CC BY
11
рЦ(ст))=Ар(ст), (12)
то вектор Лр(о) будет решением задачи (1).
Если (12) не выполняется, то есть р(Лр(ст))> К(<з), и при этом вектор ^р(о) не является решением задачи (1), то переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим индекс к0 е [0:Л? ] из условия (5). Осуществляем 5 - преобразование базиса а, полагаем а := а и переходим к шагу 2.
Из утверждений 3 и 1 вытекает (8), откуда следует условие монотонности рр (о)> рр (а). Таким образом, обеспечивается более рациональный
перебор базисов (который в данном случае означает выбор нового базиса и выбор одной из амплитудных подзадач на новом базисе) по сравнению с общим методом в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И. Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2002. Вып. 4. С. 27-31.
2. Выгодчикова И. Ю. Процедура решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. Сарат. зимней мат. шк. Саратов, 2004. С. 48 - 50.
3. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.
4. Выгодчикова И. Ю. Критерий единственности решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Тр. мат. центра км. Н.И. Лобачевского: Тезисы. Казань, 2003. С. 52 — 54.
УДК 514.13
А. С. Галаев
СЛАБО НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДГРУППЫ В 8и(1,и +1)
Решается проблема классификации связных слабо неприводимых подгрупп в 5и(1,и + 1) с 80(2,2и + 2), которые имеют инвариантную изотропную плоскость, что является первым шагом к классификации связных групп голономии специальных псевдокэлеровых многообразий сигнатуры (2,2«+ 2).
1. Классификация связных групп голономии римановых многообразий является классическим результатом (см., напр. [1]). Классификация связных групп голономии Лоренцевых многообразий была получена совсем недавно [2, 3, 4]. Аналогичная задача для общих псевдоримановых многообразий остается открытой. Теорема Ву [1] сводит эту задачу к классификации связных слабо неприводимых групп голономии, т.е. групп, которые не сохраняют невырожденные собственные подпространства каса-
тельного пространства. Для случая неприводимых групп задача решена. Поэтому сначала нужно описать связные слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подгруппы в БО(р,д), где - сигнатура многообразия. Эта задача решена только для лоренцевого случая, т.е. для (Р'Я) -О.ЛО [5]. В [6] и подробнее в [7] дано более геометрическое доказательство этого результата. Мы изучаем группы голономии псевдорима-новых многообразий сигнатуры (2,2п + 2) и ограничиваемся случаем специальных псевдокэлеровых многообразий. Прежде всего мы рассматриваем связные слабо неприводимые подгруппы в 81Д1,л +1) с: 80(2,2и + 2), которые имеют инвариантную изотропную плоскость.
2. Рассмотрим (2л + 4)-мерное вещественное пространство К'1"*2 с заданной комплексной структурой J и 7-инвариантной метрикой сигнатуры (2,2« + 2). Комплексная структура J и псевдоэрмитова метрика
g{x,y) = r\{x,y) +щ^х,у) превращают Я2'2"+2 в псевдоэрмитово пространство С1'п+1. Будем говорить, что подгруппа
в с 81)(1,и + 1) с 80(2,2л + 2)
действует слабо неприводимо в С1'""1"', если (7 не имеет #-неьырожден-ных собственных комплексных подпространств в с''"+'.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если подгруппа (7 с 8и(1,и + 1) действует слабо
неприводимо в Я^'2"+2, то она действует слабо неприводимо в С1'"^1.
Доказательство. Если Сс8и(1,« + 1) сохраняет ¿^невырожденное собственное комплексное подпространство в С',я+1, то она сохраняет соответствующее подпространство в /¿~'2я+2; которое не вырождено относительно Г) .
Отметим, что обратное утверждение не верно.
Зафиксируем изотропный вектор р е С1'"11. Обозначим через 5и(1,и + 1)Ср связную подгруппу 8и(1,и + 1), сохраняющую комплексную
изотропную прямую СрсС1'"1"1. Всякая подгруппа в 8и(1,л + 1), действующая в С1п+] слабо неприводимо и не неприводимо, сопряжена некоторой подгруппе группы 5(1(1, и + \ )Ср.
Всякая подгруппа <3 с 8и(1,и + 1)Ср, действующая в с''"+1, слабо неприводимо действует на абсолюте комплексного пространства Лобачевского, д1"с^ = {СхеРС"+2 :хеС1"+]^(х,х) = 0}. Абсолют 8Ь"с+] диффео-морфен (2п + 1)-мерной сфере Я2"*'. Поскольку С7 сохраняет точку Ср е <31"1 1, С действует в пространстве 1 \ {Ср}, которое мы отождествляем с пространством Гейзенберга Нп = С" © К. Для / е С обозначим это действие через Г(/). Можно показать, что
Г(/) е8тЯ„=(Л+х£/(и))/Я„, где 51т//п, есть компонента единицы преобразований подобия пространства Гейзенберга //„. Более тог о,
Г : 8и(1,и + \)Ср БипНп является изоморфизмом групп Ли. Для компоненты единицы группы Ли преобразований подобия пространства С" мы имеем
БтС" =(Я+ х Щп)) X С".
