в бесконечно удаленной точке представляют собой условия асимптотического сближения искомого решения с решением задачи для линейно вязкого материала:

1

т

л/2пт

1

, 9 39\ ( 9 39

Сі ( 5 008 ^ - 008 — I + С а I -5 81П ^ + 3 81П —

/ о в 39 в\г(„. в 39

Сі ( 3 008 2 + 008 — І + Сіі І -3 81П 2 - 3 81П —

(2.6)

1

Чтв —

л/2Пт

п1-9 . 3в\ ( в 39

Сі ( 81П 2 + 81П — I + Сіі І 008 2 + 3 008 —

Вид смешанного нагружения может быть охарактеризован параметром М, определяемым формулой

М1ь — — аг^

П

2

11т

т,9 — 0)

2

— аг^

П

Сі

Сіі

(2.7)

агв (г, в = 0)

введенным по аналогии с упругим параметром смешанности нагружения [15].

Введение безразмерных переменных согласно равенствам

ащ ёц С*

, и = —, г = —, = —

Ь

х у т „

х — -, у — т, т — Т, —

-у

Ь

(2.8)

Ь ' Ь л/3аь/2} 13 3В/4 ~ В\р3аь/2

позволяет сформулировать систему уравнений в безразмерной форме. При этом уравнения равновесия (2.2) и условие совместности (2.3) сохраняют свою форму. Определяющие уравнения задачи после перехода к безразмерным величинам примут вид

Ьтт — <твв &вв — &тт 2/Гтв

Єтт —

1- Те

1- Те

£тв —

1 _ Те

(2.9)

В дальнейшем для краткости знак т опускается.

2

3. Асимптотическое решение

Для материала, следующего дробно-линейному закону ползучести, вновь можно искать поле напряжений вблизи устья трещины в виде асимптотического разложения

(т, 9) — 4°(9) + га41}(9) + ..., *е(т, 9) — 1 - таа(1)(9) + .... (3.1)

Тогда для определения функций а(0)(в) имеется система уравнений, следующая из двух уравнений равновесия и условия предельного состояния. Для функций а(0)(в) формулируется, таким образом, краевая задача, аналогичная статически определимой задаче теории идеальной пластичности. Приведем точные формулы, задающие поле напряжений в окрестности вершины трещины смешанного типа в предположении реализации плоского деформированного состояния для характерных значений параметра Мр.

Для значения Мр = 1/4 распределение напряжений в окрестности вершины трещины определяется выражениями:

а,

(0)

11

= - + - 008 2в,

аГв = —

а(0) = а(0) = в + 1 + — а(0) = —1

агг = авв = в + 2 + 4 , а,гв = 2,

7(°) = тт

а

(0)

вз < в < в4 = —30.89°

1 3п 1

2 + Т + 2

1 3п 1

аТТ — вз + — +—-—+ — 008 2 1 в — вз +—— I ,

3п

Т

3п'

аТ° = — 28™2 (в — вз + 3[)

(3.2)

а

(0)

тв

в5 ^ в ^ во = 133.87°, а(Т) = —в5 + ^ ^ 8 + 2008 2 (в — в5— 4 а(0 = —в5 + ^ 8 — 7^ 008 2 8в — в5 — 8

(0)

аТ°=28!п2в.

Видно, что поле напряжений состоит из семи областей (секторов), внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Границы введенных секторов находятся численно из решения системы трансцендентных уравнений, выражающих условия непрерывности компонент ат и а через линии раздела секторов. Можно провести сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону

Бейли - Нортона теории установившейся ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает. Поле напряжений (3.2) иллюстрирует рис. 3.1, где сплошные линии показывают точное аналитическое решение, в то время как крестики соответствуют численному решению задачи для степенного закона теории установившейся ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности стремится к бесконечности. В ходе численного счета полагалось, что п = 300.

