Смешанная задача для одного b-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 39-50

= Математика

УДК 517.946

Смешанная задача для одного Б-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода

Н. В. Зайцева

Аннотация. Рассматривается смешанная задача для В-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода и доказывается единственность ее решения. Доказывается эквивалентность рассматриваемой задачи и смешанной задачи для этого же уравнения с обычным локальным граничным условием. Решение задачи получено в явном виде.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальное

интегральное условие, оператор Бесселя, смешанная задача.

□ви — 7772---------------------Вхи — 0, (1)

Введение

Пусть С — {(х,г)|0 <х< 1,0 <г<Т} — прямоугольная область в координатной плоскости 0x1.

В области С рассмотрим В-гиперболическое уравнение вида

д 2 и д2

где Вх — х-к1 (хкдх) — Щ! + ХдХ — оператор Бесселя.

В данной работе дается постановка смешанной задачи для уравнения (1) с интегральным условием и доказывается её корректность.

1. Постановка смешанной задачи с интегральным условием и единственность ее решения

1.1. Постановка смешанной задачи с интегральным условием.

Требуется найти функцию и(х,Ь), удовлетворяющую условиям:

и(х, г) е С2(С) п с\с и Го и го п с (С), (2)

□ви(х,г) — 0, (х,г) е С, (3)

ди

дх

— 0, (4)

х=0

Ч=о — и\ь=о — 0 < х < 1

1

1ф-')хкйх — 0 г > 0

(5)

(6)

где р(х) и ф(х) — заданные, достаточно гладкие функции,

г0 — {(х,г)\ 0 ^ г ^ т, х — 0}, г1 — {(х,г)\ 0 ^ х ^ 1, г — 0}.

1.2. Единственность решения задачи (2)—(6).

Теорема 1. Задача (2) — (6) не может иметь более одного решения.

Доказательство. и1 и и2 — два предполагаемых решения задачи (2)-(6). Тогда их разность и — и1 — и2 удовлетворяет условиям (2)-(4), однородным начальным условиям

Ч=о — 0, и*\*=о — 0

(5о)

и интегральному условию

1

/и(х^х — 0-

(6о)

Нетрудно проверить, что имеет место тождество

х‘ V —2 д^хк

д^\2 /21 дг) + V дх

д / к ду ду дх V дг дх

Полагая в этом тождестве V — и, с учетом того, что и является решением уравнения (1), получим

1 -\хк

2 д^х

(ди\2 ( ди' 21

V дг ) +1 дх

д ( к ди ди\ дх V дг дх )

Интегрируя это тождество по х на отрезке [0,1], имеем

1 д_ 2 дг

2 + (2

дг

хк йх — иг(1,г)их(1,г).

(7)

Также рассмотрим тождество иц — х к дх {хкдХХ). Умножая это тождество на хк и интегрируя по х на отрезке [0,1], получим

1

У иыхкйх — их(1,г).

(8

1

Дифференцируя два раза по г условия (60), имеем / иц(х, г)хкйх = 0. Отсюда

о

и из (8) следует, что их(1,г) = 0. Полагая в (7) их(1,г) = 0, получаем

хкйх = 0, откуда / ()2 + (дхХ)2 хкйх = с1. В силу

1 д_ Г

2 дЬ ■)

0

'дм )2 + (дм )2

ч дЬ ) Vдх )

начальных условий (50) с1 = 0. Поэтому / 2 + (.шУ хкйх = 0, откуда

о ^ -I

Ж =0, дх = 0, и, следовательно, и = с. Из этого равенства и начальных

условий (50) следует, что с = 0 и, следовательно, и = 0 и и1 = и2.

2. Смешанная краевая задача для уравнения (1) и единственность её решения

2.1. Постановка смешанной краевой задачи. Требуется найти функцию и(х,г), удовлетворяющую условиям:

и(х, г) е с2(с) п с 1(с и Го и г) п с (С), (9)

□ви(х,г) = 0, (х,г) е с, (10)

' дм Л2! ™к.