Рассмотрим натуральную проекцию л : $'ипНп —» БтС". Гомоморфизм л является сюръективным, его ядро одномерно.
Сформулируем основную теорему.
ТЕОРЕМА. Для подгруппы б с Би(1, п + \)Ср, действующей слабо
неприводимо в Я"2п+2, имеем:
1. Подгруппа я(Г(0)) с БтС" не имеет инвариантных собственных аффинных подпространств в С".
2. Если Ь с: Я"п = С" является инвариантным собственным аффинным подпространством для 7г(Г(6')), то минимальное аффинное подпространство в С", содержащее Ь, есть все С".
Предположим, что связная подгруппа С с 8и(1,и + 1)с„ действует
слабо неприводимо в Я2'2"*2. Если 7г(Г(С)) сохраняет некоторое аффинное подпространство ¿с~ Я2п =С", то С сопряжена в 81Д1,« + 1) некоторой слабо неприводимой группе б,, для которой тг(Г(С)) сохраняет векторное подпространство в Я2" =С", соответствующее Ь. Поэтому можем считать, что тс(Г(С)) сохраняет векторное подпространство
1 = С'" где 0 <т<п.
Мы выделяем 3 типа подпространств: 1) т = 0,2) 0 < т < п , 3) т = п . Достаточно предположить, что О не имеет инвариантных аффинных подпространств в Ь. Тогда из теоремы, доказанной Д.В. Алексеевским [8, 9], следует, что С действует транзитивно в Ь. В [7] транзитивные группы подобия евклидовых пространств разделены на 4 типа. Таким образом, для подгруппы й с 811(1, и + 1)С/,, действующей слабо неприводимо в Я2'2п+2, группа я(Г(С)) может принадлежать одному из 12-ти типов. Для всякой
группы /-"с^т С" данного типа можем найти все подгруппы <7 с 8и(1,и + \)ср, для которых то для ^ имеем две возмож-
ности:
Е = '(/ КкегсЛг) или £ = с/Г + ^(х): л: ет|}),
где £:r|—>ker dn - некоторое линейное отображение. При т>О возможен только первый случай. Таким образом, получаем 16 типов подгрупп G a SU(l,w + 1)с , действующих слабо неприводимо в R2-2rl+2 Мы не приводим здесь полное описание из-за его громоздкости.
Рассмотрим примеры двух типов групп. Для произвольного 0<т<п и произвольной связной подгруппы Ли
Я с Щт) х (Щп — т)г\ (SO{n -т) ж SO(n - т)) с U(n) рассмотрим группы Ли
GmXH =(R+ хЯ)Х(Л©(С"" ©^""»cSim//,,, GmXH = Я A(R®(Cm © R"~m)) (= Sin\H„.
Группы Ли ji(Gm'l,w) и n(Gm2'H) сохраняют векторное подпространство L=Cm © R"~m cR2" =C" и действуют в нём транзитивно. Группы Ли Г ~\Gm i'H) и Г '(Ст'2 Я) действуют слабо неприводимо в
Другие типы описываются подобным образом.
Следующий пример показывает, что утверждение, обратное к предложению 1, не верно. Пусть G = R" аС" а Нп aSimHn. Группа 71(G) сохраняет вещественное подпространство RnczCn, группа Г~'(G)сSU(\,n + 1) действует слабо неприводимо в с'"л+', но сохраняет некоторое невырожденное подпространство в R2-2n+2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна / Пер. с анг. М.: Мир, 1990. Т.2. 384 с.
2. Leistner Т. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups. arXiv:math.DG/ 0305139, 2003.
3. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups. Part II: Semisimple, non-simple weak-Berger algebras. arXiv:math.DG/ 0309274, 2003.
4. Boudel C. Sur l'holonomie des varieties pseudo-riemanniennes. Nancy, 2000.
5. Berard Bergery /.., Ikemakhen A. On the Holonomy of Lorentzian Manifolds // Proceeding of symposia in pure math. 1993. Vol. 54. P. 27 - 40.
6. Галаев А. С. О группах голономии лоренцевых многообразий // Материалы конф. молодых ученых. Казань, 2002. С. 28.
7. Galaev A. S. Isometry groups of Lobacheuskian spaces, similarity transformation groups of Euchidean spaces and Lorentzian holonomy groups. arXiv:math.DG/0404426, 2004.
8. Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны//Мат. сб. 1975. № 1.С. 93-117.
9. Алексеевский Д. В.. Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространства постоянной кривизны // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. прик. мат. фунд. напр. 1988. Т 29 С. 5 - 146.