Рис. 3.1. Угловое распределение компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины для значения Мр = 1/4

Для значения Мр = 1/2 распределение напряжений в окрестности вершины трещины определяется выражениями:

—п = в\ ^ в ^ в2 = —3п/4,

(

п

вз < в < в4

<

(3.3)

в5 < ^ во = 138.07°,

— —в5 + 2+2 С°Й 2 (в

1 1 2 - 2

вб ^ в ^ в7 — П,

Поле напряжений (3.3) иллюстрирует рис. 3.2, где сплошные линии показывают точное аналитическое решение, в то время как крестики соответствуют численному решению задачи для степенного закона теории установившейся ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности стремится к бесконечности. В ходе численного счета полагалось, что п —

Рис. 3.2. Угловое распределение компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины для значения Мр — 1/2

Для значения Мр — 3/4 распределение напряжений в окрестности вершины трещины определяется выражениями:

300.

—п — в1 ^ в ^ в2 — —3п/4,

— &3 + ^ + ~4 + ^ СОЙ 2 ( & - &3 + ~4 ^ ’

(о) л 1 3п 1 3п\

авв — &з + 2 + 1” - 2СОй 2 (& - &з + у),

&3 < & < &4 — -2.24е

1 3п 1

3п'

(Г^0 — - 2 & - &з + 3Л

■ 4? — г(0) — -& + 2tg3П’

&5 < & < &6 — 148.44е,

Г

(о)

тв

— &5 + 2 ^ “8“ + 2 СОй 2 (& - &5 - -4)

Г(в0 — &5 + 2 tg у - 2 СОй2 (& - &5 - 4)

, а(в0 — - 2й1п2 (& - &5- 4

Г &6 ^ ^ &7 — П,

\ а(т0—-2-2cos2&, а(в)—-2+2cos2&, Ггв —^т^.

Поле напряжений (3.6) изображено на рис. 3.3.

(3.4)

(3.5)

Рис. 3.3. Угловое распределение компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины для значения Мр — 3/4

Анализ полученных распределений напряжений позволяет заключить, что поле напряжений имеет в каждом из трех случаев одинаковую струк-

туру и, обобщая результаты, можно представить напряженное состояние в окрестности вершины трещины для любого значения параметра Мр :

ТТ0 — 1 + 1 cos 2&, а(°° — 2 — 2 cos 2&, аТв) — —1 sin 2&

-п — &1 ^ ^ &2 — —3п/4,

ад

(о)

11

(о)

1

Г(0) — Г(0) — & + 1 + 3п атт — авв ~ & ' 2 4 ,

(0)

атв — 2,

а

(0) —

1 3п 1

3п

&3 + 2 + т + 2 СШ 21 & - &3 + Т

(о) ^ 13— 1 3п'

апп — &3 + ~ ---------- cos 2 ( & - &3 +——

4

4

а

(о)

тв

1

3—\

— - - sin2 & - &3 + —

4

(3.6)

аТ0 — а(0) — -& + - ■

+ 1<€ ( — МР) ■ Г

(о)

тв

аТТ) — &5 + тг

tg (— МР) + 2 СОS 2 (& - &5 - 4)

Г^в — &5 + 2 ^ (2МР) - <2coS 2 (& - &5- 4)

ГТ0) — -2sin2 (& - &5 - 4

Г &6 ^ ^ &7 — —,

| атт)—-2-2cos2&, ^—-2+2cos2&, аТв)—

где углы &3,&4, &5 и &6 определяются из решения следующих двух систем трансцендентных уравнений:

-&4 + 2<* (2Мр)

1 3— 1 3—

— &3 + 2 +1“ - 2Сте 2 ( &4- &3 + -4

— 2 sin 2 (&4 - &3 + -4

(3.7)

-&5 + 2 ^ ("2М^ - 2coS 2 (&6- &5- 4) — - 2 + 2coS 2&6

- 2sin 2 ^&6- &5- 4^ — 2sin 2&6.

(3.8)

Легко проверить, что в случае, когда Мр — 1/4, решение системы уравнений (3.7) имеет вид (в радианах)

&3 — -2.109942018,

&4 — -0.5391456909;

1

и

решение системы (3.8) -

05 = 0.7462474719, 06 = 2.33661944.

При Мр = 3/4 решение системы уравнений (3.7) имеет вид (в радианах) 03 = -1.609942018, 04 = -0.03914569101;

решение системы (3.8) -

05 = 1.254775622, 06 = 2.590883219.