ди

дх

0,

(11)

х=0

и1ь=0 = ^(x), иь\ь=0 = Ф(x), 0 < х < 1, (12)

их(1, ¿) =0, і ^ 0. (13)

2.2. Единственность решения задачи (9)—(13).

Теорема 2. Смешанная задача (9) — (13) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть иі и и2 — два предполагаемых решения задачи (9)-(13). Тогда их разность и = и1 — и2 удовлетворяет условиям (9)-(11), однородным начальным условиям

и\ь=0 = 0, иЬ\ь=0 = 0, (120)

и однородному граничному условию их(М) = 0. Отсюда и из (7) следует,

хкйх = с2. В

0

1 Г.

хкйх = 0. Отсюда следует,

что 11 / [(І)2 + (дмх )1 хкёх = 0, откуда / [(дм)2 + (%)2

0

силу начальных условий (120) /

0

что и = 0 и, следовательно, и1 = и2.

дм)2 і (дм)2

дЬ ) ' V дх )

3. Существование решения смешанной задачи с нелокальным интегральным условием

3.1. Эквивалентность задач (2)—(6) и (9)—(13). Задачи (2)-(6) и (9)-(13) называются эквивалентными, если решение задачи (2)-(6) также является решением задачи (9)-(13) и наоборот.

Задачи (2)-(6) и (9)-(13) отличаются последним граничным условием. В задачах (2)-(6) условие (6) представляет собой нелокальное интегральное условие, а в задачах (9)-(13) условие (13) — обычное локальное граничное условие.

Докажем, что задачи (2)-(6) и (9)-(13) эквивалентны. Для этого достаточно доказать эквивалентность условий (6) и (13).

Лемма 1. Если выполняются условия согласования

то условия (6) и (13) эквивалентны.

Доказательство. Пусть и(х,Ь) — решение задачи (2)-(6). Тогда это решение удовлетворяет условию

1

1

(14)

о

о

1

/

и(х, £)хкйх = 0, £ ^ 0.

о

Дифференцируя это условие два раза по £, получим

1

о

Заменяя в (15) подынтегральную функцию ‘дци на её значения из (1), получаем

1

1

1

/

/

Вхи(х, Ь)хкйх

/

о

о

о

1

о

Отсюда и из (15) следует, что их(1,£) = 0.

Пусть теперь и(ж, £) — решение задачи (9)-(13). Тогда имеет место тождество

д 2и

^ = х к^~ 0 <х< 1, і> о,

ді2 дх \ дх

д

ди

(16)

чх(1,г) = о, ь ^ о. (17)

Умножая тождество (16) на хк и интегрируя по х на отрезке [0,1], получим

1 1

/ д2и к ] д ( к ди\ ( к ди\

2 хк&х = хк— )йx = хк —

У ді2 ] дх) \ дх)

о о

Отсюда и из (17) следует, что

1

д 2и ді2

хк йх = 0.

= иж(1,і).

(18)

Интегрируя равенство (18) по Ь, получим / ди хкйх = е1. Полагая здесь

о

Ь = 0, с учетом второго равенства из (14) получим а =0 и, следовательно, 1 1

/ дихкйх = 0. Отсюда имеем / и(х,Ь)хкйх = с2. Также, полагая здесь Ь =

0 о

= 0, с учетом первого равенства из (14) получим с2 = 0 и, следовательно,

1

/ и(х, Ь)хкйх = 0.

о

Таким образом, доказано, что граничные условия (6) и (13) задач (2)-(6) и (9)-(13) эквивалентны и, следовательно, эквивалентны сами задачи, т.е решения этих задач совпадают. Поэтому для доказательства существования решения задачи (2)-(6) достаточно доказать существование решения вспомогательной задачи (9)-(13).

3.2. Существование решения задачи (9)—(13). Решение этой задачи ищем в виде

и(х,Ь) = X (х)Т (Ь), (19)

где X(х) и Т(Ь) — пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы функция (19) удовлетворяла условиям (10), (11) и (13) задачи (9)-(13). Подставляя её в уравнения (10) и граничные условия (11) и (13), получим

ХТ" = (X" + -х,) т,

X'(0) т = о,

X/(1) T = 0.

