CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 2
УДК 512.548.74 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-304-318
Слабо обратимые п-квазигруппы
Малышев Фёдор Михайлович — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. e-mail: [email protected]
Аннотация
Исследуются n-квазигруппы (п > 3) со следующим свойством слабой обратимости. Если на каких-то двух наборах из п аргументов с одинаковыми началами, одинаковыми концами, но с различными оставшимися средними частями (одной длины) результат операции одинаков, то при любых одинаковых началах (другой длины), при прежних средних частях и при любых одинаковых концах (соответствующей длины) результат операции будет одинаков. Для таких n-квазигрупп доказывается аналог теоремы Поста - Глускнна - Хоссу, которая сводит операцию n-квазигруппы к групповой. Утверждаемое теоремой представление n-квазнгрупповой операции с помощью автоморфизма группы, как оказалось, имеет место в более слабых (и вполне естественных) предположениях, нежели ассоциативность и (г, ^-ассоциативность, требовавшиеся ранее. Хорошо известные (i,j)-ассоциативные п-квазигруппы удовлетворяют рассматриваемому условию слабой обратимости.
Ключевые слова: n-квазигруппа, (i,j)-ассоциативность, автоморфизм группы, теорема Поста-Глускина-Хоссу.
Библиография: 20 названий. Для цитирования:
Ф. М. Малышев. Слабо обратимые n-квазигруппы // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 2, С. 304-318.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2
UDC 512.548.74 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-304-318
Weakly invertible n-quasigroups
Malyshev Fedor Mikhailovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head Scientist Researcher, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences. e-mail: [email protected]
Abstract
We study the n-quasigroups (n > 3) with the following property weak invertibility. If on any two sets of n arguments with the equal initials, equal ends, but with different middle parts (of the same length), the result of the operation is the same, then for any identical beginnings (of a other length), with the previous middle parts and for any identical ends (the corresponding length), the result of the operation will be the same. For such n-quasigroups An analog of the Post-Gluskin-Hoss theorem is proved, which reduces the operation of an n-quasigroup to a group one. The representation of the n-quasigroup operation proved by the theorem with the help of the automorphism of the group turned out to occur in weaker (and quite natural) assumptions, rather than the associativity and (i,j)-associativity required earlier. Well-known (i, j)-associative n-quasigroups satisfy the condition of weak invertibility.
Keywords: n-quasigroup, (i,j)-associativity, group automorphism, Post-Gluskin-Hoss theorem.
Bibliography: 20 titles. For citation:
F. M. Malyshev, 2018, "Weakly invertible ^-quasigroups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 304-318.
1. Введение
Напомним, что п-квазигрупповой операцией на множестве X называется отображение Q : Хп ^ X, являющееся биекцией (взаимно однозначным отображением) по каждому из п аргументов при любой фиксации остальных п — 1 аргументов (см. [1], §8). Для Q(xl,... ,хп) иногда будем использовать обозначение [ж^... ,хп], е X, г = 1,..., п. Далее предполагается п ^ 3. (При п — 2 рассматриваемые в работе вопросы относятся к простым свойствам квазигрупп.)
Ассоциативная п-квазигруппа (X, О) называется п-арной группой (см. [2], гл. 1; [3]). Условие ассоциативности задаётся семейством тождеств
[Xl, ...,Xi—\, \Xi, ... , Xi+n—\\, Xi+n, ...,Х2п-— ^^
— [%1, ...,Xj—l, , ... , Xj+n—l\, Xj+n, ...,X2n—l],
1 ^ г < ] ^ п.
Теорема Поста - Глускина - Хоссу (см. [4], [5], [6], [7]) утверждает, что ассоциативная операция п-квазигруппы на множестве X может быть представлена в виде
[жь ... ,хп] — Ж1 ■ ^(х2) ■ ... ■ (рп-2(хп-1) ■ рп-1(хп) ■ с, (2)
для некоторых: групповой операции ■на X, ф е Аи ■), с е X, удовлетворяющих условиям:
уп-1(х) — с ■ ж ■ с-1, х е X, <р(с) — с. (3)
Интерес к этой теореме не ослабевает до настоящего времени. Её многочисленные аналоги доказываются и при других условиях (см., например, [7] - [19]).
Рассматриваемые в настоящей работе слабо обратимые п-квазигруппы ближе всего к давно известным (г,])-ассоцпативным п-квазигруппам, которые задаются только одним тождеством (1) с заданными г < ./.Связанную с (г, ^-ассоциативностью литературу можно найти, например, в работе Ф.Н. Сохацкого [8], в его диссертации [9] и в упомянутой выше монографии В.Д. Белоусова [2], в которой получено окончательное строение (г,])-ассоциативных п-квазигрупп.
Далее будем придерживаться обозначений из монографии [2], в частности, последовательность Xi,Xi+l,..., х^-1, х^ будет обозначаться как х^. При г > ] имеем пустую последовательность х\. Через х\(А) А е обозначаем последовательность ж^+д, Жг+1+д,..., ж^+д, ж^+д. Тогда х{(0) — х{, х{ — (—А), х{(А) — ж(+д — ж£+д (0), А е Ъ. Последними обозначениями приходится пользоваться из-за того, что одна и та же последовательность может располагаться на различных позициях многоместной операции. Вместо (ж^) е Х^-г+1 иногда будем писать х\ е Х^-г+1 (без скобок).
Все возникающие в работе квазигрупповые операции В: Xт ^ X будут относиться к одному и тому же основному множеству X, поэтому иногда для сокращения саму операцию В будем называть т-квазигруппой.