Сравним полученное решение с полем напряжений в окрестности вершины для материала, подчиняющегося степенному закону, связывающему деформации и напряжения = 3Б(т'П-1 /2, где Б, п - постоянные ма-

териала, в предельном случае, когда п ^ то, что соответствует идеально пластическому материалу. В соответствии с подходом, реализованным в [16-19] решение разыскивается в виде т^(т,0) = Кт-1/(га+1)(0), и для получения угловых распределений компонент тензора напряжений в непосредственной окрестности вершины трещины имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений (или одно нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, если использовать функцию напряжений Эри). Устремляя п к бесконечности (в ходе численного счета обычно полагают п = 100, 300, 500), можно получить уже другим способом угловые распределения компонент тензора напряжений (на рис. 3.1 - 3.3 точки, полученные в результате численного анализа, показаны знаком ”плюс”). Сравнение полученных угловых распределений компонент тензора напряжений показывает, что две схемы построения поля напряжений приводят к одному и тому же результату, что служит подтверждением достоверности найденного поля напряжений (3.6).

4. Поле скоростей деформаций

В силу определяющих уравнений задачи и найденного распределения напряжений (3.5) поле скоростей деформаций ползучести задается асимптотическими выражениями

008 20 . 8Ш20

—П = 01 < 0 < 02,

етт —

,«т(1):

03 < в < 04, егг =

02 < 0 < 03, 008 2$

тат\

ёгт — 0,

81п 2$

етв = —

етв

та т.

(1)

етв

3

т^т.

(1)

3

05 <0 <06,

04 <0 < 05, 008 2$

£тт — 0,

етд =

етт -----

(1)

5

81п 2$

т«т.

(1)

5

т& тГ

1

т& т21) ’

; + 4

1

т& т41) ’

/ ,4

06 < 0 < П, етт

008 20

81п20

Для определения неизвестного показателя а можно, во-первых, обратиться к известным решениям задач исследования напряженно-деформированного состояния вблизи вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в материале с дробно-линейной моделью ползучести, в ходе решения которых установлено, что в секторах, где етт = 0, условие совместности деформаций выполняется при любой функции т^1), если а = 1. В силу этого хотя бы в одном из двух секторов в рассматриваемом решении, где удовлетворяется данное условие, показатель сингулярности скоростей деформаций ползучести а должен быть равен единице. Во-вторых, угловые распределения компонент тензора скоростей деформаций ползучести, полученные для степенного закона ползучести, приведенные на рис. 4.1-4.3, ясно указывают на то, что в двух секторах: 02 < 0 < 0з и 04 < 0 < 05 показатель сингулярности равен единице, тогда как в остальных областях сингулярности поля скоростей деформаций меньше единицы. Проводя аналогию с ранее полученными решениями для чистого растяжения и чистого сдвига образца с трещиной, можно заключить, что при — п < 0 < 02,

03 < 0 < 04, и 05 < 0 < п показатель сингулярности поля скоростей деформаций равен 1/2.

Рис. 4.1. Угловое распределение компонент тензора скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины для Мр = 1/2

Рис. 4.2. Угловое распределение компонент тензора скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины для Мр = 1/4

Рис. 4.3. Угловое распределение компонент тензора скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины для Мр = 3/4

Итоговое поле скоростей деформаций ползучести вблизи вершины трещины в условиях смешанного нагружения имеет вид

008 20 . 8ш20

—П = 01 < 0 < 02, етт = —;—(1), етв =---;—(1),

т1/2т(1) т1/2тТ1)

02 < 0 < 03, етт = 0, ёт0 = /1(0),

т

03 < 0 < 04,

05 < 0 < 06,

ёГГ -----

008 2$ г1/2 ст(1)

ёгв — — ■

81п 2$

г

1/2а(1)

$ — 0 — 03 + п/4,

3

04 <0 < 05, 008 2$

ёгг — 0,

81п 2$

ёгв —

/2(0)

Втт -----

л/2

ёгв — —"

г

1/2а(1)

5

06 < 0 <п,

008 20 1/2а(1),

$ — 0 — 05 — п/4,

. 81п20

г1/2ст(1)

ёгв

Полученное решение позволяет пролить свет на поле деформаций у устья трещины в идеально пластическом материале, поскольку условие наступления предельного состояния аналогично условию наступления пластического течения Мизеса. В отличие от задач теории идеальной пластичности при определении кинематики пластического течения в окрестности вершины трещины, когда можно отыскать лишь некоторые характерные особенности поля деформаций, в рамках настоящего подхода удается определить поле скоростей в каждом из секторов.

