CC BY
29
УДК 535.24, 535.6
СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПАР ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
Н.Я. Молотков, Н.В. Хвостова
N.Y. Molotkov & N. V. Khvostova. The interference of two pairs of mutually perpendicular waves with multiple frequencies. The article analyses the interference of two pairs of mutually perpendicular waves with multiple frequencies (1:2). Each of them allows moving in a circle of the same radius, in either the same or reverse gyrating direction. The conclusions made are proved correct by the experiment with the interference of four low-frequency electric oscillations. The experimental installation makes it possible to examine the interference of two pairs of mutually perpendicular waves with frequencies of any relation.
В фундаментальных трудах по теории колебаний [1-3] сложение четырех взаимно перпендикулярных колебаний не рассматривается, хотя данный вопрос имеет не только теоретический, но и практический интерес, так как выходит на некоторые аналогии в волновой оптике [4 - 6]. В нашей работе [7] было рассмотрено сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот. Представляет интерес рассмотреть сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами (1:2).
Пусть первая пара взаимно перпендикулярных колебаний материальной точки задана уравнениями:
jVi = a-cos\ (ot + — |,
(1)
где я/2 - разность фаз между составляющими первой пары колебаний по осям ХУ, а - амплитуда колебаний.
Пусть вторая пара взаимно перпендикулярных колебаний материальной точки задана уравнениями:
х2 = acos(2(ùt + д);
71
У2 = acos(2(ùt + — + Ь),
(2)
где я/2 - разность фаз между составляющими второй пары колебаний по осям ХУ, б - разность фаз между рассматриваемыми двумя парами взаимно перпендикулярных колебаний.
Нетрудно показать, что путем исключения времени / из уравнений (1) или (2) мы получим результирующее движение каждой пары взаимно перпендикулярных колебаний в отдельности, которое представляет собой движение по окружностям одинакового радиуса, но разной частоты: со и 2со.
Для определения характера результирующего движения точки, участвующей одновременно в четырех колебаниях, необходимо исключить из урав-
нений (1) и (2) время I. Рассмотрим два специальных случая.
1. Пусть задана пара взаимно перпендикулярных колебаний, при 5 = 0:
*1 = а ■ сол:со/ х2 =а-со52о>/
У\ = а ■ сол! с>/ + — I у2=а-со.у| 2со/ - — I
Для нахождения уравнения траектории результирующего движения исключим из этих выражений время I. Если исключить время I из каждой пары взаимно перпендикулярных колебаний, то получим результирующие движения по окружностям одинакового радиуса, но противоположного направления вращения.
Найдем, чему равны результирующие составляющие по осям ХУ:
х = XI + XI (4)
у-y | + уг.
На основании выражений (4) получим:
х = «(cosco/ + cos2co/); (5)
у = a(sin2©/ - sino/). (6)
Для исключения из уравнений (5)-(6) времени t найдем отношение:
оа/
Т
3©/ со/
a 2cos------------cos—
£ =____________2 2
у _ Зсо/ .0)/ .0)/ ,0)/
у a ¿eos------------sin— sin— /g—-
откуда:
to/ у 2 X
(7)
Из известных тригонометрических равенств найдем:
і
costot =
4 2 і У
-tP 1------у 2 2
2 ________X -У
1 -tg
sinat = ■
• 2<ы v2
1 + tg-— i + 2L
z x
2,g°t 2*.
2 _ .x
x2 +y2
2 Ю* v2
'+« y i+^-
X
= 2
(8)
(9)
Выражение (6) можно записать в виде:
у = а(яп2в>/ - яш(о/) = а(2ушсо/со5со/ - $тш). (10)
Учитывая уравнения (8) и (9), из последнего выражения найдем:
или:
2 2 ^ * -У
2 2 2 2 х +у X+у
-2
ху
2 2 х + у
2ху{л2 -Зу2)
-) Л Л >
Гдг2+у2;2
откуда найдем:
(х2 + у2)2 = 2ах(х2-3у2).
Перейдем к полярным координатам:
х2 + у2= р2; х = рсо^ф; у = р 5Шф,
применив их для выражения (11), получим: Р-4 = 2<ЗрС05ф(р2С052ф - Зр25Ш2ф), р = 2асо5ф(со^2ф - 3^ш2ф), р = 2a■cos3^p.
(П)
или:
или:
(12)
Выражение (12) определяет уравнение результирующего движения материальной точки при сложении двух пар взамно перпендикулярных колебаний с кратными частотами (1:2), когда каждая пара в отдельности дает движение по окружностям противоположного направления.
2. Пусть задана пара взаимно перпендикулярных колебаний.
(13)
Если исключить время / из каждой пары взаимно перпендикулярных колебаний, то получим результирующие движения по окружностям одинако-
jcj = а COS(Út x2 = a eos 2(0/
f 71V * co^2(o/ +
Уі=а COS\ (0/ + — l 2 J y 2= a 2)
вого радиуса и одинакового направления вращения. Для нахождения уравнения траектории результирующего движения исключим из этих выражений (13) время /.
Найдем результирующие колебания по осям Хи У:
х = XI + X2= a(coso)t + cos2(út)\ у = у і + у2 = -a(sino¡)t + sin2(út).