Квазигруппы В', В" одной арности т, отличающиеся домножением на подстановку и е Бх, В' — аВ'', (аВ '')(ж) — а (В ''(ж)), ж е Хт, будем считать эквивалентными и обозначать В' ~ В". Класс эквивалентности т-квазпгрупп определяется разбиением
Xт — Ц (4)
хех
таким, что Ух — Ух при ж — г и \УХ П {(а\ 1, г, я™1(—1))| г е X}| — 1 при любых ж е X, г е {1,..., т}, а™-1 е Хт-1. На подмножествах разбиения (4) т-квазигрупиовые операции из соответствующего класса эквивалентности принимают одинаковые значения.
Определение 1. Для, целых 8 ^ 0 0 ш > 1, 8 + ш ^ п, í + ш ^ п, п-ква,зи группа (X, О является ( 8,ш,1)-слабо обратимой, если из равенства \а\,х(—8),аг^+.ш+-^ = = [а®,У'3+Т(—8),^+^+-^ при каких-то а\ € X33, € хп-3-ш, х™, УТ € Xш следует,
тождество (—I), = [г*,(—; справедливое для всех х\ €
€ Хп-г-ш. Если 8 = 0 а ш = п — Ь, то (0,п — Ь, ¿) -слабо обратимую п-квазигруппу
( , ш, )
довательностей а\ и а™+го+1 в исходном равенстве. Ясно, что любая п-квазигруппа является (8, 1, ¿)-слабо обратимой при всех 8,1, 0 ^з^п — 10 ^¿^п — 1, поэтому в формули-
ш = 1 ( , ш, )
обратимой п-квазигруппы ( все эквивалентные ей п-квазигруппы а((, а € Бх, также будут ( , ш, )
( , ш, )
п
Предложение 1. п-квазигруппа, ( : Хп ^ X является (8,ш, 1)-слабо обратимой тогда и только тогда, когда относительно переменных х™ со значениями в Хп справедливы тождества
, х™+го+1) = С(х1, тгт)
),
в которых А и С пекоторые (п — ш + 1)-квазигруппы, а, В и И - эквивалентные ш-квазигруппы.
Ясно, что условие В ~ И в формулировке предложения 1 можно было бы заменить (за счёт переопределения (п — ш + 1)-квазигруппы С) условием В = И. Достаточность вида (5)
( , ш, ) п (
как и доказательство остальных ниже формулируемых предложений, будет приведено в §2.
п ( ( , ш, )
( , ш, ) ( , ш, ) ( , ш, )
п ( ( , ш, )
ставляется в виде
Я(х1) = А(х{,В (х3^ ),х^+ш+1), (6)
где А - (п — ш + 1)-квазигруппа, В - ш-квазигруппа.
Следствие 2 и его доказательство содержатся также в книге [2] на стр. 112, поскольку требование ( в, ш, з)-слабой обратимости совпадает с условием И3+1,3+^, определённом на стр. 110 книги [2].
Следствие 3. Если п-квазигруппа, (является (8 ,ш, ¿) -слабо обратимо й иЛ^ в + ш, то она представляется в виде
Я(х11) = А(х1, В(х1+Т),х3+от+1, В(хнл ),х™+ш+1), (?)
где А - (п — 2ш + 2)-квазигруппа, В - ш-квазигруппа.
Благодаря следствиям 1, 2 и 3, далее будем предполагать в < «+ш. Обратим внимание, п ( ( , ш, ) ( , ш, )
обратимыми.
Теорема 1. Пусть : Хп ^ X - (з,ет,£)-слабо обратимая п-квазигруппа и 0 ^ в <1 < в + ет, £ + ет ^ п. Тогда,
дю — ^ (х{,д ),х?+ш+1), (8)
где Р : хп+3-ь-,ш+1 ^ X некоторая (п + 8 — £ — ет +1)-квазигруппа, : x^ X - некоторая (£ — з)-слабо обратимая т-квазигруппа, т — ет + £ — в. Обратно, если Р - произвольная (п + в — £ — ет + 1)-квазигруппа, а _ произвольная (£ — з)-слабо обратимая т-квазигруппа, то п-квазигруппа определённая равенством (8), будет (8,ет,Ь)-слабо обратимой.
Теорема 1 (вместе со следствиями 1,2,3) показывает, что для решения поставленной задачи по выяснению строения (в, ет, ¿)-слабо обратимых п-квазигрупп в общем случае (при 8 ^ 0, Ь ^ 0 ет > 1, в+ет ^ п, ¿+ет ^ п) достаточно понять строение г-слабо обратимых п-квазпгрупп для произвольных п ^ 3 и г > 0 1 ^ г < §• (В обозначениях теоремы 1, относящихся к (ет + £ — з)-квазигруппе в качестве п выступает ет + £ — в и там г — £ — в < .)
Напомним, что г-слабая обратимость, 1 ^ г ^ п — 2, означает, по определению 1, что из равенства [аТ1,хг^^1(—г)^ — [аг1,у,^+1(—г)] при каких-то а1 е Хг, х™-г е Ха-Г, е Хга-Г следует тождество [х™-1", г'^-г+1(г — п)] — [у™-1", г^1-г+1(г — п)], справедливое для всех г[ е Xг. Согласно предыдущему, считаем г < т;. Дл я г ^ г-слабо Тратимая п-квазигруппа согласно следствию 3, имеет вид (7), где в — 0 ет — п — г, £ — г, поэтому
дЮ — А {в (хГг), хгп-г+1,в . (9)
В работе [13] доказывается, что ассоциативные п-квазигруппы являются 1-слабо обратимыми. Там же доказывается теорема о том, что конечные 1-слабо обратимые п-квазигруппы (с точностью до эквивалентности) имеют вид (2), в котором с — е - единица группы (X, ■). Условия (3) при этом не накладываются. В результате, как следствие, получается новое доказательство теоремы Поста-Глускина-Хоссу в случае конечных множеств X. (Условия ассоциативности (1) остаётся применять к п-квазигруипам, эквивалентным п-квазигруппам специального вида, задаваемого равенством (2) с с — е.) Для бесконечных множеств X справедливость теоремы о таком же строении (2) для 1-слабо обрати мых п-квазигрупп будет следовать из формулируемой ниже теоремы 2.
