CC BY
72
УДК 621.3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ЦИФРОВЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
К.Н. Бирюков, В.В. Гундарев, О.В. Ланкин, А.А. Малышев, В.В. Назаров, К.Ю. Рюмшин
Рассматриваются особенности решения систем линейных уравнений при техническом анализе кодовых
структур
Ключевые слова: цифровая последовательность, код
Общие сведения о решении системы линейных уравнений при техническом анализе сигналов
При решении задач технического анализа цифровых последовательностей систем связи и передачи данных часто возникает необходимость решения системы линейных уравнений.
Множество всех кодовых слов линейных кодов может быть получено с помощью любых линейно независимых кодовых слов
д. n> > У2<
, V, на основе выражения
&<п>
„=£ал „ •
7=1
где
(Ху - коэффициенты (для двоичных кодов
а 7 є {0,1} )• Если эти кодовые слова записать в
виде строк матрицы размера П X к , то получим порождающую матрицу кода С<П к> :
Уп У12 ^ Уы
У 21 У 22 ^ У 2п
G
< n ,k >
У к 1 Ук 2 У кп
При представлении кода в систематическом виде порождающая матрица записывается следующем образом:
Бирюков Константин Николаевич - ВГТУ, соискатель, тел. 8 (903) 4538773
Гундарев Владимир Валерьевич - ВИПС ФСО РФ, соискатель, тел. 8 (903)8523328
Ланкин Олег Викторович - ВИПС ФСО РФ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8 (910) 2406760 Малышев Анатолий Алексеевич - ВИПС ФСО РФ, соискатель, тел. 8 (916) 2048049
Назаров Владимир Васильевич - ВИПС ФСО РФ, соискатель, E-mail: [email protected] Рюмшин Константин Юрьевич - ВИПС ФСО РФ канд. техн. наук, тел. 8 (910) 2612896
Gc =
1 0 0 1
0 0
00 gїї 00 g 21
01 gk ,
12
22
5 1 r
* 2r
В этом случае правая часть матрицы содержит коэффициенты уравнений проверки на четность:
Ук+1 = ¿8^- , г = 1(1)г >
з=1
которые в отсутствие ошибок при приеме выполняются для всех кодовых слов данного кода.
Поскольку код однозначно определяется своей порождающей матрицей или
коэффициентами 8 у уравнений проверки на
четность, то для его идентификации достаточно определить значения этих коэффициентов
8 з, 3 = 1(1) к:
У11 х 811 + У12 х 812 + к + У1к X 81к = У1к+1
У21 х 811 + У22 х 812 + к + У2к х 81к = У2к+1
У»1 х 811 + Ут 2 х 812 + к + Утк х 81к = Утк+1
Аналогично можно составить еще (г — 1)
систему линейных уравнений относительно
коэффициентов 8 у , 3 = I(I)к Л = 2(1 )г .
Отметим, что все системы содержат одинаковые коэффициенты неизвестных и отличаются только столбцом свободных членов.
Система имеет единственное решение [1] в том случае, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных
в к линейно независимых уравнениях, отличен от нуля:
У11 У12 к У 1к
У 21 У 2 ••• У 2 к
D =
Ф 0
У к 1 У к 2 к У кк Тогда решение системы может быть найдено по формулам Крамера:
8з =
где
В. -
В±
В
3 = 1(1) к
определитель, полученный из
В
заменой
3 -го столбца столбцом свободных членов.
На практике формулы Крамера используются редко ввиду быстрого роста с увеличением к сложности вычисления значений соответствующих определителей. Значительно чаще используются разнообразные модификации метода Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Метод Гаусса подробно описан в литературе, и суть его заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для того, чтобы решить систему уравнений необходимо выписать расширенную матрицу, включающую помимо коэффициентов при неизвестных столбец свободных членов. Затем над строками этой матрицы произвести элементарные
преобразования:
— изменения порядка строк, что соответствует изменению порядка следования уравнений;
— умножение строки на любые отличные от нуля числа и прибавление к любой строке любой другой ее строки, умноженной на любое число. С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной.
Поскольку все Г систем линейных уравнений отличаются только столбцами свободных членов, они могут решаться одновременно, для чего в расширенную матрицу включают сразу все столбцы свободных членов уравнений.
Процедура решения разбивается на два этапа, обычно называемые прямым и обратным ходом решения СЛУ.
Вычислительные формулы для решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеют следующий вид. Прямой ход:
у. = 3 = я(1 )п,\? =1( 1 )к,
Уцц
У у = Уз — Узз х Уи’ г я +1( 1)к- 3 = я(1 )п
Обратный ход реализуется в соответствии с выражением
8.. = у.. — у . х у. , г = я + 1(1)к ,
о 13 -/ гу -/ я] -/ гя х '
3 =я(1) п.
