Скольжение тела по снегу Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 531.391

СКОЛЬЖЕНИЕ ТЕЛА ПО СНЕГУ

В. Г. Вильке

Т. М. Поленова

В работе рассматривается модель снега как идеальной нелинейной упругопластиче-ской среды. Тело совершает плоскопараллельное движение. Его контакт со снегом происходит по области, являющейся частью прямоугольной пластины. Зона контакта изменяется в процессе движения. Из полученных уравнений движения найдены стационарные движения, когда заданы постоянные внешние силы и момент, действующие на тело. Решена обратная задача определения сил и моментов при заданном стационарном движении транспортного средства.

Ключевые слова: контакт тела со снегом, модель снега, стационарные движения.

A body performs plain-parallel motion on snow. The area of its contact with snow is a part of a rectangular plate. The contact zone changes during the motion of the body. Stationary motions are found from the derived equations of motion in the case when the constant external forces and the moment exerted on the body are given. The inverse problem of determining the forces and moments is solved for a given stationary motion of a vehicle.

Key words: contact of a body with snow, model of snow, stationary motions.

1. Модель взаимодействия снега с телом. Уравнения движения.

Рассмотрим плоскопараллельное движение тела массой т, часть границы которого представляется пластинкой прямоугольной формы. Поле скоростей точек тела ортогонально оси ОХ 1 инерци-альной системы координат ОХ1Х2Х3. Контакт тела со снегом происходит но поверхности пластинки, сечение которой на рисунке показано линией АВ.

В процессе движения тело контактирует со снежным

покровом высотой II. Верхняя часть снежного покрова совпадает с плоскостью ОХ1Х2. На рисунке представлено сечение тела плоскостью ОХ2Х3, проходящей через центр масс тела точку С. Система координат Сх 1X2X3 связана с телом так, что плоскости ОХ2Х3 и Сх2X3 совпадают друг с другом. Одна из сторон пластинки имеет длину I и ортогональна плоскости Сх2X3. Положение тела определяется тремя обобщенными координатами х, и, (р, где х = ОК, и = АК, a ip угол между осью ОХ2 и прямой АВ. Точка С ортогональная проекция центра масс тела С на прямую АВ, и АС' = а, СС' = Ъ.

Координаты центра масс тела С и его скорость в неподвижной системе системы координат ОХ1Х2Х3 имеют вид

Сечение тела, контактирующего со снежным покровом высотой Н, неподвижной плоскостью ОХ0Х3, проходящей через центр масс тела С

1 Вильке Владимир Георгиевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. теоретической механики и мехатропики мех.-мат. ф-та МГУ.

" Поленова Татьяна Матвеевна канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. информатики и прикладной математики РАНХиГС, е-шаП: polenova_t.mOmail.ru.

Х2 = х — (и — a) cos ip — b sin ip, Xs = — (и — a) sin ср + b cos ip,

X2 = x — -ücos <p + (и — а)ф sin ip — Ьф cos <p, (1)

X3 = —ii sin ip — (и — а)ф cos <p — Ьф sin ip.

Дифференцируя по времени соотношения (1), найдем проекции ускорения W центра масс С на оси подвижной системы координат Сх2Ж3:

We2 = х cos <р — ü — Ьф + (и — а)ф2, We3 = —¿sin <р — (и — а)ф — 2 йф — Ьф2. (2)

Здесь ek — орт оси Схк-

Обозначим расстояние АР через s, 0 ^ s ^ и, и найдем длину отрезка РР', обозначив его через z:

РР' = z = Н — (и — s) sin (p.

Предположим, что при деформациях снега перемещения всех его частиц происходят только в зоне контакта тела со снегом и параллельны оси ОХ3. Деформация столба снега равна е = (z — Н)Н~1 = (s — и) sin (рН~1.