Предложение 2. Если п-квазигруппа : Xй ^ X является (г,.])-ассоциативной, то она является (] — г) -слабо обратимой.
Основным результатом настоящей работы является теорема 2 о строении г-слабо обратимых п-квазигрупп с г < т2-
Теорема 2. Пусть (Х,(^) - конечная, г-слабо обратимая п-квазигруппа, г < п/2, п — щ — по + £ ^ 0, 2г < по ^ 3г. Тогда
(10)
(^(х^) — Рио ■ ЯУо ■ <р(Р-и,1 ■ Яы) ■ <р2(Ру,2 ■ ЯУ2) ■ ... ... ■ р\Рщ ■ Кы) ■ <р*+1(Рщ+1 ■ Кы+1) ■ ^+2(Рщ+2),
где: ■ - групповая операция на множестве X, (р е Аи^Х, ■) Р : Хп°-2г ^ X - (по — 2г)-квазигруппа, щ е Хп°-2г, г — 0,1,...,г + 2, К : X3г-П0 ^ X - (3г — По)-квюшруп™, ^ е X3г-п°, г — 0,1,...,г + 1, (х™) — (ио,Ьо,П1,Ь1,и2,Ь2, ... ,Щ,У1,Щ+1,Уг+1 ,Щ+2)-
Теорема 2 будет доказана в §3. Скобки вокруг аргументов отображений, как и в формулировке теоремы 2, будут опускаться, когда это возможно. Обратное к теореме 2 утверждение, очевидно, также справедливо. Для любых: групповой операции ■ на множестве X,
<р € Aut(X, •), (по — 2г)-квазпгруппы Р, (3г — по)-квазигруппы К п-квазигруппа ( задавае-
п (
дует её ат-слабая обратимость для всех натуральных а ^ (п — 2)/г. В этой связи возникает
п (
г\- и г2-слабо обратимой, а г =НОД(гг2)1
Строение (г, ^-ассоциативных п-квазигрупп (см. теорему 8.6 на стр. 210 в [2], а также теорему 4 на стр. 77 работы [8]) показывает, что предложение 2 справедливо в более сильной форме. Именно, следствием этих теорем является следующее предложение.
Предложение 3. Любая (г,.])-ассоциативная п-квазигруппа, является г-слабо обрати-= ( — 1, — , п — 1)
Согласно теореме 8.6 монографии [2] дополнительные требования на выражение (10), обусловленные (г, ^-ассоциативностью, заключаются (по аналогии с (2) и (3)) в домножении справа па элемент с € X, для которого 1£>ь+2(х) = схс-1, х € X, (£>к/г(с) = с, где к =НОД(1?' — г,п — 1), при этом, п = 1 + ^ + 2)г, т.е. п0 — 2г = 1, и Р(х) = х, х € X.
Теорема 2 показывает, что утверждаемое теоремой Поста - Глускина - Хоссу выражение
п
(и вполне естественных) предположениях, нежели ассоциативность и (г, ^-ассоциативность. Можно надеяться, что теорема 2 обеспечит более простое доказательство теоремы Белоусова о строении (г, ^-ассоциативных п-квазигрупп.
2. Доказательства вспомогательных утверждений
п (
пользоваться обозначение ((х= [х1,... ,хп].
2.1. Доказательтво предложения 1.
Доказательство. Вначале докажем достаточность. Пусть п-квазигруппа ( представляется в виде (5) и [а1,х3,+^(—= [аЗ,У3+°(—8),а™+^+]\ при каких-то а'1 € Xе, а™+,ш+1 € Xх^, у^ € X™. Полагая в (5) В = И, имеем следующую цепочку импликаций.
А «В(х3+^(—в)),а™+ш+1) = А {а\,В(У+ (—8)),ап+^+1) ^ В(х?) = В(у?) ^ ^ С (г\,В(х%?(—)), =С {4, В(У+ (—)), 4+го+1) ^
^ [Х1 ,х1+Т), 4+^+1] = [Х1, уПТ), 4+^+1] .
Здесь г\ € X1 и х'р+.ш+1 € Xn-t-ш могут быть произвольными, поэтому достаточность в предложении 1 доказана.
п ( ( , ш, )
заданного а = а^-1^ € Xa-'w элементы х^€Xобъявим (а, ^-эквивалентными, если [ а3 ,х^+13(—8),аг^+3+1(—ш)} = [а3, «),а™+3+1(—ш)]. Согласно (8 ,ш, ¿)-слабой обратимо-
п ( ( , )
эквивалентности па Xпричём, для всех г € Xп-ш оно одно и то же. Благодаря этому разбиение на классы (а, 8)-эквивадептпости не зависит от конкретного а € Xп-ш.