(14)
(15)
Для исключения из этих уравнений времени / возведем в квадрат каждое из данных уравнений и сложим их:
х2 = a2(cos(út + coslwt)2 =
= az(cos2(út + cos22(út + 2cos(ütcos2(út)\
y2 = a2(sin(út + sin2(ú()2 =
= a2(sin2wí + sin2 2co/ + 2sitmtsin2u>l)\
x2 + y2 = й2(2 + 2cos(útcos2(üt + 2sin(útsin2(üt) = a2(2+2cos(út) = 2a2(l + costot).
Из уравнения (16) получим:
COSÍO/ =
x2+y2-2a2
2a1
(16)
(17)
Выражение (14) можно записать в виде:
х = Л'| + Х2 = а(со5ю/ + С05 2(0/) =
= а(со^(о/ + 2со52(о/ - 1).
Учитывая выражение (17), последнее выражение приводится к виду:
х = а
или:
1¿-2^_+2{¿±¿-2aji_
Л
2а
4 а
_ 2(*ЧЛ-б4х2+/)
4а3
Откуда найдем:
4о3х = 2(х2 + у2)2 - 6а2(х2 + у2).
Переходя к полярным координатам, найдем:
4а3р-со5ф = 2р4 - 6а2р2, или:
2а3со5ф - р3 + За2р = 0.
Решим данное кубическое уравнение:
(18)
p = yja* cos(p + Ja6 eos2 ф-а6 + + у/а3 cos<p--\[a** eos2 ф -сР
р = aójeos q + i sin y + a^jcosip- isinq ;
p = a^ + a^i7^
1-е 1 1-6 ' /ф /ф ^
р = ае 3 + ае 3 = а е 3 +е 3
^ У
Ф р = а cos— .
3
Выражение (19) определяет уравнение результирующего движения материальной точки при сложении двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами (1:2), когда каждая пара взаимно перпендикулярных колебаний дает движение по окружностям одинакового направления вращения.
Полученные выводы подтверждаются экспериментом по сложению четырех низкочастотных электрических колебаний. Схема экспериментальной установки изображена на рис. 1. Она состоит из двух параллельных ЯС-цепочек. Из теории электрических цепей известно, что переменные токи в ветвях параллельной ЯС-цепи отличаются по фазе на 71/2. Вследствие этого, напряжения, снимаемые с регистров Я2 и ЯЗ первой ЯС-цепи, или напряжения, снимаемые с регистров Я5 и Я6 второй ЯС-цепи, отличаются по фазе на 71/2. Так как реактивные сопротивления конденсаторов С1 и С2 при низкой частоте равны активному сопротивлению регистров Я1 и Я4, то указанные напряжения имеют одинаковую величину. Таким образом, при подаче на любую ЯС-цепь переменного напряжения можно получить два переменных напряжения одинаковой амплитуды с разностью фаз 7с/2.
Для проведения эксперимента подают на вход ХР1-ХР2 первой ЯС-цепи переменное напряжение от генератора ГЗ-ЗЗ с частотой V = 159 Гц. Напряжения с резисторов Я2 и ЯЗ подают, соответственно, на входы “X” и "У" осциллографа С1-1. На экране осциллографа наблюдают результирующее движение электронного луча по окружности радиусом I)о с частотой V = 159 Гц. Отключив первый генератор, подают на вход ХРЗ-ХР4 переменное напряжение от второго генератора ГЗ-ЗЗ с частотой 2\ = 318 Гц. Подав напряжение с регистров Я5 и Я6, соответственно, на входы “У” и ”Х” осциллографа, снова наблюдают результирующее движение по окружности радиусом £/о с частотой 2\, но противоположного направления вращения электронного луча. При одновременной работе двух генераторов на экране наблюдают результат сложения двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами, каждая из которых дает движение по окружности противоположного направления вращения (рис. 2). Полученная кривая результирующего движения полностью соответствует формуле (12). Изменение разности фаз 8 между двумя парами колебаний приводит к повороту полученной фигуры относительно ее центра. Если кратные частоты будут относиться как 1:3, то число лепестков в фигуре (рис. 2) увеличится до четырех и т.д.
Для наблюдения результирующего движения от сложения двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами (1:2), когда каждая пара взаимно перпендикулярных колебаний в отдельности дает движение по окружности одинаково-
го направления вращения, напряжение с регистров Я2 и Я5 подают на вход “X” осциллографа, а напряжение с регистров ЯЗ и Я6 на вход “У” того же осциллографа. Полученная кривая (рис. 3) соответствует формуле (19). Изменение разности 5 между двумя парами колебаний приводит к изменению формы фигуры (рис. 3). Ее форма также изменяется при изменении соотношения частот.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
ВЫВОДЫ
1. Дан теоретический анализ сложения двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами (1:2), каждая из которых дает движение по окружности одинакового радиуса либо одинакового, либо противоположного направления вращения.
2. Полученные выводы подтверждаются экспериментом по сложению четырех низкочастотных электрических колебаний. Экспериментальная установка позволяет исследовать сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с любым соотношением частот.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андронов А.А, Витт А.А, Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука. 1981. 563 с.
2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. 1964. 437 с.
3. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: ГИФМЛ, 1959. 572 с.
4. Ланосбер? Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 926 с.
5. Борн М.. Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1976. 855 с.
6. Сивухии Д.В. Оптика. М.: Наука. 1980. 753 с.
7. Молотков Н.Я.. Хвостова Н.В. Сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 3. С. 306-309.
Поступила в редакцию 17 февраля 1998 г.