Радиус-вектор и скорость точки Р, принадлежащей пластинке и соприкасающейся со снегом, имеют вид

RР = [х — (и — s) COS Lp\E¡2 — {и — s) sin (£>Ез,

Vp = [x — ÜCOS <p + (u — 5)9? sin — [üsiny? + (u — s)(^cos у]Ез,

где Ek — орт оси OXk, феi — угловая скорость тела (см. рисунок). Согласно теореме сложения скоростей, для верхней точки столба снега имеем соотношение г>аЕз = Vp + fíe2) умножая которое скалярно на ез, найдем абсолютную скорость верхнего конца столба снега, а затем и скорость верхней точки столба снега относительно пластинки:

1 ¿sin LD + (и — з)ф X (и — з)ф sin Ш , .

Va = Vpe3cos"V =----i-— < 0, vr = ü--i-—-— < 0. (3)

cos ip COS ip

Воспользуемся описанием свойств снежного покрова из публикаций [1-3]. В статье [1] приведены результаты экспериментов по внедрению в снег прямоугольного штампа и различные формулы, связывающие два параметра — "нагрузка/осадка". Авторы настоящей работы отдают предпочтение зависимости, предложенной В.А. Малыгиным [4]:

h = q/bo+Qhmlx)- (4)

Здесь h, м — величина вертикальной деформации снега (h > 0); q, Па >0 — давление на снег со стороны штампа; 70, Па • м-1 — коэффициент начальной жесткости снега; hmax, м > 0 — коэффициент, характеризующий деформацию снега при давлениях, соответствующих максимальному уплотнению. Используя П-теорему [5], представим соотношение (4) в виде

^) = ^ff^y(l-sgné)<0, (5)

где

h л/п

е = -— < 0, р(е) = -q, ц = — > 0, г] = -- > 1,

П рд /гтах

р, кг-м-3 — объемная плотность снега, д = 9,8 м-с-2 — ускорение свободного падения, Н, м — толщина снежного покрова. Деформация снежного столба е > —г?-1. Пусть при деформациях снежного столба происходит рассеяние энергии за счет внутренних диссипативных сил. В случае линейных вязких сил формула (5) заменяется соотношением

'[){£,£) = рдН[—--h x¿ ) <0, е<0, é<0,

где X, с — коэффициент вязкости снега, ё = vaH~l. Если ё > 0, то давление '[){£, ё) = 0, что характеризует снег как идеальную нелинейную упругопластическую среду. В используемой модели

снежного столба предполагается, что все волновые процессы в столбе снега затухли. В работе [1] приведена аппроксимация зависимости (4) полиномом четвертого порядка.

На элементарную площадку в точке Р контакта пластинки со снегом действуют нормальное Рп = Рпез и касательное а = ае2 напряжения (см. рисунок), а их сумма в проекции на ось ОХз равна —р(е, ё) eos íp, т.е.

рп cos <р + a sin ср = — р(е, ё) cos (р. (6)

Поле касательных напряжений определим согласно двухпараметрическому закону трения:

, тт тт Vr п\х — ÜCOSU) + (и — s)t¿> sin о- = fPn tanh U, U = n-J== =--v--ypfcosy --^

Безразмерный коэффициент / аналогичен коэффициенту трения в законе сухого трения, а безразмерный коэффициент п определяет близость в норме Li[0, V] функций tanh(nV) и sgnF, а именно справедлива оценка

у

/п fiq4i

[l-tanh(nV)]dV

о

если V > 5. В формуле (7) скорость vr есть относительная скорость скольжения конца столба снега по пластинке в точке Р. Постоянные коэффициенты /, п находятся из анализа экспериментальных данных. Поле касательных напряжений 7) определено при любых значениях скорости vr. В результате из системы уравнений (6), (7) получим

р(М) . n fp(e, ё) tanh U

Рп = --, , -:—ГТ7 > и> а = --

1 + / tan Lp tanh U 1 + / tan Lp tanh U

Главный вектор F¡ и момент M\ относительно центра масс поля нормальных и касательных напряжений, действующих на тело со стороны снега, определяются формулами