Определим отображения В и И из X'w па X одинаково на каждом классе эквивалентности и различно на разных классах эквивалентности, например, В(х™) = И(х™) = = [8), Щ0+3+1(—ш)] для какого-либо Ь™-ш € Xn-Ш. Тогда В и И будут ш-квазигруп-пами, т.к. ( является п-квазигруппой, причём, В ~ И, т.к. они построены по одному и
тому же разбиению множества Xш на классы эквивалентности. Отображения А и С из Xrl-ш+1 на X зададим равенствами А(-г™+72Г+1(—= ^^ 1,х^+18(—«),г™+3+1(—ш)), С [х\,х, х™-2!?+1(—1)} = ((х\,х1+*:(—), хг^+-ь+1(—ш)), В(х^) = г. Такие задания корректны, потому как не зависят от конкретных х^ из классов эквивалентности В -1(х^ )• Отображения А и С будут (п — ш + 1)-квазигруппами, т.к. (является п-квазигруппой. Предложение 1 доказано.
Следствие 1 вытекает непосредственно из выражения (5).
Доказательство представления (6) в следствии 2 совпадает с доказательством предложения
=
2.2. Доказательтво следствия 3.
Доказательство. Пусть п-квазигруппа ( является (в, ш, ¿)-слабо обратимой и £ ^ ш. По предложению 1 для некоторых (п — ш + 1)-квазигрупп А, С и ш-квазигруппы В имеем тождества
Я(х1) = А(х1, В (х.5+1 ),хв+^+1 , хг+^+1) = = С(х8 х8+'ш х жхь+'ш) хп )
В силу второго здесь тождества, после замены в аргументах отображения А элемента па любой элемент из В-1 (х1+^), оставляя остальные компоненты в аргументах А неизменными, значение А не изменится. В результате, по (п — ш + 1)-квазигруппе А определяется (п — 2ш+2)-А
А(х8 П(х3+Ш) х Л+т хп ) = = А(х1,В(х3+1 ),х1+ш+1, В(х1:+1 ),х1+ш+1).
Из равенств (11) и (12) получаем равенство (7). Следствие 3 доказано.
2.3. Доказательтво теоремы 1.
Доказательство. Вначале докажем обратное утверждение в теореме 1. Пусть ((х1) = Р (х1,(^ {хь+1) , х™+.ш+1^, где Р - произвольпая (п + « — Ь — ш + 1)-квазигруппа,
а ( _ произвольная (Ь — 8)-слабо обратимая (ш + £ — з)-квазигруппа, 0 ^ « < Ь < в + ш, Ь + ш ^ п. Покажем, что п-квазигруппа ( является (в,ш, ¿)-слабо обратимой.
Обозначим и = х\, V = хьа+1, ад = х^^, у = хг++^+1, х = х™+.ш+1. Предположим, что
((и,у,ш,¥,г) = ((и,У,ш',¥,г) (13)
для некоторых
и € X€ Xг-а, ЦТ, € XУ € X2 € X.
Из (8) и (13) следует Р (и, ( (V, W,У) =Р (и, ( (V', W', У), ^, а значит и ( (V, W, У) =
= ( (V', W', У). В силу (Ь — 8)-слабой обратимости (ш + £ — з)-квазигруппы ( получаем равенства <> (у, V, W) = ((у, V', W') для всех V € Xа, значит, и равенства
((и, V, V, W, г) =Р (и, ( (V, V, W) ,г) = --Р[и,С( (у, V', W') , г) = ((и, V, V', W', г)
для всех и € Xе, V € Xг € Xn-t-ш.
Обратное утверждение в теореме 1 доказано.
( , ш, ) п (
(п+8—Ь—ш+1)-квазигруппы Р и (ш+Ь—з)-квазигруппы ((.Докажем, что тогда ((будет (Ь—в)-слабо обратимой (ш + Ь — в)-квазигруппой. Пусть Q(V,W,У) = (<(У^',У') для некоторых
V е X*-3, Ш' е X3+™-\ V, У е X1-3. Тогда
да V, w, г, г) — ^ (и, да w, г), г) — ^ (и, да У), г) — — д(и, V, w', У, г), и е х3, г е хп-г-ш.
В силу (в, ет, ¿)-слабой обратим ости п-квазигруппы Q она будет (по следствию 1) и (¿, ет, 8)-слабо обратимой, поэтому Q(u,W,Y,y,z) — <^(и, Ш', У, у, х) для всех и е X3, е X1-3, £ е хп-ь-ш. Тогда, согласно (8), Р(и,С^(Ш,У,у),г) — Р(и,(^(Ш',У,у),г) и У, у) — , У, у). Этим доказана (£ — 8)-слабая обратимость (ет + £ — §)-квазигруппы в условиях представления (8). Для доказательства теоремы 1 остаётся доказать возможность представления (8) в случае (в, ет, ¿)-слабо обратим ости п-квазигруппы ф при 0 ^ 8 < í < 8+ет.
Как и при доказательстве предложения 1 для т — ет + Ь — в элементы ху™ е Xт назовём (а, з)-эквивадентными, а — а™-т е Хп-т, если <^(а3,хГ^+^(—з),аг^+1-++1(—т)) — — ^(а1, 8), а™+4+1(—т)). Представление (8) для п-квазигрупиы ^ будет иметь место,
если разбиение множества Xт на массы (а, з)-эквпвалентности не зависит от конкретного а, является одним и тем же для всех а е Xп-т.
По предложению 1 для п-квазигруппы ^ имеет место представление (5), согласно которому х — ж™ и у — у™ будут (а, з)-эквивадентными, если В(х^) — В(у^) и х™+1 — у™+1-Такие х, у е Xт будем называть Л-связанными. Аналогично, х — ж™ и у — у™ будут (а, в)-эквивалентными, если х\-3 — у\-3 и 0(х^3+1) — 0(у^3+1). Такие х,у е Xт будем называть ^-связанными. Два элемента х,у е Xт назовём связанными, если они являются или Л-связанными или ^-связанными. Отношение связанности на Xт продолжим по транзитивности. Связанные элементы Xт являются (а, ^-эквивалентными, но отношение связанности не зависит от а е Xп-т.