г

5. Сращивание ближнего и дальнего полей напряжений с помощью инвариантного интеграла

Для сращивания решения, описывающего поля напряжений и скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины, и дальних полей напряжений и скоростей деформаций можно воспользоваться инвариантным С*-интегралом [18]:

С д —

С * — Ж 4x2 — Т ■ — йв. (5.1)

} дх1

г

Выбирая в качестве контура интегрирования окружность радиуса г, охватывающую вершину трещины, можно получить

П

С* — г

д—

Ж 008 0 — т ■ — дх1

(10. (5.2)

С * — Г J {Ж * 008 0 — агг [ёгг 008 0 — (ёгв — ш) 81п 0] —

— П

—агв [(ёгв + ш) 008 0 — ёвв 81п 0]} й0, (5.3)

где

ш — (1/г)ув + (дув/дг) — (1/г)(дуг/д0), Ж * — ё — 1п(1 + ё).

При г — 0, £ —— то в соответствии с найденным решением С *-интеграл определяется равенством

вз въ

С * = г J [Ш * сов в + агг єгв віп в] йв + г ^ [Ш * сов в + агг єгв віп в] йв =

в2 в4

вз 0з

= [є сов в + стггєгв віп в] йв + [є сов в + аггєгв віп в] йв =

02 02

вз вб

= //\(в) (совв + стгг віпв) йв + / /2(в) (совв + 0>г віпв) йв = (5.4)

02

вз

= //1(в)

в2

вб

+ ^ /2(в) С08в + ^-в + ^ (мР|))віп в

в 4

совв + (в + 1 + “Л ї віп в

йв+

в 4

Проведенная операция сращивания позволяет построить зоны ползучести у вершины трещины (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Конфигурации областей ползучести. Кривая 1 соответствует области ползучести в условиях нормального растяжения, кривая 2 построена для М1у = 3/4, кривая 3 - М1у = 0.6, 4 - М1у = 0.5, 5 - М1у = 1/4, кривая, обозначенная цифрой 6, отвечает чистому сдвигу

Выводы

В настоящем исследовании получено приближенное аналитическое решение задачи о трещине, находящейся под действием растяжения и поперечного сдвига, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в условиях плоской деформации. Найдены поля

напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в образце, подвергнутом смешанному нагружению (отрыв и поперечный сдвиг) при различных значениях коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений состоит из семи клинообразных областей, внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Границы секторов находятся численно из решения системы трансцендентных уравнений. Приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает. Для сравнения построены угловые распределения компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести в материале со степенным законом для различных значений показателя нелинейности материала. Аналитическое и численное решения совпадают, что подтверждает достоверность результатов. В отличие от задач теории идеальной пластичности при определении кинематики пластического течения у вершины трещины, когда можно отыскать лишь некоторые характерные особенности поля деформаций, в рамках настоящего подхода удается определить поле скоростей деформаций в каждом из секторов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-99023).

Литература

[1] Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работ-нов. — М.: Наука, 1966. — 752 с.

[2] Шестериков, С.А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести / С.А. Шестериков, М.А. Юмашева // Изв. АН СССР. МТТ. — 1984. — №1. — С. 86-92.

[3] Шестериков, С.А. О длительной прочности / С.А. Шестериков, С.Ю. Лебедев, М.А. Юмашева // Проблемы механики сплошной среды. К 60-летию со дня рождения В.П. Мясникова. Владивосток: Изд-во ИАПУ ДВО РАН. — 1996. — С. 80-85.

[4] Аршакуни, А.Л. Прогнозирование длительной прочности жаропрочных металлических материалов / А.Л. Аршакуни, С.А. Шестериков // Изв. РАН. МТТ. — 1994. — №3. — С. 126-141.

[5] Аршакуни, А.Л. Прогнозирование длительной прочности металлов / А.Л. Аршакуни // Изв. РАН. МТТ. — 1997. — №6. — С. 126-135.

[6] Локощенко, А.М. Анализ критериев длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии / А.М. Локощенко, В.В. Назаров, Д.О. Платонов [и др.] // Изв. РАН. МТТ. — 2003. — №2. — С. 139-149.

