Случайные процессы в сетях с биполярной магнитностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

{ сЕ } — mm (сЁ) = mm II Qs (f, xp(() - ß-1 (f, xp((), cs))

(cs} 3 {cE} 11

В том случае, когда существование обратной функции Qs-1(-) не предполагается, алгоритм коррекции следующий:

xpE(( )= x p(()- ^)'

где ss(t) - оценка ошибки s(t), соответствующая решению оптимизационной задачи

' 4 (s) = W II "е (> xp ( ) - ) се ) "

{ ss (()} -— min V4 (s) = min II Qs (t, xp (() - s(t), cE

W

- когда значение cs известно,

{ sE ((), Cs } — {min} V5( cs) = ininj Qs (t, xp (() - s(t), cs) ||2

- когда значение еЕ неизвестно.

Результаты численных расчетов [2] показывают, что предложенный подход является достаточно универсальным и позволяет с системных позиций подходить к вопросу контроля и коррекции результатов численного интегрирования дифференциальных уравнений на базе тех или иных ВС.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.

2. БулычевЮ.Г. // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. № 2. С. 15-17.

Южно-Российский государственный университет

экономики и сервиса 12 сентября 2005 г.

УДК 519.1

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СЕТЯХ С БИПОЛЯРНОЙ МАГНИТНОСТЬЮ

© 2005 г. Я.М. Ерусалимский, А.Г. Петросян

The problem of random processes on the net with bipolar matnetization is under investigation. These processes are being considered in the special constructed net with the redefined transition probability.

1. Постановка задачи о биполярной магнитности

Пусть G(X, U, f) - орграф и U = UH u U+ и U_ и UM + и UM _, причем эти множества попарно не пересекаются; UH - множество нейтральных дуг, на прохождение по дугам которого ограничения не накладываются;

и+ (и_) - множество дуг, увеличивающих положительную (отрицательную) магнитность; им+ (им-) - множество дуг положительной (отрицательной) магнитности.

Пусть / - путь длины п. С каждым отрезком [г,]]ы (1 < I <] < п) пути / свя-

] ]

жем числовую характеристику Я|(г',)) = ^||/(т)п и+ |- т)п и_ |,

т=г т=г

равную разности количества дуг, увеличивающих положительную маг-нитность, и дуг, увеличивающих отрицательную магнитность. При этом каждая дуга считается столько раз, сколько раз она встречается в пути.

В случае простого пути Яц (г,]) =| /([г,]~]ы) пи + |-| /([г,Яы) пи_ |.

Характеристику Яд/,}) будем называть величиной накопленной биполярной магнитности отрезка [г, ]]ы пути /; ЯД г ) = ЯД0)+ЯД1, г) - величина начальной биполярной магнитности пути / через г шагов от начала пути. Рассмотрим случай, когда ЯД0) = 0 (случай ЯД0) Ф 0 будет рассмотрен далее).

Определение 1. Путь / называется биполярным магнитным порядка к(к > 1) длины п(п е Ы) с биполярной магнитностью на графе О, если выполняются следующие условия:

Ут(Ям (т) > к)(©+ ((р2 о / о |(т)) п им_ Ф 0) ^ (|т +1) е им_), Ут(Я/(т) < -к)(©+((р2 о / о /)(т)) п им + Ф 0) ^ (/(т +1) е им + ).

Другими словами, если к г-му шагу путь / от своего начала накопил магнитность ЯД г ) > к и среди дуг, выходящих из концевой вершины г-й дуги, есть хотя бы одна отрицательной магнитности, то следующая (г + 1)-я дуга биполярного магнитного пути порядка к обязана быть дугой из множества им-. Если к г-му шагу путь / от своего начала накопил магнитность Яд/) < к и среди дуг, выходящих из концевой вершины г-й дуги есть хотя бы одна дуга положительной магнитности, то следующая (г + 1)-я дуга биполярного магнитного пути порядка к обязана быть дугой из множества им+.

Данное условие будем называть условием биполярной магнитности порядка к.

Пример (рис. 1).

2

3

Рис. 1 11

Пусть дан граф при к = 2, его дуги щ - и6 такие, что /(и1) = (1,2), /(и2) = (1,3), /из) = (2,3), /и4) = (3,2), /(из) = (2,4), /(и6) = (3,4).

Считаем, что и+ = {иьи3}, и- = {и6}, им+ = {и2}, им- = {и5}, ин = {и4}.

Рассмотрим путь / = {и!, и3, и4, и3}.

Яи (1) = 1, так как щ е и+; Яи (1,2) = 2, так как иь и2 е и+.