Зафиксируем некоторый элемент о е X и номер ]о е {1,...,п}, í + 1 ^ ]о ^ 8 + ет, £ — 8 + 1 ^ ]0 — 8 ^ ет. Через о\ е X^-г+1 обозначим последовательность из ] — г + 1 элементов, равных о, а через О^0 — з) - подмножество в Хт, состоящее из элементов х™ — (ж1,... ,хт), для которых XI — о для всех г е {1,..., — а х^0-3 е X может быть произвольным,
х™ — (о1°-3-1 ,х^0о-3, о™-3+1). Пара различных элементов из иод множества О(]о — в) не может быть связанной, т.к. она не может быть (а, з)-эквивалентной.
Каждый элемент из Xт связан с некоторым элементом из О(]о — в). Действительно, для произвольного х — х™ е Хт, х — (ж1_-3 ,х^_3+1,х™+1), имеем Л-связанный с ним элемент х е Хт гада х — (о*-3, х^_3+1, х™+1), т.к. отображение В является ет-квазигруппой. В свою очередь, элемент х ^-связен с элементом из О(]0 — в) гада (о\0-3~ 1,х,о™0_3+1), х е X, т.к. отображение И ^^дается ет-квазигруппой.
В результате, множество Xт разбивается на подмножества связанности, каждое из которых включено в некоторый класс (а, з)-эквивадентности и пересекается с множеством О(]о — в) ровно по одному элементу (о\0-3-1, х, о™-3+1). Классы (а, з)-эквивалентности пересекаются с множеством О(]о — в) тоже по одному элементу. Тем самым, отношение (а, з)-эквивалентности совпадает с отношением связанности. Но последнее не зависит от конкретного а е Xп-т.
Теорема 1 доказана.
2.4. Доказательство предложения 2.
Доказательство. Пусть п-квазпгруппа ^ являет ся (г,.7')-ассоциативн ой, г < Проверим, что она является (] — г)-слабо обратимой. Обозначим и — х\-1, V — х^-1, — х™+%-1,
У — хп+1-11 х — хп+-^ Пусть [V, Ш] — [V, Ш'] для ^жоторых V е XШ, Ш' е Xп-з+г. Тогда
[и, [У^],у,г] — [и, [У^'],у,г] (14)
для произвольных и е Xг-\ у е Xг е Xп-з, Применяя к обеим частям равенства (14) условие (г,.]получаем [и,У, [Ш, у], г] — [и,У, [Ш',у],г] и, затем, \№,у] — [Ш',у]. Предложение 2 доказано.
3. Строение г-слабо обратимых п-квазигрупп
обратимых п-квазигрупп. В теореме 2 предполагается г < п/2. В случае г ^ п/2 г-слабо п
( , ш, )
п-квазигрупп в общем случ ае для ^ 0 ^^ 0 ш > 1, 8 + ш ^п, í + ш ^ п.
В настоящем параграфе для левых и правых сдвигов па элемент а в множестве X с групповой операцией ■ будем использовать обозначения Са, : X ^ X а € X, Сах = ах, х = ха, х € X. При произведениях отображений и подстановок действия будут производиться в порядке справа налево. Скобки вокруг аргументов отображений будут опускаться, когда это возможно.
В доказательстве теоремы 2 будет использована следующая простая лемма.
Лемма 1. Если для подстановок а, а1, а2 € Бх в группе X выполняется тождество
а(х ■ у) = а1х ■ а2у, (15)
справедливое при любых х,у € X, то для некоторых элементов а,Ь € X и автоморфизма ф € А^^, ■) имеем,:
а = Паъ ф, (16)
а1 = Паф, (17)
а2 = Са-1 Каьф. (18)
Обратно, для любых а,Ь € X и любого автоморфизма ф € А^^, ■) справедливо тождество
а, а1 , а2
Доказательство. Положим а = а1е, Ь = а2&, е - единица группы, ф = ~Я.ь-1а-1а. Полагая в (1^) сначала х = е, затем у = е, получаем а2 = Са-кг, а1 = ^-1а. Подставляя полученные а1, а2 в убеждаемся, что ф = 'Я,ь-1а-1а € А^^, ■). Лемма 1 доказана. 3.1. Доказательство теоремы 2.
Доказательство. Вместо равенства (10) будет доказываться чуть более слабое выражение:
((х1) = Т [Рио ■ ЯУо ■ <р(Рщ ■ Яы) ■ ^2(Ру,2 ■ ЯУ2) ■ ... ... ■ ч>\Рщ ■ Шг) ■ ч?+\Рщ+1 ■ Ш+) ■ V+2(Рщ+2)]
для некоторой подстановки т € Бх- Напомним, что в равенстве (19): ■ _ групповая операция на множестве XV € А^^, ■), Р : Xй0-2 ^ X - (п0 — 2г)-квазигруппа, щ € Xn0-2r, г = 0,1,... + 2, К : X3г-П0 ^ X - (3г — п0)-квазигруппа, ^ € X3г-п0, г = 0,1,... ,1 + 1,
(х™) = (ио, Уо,Щ, У1,и2, У2, ...,Щ, Уг,Щ+1,Уг+1,Щ+2),
п = щ = по + Ьг, 2г < по ^ 3г, Ь ^ 0 г < п/2. (При по = 3г под ^квазигруппой К понимается элемент множества X, К € X.)