и и

Fi = 1 J(pne3 + ае2) ds, Mi = l J(pn(s - a) + ab) ds. o o

При перемещении пластинки вдоль оси ОХ2 очередной столбик снега входит в контакт с ней. Этот процесс моделируется "мягким" ударом и характеризуется силой Q, возникающей на передней кромке зоны контакта в точке К. Количество движения, которое сообщается столбу снега по его оси, примем равным

AmZ/2 = QAt, Am = pHlxAt, Z = -xtanip < 0. (8)

В соотношении (8) принято линейное распределение скоростей в столбе снега, вся масса столба сосредоточена в его центре и2/2- скорость центра масс столба снега согласно первому соотношению (3), в котором следует положить s = и. Сила, действующая на столб снега в результате удара, имеет вид

РЫ -2

Q =--— х tant£>.

Воздействие этой силы на пластинку представляется формулой Q = 02е2 + 0зез- Проекция силы Q на ось ОХз равна — Qcosip. Поскольку согласно принятой модели трения (7) величины Q2, Оз связаны соотношением Q2 = f tanhUQs и справедливо равенство Q2 sin у? + Qscosip = —Qcostp, то компонента ударной силы Q3 на правой границе зоны контакта равна

pHlx2 tan Lp

Q з =

2(1 + II)'

Момент относительно центра масс С, характеризующий "мягкий" удар по телу в правой граничной точке зоны контакта, равен

Уравнения движения тела получим из теоремы об изменении количества движения его центра масс и теоремы об изменении момента количеств движения относительно центра масс:

и

mWe2 = IJ о ds + Q2 + F cos tp — N sin <p, о

} (9)

mWes = I / pn ds + Q3 — F sin ip — N cos ip, 0

Jtp = Mi + M2 + Mo.

Здесь 3 — момент инерции тела относительно оси Схi; F~E2, — N'Es — компоненты внешних сил, приложенных к телу в проекциях на неподвижные оси ОХ2, ОХ3 соответственно; Mo — момент внешних сил, действующих на тело относительно оси Сх\. Вычисление интегралов в правых частях уравнений (9) приводит к громоздким выражениям.

Упростим правые части уравнений (9). Предположим, что функция и(х,ф,<р,и, s), определяемая формулой (7), в изучаемом диапазоне скоростей vr принимает достаточно большие отрицательные значения. В этом случае положим tanh U = — 1. Фактически это означает, что в зоне контакта пластинки со снегом имеет место закон сухого трения и направление скорости проскальзывания не изменяется в процессе движения. Предположим, что во время движения выполняется неравенство r]£ <С 1, и воспользуемся аппроксимацией

£ 9

= е - г/е.

1 +T¡£

В результате уравнения (9) с учетом соотношений (2) примут вид

m[xcosp — ü — Ьф + (и — а)ф2] = — /Ф^ж, ф, й, и, <р) + F cos <р — N s'mp,

т[х sin ср + (и — а)ф + 2йф + Ьф2] = — ф, й, и, <р) + Fsm<p + N cos <р, (10)

Зф = (и - bf - а)Ч>1(х,ф,й,и,(р) - Ф2(.х,ф,й,и,(р) + М0,

где

т , . pglau2 sin (р

Ф1 (х,<р,и,и,<р) = --—-

1 — / tan ip

рд1ци3 sin cp

Ф 2(х,ф,й,и,<р) =

(1 - / tan у?)

1 T]U sin ip

2 + ЗЯ

1 щ sin ip

3 + 4 Я

pHlx2 tan íp хрд1и(2% sin V + иФ) 2(1 —/tan2(1 — /tan ip) eos <p ' Xpglu2(3x sin ip + иф)

+

6(1 — f tan ip) eos ip

2. Стационарные движения тела. Рассматриваемая задача может служить моделью при описании движения человека на сноуборде или скольжения плоского днища автомобиля по глубокому снегу. В первом случае примем в уравнениях (10) момент Mq = 0, а величины F, N постоянными. Будем считать F > 0, N > 0, что соответствует спуску спортсмена на сноуборде с горы с постоянным уклоном. Стационарное движение характеризуется постоянными значениями переменных х, и ш р. В этом случае левые части уравнений (10) следует принять равными нулю и найти корни полученной системы уравнений, которым будут соответствовать стационарные движения.