Чтобы производить вычисления в соответствии с приведенными выражениями
необходимо, чтобы все ведущие элементы Уяя ,
я = 1(1)к , были отличны от нуля. Для того,
чтобы избежать деления на нуль, обычно реализуют алгоритм решения СЛУ по методу Гаусса с выбором ненулевого ведущего элемента по столбцу (иногда по всей матрице в целом). При этом часто для удобства вычислений делают перестановку уравнений.
В случае решения СЛУ в двоичном поле вБ(2) отпадает необходимость в операциях деления и умножения, а все преобразования производятся только путем сложения строк расширенной матрицы.
Пример. По множеству из 5 кодовых слов систематического {101 1 100,1 101010,01 1 1001,010001 1,1001001}
определить коэффициенты уравнения проверки на четность.
Составим расширенную матрицу СЛУ из кодовых слов:
У =
1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
Решим СЛУ методом Гаусса.
1. Прямой ход а) складываем с первой строкой вторую и пятую, содержащие единицы в первой позиции:
" 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
' 1 0 1 1 1 0 0'
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 1 1 1 0 0 1 ;
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
б) складываем со второй строкой т
четвертую:
1 0 1 1 1 0 0'
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 0 0 1 1 1 1 ,
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
' 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
в) меняем местами третью и четвер
затем складываем с третьей строкой
' 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0 1
' 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
У = 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
Появление нулевой строки
свидетельствует о том, из пяти уравнений в СЛУ только четыре линейно независимы, как и должно было быть для кода (7,4), имеющего ровно 4 независимых информационных символа. В дальнейшем все преобразования будем производить только с линейно независимыми
строками матрицы У.
2. Обратный ход:
а) складываем с четвертой строкой первую,
содержащую единицу на четвертой позиции:
У =
б) складываем с третьей строкой вторую и
первую:
1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
У =
1 0 1 0 0 1 1" У
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
У =
Полученная после преобразований матрица У соответствует порождающей матрице систематического кода. Отсюда уравнения проверки на четность имеют вид:
У1 + Уз + У4 + У5 = 0
У1 + У 2 + У 4 + У 6 = ° ,
У 2 + У 3 + У 4 + У 7 = ° .
Если в строке матрицы содержится не одно, а V кодовых слов, то, соответственно после преобразования методом Гаусса матрица будет содержать V X к линейно независимых строк, причем независимые информационные символы будут следовать периодически на позициях от
1 X П + 1 до 1 X П + к , где 1 = 0( 1 )v - 1.
Это дает возможность по результатам преобразования определить характеристики кодов не только с длиной, равной длине строки матрицы, но и с длинами кодовых слов ей кратными. Такой прием часто используют при обработке сверточных кодов, имеющих сравнительно небольшие значения П , и, соответственно, не требующих большого увеличения размеров матрицы преобразования, связанного с чрезмерным ростом объема вычислений.
Пример. По кодовой последовательности 0111111010000111001101110000 сверточного кода с относительной скоростью
кодирования к 1 заполним матрицу У
кодирования л = — = — заполним матрицу У
п 2
фрагментами кодовой последовательности длиной в 10 символов, выбирая эти фрагменты через каждые П символов:
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0
После преобразования методом Гаусса получаем:
Y =
Из результата преобразования видно, что шестой символ линейно зависит от пяти предыдущих, т. е. уравнение проверки на четность для данного кода имеет вид:
У + У 2 + Уз + У5 + Уб = О-
Повторение одной линейно независимой строки с периодом 2 свидетельствует о том, что для данного кода к = 1, а П = 2.
Длина линейной зависимости для сверточных кодов превышает П , так как проверочный символ формируется с помощью не только текущего, но и нескольких предыдущих символов. Длина линейной зависимости для сверточного кода называется длиной кодового
ограничения NА = Ь X П, где Ь - длина
регистра кодера, которая определяет количество информационных символов, участвующих в формировании проверочного.
Таким образом, в процессе технического анализа сверточных кодов можно определить такие его параметры, как Ь, П и к .
Выявленные особенности процесса решения системы линейных уравнений
Для того, чтобы система линейных уравнений была определенной, т. е. имела единственное решение, должны выполняться следующие условия: 1) т > к, 2) к из т уравнений должны быть линейно независимы.
Вероятность того, что т = к произвольных кодовых слов являются независимыми определяется выражением
р. = п
График зависимости вероятности линейной независимости строк в матрице СЛУ размерности П X П от П приведен на рис. 1.
Из графика представленного на рис. 1 можно однозначно заключить, что с ростом размерности матрицы величина функции вероятности линейной независимости кодовых слов быстро стремится к величине 0.28879 . Утверждение.