Равенство (10) из (19) получается при переходе к групповой операции х*у = т(т-1х■ т-1 у). Единицей будет е* = т(е) если е € X - единица группы (X, ■). Вместо ф, Р и К будут выступать, соответственно, ф = т^т-1 € А^^, *), Р = тР и К = тК. Полагая в (19) V = Т-1ФТ> Р = т-1Р, К = т-1Ки х ■у = т-1(тх *ту), х, у € X Для ((%1) получим выражение вида (10), в котором вместо V, Р, К, ■ выступают, соответственно, ф, Р, К, *.
Равенство (19) (при некоторых т, Р, К, ■, (р) для г-слабо обратимой п-квазигруппы ф докажем индукцией по Ь ^ 0. Вначале проверим индуктивный переход, затем проведём доказательство для £ — 0, когда 2г < п ^ 3г или п/3 ^ г < п/2. Пусть Ь > 0. По предложению 1 имеем тождество
дю — А(х\,В(хпг+1)) — С (Б(хГг ),Хп-г+1), (20)
справедливое для всех х™ е Хп, в котором А и С - (г + 1)-квазигруппы, а В и И - (п — г)-квазигруппы, причём, В ~ И, В — жР, ■к е Бх- По теореме Хоссу (см. [20] или теорему 4.2 на стр. 88 в [2]) из двух представлений (20) следует тождество
д(хпг) — К(х[) о Ь(х™-{) о М(х£-г+1), (21)
где: о - групповая операция на X, К и М — г-квазигруппы, Ь — (п — 2г)-квазигруппа. В нашем случае (по доказательству предложения 1) дополнительно имеем тождество
К(х[) о Ь(х™-{) — к(Ь(хЧ-2г) о МК-2+)), п е Бх. (22)
Проверим, что ф' (х™-1") — К (х1) о Р(х™+_[) тоже является г-слабо обрати мой (п — г)-квазигруппой, п — г — по + (Ь — 1)г — Пь-1- Пусть
К (с® о Р(х^{) — К (с® о Ь(у?-1).
Тогда справедливо равенство
К(аЧ) о Ь(х™-{) о М(гЦ-г+1) — К(а[) о Р(уп+{) о М(23)
для всех г™-г+1 е Хг. Согласно (21) и в силу г-слабой обратимости п-квазигруппы ^ из равенств (23) следуют равенства
К(х2/+1) о Р(хп2+, гпп-г+1) о М) — К(уЦ 1) о Р(уп2;;1,гпп-г+1) о М), справедливые для всех г™+гг+1 е X2г, из которых, в свою очередь, следуют равенства К(х2/+1) о Ь(Х2Г+1, г™-^^ — К(у2+ ^ о Р(у^+1,хпп-г+1),
справедливые для всех ¿г^_г+1 е Хг. Таким образом, (п — г)-квазигруппа ф'(х1-г) — — К(х1) о Р(х™-[) является г-слабо обратимой и к ней можно применять предположение индукции. Тогда из равенств (21), (19) и (20) получим тождества
Я(х^) — т' [Рио ■ Яуо ■ <р(Рщ ■ Яы) ■ <р2(Ри2 ■ ЯУ2) ■ ...
... ■ р\Рщ ■ Яуг) ■ рг+1Рщ+1] О М(У+1,Щ+2) — ^
— А(ио,Уо,В(т,У1, ...,щ+1,Уг+1,щ+2)) — — С(0(ио,Уо,и1,У1,... ,щ,Уг,щ+1),Уг+1,щ+2).
Здесь: т' е Бх, ■ — групповая операция на множестве X, отличная вообще говоря от о Р (3г — по)-квазигруппа, Д - (по — 2г)-квазигруппа, р е Аи^Х, ■).
Полагая в (24) М(у1+1 ,Щ+2) — е0, получим выражение для Р(ио,уо,и1,у1,..., ь^, Уг, щ+{). Полагая же в (24) Рио ■ Яьо — ей уменьшая индексы на единицу, получим выражение для В(ио,Уо,У'1,У1,..., ь, Щ+1). После этого с учётом эквивалентности И ~ В получим тождество
рт' [Рио ■ Яьо ■ р(Рул ■ Яу1) ■ ... ■ рг(Рщ ■ Яуг) ■ рг+1Ри1+1] —
— т' [р(Рио ■ Яуо) ■ ^2(Ри1 ■ ЯУ1) ■ ... (25)
... ■ р\Рщ-1 ■ Яы-1) ■ р1+1 Риг] О М(ы, и+1),
справедливое при некоторой подстановке р G Sx- Левая часть в (25) эквивалентна (п — г)-квазигруппе D, а правая часть эквивалентна (п — г)-квазигруппе В. Обозначим
X = Ри0 • Rv0 • <p(Pui • Rvi) • ... • ipt-i(Put-i • Rvt-\) • <ptPut. Тождество (25) перепишется в виде
рт' [X • tfRvt • vt+iPut+i] = т'^Х о M(vt, ut+i), (26)
где X, vt, ut+i G X произвольные. Полагая
У = ^-i(X •^Rvt •^t+lPut+i),
из (24) и (26) получаем
Q(x^) = т'^у о M(vt+i,ut+2) = рт'[У • tfRvt+i • Vt+iPut+2] = = рт'^-1[Х • tfRvt • Vt+iPut+i • Vt+iRvt+i • <р*+2Рщ+2].
В результате имеем представление (19) с т = pr'ip-i. Справедливость индуктивного перехода доказана.