Найдем параметры стационарных движений, приравнивая левые части уравнений в системе (10) к нулю и полагая в правых частях х = V, й = 0, ф = 0. Из первых двух уравнений полученной системы найдем

F - fN F

tan <р = N + j-F > 0 <р = arctg — - arctg /, (11)

а второе и третье уравнения системы (10) запишем в виде

4>i(V,0,0,u,p) = Fsinp + Ncosp,

(а + bf — и)(F sin<p + N eos <p) = Ф2(^,0,0,u,ip). ^

Коэффициент x, характеризующий внутреннее вязкое трение при деформациях снега, примем равным нулю, так как в литературе не удалось найти соответствующие оценки. В этом случае второе

уравнение системы (12) при подстановке в него угла (р, определяемого уравнением (11), представляется полиномом четвертого порядка относительно переменной и и имеет один положительный корень. Подставляя этот корень в первое уравнение системы (12), найдем скорость V.

Получим численно решение системы уравнений (11), (12), приняв следующие значения параметров [1]: Н = 0,41 м, р = 227 кг-м-3, рдНц, = 20 000 Па, т] = 2, % = 0. Если спортсмен весит 800 Н и скользит с горы под углом 30°, то Р = 400 Н, N = 693 Н. Параметры сноуборда примем равными

I = 0,25 м, а = 0,6 м, 6 = 0,9 м, т = 80 кг, Л = 21,6 кг • м2.

В результате найдем значения переменных V, <р, и в стационарном режиме в зависимости от коэффициента сухого трения (см. таблицу).

С ростом коэффициента сухого трения величина зоны контакта (переменная и) увеличивается, а угол атаки пластинки <р уменьшается. Скорость скольжения максимальна при коэффициенте трения / = 0,25.

Численное моделирование уравнений (10) свидетельствует о неустойчивости найденных стационарных движений.

Рассмотрим задачу об определении сил и момента, которые необходимо приложить к телу, если тело совершает заданное стационарное движение. Эта задача актуальна при определении сопротивления движению вездехода по снегу, когда его передняя часть прямоугольной формы взаимодействует со снежным покровом. Контакт остальной части днища вездехода со снегом отсутствует. Пусть величины V = х, <р, и постоянны. Из уравнений (10) найдем

^ = (/ + 1&шр)Ч>1(У, 0, 0, и, (р) со$<р,

N = (1 - / Ьагкр)Ч'1(У, 0, 0, и, <р) сов (р, (13)

М0 = (а + Ь/-и)*!^, 0,0, и, <р) + Ч>2(У,0,0,и,р).

Примем следующие значения параметров:

/ = 0,25, а = 0,15 м, 6 = 0, I = 2 и, и = 0,3 м,

V = 5 м • с-1, <р = 0,5 рад, рд1ц, = 100 000 кг • м_1с~2.

В результате получим Р = 3590 Н, N = 3900 Н, Мо = —8,75 Н • м. Если изменить параметры и и а, положив и = 0,2 м, а = 0,1 м, то силы и момент окажутся равными Р = 1780 Н, N = 1930 Н, Мо = —107,5 Н • м. Момент сил Мо вычисляется относительно центра области контакта передней части вездехода со снегом. Найденные выше значения сил и моментов можно охарактеризовать как "бульдозерный" эффект при движении транспортного средства по снегу, когда его передняя часть взаимодействует со снежным покровом.

Рассмотрим контакт днища вездехода со снегом, полагая

/ = 0,25, а = 2 м, 6 = 0, I = 2 м, и = 4 м,

V = 5 м • с-1, <р = 0,02 рад, рд1ц = 100 000 кг • м_1с~2.

