Смешанная проекционно-сеточная схема для решения задач теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 539.3

СМЕШАННАЯ ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНЯ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

© Н. Д. Морозкин \ О. Абдуллаев 2*, Э. Р. Нугуманов \

Г. А. Ахметшина \ Д. М. Колонских 1

1 Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, 450074, ул. Фрунзе, 32.

2 Самаркандский государственный университет Узбекистан, г. Самарканд, 704506, Университетский бульвар, 15.

Тел. +7 (998) 66 233 39 40.

E-mail: [email protected]

В статье формулируется дискретная задача теории упругости с помощью смешанного метода конечных элементов. Определяются конечные элементы, множество узлов, аппроксимирующие области, ряд конечномерных подпространств, которым должны принадлежать решения дискретной задачи. Указывается алгоритм построения кусочнополиномиальных функций как для перемещений, так и для напряжений (деформаций). Доказаны существование и единственность решения дискретной задачи.

Ключевые слова: смешанный метод конечных элементов, подпространства,

триангуляция, финитные функции.

1. Построение конечномерных аппроксимирующих подпространств.

Интерполяционные и базисные функции.

Построение смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) для задач теории упругости основывается на дискретизации континуальной задачи, описываемой системой уравнений [1].

'(e, Х) х = (Ви , X) х , "Xе х (1)

(а,т)х = (®£,т)х - (®£,т)х, "те X (2) (а, Бу )х =< р, V >и . "V е и (3)

В результате бесконечномерные пространства и и х, элементами которых являются искомые функции (и,а,е)еихКхК, аппроксимируются некоторыми конечномерными подпространствами иИсП и хИсх соответственно. Символ И - определяющий параметр, стремящийся в пределе к нулю.

Осуществим дискретизацию ТИ на множестве О т = { ио =О; От пП, = I, "т Ф I;

т=1,...Ыт (И)

т°^иИт £ И; Ит £ С*т’ " От } т=1,...Мт(И)

(у Ну( х ))^1<(И>. Для этого каждому узлу сетки хоеЕи

и х%И сопоставим функцию фНо(х) и у(), принимающую значения, равные единице в узле, которому она соответствует, и нулю во всех остальных узлах множества Е и соответственно, т. е.

Фко (ХЬ) = 3оР , " X

xß g Eh

Wh g ( xm) = dm,

x„

xm g Yh

(6)

(7)

(8)

(9)

(4)

supp jha{x) = {x\x eAha}

supp Wha(X ) = {x|x eA ha }

где Aha и Ag - совокупность подмножеств Qm, которые содержат узел xae Eh и xge %h соответственно.

Множества кусочно-полиномиальных функций, построенных с помощью линейных комбинаций

Vhi(x) = Z vhi ( x a )jha (x)> " x e W (10)

Здесь Ит - диаметр шара, описанного вокруг подмножества От; $т - диаметр вписанного в От шара; Ыт(И) - количество подмножеств От, на которые разбито множество О; с - константа, не зависящая от параметра И.

Введем в рассмотрение множества узлов интерполяции, в которых разыскиваются значения перемещений и напряжений (деформаций)

соответственно. Множества ЕИ и согласуются с

разбиением ТИ и в общем случае не совпадают.

hij

(Xg)Wh g(х), "х gW (11)

xgG %h

определяют пространства конечных элементов ФИ(О) и ¥И(О). Считается, что пространства ФИ(О) и ¥И(О) удовлетворяют включениям.

Фи(П)сЛ1(П), П(П)сЬ2(П) (12)

{ уи\уи = (vЛi ) ^ уы еФ И (О), пы\ги = 0 } (13)

и„

Xh = fc| t = (4ij)lj=i

j'ij=l’thij thji

4ij g

Y(W) 1 <14)

e=(x„)a=ih). %=(xr)

N7(h)

УН ~ V■л'^г=1 (5)

Определим теперь набор кусочно-полиномиальных базисных функций (фИо(х))0

)N a(h)

'а = 1

Тогда (13) и (14) - аппроксимирующие пространства для перемещений и напряжений (деформаций), причём и хИсх.

В дополнение к пространствам иИ и хИ введём в

x,. GE

а А

* автор, ответственный за переписку

рассмотрение конечномерные пространства V, и 2И, элементами которых являются сеточные функции

V, = (Уно )0оо((И) и Тн = (тНу)?=1И>

) / \Ы (И)

соответственно, причем V, = (УЫо )о =01 и

ТИ = (ТИг]Г Хм .