Осталось теорему 2 доказать для t = 0 (начало индукции). Тогда п = по = 3(п — 2г)+ +2(3>г — п), 2г < п ^ 3г, п/3 ^ г < п/2, (x™) = (u0, v0,ui, vi,u2),u0,ui,u2 G Xn-2r, v о, Vi G X3r-n. Необходимо убедиться, что для г-слабо обратимых п-квазигрупп Q при та-
п
Q(x1l) = t[Puo • Rvo • <p(Pui • Rvi) • y2Pu2] (27)
при некоторых т G Sx, групповой опер ации •на X, G Aut(X, •), (п — 2г)-квазигруппе P и (3 г — п)-квазигруппе R.
Согласно (21) и (22) имеем:
Q(x^) = К (uo, vo) • Lui • M (v i,u2), (28)
К(u0, v0) • Lui = -iï[Lu0 • M(v0, ui)}, (29)
где: • - групповая операция на X с единицей е G X, К и M - r-квазигруппы, L — (п — 2г)-квазигруппа, ж G Sx- Полагая в (29) Lu0 = е, получаем
M (vo, ui) = K-i(Avo • Lui), (30)
где A - пекоторая (3г — п)-квазигруппа. Аналогично, полагая в (29) Lui = е, получаем
К (uo, vo) = n(Luo • В vo), (31)
где В - некоторая (3г — п)-квазигруппа. Полагая Luo = x, Lui = у, с учётом (30) и (31) из (29) получаем
k(x • Bvo) • у = k[x • K-i(Avo • у)]. (32)
x = =
А = жВ. (33)
Пусть далее 3г — п> 0. Полагая в (32) Bvo = е и обозначая же = с, kx = z, получаем
k-1(z • у) = k-1(z) • ж-1Ссу.
, G X
чаем
ж-1 = КаЬф = Каф, Ж-1Сс = Са-1 КаЬф для некоторых a,b G X и ф G Aut(X, •). Из полученных равенств следует:
Ь = е, ж-1 =Ф-1 Cc-i, ж = Ссф, ф G Aut(X, •).
Из (31), (30) и (28) теперь получаем
К(uo, vo) = £^(Luo •Bvq), M(vo,ui) = Bvo •ф-iLui, Q(x\) = Ссф^Ьщ, • Bvo) • Lui • Bvi • ф-lLu2.
В результате имеем представление (27), в котором т = Ссф, ф = ф-\ P = L, R = В.
п = 3
особо. В этом случае во всех рассуждениях, предшествующих формуле (33), можно считать Avo = A G X, Bvo = В G X. Выражения (28) - (33) тогда примут следующий вид:
Q(x'i) = Кщ • Lui • Mu2, Кщ • Lui = k(Luo • Mui),
Mui = k-1(A •Lui), Кuo =k(Luo •В), (34)
жВ = A, kKbx •y = n(x •n-iC^By).
Полагая в последнем из этих равенств kKbx = z, получаем
k-1(Z • У) = 'RB-1n-iz • у.
Применяя лемму 1 к полученному тождеству, справедливому при всех z,y G X, для некоторых a,b gX, ф G Aut(X, •) получаем
K-i = КаЬф, 'RB-iK-i = Каф, Ж-1СжВ = Ca-1 КаЬф.
Из этих равенств следует:
ж = (£-iUb-ia-i, В = b, А = жВ = !ç-i(a-i). (35)
Из равенств (34), (35) следует
Q(x"l) = Кщ • Lui • Mu,2 = k(luO • В) • Lui • k-1 (A • Lu2) = = <f-i(Luo • b • b-ia-i) • Lui • ф(ф-1 (a-i) • Lu2) • ab = = (p-i(Luo • a-i) • Lui • a-i • <p(Lu2) • ab = = Kabp-i[Luo • a-i • ip(Lui • a-i) • p2(Lu2)].
В результате получили выражение (27), в котором т = Каъф-\ P = L, R = a-i. Терема 2 полностью доказана.
4. Заключение
Введённое в работе новое достаточно естественное понятие (s, w, ¿)-слабой обратимости п X
[ayb] = [azb], a G Xs, y, z G Xm, b G Xn-S-^, следует тождество [uyv] = [uzv], выполненное для всех u G X\ v G Xn-t-^. Наиболее содержательным это понятие оказалось для t = 0,
s = г < n/2, w = n — г, называемом тогда r-слабой обратимостью. Известиый класс (i,j)-ассоциативных п-квазигрупп, 1 ^ г < j ^ п, содержится в классе г-слабо обратимых, г = j — г. (В тождестве ассоциативности внутренние скобки стоят на местах г и j.) Класс г-слабо обратимых n-квазигрупп гораздо шире и имеет более лаконичное задание, наследуемое от теоремы Поста-Глускина-Хоссу, без дополнительных условий, требуемых в случае ассоциативности и (i,j)-ассоциативности. Это не случайно. Понятие ассоциативности при п ^ 3 более искусственно, по сравнению с (s, w, ¿)-слабой обратимостью, имеющей практическое происхождение.
Автор выражает благодарность A.B. Черёмушкину за внимательное прочтение статьи и высказанные замечания.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969 - 1970 учебного года. - М.: Изд-во "Наука", 1974. 160 с.
2. Белоусов В. Д. n-арные квазигрупы. - Кишинёв: Изд-во "Штиница", 1972. 225 с.
3. Гальмак А. М. n-арные группы. Часть 1. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.
4. Post Е. L. Polyadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. Vol. 48 № 2. P. 208-350.
5. Глускин Л. M. Позиционные оперативы // Матем. сб. 1965. Том 68(110) № 3. С. 444-472.
6. Hosszu M. On the explicit form on n-group operations // Publ. Math. 1963. Vol. 10 № 1-4. P. 87-92.
7. Гальмак A. M., Воробьёв Г. H. О теореме Поста - Глускина - Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14). С. 55-60.