(20)

(21)

(22)

и

1

о

Поделив (20) на ХТ, получим

Т X

откуда

Т" + Л2Т = 0, (23)

-

X" + -X' + Л2Х = 0. (24)

х

Сокращая равенства (21) и (22) на Т, получим

X' (0) = 0, (25)

X' (1) = 0. (26)

Уравнение (24) умножаем х2

х2^' + -XX' + Л2х^ = 0. (27)

С помощью замены переменных по формулам

1-к

X=(Л)2 г’х=Л (28)

уравнение (27) приводится к уравнению Бесселя вида

С2 ^+С% + (С - (--1))2 = 0 (29)

Известно [1], что общим решением уравнения (29) является функция

2 = в\1 к-1 (С) + С2Ук—1 (С), (30)

2 2

где Iк-1 (С), Ук-1 (С) - бесселевы функции первого и второго родов порядка

2 2

^2— • Возвращаясь к старым переменным в (30), с учетом формул (28) получим

1-к - ч 1-к , , , ч

X = С1х 2 Iк-1 (Лх) + с2х 2 Ук-1 (Лх), (31)

2 2

где С1, С2, Л — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы общее решение (31) удовлетворяло условиям (25) и (26). С этой целью подставим его в эти условия.

В силу известной формулы дифференцирования функции Бесселя

dX й ( — \ й ( ¿-ь Л

йх =С1 йх{х 21к-(Лх)) +С2Тх (х 2 У- (ХхЧ =

1-к 1-к

= -С1Лх 2 Iк+1 (Лх) + С2Лх 2 ук+1 (Лх).

2 2

Также в силу известной асимптотической формулы для функции Бесселя [1] при с2 = 0 и х ^ 0 = то, а при с2 = 0, с1 = 0 и х ^ 0 = 0.Полагая

в общем решении (31) с2 = 0, получим X = с1х 2 Iк-1 (Лх) . Здесь также

2

положим с1 = 0, так как собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя:

1 — к

X — х 2 Iк—і (Ах) 2

(32)

Подставляя (32) в условия (26), получаем

йХ

йх

х=1

— — [Ах 2 Iк+і (Ах) ] — —АІк+і (А) — 0

V 2 / х=1 2

откуда

I к + 1 (А) — 0.

(33)

По известным теоремам [1] это уравнение имеет бесконечное число простых вещественных корней Л1 < Л2 < Лз < ... < Лп < ..., которые определяют собственные значения спектральной задачи (24)-(26). Полагая в (32) Л = Лп, получим соответствующие собственные функции

1 —к

Хп — х 2 Ік—і (Апх), п — 1,2,3,..

2

(34)

Докажем, что система функций |ік-1 (Апх)| ортогональна с весом х в промежутке [0,1].

Уравнение (24) запишем в виде х-к Х (хкХ;ХХ) + А2Х — 0. Умножив это уравнение на хк, получим Хх {хкХХх) + А2хкX — 0.

Так как функции (34) являются решениями этого уравнения, то при п —

— т имеют место следующие тождества:

й

йх

й

йх

хкйх (х 2 I — (АПх))

к й ( 1—кТ ,, \ х — х 2 I — (Атх) йх V 2

к+1

+ Апх 2 Iк—1 (Апх) — 0,

9 к + 1

+ Атх 2 Iк—1 (Атх) — 0.

