Системы линейных неравенств для максимально негамильтоновых графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

1, если х, +х2 -1,5 < 1,5 ;

О, если 1,5 < х, + х2 -1,5 < 0;

х, + х, -1,5 > 1,5(х0 -1), х, + х, -1,5 < 1,5 • х0;

-1,5 < х[ + х2 -1,5 - 1,5х0 < 0.

Окончательно

О < + х2 - 1,5х0 < 1.

Этот результат легко обобщается на общий случай

х0 = х1 л х2 л... л хп.

Условия вида (11) имеют в этом случае вид

0 < х, + хг +... + х - (п - 0,5)х0 < и -1.

Завершая главу, заметим, что все рассуждения, связанные с погружением множества решений системы булевых уравнений в полиэдр, могут быть распространены на случай, когда используются не все строки таблиц истинности. Тогда помимо решений системы булевых уравнений построенный по вышеизложенной схеме полиэдр будет, вообще говоря, содержать и другие (ОД)-векторы.

Разумеется, задача определения (0,1)-точек полиэдра является весьма сложной. Однако в том случае, когда полиэдр является целочисленным многогранником, очевидно, возможно свести эту задачу к определению вершин этого многогранника на основе использования симплекс-метода. Оценки сложности такого подхода содержатся в работе [5].

Таким образом, при изучении чисто дискретных структур используются методы

классического анализа и его приложений, что облегчает изучение предмета и дает лектору возможность не только изложить необходимый материал, но и познакомить слушателей с вопросами прикладного характера.

Литература

1. Кохно А.П., Романенко Н.Д. Использование элементов дискретной математики в математическом образовании студентов экономических вузов // Тезисы докладов международной конференции «Проблемы теории и методики преподавания математики, физики и информатики». -Минск, 1998.-С. 17-18.

2. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. - М.: Аякс, 1999.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 9-й кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемо-зина, 1999.

4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. - М.: Наука. 1969.

5. Рыбников К.К. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в выпуклый многогранник // Науч. тр. / Моск. гос. ун-т. леса. - 1995. - Вып. 269. - С. 88-91.

6. Головкин Б. А. О некоторых линейных

ограничениях с булевыми переменными // Экономика и математические методы. - 1971. -Т. VII, Вып. 4.-С. 43-48.

7. Рыбников К.К. Элементы численного дискретного анализа в подготовке преподавателей математики. Связь непрерывного и дискретного //Материалы Всероссийской научной конференции "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика. Ч. II. - Саранск: МГПИ, 2002. - С. 132— 135.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ МАКСИМАЛЬНО НЕГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФОВ

П.В. РОЛДУГИН, сотрудник объединения «ТВП», Москва

В этой работе мы рассматриваем только непомеченные конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Термины, относящиеся к теории графов, можно найти в [1]. Напомним, что гамильтоновым графом называется граф, в котором существует простой цикл, проходящий по всем верши-

нам графа, - гамильтонов цикл. Графы, в которых такой цикл отсутствует, называются негамильтоновыми. Представление о непосредственных применениях гамильтоновых цепей дает следующая ситуация: имеется станок и п заданий, каждое из которых она способна выполнить после соответствующей на-

стройки. При этом необходимо затратить Ц единиц времени для того, чтобы после выполнения /-го задания выполнить ;-е. В предположении, что ц = Г;,, требуется найти последовательность выполнения заданий, при которой время каждой переналадки не превосходит величины Г. Если построить граф С, у которого множество вершин есть {1, 2, ..., п} и множество ребер есть {(/, у): Ц < ?}> то наша задача сведется к отысканию гамильтоновой цепи в этом графе.

Рассмотрим такую производственную схему, в которой начальное и конечное задания могут изменяться в зависимости от ситуации. То есть любые две несмежные вершины в С должны соединяться гамильтоновой цепью. Этим свойством обладают максимально негамильтоновы графы.