8. Сохацкий Ф. Н. Об ассоциативности многоместных операций // Дискретная математика. 1992. Том 4 № 1. С. 67-84.
9. Сохацкий Ф. И. Ассоциативы и разложения многоместных операций. Дисс. докт. физ.-мат. наук. - Киев, 2006. 334 с.
10. Гальмак А. М., ГЦучкин Н. А. Порождающие множества n-арных групп // Чебышевский сборник. 2014. Том 15 № 1. С. 89-109.
11. Ходабандех X., Шахряри М. Простые полиадические группы // Сибирский математический журнал. 2014. Том 55 № 4. С. 898-911.
12. ГЦучкин Н. А. Строение конечных полуабелевых n-арных групп // Чебышевский сборник. 2016. Том 17 № 1. С. 254-269.
13. Малышев Ф. М. Теорема Поста - Глускина - Хоссу для конечных n-квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок // Математический сборник. 2016. Том 207 № 2. 81-92.
14. Гальмак А. \!.. Русаков А. Д. О полиадической операции специального вида // Вес. Нац. акад. навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. наук. 2017. № 2. С. 44-51.
15. Тютин В. И. К аксиоматике n-арных групп // Докл. АН БССР. 1985. Том 29 № 8. С. 691-693.
16. Соколов Е. И. О теореме Глускипа - Хоссу // Сети и квазигруппы: Мат. исслед. - Кишинёв: Изд-во "Штиница", 1976. № 39. С. 187-189.
17. Гальмак А. М. О приводимости n-арпых групп // Вопросы алгебры. 1996. Вып. 10. С. 164-169.
18. Воробьев В. Н. Сопряжённые n-арные подгруппы и их обобщения // Весник ВДУ iM. II.M. Машэрава. 1997. № 2(4). С. 59-64.
19. Черёмушкин А. В. Аналоги теорем Глускипа - Хоссу и Малышева для случая сильно зависимых n-арных операций // Дискретная математика. 2018. Том 30 № 2. С. 138-147.
20. Hosszu M. Algebrai rendszereken ertelmezett fuggvenyegvenletek, I, MTA III // Oszt. Kozlemenvei. 1962. № 13. P. 303-315.
REFERENCES
1. Kurosh, A. G. 1974, "Obshchava algebra. Lekcii 1969-1970 utchebnogo goda." [Gentral algebra. Lectures 1969 1970 academic year. Nauka, Moscow, 160 pp. (Russian)
2. Belousov, V. D. 1972 "n-arnii kvazigruppi" [n-quasigroups.] Shtinitsa, Kishinev, 225 pp. (Russian)
3. Galmak, A. M. 2003 "n-arnii gruppi. Tchast 1." [n-groups. Part 1.] State University F. Skorina, Gomel, 196 pp. (Russian)
4. Post, E. L. 1940, "Polvadic groups" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 48, no. 2. pp. 208-350.
5. Gluskin, L. M. 1965 "Positional Operatives" , Mat. Sb., vol. 68 (110), no. 3. pp. 444-472.
6. Hosszu, M. 1963, "On the explicit form on n-group operations" , Publ. Math., vol. 10, no. 1-4, pp. 87-92.
7. Galmak, A. M., Vorobjov G. N. 2013 "About the Post-Gluskin-Hoss theorem" , Problems of physics, mathematics and engineering, no. 1(14), pp. 55-60.
8. Sokhatskv, F. N., 1992 "On the associativity of multi-local operations" , Diskret. Mat., 4:1, pp. 67-84.
9. Sohatskv, F. N. 2006 "Associatives and expansions of multi-site operations. " Diss. Doct. fiz.-mat. sciences. Kiev, 334 pp.
10. Galmak, A. M., Shchuchkin, N.A. 2014 "Generating sets of n-groups" , Chebyshevsky sb., 15:1, pp. 89 -109.
11. Khodabandeh, H., Shahrvari, M. 2014 "Simple polvadic groups" , SMRJ, 55:4. pp. 898-911.
12. Shchuchkin, N. A. 2016 "The structure of finite semi-abelian n-arv groups" , Chebyshevsky sb., 17:1. pp. 254-269.
13. Malvshev, F. M. 2016 "The Post-Gluskin-Hoss theorem for finite n-quasigroups and self-invariant families of permutations" , Sb. Math., 207:2, pp. 226-237.
14. Galmak A, M., Rusakov, A. D. 2017 "On a polvadic operation of a special form" , Ves. Nat. Acad. Sci. Belarusian. Ser. fiz.-math. sciences, no.2, pp. 44-51.
15. Tvutin, V. I. 1985 "On the axiomatics of n-groups", Dokl. AN BSSR, 29:8. pp. 691-693.
16. Sokolov, E. I. 1976 "On the Gluskin-Hoss theorem" , Networks and quasigroups: Mat. Issled., Shtinitsa, Kishinev, no. 39, pp. 187-189.
17. Galmak, A. M. 1996 "On the reducibilitv of n-groups" , Problems of Algebra, issue. 10, pp. 16 I 169.
18. Vorobjov, V. N. 1997 "Conjugate n-arv subgroups and their generalizations", Vault P.M. Masherava VDU, no. 2(4), pp. 59-64.
19. Chervomushkin, A. V. 2018 "Analogues of Gluskin-Hoss and Malvshev theorems for the case of strongly dependent n-operations" , Discret. Mat.., 30:2, pp. 138-147.
20. Hosszu, M. 1962, "Algebrai rendszereken ertelmezett fuggvenyegyenletek, I, MTA III" , Oszt. Kozlemenyei., no. 13, pp. 303-315.
Получено 27.04.2018 Принято в печать 17.08.2018