Пространства VИ и 2И определим следующим способом. V, е V, и т, е 2, в том случае, если

ИИ ИИ -1

Рук е ин и КИТИ е хн. Операторы Р, и Ки задают

линейные отображения V, на иИ и 2И на хИ и определяются с помощью соотношений.

УЫ(х) = (РИУнМх) = X оФн о (х)’ " УИ е ^ (15)

(х) = (ЯиТи )у (х) = X *ып¥нг(х),"Чн є 2н (16)

Нетрудно установить, что

УИ> (Хо ) = УИ> о , " Хо е ЕИ , (17)

ТИу (Ху) = ТЫJr, "хуе % (18)

Следовательно, любая функция из пространств иИ и хИ однозначно определяется набором узловых значений для перемещений, напряжений (деформаций). Указанному набору числовых параметров соответствуют функции

¿н = РЛ,

"V є К

Чн є 2н

(19)

(20)

тн = КИТИ ,

принадлежащие заданным пространствам иИ и хИ соответственно.

Введем в рассмотрение набор кусочнополиномиальных функций (цы0 ( х ))^°01(И) (=(>->п), каждая из которых задаётся с помощью соотношений.

117(х>

т * 'х> = 1 Лт~

(ш) 1 а

дх,

"х є Л

"хє ЛИ

(21)

Линейную оболочку функций ( ты * (х )) N'**((И> обозначим через У И , т.е.

Ун ={гЫ\ Ч = (Чну)і,у=1’ Чну = ^Ну’ Чну(х) = (22) = X УНгатН]а( х) + Ън}атнга( х)’ "¿н Є ¥ы) ■

Нетрудно показать, что функции (цы*(х))N*l(Ы) линейно независимы.

Следовательно, соотношения Ун=Вин и иНсП определяют УИ как гильбертово пространство, которое является замкнутым подпространством гильбертова пространства X. Обозначая через ВН=ВРН, линейный оператор, действующий из УН на УИ и определяемый с помощью соотношений

(ВнЪн )у = X УНгаМы* ( х) + ^аМм а( х) (23)

хаєЕн

заключаем, что Ун - образ оператора ВН.

2. Формулировка дискретной задачи

По аналогии с уравнениями (1)-(3) определим дискретную задачу следующим образом: найти тройку (иы, акєн)є инхКнхКы такую, что

\еі,Хі) X = (Ви 1^ Хі) X, " Хі є Х 1 (24)

(^И,ЧИ)X = (®е1,Ч1)X - (®^,Чи)X , "Ч є Х1 (25)

Xsh, В 1) X = <P, >и, " є и 1 (26)

Согласно определению подпространств иН и X)., любая функция из этих пространств однозначно представима в виде (19) и (20). Тогда система уравнений (24) - (27) принимает следующий вид:

(КнЄн, КХи )X = (ВНиН, КХи )X , (27)

ОКА, КнЧн)X = (ЯКнен - Я С,КнЧн)X (28)

,(Кн^н, ВнЪн)х = < р, Ри\ >и, (29)

Обозначим через Р*, К* и В* операторы, сопряженные к Рн, Ян и Вы соответственно. Операторы Р* , К* и В* определим с помощью отображений

п ®<g,>и=<РЫg,Ъы >у„; "яє ^"¿ьє ; (3°)

С* ®(4,КыХы)X =<Кчхы ^; "Чє^ "Хнє^и; (31)

Ъы ®(4,Выъы)X =<В*4,>п; "Чє^ "Ъы єК*. (32)

Введем в рассмотрение линейный оператор Мы с помощью отображения:

Х ® ( КНЧН , КН Хн ) X =< М НЧН , Хн > 2, ;

" Ч Х Є 2 (33)

н ^ Л н ^ н

Оператор Мн отображает 2н на 2^ и допускает представление в следующем виде:

Мн = К* Кн в 2* (34)

Обозначим через Он линейный оператор, определяемый отображением:

Хн ® (® КнЧн,Кн Хн)К =< ОнТн’Хн > 2н’ (35)

" Чн , Хн є 2 н

Оператор Он отображает 2н на 2* и может

быть представлен в виде:

Он = я; Я Кн в 2н

(36)

Определим линейный оператор Н н с

помощью отображения:

Хн ® (ВЬЪЬ’КЬ X;)x =< Н н,Хн > 2н>

" ¿н є V,’ "Хн є 2н (37)