Определение. Граф С будем называть максимально негамильтоновым графом (сокращенно МНГ графом), если выполнены два условия:

1) граф С негамильтонов;

2) при добавлении хотя бы одного ребра, инцидентного любой паре несмежных вершин, граф С становится гамильтоновым.

Результаты, относящиеся к таким графам, можно найти, например, в [2], [3] и [4].

В утверждении 1 настоящей работы показано, что изучение МНГ графов можно свести к изучению так называемых упрощенных МНГ графов. В упрощенном графе каждая максимальная клика содержит не более одной собственной вершины, то есть вершины, принадлежащей этой максимальной клике и не лежащей в других максимальных кликах.

Пусть Ки К - такая совокупность максимальных клик графа С, что каждое ребро графа принадлежит одной из этих клик (также в этом случае будем говорить, что объединение указанных клик дает весь граф). Обозначим Л = {1, 2, ..., г}. Пусть /-подмножество /?. Обозначим щ - количество вершин, лежащих в каждой из максимальных клик К\ для /е/ и не принадлежащих максимальным кликам с номерами из К \ I. Доказывается (утверждение 3), что набор щ,

задаваемый упрощенным МНГ графом с г максимальными кликами, обязан являться решением некоторой системы линейных неравенств (МНГ-системы), задаваемой

значением г.

Кроме того, получены верхние оценки порядков и числа (утверждение 4 и следствие к нему) упрощенных МНГ графов, которые могут быть представлены в виде объединения г своих максимальных клик; в частности, получаем, что число таких графов конечно.

1. Упрощенные МНГ графы

Собственной вершиной максимальной клики К графа й назовем вершину, принадлежащую клике К и не принадлежащую другим максимальным кликам графа С.

Утверждение 1. Пусть К - максимальная клика графа С, имеющая собственную вершину. Добавим в граф й вершину а и ребра, соединяющие вершину а и каждую из вершин клики К. Полученный такой процедурой граф Н является МНГ графом тогда и только тогда, когда С - МНГ граф.

Введем определение: граф, в котором каждая максимальная клика содержит не более одной собственной вершины, назовем упрощенным графом. Из утверждения 1 следует, что любой МНГ граф может быть получен последовательным добавлением собственных вершин в максимальные клики некоторого упрощенного МНГ графа. То есть множество всех МНГ графов разбивается на непересекающиеся семейства, каждое из которых задается упрощенным МНГ графом. Переход от изучения всех МНГ графов к изучению упрощенных МНГ графов имеет принципиальное значение: например, далее показано, что количество упрощенных МНГ графов с фиксированным числом максимальных клик конечно и получена оценка их числа.

2. Построение МНГ-системы

Пусть К\, ..., Кг- совокупность таких максимальных клик графа С, что каждое ребро графа принадлежит одной из этих

клик. В частности, в качестве К\, ..., Кг можно взять совокупность всех максимальных клик графа С. Обозначим К = {1, 2, ..., г}. Пусть I - подмножество /?. Определим подмножество М/ множества вершин графа С следующим образом:

/ \ Г \

м I -

/€/

Очевидно, что множества М/ и М./ не пересекаются при различных / и У,

исчерпывает все множество вершин графа б и М0 = 0. Далее нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть I - произвольное подмножество в И. Тогда любая вершина а из множества М\ смежна со всеми вершинами максимальных клик К, , /е/, отличными от а, и только с ними.

Обозначим п/ = |М/|, где I - произвольное подмножество в Я. Для МНГ графов множества М/, / с /? содержат относительно небольшое число элементов, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть С - МНГ граф. Тогда, если /1 £ 1г 1\ с Я - цепочка вложенных различных подмножеств /?, причем |Д| 2, то

/=1

Доказательство

/

Пусть \_jMj. = {а,,...,а, } и /,

/=1

Поскольку множества М/ и М/ каются при 1Ф], то

= I,}-

не Пересе-

1=1

/=]

1К

= г и, следовательно,

1) ни одна из вершин Ар и А9 не лежит во множестве {аь аг}, поскольку по предыдущей лемме каждая из а, смежна со всеми вершинами клик Кр и Кч\

2) в й вершины Ьр и Ад соединены гамильтоновой цепью - простой цепью, проходящей по всем остальным вершинам графа, поскольку О - МНГ граф.