1 —к

Умножая первое из этих тождеств на х 2 Iк—1 (Атх), а второе

2

1 —к

на х 2 Iк—1 (Апх), и вычитая одно из другого, после несложных

2

преобразований получим

(Ап — Ат) xIк—1 (Апх) Iк—1 (Атх) —

2 2

й

йх

АnXІк—1 (Ат>х) Iк+1 (Апх) АmXІк—1 (Апх) Iк+1 (Атх)

2 ' ' '

тк—1\ /\п^ 2

Проинтегрируем это тождество на промежутке [0,1], тогда получим

1

(Ап — Ат) xIк—1 (Апх) Iк—1 (Атх) йх —

У 2 2

— к—1 (Ат) Iк+1 (Ап) АmIк—1 (Ап) Iк+1 (Ат) ■ (35)

2 2 2 2

В силу вышеизложенного Лп и Лт - различные вещественные корни

уравнения (33). Поэтому Лп = Лт, Iк+1 (Лп) =0 и Iк+1 (Лт) = 0. Отсюда и

2 2

из (35) следует, что

1

xI к—1 (Апх) I к—1 (Ат х) йх — 0, п — т, п,т — 1,2,3,... (36)

У 2 2

о

и, следовательно, система функций |! — (Апх)| ортогональна с весом х в промежутке [0,1].

Из (36) следует, что система собственных функций (34) ортогональна с к

весом хк в этом промежутке, то есть

1 1 х ~ Iк—1 (Апх) х ~ Iк—1 (Атх) хкйх — Iк—1 (Апх) Iк—1 (Атх) хйх — 0.

У 2 2 У 2 2

оо

Известно [1], что система функций |! — (Апх)| полна в пространстве

Ь2([0,1],х) и, следовательно, система функций (34) полна в пространстве Ь2([0,1],хк). Поэтому любая функция f(х) из Ь2([0,1],хк) может быть разложена в ряд Фурье-Бесселя по системе собственных функций (34), то есть

ГО

1 — к

f (х) — У'! апх 2 Iк—1 (Апх). (37)

• ^ 2

^п^ I к-1 (Лп-

2

п=1

к + 1 г ,

Умножая (37) на х 2 I- (Лтх) и интегрируя по отрезку [0,1], с учетом

2

ортогональности системы функций (34) с весом хк, получим 1 1 У f (x)Iк-1 (Лтх) х~+~ йх = ат ! 12к-1 (Лтх) хйх. (38)

1

Известно [1], что /12к—1 (Атх) хйх — 212к—1 (Ат). Отсюда и из (38)

0 2 2

следует, что

1

2 [ к+1

°т — 75-------тг-^т f (x)I к—1 (Атх) х 2 йх, т — 1, 2, 3,....

12к—1 (Ат) У 2

о

На основании формул дифференцирования цилиндрических функций коэффициенты ат представлены в виде

/d / k+i \

f (x) — (x~ Ik+1 (Xmx)J dx. (39)

XmI k-i (Xm) J dx

-¡T 0

Интегрируя по частям интеграл (39), получим

2

/k+1

f '(x)Ik+i (Xmx) x~~ dx =

XmI‘k-1 (Xm) J 2

0

1

2 ( , d

I rv> О / , „ / \ , .

mx

і

„ M , f'(x)^— (x I k+3 (Xmx)) dx =

Amii-1 (Xm) У xdx \ 2 /

~ 0

2

1

f'(1)I k+3 (Xm) - [ (f''(x) - f'(x))x k— I k+3 (Xmx) dx

2 J 2

Обозначим через Сд[0,1] множество функций / (х) из С2[0,1], удовлетворяющих условиям /(1) = 0, /'(0) = 0.

Если /(х) е С^[0,1], то коэффициенты разложения (37) могут быть определены по формулам

1

2 í k-1 f''

Om = Т^2---------(f ''(x) - f '(x))Ik+3 (Xmx) x~ dx = -у-. (40)

XmI2-1 (Xm) j 2 Xm

fc—1 V/m

0

Полагая в (23) Л2 = А2, получим

Tn + АПТп = 0.

Общее решение этого уравнения имеет вид

Tn = an COS Ant + bn sin Ant.

Таким образом, система частных решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям (11), (13) определяется по формулам

1 — к

un(x,t) = x~ Iк-i (Anx) (an cos Ant + bn sin Ant).