Путь / не является биполярным магнитным путем порядка 2, так как он не удовлетворяет условию (Ям (1,3) = 2, а дуга и3 г им-).

Рассмотрим путь v = {иь и3, и4, и5}.

Яу (1,3) = 2, так как г[1,3]ы = {иь и3, и4}, а дуги щ, и3 е и+.

Путь V является биполярным магнитным путем порядка 2, так как он удовлетворяет условию Я (1,3) = 2, а дуга и5 е им-).

Задача, близкая к этой, была подробно рассмотрена в [1]. Задача о биполярной магнитности является существенным уточнением модели [1]. Биполярная магнитность, с нашей точки зрения, является более «физич-ной», так как в задаче частица, накопив положительную магнитность, притягивается дугами с отрицательной магнитностью, а дугами с положительной магнитностью - отталкивается и наоборот.

Определение 2. Граф О(Х, и,/), на котором рассматриваются только биполярные магнитные пути порядка к, будем называть графом с биполярной магнитностью порядка к.

2. Постановка задачи о случайных процессах на графах с биполярной магнитностью

В п. 1 была описана модель, в которой свойство магнитности вступало в силу при накоплении магнитности величины к. Модель, которая будет приведена здесь, благодаря специально рассчитываемым вероятностям переходов является чувствительной к любому текущему значению величины магнитности, а именно, чем больше величина положительной маг-нитности, тем больше вероятность перехода по дугам с отрицательной магнитностью и наоборот.

Пусть О(Х, и,/) - орграф и и = ини и+ и и_ и им+ и им-, причем эти множества попарно непересекающиеся. Рассмотрим случайный процесс блуждания частицы по вершинам данного графа. Будем считать, что существует два типа магнитности: положительная и отрицательная, а множество дуг, изменяющих величину магнитности блуждающей частицы, состоит из двух множеств: и+и и_. При прохождении по любой дуге множества и+ частица увеличивает абсолютную величину положительной магнитности и уменьшает абсолютную величину отрицательной магнит-ности, а при прохождении по любой дуге множества и_ - наоборот. Увеличение абсолютных величин происходит до некоторого значения, при достижении которого абсолютная величина магнитности больше не увеличивается. Положим его равным к и будем считать, что частица увеличивает абсолютные величины магнитностей одинаковыми порциями, равными 1. При этом, чем больше величина положительной магнитности, тем

больше вероятность следующего перехода по дугам множества им- и меньше вероятность следующего перехода по дугам множества и \ им-; чем больше величина отрицательной магнитности, тем больше вероятность следующего перехода по дугам множества им+ и меньше вероятность следующего перехода по дугам множества и \ им+.

Если величина положительной магнитности достигла значения к, то вероятность перехода по дугам из множества и \ им- становится равной нулю.

Если величина отрицательной магнитности достигла значения к, то вероятность перехода по дугам из множества и \ им+ становится равной нулю.

3. Алгоритм решения задачи о случайных процессах на графах с биполярной магнитностью

Из-за условия магнитности рассматриваемый процесс не является марковским, так как следующий переход определяется не только вероятностями перехода по дугам, но и некоторой памятью о проделанном частицей пути. При поставленном условии магнитности вероятность перехода из некоторого состояния меняется в зависимости от магнитности частицы, находящейся в данном состоянии.

Для сведения данного процесса к марковскому производится построение вспомогательного графа О'(X, и', /) по следующему алгоритму: каждой вершине х графа О ставится в соответствие 2к + 1 вершина графа О' (-к) (-1) (1) (к) х ,..., х , х, х ,..., х , а дугам О - дуги О по следующему правилу:

- каждой дуге множества © (х) п и+ на О ставится в соответствие

2к- 1 дуг и(-к+1},...,и(к-1) на графе О' таких, что /' (и(3)) = (х(3), у(;+1)), V/ = -к +1, к -1. Если ©+( х) п им - = 0 , то добавляется дуга /' (и(к)) = = (х(к),у(к)). Если ©+(х)пим +=0 , то добавляется дуга /'(и()) = = (х(-к), у( - к+1)) (рис. 2);

- каждой дуге множества ©+( х)п и- на О ставится в соответствие 2к- 1 дуг и(-к+1),.,и(к-1) на графе О' таких, что /'(и(3)) = (х(3),у(3-1)), V/ = -к +1, к -1. Если ©+ (х) п им + =0, то добавляется дуга /'(и(-к)) = = (х(-к),у(-к)). Если ©+ (х)пим-=0, то добавляется дуга /'(и(к)) = = (х(к), у( к-1)) (рис. 3);