Гамильтонова цепь из Ая в А9 не содержит отрезков а, то есть не может иметь вид Л \ а. а; ^ , поскольку иначе в графе в

найдется гамильтонов цикл А /, а, А 1 ,

что противоречит негамильтоновости графа С.

Таким образом, гамильтонова цепь, соединяющая Ар и Ад, обязана иметь вид

Ар а>( /2 7. ...7 а] 7+1 А?, причем цепи Г, ,

/ = 2, г содержат хотя бы по одной вершине. Без ограничения общности считаем, что _//=/,/= 1, г. Тогда гамильтонова цепь из Ар в /гд примет вид 1гр а, г2 а2 ?3... аг /г+1 Аг/.

Обозначим для г =2, г через последнюю вершину в цепи г, . Кроме того, обозначим £>! - последнюю вершину в цепи г, , если эта цепь не пуста, и Ъ\ совпадает с Ар, если цепь г, пуста.

В этих обозначениях гамильтонова цепь выглядит следующим образом: крТ\Ьх а{Т2Ь2 а2Ц ...Тг Ьг аг Тг+Х А?,причем цепи

г , г =1, г+1 могут быть пустыми.

По лемме 1 получаем: {Ьи—, Ьг} с Кк и...и К . Предположим, что найдется такое г е 1, г, что £>, принадлежит клике Тогда в О существует гамильтонов цикл

для доказательства теоремы достаточно показать, что г < 5. Во множестве 1\ найдется пара различных номеров р ид, поскольку по условию теоремы | /]| > 2. Пусть далее Ар - вершина из максимальной клики Кр и А, - вершина из максимальной клики Кф причем Ар несмежна с Ад (такие вершины найдутся, поскольку клика Кр не совпадает с кликой Кч). Из не-смежности вершин Ар и Ад следуют два вывода:

К *I ь, а, '2 - Ь Ь, \ 1~+1 аг Ьг г; ... а,.,

что противоречит негамильтоновости графа О. Следовательно, никакая из вершин Ьи Ьг не лежит в клике Кц.

Теперь предположим, что г>$. Тогда, поскольку все вершины Ь],..., Ьг лежат в кликах АТ. АТ и никакая из этих вершин

не лежит в клике Кф которая является одной из клик Кн,..., Кч, то найдется пара вершин

£>,• и Ьр лежащая в одной клике. Следовательно, и Ь} соединены ребром в графе С. Кроме ТОГО, а;6 М/ И Му, ГД6 7, /€ {/ь..., /(}. Поскольку /1 С /2 с...с /,, то либо 7 с/, либо /с 7. Также выполняется одно из двух неравенств: г <7 или7 < г.

Проведем доказательство для случая, когда г </' и 7 с 7; в остальных случаях доказательство проводится аналогично. По лемме 1 получаем, что если некоторая вершина с, отличная от смежна с то она смежна и с вершиной я,. Следовательно, и первая вершина в цепи , и первая вершина в цепи г;+| смежны с а,. Но тогда возможно указать гамильтонов цикл в графе й:

/г^|анЬ.1А1гI...

.. ... ?«1/1, я^ 1

что противоречит определению МНГ графа. Таким образом, неравенство г > 5 приводит к противоречию.

Теорема 1 доказана.

Приведем в виде следствия один частный случай.

Следствие. Если О - МНГ граф, то для любого 7 с Я, такого, что |7| > 2, выполнено неравенство щ < |7| - 1.