Нетрудно убедиться в том, что оператор Нн отображает Кн на 2 * и допускает представление в

следующем виде:

Нн = к:Вн в 2\

(38)

н н н ^ н

Транспонирование оператора Нн обозначим через Н н . Оператор Н [ отображает 2н на V* и определяется отображением:

¿н ®<Чн = НнЪн >2н = <НнЧн=Vн >Кн ; "Чн є 2н> "Vн є Кн (39) Следовательно, оператор Н [ представим в следу-

х-. є Е

* к-,н

х„ є

х„. єЕ

ющем виде:

Н \ = Вк Кн

(40)

В соответствии с определением операторов

Н 'н: 2н ® V* равенства (29)—(31) могут быть представлены в форме операторных уравнений М нен = Н нин в

М :&н = О не н — Х— в

Н'н^н =рн в

где

Хн = к:Я С є 21

Рн = Р*Рє VЫ* .

Упрощение системы разрешающих уравнений (41)—(43) может быть достигнуто за счет представления оператора ОН в форме произведения операторов Мн и ф , т.е.

2 н , (41)

2 н , (42)

V * у н ■ (43)

(44)

(45)

в 2 *

(46)

О Н = М Н ф Н ’ “ ‘-‘И

где ф — конечномерный аналог оператора ф на

пространстве 2н , определяемый путем сужения оператора ф, заданного в Х, на множестве ^Н. Кроме того, элемент Х; є 2* определим в соответствии с форму лой

Х = М; ф с; є 2* (47)

где С; є 2; — сужение СєX на ^Н.

Тогда система уравнений (41)—(43) приводится к следующему виду:

М ы = Н ;и ы

2 ,

(48)

(49)

На И = рк в V; (50)

Уравнения (48)-(50) могут быть представлены в форме одного операторного уравнения относительно перемещений, т.е.

А;ин = А

к:

(51)

в котором линейный оператор А

V *

' 7-

(52)

(53)

определяется выражением

А = н 'АМ-(Нн, и

а элемент ?, е V,* имеет вид.

^ п п

/и = рн + Н И® И е V;

Система уравнений (48)-(50) определяет смешанную конечно-элементную формулировку задачи теории упругости. Отметим, что уравнения (48)-(50) использовались в [2] при построении смешанных и смягченно-смешанных аппроксимаций для решения задач теории упругости.

3. Существование и единственность приближенного решения

Для доказательства однозначной разрешимости дискретной задачи определим вначале ска-

лярные произведения на пространствах 2И и V, соответственно.

Снабдим пространство 2 скалярным произведением следующего вида.

(ТИ С Ь )2к = (КИТКИХИ )х; " ТИ СИе 2И (54)

(55)

II ^ н — н II ^ Н II2

^ А її

Тогда отображение (55) — норма на пространстве 2Н и, следовательно, 2Н — гильбертово пространство, изоморфное замкнутому подпространству X* . Более того, согласно выражению (55) и

определению оператора М; : 2 ; ® 2Й имеем:

(ЧН ’Х Аы =< МН Ч ’Хк >2* =<Ч ,МНХ >2-> (56)

"Ч’Хкє 2н

Отсюда получаем, что Мн — оператор канонический изометрии из 2Н в 2— и, следовательно, существует оператор м — 1, обратный по отношению

к оператору Мн и называемый оператором Рисса для пространства 2Н, такой, что отображение М ~1 : 2* ® 2ы однозначно. Тогда на 2— можно ввести скалярное произведение, приняв:

(і;’ЛХ:= (М—1Іь,М — 1Ъ К =< М — 1І;Ж >2 =

(57)

= <ХМЫ% >2І>' "і—,Жє 2—

При этом пространство 2к , сопряженное к

гильбертову пространству 2— , также становится гильбертовым, причем

ІІ-ІІ2* : є 2: ® Х—1|2. = (і—’і— )1/,2 (58)

Для построения скалярного произведения на пространстве V* необходимо вначале установить соответствие между пространствамиX* и Ун . С этой целью отнесем каждому элементу ВуНєУН, " унє ин его проекцию на X*. Полученное соответствие есть оператор в X. Обозначим его через 1 н . Тогда 1 н — оператор ортогонального проектирования Ун на пространство X* , а элемент 1 :Ву: — ортогональная проекция В унє Ун, " унє ин на X* .

Чтобы иметь представление о структуре ортопроектора 1 н , учтем, что для ортогонального проектора разность 1 —Ву:-Ву: должна быть

ортогональна в X любому элементу из X* , т.е.