- каждой дуге множества ©+(х)п им + на О ставится в соответствие 2к дуг и(-ки(к-1) на графе О' таких, что /'(и(3)) = (х(3),у(3)), V/ = -к, к -1 (рис. 4);

- каждой дуге множества ©+(х) п им _ на О ставится в соответствие

2к дуг и(-к+1),...,и(к) на графе О таких, что /(и(])) = (х( 1 -1,у(]-1),

У] = _к +1, к (рис. 5);

- каждой дуге множества ©+(х)пин на О ставится в соответствие

2к- 1 дуг и(-к+1),...,и(к-1) на графе О таких, что /'(и(])) = (х(]),у(])),

У] = _к +1, к _ 1. Если ©+ (х) п им_ = 0, то добавляется дуга /'(и(к)) = = (х(к),у(к)). Если ©+ (х)пим +=0, то добавляется дуга /(и(-к)) = = (х( _к), у(_ к)) (рис. 6).

(-1)

х(-к) о---'

-»О ,y(-i+1; о y(-i)

u eU

О У

,(*-1)

„(-1)

jc(-i+1) x(-i) О-

u e U

--Ю у1

(i-1)

(-1)

Рис. 2

Рис. 3

х(к> о х™ о-

хт о-

О-

О-

v^+DQ-

О-

u eU,„

Рис. 4

О у('

-Ю у{

-Ю y(1

-Ю у -Ю у(-

-Ю у(-

-Ю у

v(i)

X

х(к-1) о-

л:(1) О* О-

Jt(-1) О-

x(-i+1)0-*(-к) О

u eUM-

Рис. 5

-Ю у('

-+0 у1

.(i-1)

-Ю у

->0 у -+0 у(-1)

-ю y(-i+1) О y(-i)

(i-1)

(i-1)

(-1)

(-i+1)

i-t+1)

(-t)

-Ю V1"

-Ю v(i-1)

*(i-1) О-

х(1) О х О-

jc(-1) а

*0 v(1) ♦О V

♦о v(-1)

^ОО-ю

л(-к) о-------------ю у(_к)

и е ин Рис. 6

Замечание 1. Пусть Х(-к) ={х[_кх("к})Х(-1) = (х[-1),_х(~1)], X (0) = { Х1,. .. Х^ } , X (1) = {х1(1),.х(1)}, ..., Х(к)={х1(кх(к)}. Множество X(г) будем называть г-м уровнем магнитности.

X ' = X(-к) и... и X(-1) и X(0) и X(1) и. и X(к) или, другими словами, множество вершин вспомогательного графа разбивается на множества уровней магнитности.

Замечание 2. Положим ЛД0) = М е I (т.е. считаем, что до прохождения пути магнитность была накоплена до величины М). Эта характеристика пути вносит некоторые изменения в рассмотренную задачу: на вспомогательном графе рассматриваются пути, начальные вершины которых принадлежат М-му уровню магнитности.

Вероятности перехода на вспомогательном графе зависят от уровня магнитности, на котором находится вершина графа.

Для каждой рассматриваемой дуги и е О' соответствующую ей дугу исходного графа будем обозначать V

1. Для и е ©+(х(г)) г = 1к :

Если V е©+(х)п иМ + , тогда Р(и) = Р(и)(1 —-).

к

Если 0+( х) п иМ_ = 0 , то для

1 _ + Е Р(у)

V е ©+(х)п(иН и и+ и и_) Р(и ) = Р(и)-'^^М + .

Е Р(К>

це©+ (х )п(и Н ии + и и _)

В противном случае

для V е ©+(х) п (иН и и+ и и_) - Р(и ) = Р(и )(1 _ -);

к

для v 6 0+(x)n UM_ - P(u) = P(u)

1 _ Е P(Y)

/Е0+ (x)n(U\Um_)

х ад

Ме0+ (х )пПи_

2. Для и е 0+(х(г-*) г = 0 : вероятности перехода не изменяются.

3. Для и е 0+(х(г)) г = -1 ,-к :

Если V е0+ (х) п^и -, тогда Р(и ) = Р(и )(1 —-).

к

Если 0+ (х) п ии+ = 0, то для

1 - + Е Р(у)

V е 0+(х)п(иН и и+ и и-) - Р(и ) = Р(и)-Те0+(х)пии--

Е Р(ц)

це0+ (х)п(иН ии + ии-)

В противном случае:

для V е 0+(х) п (иН и и+и и-) -Р(и) = Р(и)(1 --);

к

1 - Е Р(Г)

для V е 0+ (х) п ии - Р(и) = Р(и) уе0+ (х)п(иии+)-.