[7] Кашелкин, В.В. Метод прогнозирования длительной прочности хромоникелевых аустенитных сталей / В.В. Кашелкин, И.А. Кузнецова, С.А. Шестериков // Изв. РАН. МТТ. — 2004. — №1. — С. 182-187.

[8] Шестериков, С.А. Анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести / С.А. Шестериков, Л.В. Степанова // Изв. РАН. МТТ. — 1995. — №1. — С. 96-103.

[9] Астафьев, В.И. Асимптотика напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести / В.И. Астафьев, Л.В. Степанова, С.А. Шестериков // Вестник СамГУ. Спец. выпуск. — 1995. — С. 59-64.

[10] Астафьев, В.И. Влияние поврежденности материала на напряжен-

но-деформированное состояние в окрестности вершины трещины для дробно-линейного закона ползучести / В.И. Астафьев, Л.В. Степано-

ва // Вестник СамГУ. — 1997. — №2. — C. 135-141.

[11] Бойл, Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести / Дж. Бойл, Дж. Спенс. — М.: Мир, 1986.

[12] Pan, J. Analytical solutions for crack-tip sectors in perfectly plastic Mises materials under mixed in-plane and out-of-plane shear loading conditions / J. Pan, P. C. Lin // Engng. Fracture Mechanics. — 2006. — V. 73. — P. 1797-1813.

[13] Rahman, M. Elastic perfectly-plastic asymptotic mixed mode crack tip

fields in plane stress / M. Rahman, J.W. Hancock // Int. J. Solids and

Structures. — 2006. — V. 43. — P. 3692-3704.

[14] Suresh, S. B. Fatigue of material / S.B. Suresh. — Cambridge: Cambridge University Press, 1991. — 573 p.

[15] Shih, C.F. Small-scale yielding analysis of mixed-mode plane strain crack problems / C. F. Shih // Fracture Analysis. — 1974. — 560. — P. 187-210.

[16] Rice, J.R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material /J.R. Rice, G.F. Rosengren // J. Mech. Phys. Solids. — 1968. — V. 16. — №1. — P.1-12.

[17] Hutchinson, J.W. Singular behaviour at the end of tensile crack in a harderning material / J.W. Hutchinson // J. Mech. Phys. Solids. — 1968. — V. 16. — P. 13-31.

[18] Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения / В. И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова. — Самара: Изд-во ’’Самарский университет”, 2001. — 632 с.

[19] Степанова, Л.В. Математические методы механики разрушения / Л.В. Степанова. — Самара: Изд-во ’Самарский университет”, 2006. — 232 с.

Поступила в редакцию 9////2009;

в окончательном варианте — 9/Ц/2009.

COMBINED MODE LOADING (NORMAL TRACTURE MODEL AND IN-PLANE SHEAR)

OF THE ELEMENT OF CONSTRUCTION WITH IN A MATERIAL WITH THE LINEAR-FRACTIONAL CREEP

PRINCIPLE

© 2009 L.V. Stepanova, T.B. Elekina2

Approximate solution of the task about the crack, under synchronizing action of tensile and shearing loading, in the material, submitting to linear-fractional creep principle in the supposition of realization of plane deformation state is presented. Analytical solution of the task of defining strained deformation state in close proximity to the tip of the crack in the specimen under synchronizing action of tensile and shearing loading for different in value of the coefficient of the heterogeneity of loading, defining the sort of loading is found. It is shown that the stress field consists of six sectors inside of which the components of stress tensor are defined by different functional dependency. The boundaries of the sectors introduced are found numerically from the solution of the system of transcendental equations. The comparison of the approximate analytical solution with the numerical solution of the task for the material, sequent to the staid law of Bail Norton of the linear-fractional creep principle in the extreme case in the extreme case, when the index of non-linearity of the material ultimately grows is given.

Key words and phrases: combined mode loading, coefficient of the heterogeneity of loading, strained deformation state in close proximity to the tip of the crack, linear — fractional creep principle.

Paper received 9/77/2009. Paper accepted 9/77/2009.

2Stepanova Larisa Valentinovna, Elekina Tatjana Borisovna ([email protected]), Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara State University, 443011, Russia.