Согласно доказанной теореме для МНГ графа значения щ ограничены сверху при |7| >2. Очевидно также, что щ = 0. Но остается вопрос об ограничении сверху величины П,„ =|А/,„|, » =1,г . Легко видеть, что во

множество M{i)=Ki\[JKj входят только

№

собственные вершины максимальной клики Кь то есть те вершины, которые принадлежат клике К[ и не принадлежат другим максимальным кликам из набора Кг. В

предыдущем параграфе показано, что изучение МНГ графов можно свести к изучению упрощенных МНГ графов. Но для упрощенных графов по определению все пщ< 1, г =

1 ,г. Таким образом, набор щ, 1 с 7?, 1ф0, задаваемый упрощенным МНГ графом, обязан удовлетворять системе линейных неравенств (СЛН), состоящей из трех подсистем: {я, >0,/с7*0; (1)

...^Дстг, \1\>2, *€ 1,г — 1; (2)

{*т<1, /е1,г. (3)

Множеством неизвестных этой системы являются {х/ : I с 7?, 7 Ф 0}. Упростим указанную систему неравенств, перейдя к эквивалентной.

Утверждение 2. Если в СЛН, задаваемой неравенствами (1) и (2), из неравенств (2) оставить только неравенства

1-1

...^7, С 7?, |/.| = г +1,

г = 1, ?, ? £ 1, г -1 (4)

то получим СЛН, эквивалентную исходной.

Таким образом, СЛН, составленная из неравенств( 1), (2), (3), эквивалентна своей подсистеме, состоящей из неравенств (1), (4), (3). Далее эту подсистему станем называть МНГ-системой. Из вышесказанного следует утверждение.

Утверждение 3. Пусть граф С - упрощенный МНГ граф с г максимальными кликами, объединение которых дает граф (7. Набор п\, 7 с /?, 7 Ф 0, задаваемый графом й, является целочисленным решением МНГ-системы, однозначно определяемой значением натурального г > 1.

3. Оценка порядков и числа упрощенных

МНГ графов

Пусть О - упрощенный МНГ граф с г максимальными кликами, объединение которых дает граф й. Напомним, что порядок

графа С равен £ п/ • Рассмотрим линей-

/Е«, 1*0

ную функцию от переменных хи 1 с 7?, 7 Ф 0: £ */

/£Я,/*0

Пусть максимум этой линейной функции, ограниченной на множестве всех решений МНГ-системы, равен С (г). Тогда порядок графа С не превышает С (г). Обо-

значим через Р (г) максимум порядков упрощенных МНГ графов, имеющих ровно г максимальных клик. Ясно, что при любом натуральном г> 1, Р(г) < С(У).

Далее вычислим точное значение величины С(г).

Утверждение 4. Для любого натурального г > 1 верно равенство

г-3

С (г) = 2гЧ +

Доказательство. При фиксированном г множество неизвестных МНГ-системы - это множество {х/.- / С /?, I Ф 0 }. Количество неизвестных равно (2Г - 1). Отметим, что неизвестные, участвующие в неравенствах (2), и неизвестные, участвующие в неравенствах (3}, образуют непересекающиеся множества. Поэтому МНГ-систему можно разделить на две независимые СЛН:

> 0, г е 1, г

х(1( <1, г'е \,г ; (5)

х, > 0, / С К, 1/1 > 2

л

2Х ij+l]<k-[, Dk,ke 2,г.(6)

и

г

Пусть линейная функция

/=1

имеет максимум С\{г) на множестве всех решений СЛН (5); линейная функция

УУ/ имеет максимум С2(г) на множестве

/£Л.|/1>2

решений системы (6). Легко видеть, что С(г) = С[(г) +С2(г). Кроме того, очевидно,

ЧТО С^г) = г.

Остается доказать, что

С2(г) = 2гЧ +

г-3

Обозначим А = {/ с /?: |/| > 2}. Пусть

у = {у/, I Е А} - произвольное целочисленное решение системы (6). Докажем, что тогда существует решение >>(1) = I е А},

г

такое, что при всех / є А: 2< /|<

1

У,

(1) - о, при / е А:

+ 2 < 1/1 < г, У? = У,

и, кроме того, целевая функция для решения

У

(і)

не меньше, чем для у: ^У/ .