Е Р(^)

Ме0+ (х )пии+

На вспомогательном графе за счет увеличения количества состояний случайный процесс зависит только от одного параметра (вероятности перехода по некоторой дуге). После такого перестроения процесс на вспомогательном графе О' является марковским и имеет место Теорема 1.

Вероятность перехода из вершины х в вершину у на графе О за t шагов равна сумме вероятностей перехода частицы на графе О' из вершины х в каждую из вершин у(,) за t шагов, или, что то же самое, она равна вероятности перехода частицы за t шагов из вершины х во множество вершин

{у(-ку(-1), у, у(1),..., у(к)} и имеет место формула

Р(О,х,у,t) = Е Р(О', х,у(;),t).

1=-к

Данная теорема позволяет для сетей с биполярной магнитностью решать задачи о случайных процессах в сетях, например, задачи, рассмотренные в [2]. Пример.

Рассмотрим граф с биполярной магнитностью порядка к = 2 (рис. 7). Его дуги и1,и2,из,и4,и5 такие, что /(и1) = (1,2), /(и2) = (2,3), /(из) = (3,1), /(щ) = (2,4), /(и5) = (1,4).

3

Рис. 7

Вероятности перехода по дугам: р(м1) = 0,5 , р(и2) = 0,9 , р(щ) = 1, р(и4) = 0,1, р(и5) = 0,5 .

Считаем, что и^и2 еУ+ , из е Пн , и4 е Пм-, и5 е им + .

Рассмотрим путь ц = {и1, и2, из} (в виде последовательности вершин -1—>2—>3—>1) и вероятности перехода из вершины 1 в начале и конце пути. В начале пути = 0 и вероятности перехода из вершины 1 равны: р(щ) = 0,5, р(и5) = 0,5. В конце пути = 2 и, значит, переход из вершины 1 по дуге и5 невозможен, поскольку дуга и5 е Пи + . Следовательно, вероятность перехода по ней (в данный момент) равна нулю и соответственно вероятность перехода по оставшейся дуге и^е и+) равна единице.

Построим вспомогательный граф (рис. 8).

Рис. 8

В данном графе вероятность перехода из вершины 1 в 4 за 5 шагов равна 0,225, а при отсутствии условий биполярной магнитности - 0,0225, т.е. в 10 раз меньше. В графе с условиями биполярной магнитности наряду с увеличением вероятности перехода в некоторые вершины происходит ее уменьшение в другие. Например, в исходном графе при отсутствии условий биполярной магнитности вероятность перехода из вершины 1 в вершину 3 за 5 шагов равна 0,2025, а в графе с условиями биполярной магнитности - 0.

4

4

4

(-1)

4

(-2)

4

Работа выполнена по проекту «Графы и сети с нестандартной достижимостью» по разделу 3.3 Развитие научно-исследовательской работы молодых преподавателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов по ведомственной научной программе Минобразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (рук. проекта Я.М. Ерусалимский).

Литература

1. Скороходов В.А. Графы с магнитной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях. Ростов н/Д, 2003. Рукопись деп в ВИНИТИ. № 410-В2003.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М., 1967.

Ростовский государственный университет 2 7 сентября 2005 г.

УДК 513.88

О МЕТОДЕ НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СО СВОЙСТВОМ БЫНУМА

© 2005 г. О.Н. Евхута

The new result on the convergence of the steepest descent method for nonlinear operator equations in Banach spaces with Bynum inequality is presented.

1. Одним из наиболее распространенных методов приближенного отыскания решений нелинейного операторного уравнения

f (x) = 0 (1)

с дифференцируемым (по Фреше) оператором f действующим в вещественном гильбертовом пространстве X, является метод минимальных невязок (см., например, [1], где приведена достаточно полная библиография). Этот метод состоит в последовательном построении приближений

f (x" )f (x" * ffr » f (xn ) (n = 0,1,...), (2)

f(xn )f (Xn )2

которые при естественных предположениях о левой части f(x) уравнения

(1) оказываются сходящимися к точному решению x* уравнения (1).

Существуют различные методы исследования приближений с (2). В значительной части из них анализ приближений (2) основывается на явлении релаксации невязок, т.е. на уменьшении ||f (xn)|| при переходе от

приближения с номером n к приближению с номером n + 1. В [2] была предложена общая схема исследования приближений (2) на этой основе, а в [3] эти результаты были распространены и на уравнение (1), левая часть которого является оператором в банаховых пространствах, обладающих некоторым специальным свойством - Бынума. При этом сами приближения были заменены на

xn+1 xn