Последовательность Р является
П
убывающей ограниченной последовательностью 0 << РП < 0.5, при этом каждый член последовательности можно определить как Р..л = РП X ЛП+1, при этом РП > 0 для любого
П+1
n е N,
К+1 =
где
Pn =П
2г - 1
Л
> n+1
где
следовательно Pn+. < Pn для любого П
n+1 n
установлено,
0 <К < 1, N.
что
Расчетами
0.288 < P < 0.5.
Таким образом, вероятность нахождения единственного решения произвольной СЛУ не будет превышать
Pn = 11тП ' 2 ' - 1
0.2 8 8 7 9
Стандартная оценка методов решения системы линейных уравнений
Широкое распространение различных модификаций метода Гаусса в качестве алгебраического метода технического анализа линейных кодов обусловлено тем, что его реализация требует приемлемого качества операций для большинства используемых на практике кодов. Описанный алгоритм требует проведения приблизительно
(0.7п3 + 1.5п2 - 0.5п) операций. При этом
2
требуемый объем памяти пропорционален П , для решения СЛУ по формулам Крамера
требуется произвести 2
операций.
[(n2 - 1) X n!+ n]
l =1
i = 1
l =1
В таблице приведено число арифметических действий при решении СЛУ по формулам Крамера и методом Гаусса.
Объём арифметических действий
п формулы Крамера метод Гауса
3 51 31
4 364 67
5 2885 123
10 3.6х108 8х102
50 6.7х1067 4.5х104
2048 7.2х105900 5.6х109
Из таблицы видно, что даже для часто используемых кодов Рида-Соломона с длиной кодового слова в 2040 двоичных символов необходимый объем вычислений с помощью современных ЭВМ может быть выполнен за приемлемое время, а требуемая память ЭВМ не превышает 4 Мбайт.
Существенным недостатком
алгебраического метода является его чувствительность к ошибкам в канале связи. Поскольку все комбинации ошибок кратности
меньшей dm■^a не являются кодовыми словами,
то наличие ошибочных символов в анализируемых кодовых словах приведет к появлению дополнительных линейно
независимых строк матрицы. Это приведет к тому, что даже единичный ошибочный символ делает невозможным определение истинной
структуры кода. Если матрица Y содержит П2 символов кода, то все они должны быть приняты безошибочно. Вероятность безошибочного
п2
приема Рб = (1 — р)" быстро убывает с ростом П даже при сравнительно малых р . Так
при Рб > 0.9 для кода БЧХ(31,26) допустимая вероятность ошибки в канале связи не больше, чем р < 10 4, а для кода РС(255,239) в поле вР(28) с длиной кодового слова П = 2040 двоичных символов — р ^ 2.5 X
10-8.
В том случае если СЛУ не сходится предлагается не набирать новые данные для составления новой СЛУ, а после приведения матрицы к ступенчатому виду заменить последнюю (нулевую) строку новой строкой данных и произвести вычисления заново.
Проведённый анализ показал, что количество необходимых строк, которое нужно дописать, не зависит от размерности матрицы. Графики, иллюстрирующие количество дописанных строк для матриц различной размерности, представлены на рис. 2. На
графиках, представленных на рис. 2, введены следующие обозначения: 8 - сколько раз
применялась процедура добавления строки, 8 -количество матриц, потребовавших добавления
£ строк для получения к линейно независимых строк матрицы, при 1000 испытаний.__________
матрица 4х4
матрица 5х5
матрица 6х6
матрица 8х8
матрица 10х10
_______S________
м
атрица 20х20
матрица 30х30
S
S
S 4,0 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
1 т
матрица 50х50
Рис. 2
Вывод
Эффективность и даже
работоспособность существующих методов технического анализа базирующихся на решении СЛУ недостаточны. Это приводит к появлению различных модификаций и изменений в методах решения, которые по сути своей в незначительной степени улучшают характеристики данных методов, в критической степени зависящих как от характера анализируемых кодовых
последовательностей, так и от возникающих вследствие наличия шумов в канале связи ошибок при приеме кодовых символов.
Литература
1. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрица и вычисления. - М.: Наука, 1984. - 318 с.
Воронежский институт правительственной связи (филиал) Академии Федеральной службы охраны
Российской Федерации
Воронежский государственный технический университет
SYSTEMS OF THE STREAK EQUATIONS AT THE TECHNICAL ANALYSIS OF DIGIT
CONSISTENCIES
K.N. Birjukov, V.V. Gundarev, O.V. Lankin, A.A. Malyashev, V.V. Nazarov, K.Ju. Rjumshin
Habits of a resolving of systems of the streak equations are viewed at the technical analysis of code structures
Key words: digit consistency, code