2

Решение задачи (9)-(13) ищем в виде

ГО

Е1_fc

x ~ Iк-i (Anx)(an cos Ant + bn sin Ant). (41)

2

Коэффициенты ап и Ьп находим из требования, чтобы функция п(х,Ь), определяемая рядом (41), удовлетворяла начальным условиям (12). Подставляя её в эти начальные условия, получим

^ те

Е1_к ^1__________к

апх ~ I к-1 (Лпх) = <^(х), > ЪпЛпх ~ I к-1 (Лпх) = ф(х).

2 ' 2

п=1 п=1

Пусть <^(х), ф(х) е С0[0,1]. Тогда в силу (40) коэффициенты этих разложений могут быть найдены по формулам

1

■ (<р//(х) — v/(x))Iк+з (Лпх) хйх = , п =1, 2,...

I 2 Л2

</ /хп

\2 т2 (\ \ I 'УК'*') )-*- к+3 \/уп

Лn1 к-1 (ЛП)

0

/* к — 1 ^//

(ф//(х) — ^(х))7к+з (Лпх) хйх = —п, п =1, 2,... (42)

J 2 К

К!2— (Лп)

2 0

Заменяя в (41) ап и Ъп на их значения из (42), получим решение задачи (9)-(13). Оно имеет вид

и(х, ¡) = V х -/к-, (Лпх) (уП С°8 ^ 8‘" Л"г). (43)

2 Л2

п=1 Лп

Докажем равномерную сходимость ряда (43) в области О. Известно [1], что для функции Бесселя при С ^ то имеет место асимптотическая формула

IV(С)= О^) . (44)

Также известно [1], что при /(х) е С[0,1] и С ^ то

1

У /(x)IV(Сх)хйх = О . (45)

о С 2

С помощью асимптотических формул (44) и (45) имеем при п ^ то

Vп = о( ^т) , < = о(ЛА , (46)

\ Лп / 2

ап = о( -^] , Ъп = о{ -^) . (47)

\ Лп / \ ЛП /

Отсюда и из (44) следует, что при (х, ¿) е О и п ^ то

- т ,, , Vп сой — ФП я1п

х 2 1 к-1 (Лпх) Л 2

2 Лп

2

ап —

1

2

В силу признака Вейерштрасса ряд (43) сходится равномерно в О и, следовательно и(ж,Ь) е С (О).

Теперь докажем, что и(ж,Ь) е С 1(С). Для этого продифференцируем ряд (43) по ж и Ь:

du ^ — т" cos Xnt + фП sin \nt

— = — ^ x 2 Jk+i (Xnx)-------------------

n=1

\n

du ^ T Л . тП sin \nt — фП cos \nt

— = > X 2 I— (Xnx)—— n

dt ^ 2

n=1

Xn

(48)

(49)

С помощью асимптотических формул (44)—(47) и аналогично вышесказанному можно доказать, что для членов рядов (48) и (49) в С имеют место следующие оценки

X - (XnX) mn COs Xnt + ФП sin Xnt

2 Xn

i-k _ ,. . m'n sin Xnt — фп cos Xnt

x 2 Ik-i (Xnx)

2

Xn

Отсюда следует, что ряды (48) и (49) равномерно сходятся в С и, следовательно, п(ж,і) Є С 1(С).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Если р,ф Є С2[0,1] и удовлетворяют условиям (14), то смешанная задача с интегральным условием первого рода (2) — (6) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (43).

Список литературы

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: И.Л., 1949. 799 с.

Зайцева Наталья Владимировна ([email protected]), ассистент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань.

Mixed problem for a B-hyperbolic equation with integral condition of the first king

N. V. Zaitseva

Abstract. A mixed problem for a B-hyperbolic equation with integral condition of the first kind and prove uniqueness of the solution. The equivalence

between this problem and mixed problem for this equation with the usual local boundary condition. The solution of the problem is obtained in explicit form.

Keywords: hyperbolic equation, nonlocal integral condition, Bessel operator, mixed problem.

Zaitseva Natalia ([email protected]), assistant, department of higher mathematics and mathematical modeling, Lobachevskii Institute of Mathematics and Mechanics , Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 20.03.2012