( 1—Въ— — ^—’Х—Ь = 0’ "Х— є X—

Тогда, записывая

Чн = 1:Въ: , Чн = КЧн, Чн є 2н

в соответствии с равенством (59) имеем:

(КЫЧ; ’ К;Х; )x = (В:ъ: ’ К;Х; ^ "X; є 2;

Отсюда согласно определению

(59)

(60) (61)

М— : 2— ® 2 — и Н— : К— ® получаем: М:Чн = НЛ в Следовательно, элемент Чн є 2 н однозначно определяется соотношением:

Ч; = М Ы1 Н ;Ъ;

операторов (62)

::

н

н

н

н

н

ы

н

ы

в

Таким образом, получаем выражение, с помощью которого определяется оператор 3Н:

Т— = 3 нВу— = К—М- 1НкУ„ (64)

Отметим свойства ортопроектора 3Н. В

соответствии с равенством (59) имеем:

(3:Bv:’Bw:)x = (3:ВуН’ 3:Bw:)x =

= (ВуН’ 3:Bw:)x’ " уН’™и є и —

Кроме того,

3 -2 Ву - = 3 - (3 -Ву -) = 3 -Ву - в X— (66)

Используя равенство (65) и неравенство Коши-

Буняковского-Шварца, находим:

\%Ву$х = (3ьВуь, Ву—— )x £ 113-Ву-11X|Ву-11X, (67)

"У н є и-

*Ун є и-

(68)

Отсюда получаем

II1 иБуи\\х £ \\Бун\\х

причём равенство достигается на «общих» для пространств хИ и УИ элементах. Следовательно, по определению нормы оператора имеем.

111иБуи||х

II3—

П£ (У— :Х— ) Положим

ё 0 £ ё (— ) =

= ъир

V— єи—\{ 0}

ііВу—Их ||3 —Ву-

= 1

(69)

(70)

{0} ||Бу и II

где ¿0 - строго положительная константа, не зависящая от параметра И. Тогда скалярное произведение на пространстве VИ зададим в соответствии с формулами.

(УН, "н )уИ = (1ИБИУИ, 3НБн"н )х = (3иБиУи ,Би^и )х

= (ВиУ: ’ 3иВи™: )х =< М;1н:У: ’ Н:™: >2„ =

(71)

=< Н:У:’М: Ни™: >2— >

"у:’™: є Уы

Норму в УИ определим равенством.

II• V :Ун е Vh ® ||Ун|'

Нетрудно убедиться в том, что при условии (70)

(72)

выражение для

ІІУ-

действительно определяет

норму на пространстве V-.

Норму в сопряженном к У— пространстве VЫ определим равенством:

= sup

< А-’УН >у

(73)

УнеУнЧО} \]Уи\\у

II П^И

Поскольку Vи - гильбертово пространство, существует взаимно однозначное линейное отображение Зн пространства V*

на

V*

определяемое с помощью соотношений:

(У- , ™- ) V, = < Л-У-, ™- > V, =

=< нім —1 н,у.

ж, >,, =

-’-1У± -=< V,., >

нім —1 ні, >„ =

(74)

'-, ™-є У-

И И

'И , 3 И" И '' V* ; у У И

Отсюда следует, что 3И - оператор канонической изометрии из ¥И в V* , допускающий представление

в следующем виде:

Л = Н1М-1 Н,

(75)

Тогда Л 1 : V* ® V— — оператор Рисса для

(76)

пространства V* и на V* можно ввести скалярное про изведение, пр иняв.

('/н^И^ = (3И /3И '§И)¥и =< 3И /и’ёи >¥И =

=< 1и,3-(ёп >Г„; "А’Ён еК Пространство V*, сопряженное к гильбертову

пространству V* , при этом также становится гильбертовым.

Покажем теперь, что уравнение (51), в котором линейный оператор Ан : Vн ® V*

определен выражением (52), имеет решение, и притом единственное. Для этого необходимо сделать некоторые п)редположения относительно свойств оператора © . 2 А ® 2 к . Считаем, что

© - линейный, самосопряженный, положительно

определенный и ограниченный оператор из 2И в 2И, причем

З8о = сопяґ>0: '"Ткє2—’ (ф—Тк’Тк)2 >4,1 \\\

$4 = соті <¥: "т—є 2*’

ф-

£4р

(77)

(78)

Тогда, учитывая, что

< А^Н’™: >ун = (^фнМ-;-Нн^Ы’ ^МЫ^Нн™н)2Н; "^Ч є К-

(79)

-\\у„

=< ЛЫУН’УН >УН =|Iм- Н-

"У- єК-

используя неравенство (79), получаем:

< А.У,

= *оР:1

>г. >

з^М-1н,

(80)

(81)

,уы є Кы

Кроме того, согласно определению нормы в пространстве V* неравенству Коши-Буняковского-

Шварца и неравенству (78) имеем.