ІЄА

ІЄА

Пусть само решение у не годится в качестве у (1) - это означает, что существует /о, г

2 <і0<

-1, которое равно минимально-

му номеру из таких номеров г, что max {у і : |/| = г} > 0. Далее обозначим шах {уі: |/| = г0} = уо > 0;

X ={іе А:\і\ = і0,у, = ;у0};

Y = {j є А:|/| = г0 +1, З/є X, такое, что I с j}. Положим:

у, -1, если І є X:

у'і = У/ +1> если Iе Y'

у,, если IeA\(XuY). Очевидно, что у = {у': І є А} - новое

решение (6). По принципу Дирихле |^|-|^|, поэтому целевая функция для нового решения не уменьшится: . Теперь,

ІєА ІєА

если решение у не годится в качестве j?(l), то применим к у те же самые рассуждения и получим решение у . За конечное число таких шагов, не уменьшая целевой функции, получим искомое решение

Совершенно аналогично от решения у(1) можно перейти к решению у(2), в котором при

всех/е А: 2<|/|<

г 2

-1 yf] =0, при /єА:

+ 1<|/|<г у, = 1, и целевая функция для

решения у(2) не меньше, чем для у (1>. Д ля этого г

рассматривается го:

+1 < г' < г

о

(1)

максималь-

ный номер такой, что шах {у/ ’: |/| =.г0} = }’о > 1, X ={/е А:|/| = г0, у, = ;у0} и

У = {/е А:|/| = г0-1,Э/е X, такое, что I'Э Наконец от решения у (2) можно пе-

реити к решению у

у<’> =

+ 1<|/|<г.

Мы исходили из произвольного решения у и, поскольку на всех изложенных этапах целевая функция не уменьшалась, то для решения у 1 ’ целевая сумма самая большая, то есть ^2 (г). Остается

тить, что

5Х’=2'-' +

ІЄА

г-3

заме-

/єА

Ґ г

Утверждение 4 доказано.

Более простой вид по сравнению с точным значением имеет асимптотическое соотношение для С(г). При г—>ос по формуле Стирлинга имеем

C(r) = 2r -\1~' (1 + о(1))

Полученные результаты позволяют нам оценить сверху число D(r) упрощенных МНГ графов, которые могут быть представлены в виде объединения г своих максимальных клик.

Следствие. Для любого натурального г > 1 верно неравенство

D{r)<

ґС(г) + С(г)

(7)

в частности, при г—*оо

l0g2(D(r))<C(r)-(l + 0(l)).

В заключение отметим, что для любого натурального г > 1 существует упрощенный МНГ граф, представляемый в виде объединения г своих максимальных клик, и не представляемый в виде объединения меньшего, чем г, числа максимальных клик. Этот граф можно задать через значения «/, / С R, R - {l,...,r}: nR - г - 1; п/ = 0 при

2 < |/|< г - 1; пщ = 1 для всех ie 1, г.

Литература

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. -М.:Наука, 1990.

2. Харари Ф. Теория графов: Монография, -М.:Мир, 1973.-С. 86-87.

3. Bondy J.A. Variations on the Hamiltonian theme. Canad. Math. Bull. 14 (1972), № 1, 57-62.

4. Ролдугин П.В. Максимально негамильтоновые графы. В сб.: Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. - М.: ТВП, 2002. - С. 238-239.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ И ПРИМЕНЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ

В.Б. НЕТЫКШО, сотрудник организации «ТВП», Москва

В статье рассматривается метод восстановления неизвестной пороговой функции, а также изучается геометрический подход к оценке апостериорных вероятностей значений входных переменных и весов произвольных пороговых и одного более общего класса булевых функций.

Возможность задания пороговых функций и порождаемых ими систем уравнений [4] с помощью линейных неравенств позволяет привлечь для анализа и решения

таких систем математический аппарат действительных линейных соотношений. Значительное число работ, посвященных данной проблематике, направлено на использование этого аппарата в строго детерминированных целях, например, для проверки совместности и поиска решений систем уравнений, разработки алгоритмов настройки нейросетей [3], описываемых с помощью линейных неравенств и т. д. Вместе с тем, аддитивный характер вхождения перемен-