В этом случае из уравнений (13) найдем значения сил и момент относительно середины днища:

^ = 1230 Н, N = 4570 Н, М0 = -3020 Н • м.

Анализируя полученные результаты, можно заключить, что следует избегать взаимодействия днища со снегом, поскольку в противном случае частью веса вездехода будет компенсироваться это взаимодействие, а это в свою очередь уменьшит реакции в зонах контакта колес со снегом и соответственно уменьшит максимальные значения сил и моментов, создаваемых колесами при их качении без проскальзывания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России, уникальный идентификатор проекта НК.\!КК1Г)771 1Х1НЖ1).

/ V, м • с"1 и, м V, рад

0,15 3,56 0,448 0,374

0,25 4,96 0,511 0,278

0,35 3,25 0,550 0,187

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барахтанов Л.В., Блохин А.Н., Денисенко Е.Г., Носков A.M. Способ определения силы сопротивления движению по снегу колесного транспортного средства // Актуальные вопросы машиностроения. 2013. 2. 179-185.

2. Барахтанов Л.В., Ершов В.Н., Куляшов А.П., Рукавишников C.B. Снегоходные машины. Горький: Волго-Вятское изд-во, 1986.

3. Агейкин Я.С. Проходимость автомобилей. М.: Машиностроение, 1981.

4. Малыгин В. А. Исследование процесса деформации снега под воздействием гусеничного движителя и обоснование выбора размеров опорной поверхности гусениц снегоходных машин: Дисс. ... канд. техн. наук: 05.05.03. Горький, 1971.

5. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1957.

Поступила в редакцию 04.06.2016

УДК 539.3

ПОРИСТАЯ СРЕДА, НАСЫЩЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ

А. В. Звягин1, К. П. Гурьев2

Рассматривается задача о движении сосредоточенной нагрузки в дозвуковом интервале скоростей вдоль границы пористой среды, насыщенной жидкостью. Найдено аналитическое решение и показано, что существует критическая скорость, которая равна скорости поверхностных волн типа Рэлея в пористо-упругой среде и при переходе через которую меняются как характер решения, так и форма свободной поверхности. Проведен анализ вида свободной поверхности при различных скоростях движения.

Ключевые слова: двухкомпонентная среда, пористая среда с жидкостью, подвижная нагрузка, поверхностные волны, дозвуковое движение.

The problem of motion of a point load along the surface of a fluid-saturated porous medium is studied for a subsonic range of speeds. An analytical solution is found. It is shown that there exists a critical speed equal to the speed of the Rayleigh-type surface waves in a porous elastic medium. If this critical speed is exceeded, then the behavior of the solution and the free surface shape are changed. The free surface shape is analyzed at different speeds.

Key words: two-component medium, liquid-saturated porous medium, moving load, surface waves, subsonic motion.

Задача о действии подвижной сосредоточенной нагрузки имеет большое прикладное значение, поскольку фактически определяет фундаментальное решение, базовое для целого класса контактных динамических задач. Впервые задача о воздействии сосредоточенной нагрузки, приложенной к границе однородной изотропной упругой полуплоскости, была рассмотрена в работе [1]. В работе [2] получены выражения для смещения во всей полуплоскости. В монографии [3] впервые решена задача о движении точечной нагрузки с постоянной дозвуковой скоростью вдоль границы однородной упругой полуплоскости методом интегральных преобразований. Математическое моделирование многокомпонентных сред начало проводиться в начале XX в. при изучении процесса консолидации грунтов. В середине XX в. М. Био развивал теорию пористых сред, насыщенных вязкой жидкостью. Модель Био [4] наиболее часто используется в задачах фильтрации. В работе [5] на основе модели Био получено решение в замкнутой форме для изображений в частотной области в задаче

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvyagin.aleksandr2012Qyandex.ru.

2 Гурьев Константин Павлович — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kostyagurj evQgmail .com.