11АНУ нЦ^* £ ^о|М;-(НнУи||2 =^о||УЛ4- (82)

"Ун е Vн

Следовательно, АИ - коэрцитивный и ограниченный оператор из V* в V * . Тогда по теореме

Лакса-Мильграмма у АИ существует ограниченный и коэрцитивный обратный оператор А-1,

действующий из V * в V*, причем

(

,0 (83)

Таким образом, решение уравнения (51) существует, единственно и непрерывно зависит от правой части, т.е. от элемента /н е V * , определенного формулой (53). При этом имеют место оценки

1|А І £ (V Ы-У; ) £ Я

2

и

2

2

2

ь

= ¡А-^/Л £ ІІА

= \\и— 1ІУ— £

ф—(е— -С—) £40 (|\еЛ^ + \С—\2 ) £

£ЯШ,:+4,\И.

Отсюда получаем:

тЛ £------------

11 -"и Я ё

°0и0

\\£Лх £ ~^\\/-\

° 0

И1х £ 4И,- + 4»1С*

иг, -

(84)

(85)

(86)

(87)

(88) (89)

Кроме того, поскольку справедливо включение и с и, в силу теоремы вложения и эквива-

лентности норм

11[ Н 1( П )]п

находим:

*\[І2(п)Г

£ Си

и ЗёгчК и0и0

(90)

\\[Н1(П)]п

Согласно определению элемента /— є У* и нормы ‘

у;

А

у* £ ||р— ||у- +40ЦЬ — II

У ы -

(91)

Тогда априорные оценки (84)—(86) принимают следующий вид:

-т1рн IV-ы + т4¥* I.

¥-1- £

II . II2*

Я0"'Н"У- Я

1 у + 4

; IV* я -1

ни. - Т\Р И И—' + 4 С

(92)

(93)

'0

ПаЫ 1І2. £ Я

— Я

4± ' ІР; II . + 4 0(1 + 4^ )| С. і

Я0

(94)

Отсюда следует, что решение системы уравнений

(48)—(50) существует и непрерывно зависит от

( р— ’С— ) є У Ы X 2— .

Покажем теперь, что дискретная задача (48)— (50) имеет единственное решение. В самом деле,

(и(-1)’&і1)’ЄІ1>) є V- X 2- X 2-

'.(2) р(2)

)є V. X 2. X 2. — два решения.

пусть

(и* гн^2н^2н

Подставляя их в уравнения (48)-(50) и вычитая одни равенства из других получаем.

(95)

М-(е-(1) — е-(2)) = Н-(и-1’ — и-2)) в 2Ы

?(і)

— д—> = ф-(ё;г> — е-(2)) в 2

н-(^ — а-г>) = 0

(96)

в V* (97)

Поскольку для любого решения этой задачи справедливы оценки (92)-(94), в силу

эквивалентности норм в конечномерных пространствах

имеем. (и((>,а{(),е((> ) = {й(2>,а(к2>,£(2> ) .

Следовательно, решение дискретной задачи (48)-(50) единственно. Таким образом, дискретная задача (48)-(50) сформулирована корректно.

В заключении отметим, что условие (70), используемое при рассмотрении вопроса о

существовании, единственности и устойчивости решения дискретной задачи (48)-(50), играет также важную роль при доказательстве сходимости

процесса смешанной аппроксимации. При этом оценки снизу величины й0>0 строится для каждой конкретной проекционно-сеточной схемы и

зачастую не является тривиальной задачей.

Попытка игнорировать условие (70) приводит при измельчении сетки к плохообусловленной системе уравнений, из которой дискретное решение определяется с неудовлетворительной точностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ворошко П. П. // Проблемы прочности. 1985. №»1. С. 100-105.

2. Уманский С. Э. // Проблемы прочности. 1983. №»7. С. 112-118.

—

£ (уЫ ;у—)\У к\\уЫ

1

Я и :Пу—‘

0

1

2

У

0

;

2

-

и

и

с

0

2

2

Поступила в редакцию 07.12.2007 г.