CC BY
59
УДК 54 : 631
СИСТЕМНЫЙ МЕТОД И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЕМ
© 2009 К. А. Тезик, Е. И. Глушкова
К. А. Тезик - доцент каф. информационных систем e-mail: [email protected]
Е. И. Глушкова - ст. преподаватель каф. информационных систем
Курский институт социального образования, (филиал) РГСУ, г. Курск
В данной статье рассматривается методика решения задачи двухуровневого управления распределением посевных площадей между агроэкосистемами и внесением удобрений в агроэкосистемах. Целью управления является достижение запланированных объемов сельскохозяйственной продукции, достаточно высокой рентабельности производства и сохранения плодородия почвы. Приведен пример разработки математической модели конкретной агроэкосистемы и решены задачи рационального управления ее состоянием.
Ключевые слова: агроэкосистема, математическая модель, оптимальное управление, урожайность, рентабельность, плодородие почвы.
Важнейшей социальной и экономической проблемой является повышение эффективности эксплуатации агроэкосистем в целях обеспечения населения сельскохозяйственной продукцией. При этом необходимо сохранять запасы гумуса в почве, так как уменьшение гумуса неизбежно приведет к снижению биопродуктивности агроэкосистем в последующие годы.
Рассмотрим следующую научно-практическую задачу. Пусть в хозяйстве имеется несколько (n) агроэкосистем в виде севооборотов и монокультур. Различные агроэкосистемы могут частично пересекаться по культурам. Известен общий ресурс площади S, выделенный под все агроэкосистемы.
Поставим вопрос, как совместно управлять количеством вносимых удобрений в агроэкосистемах (первый уровень управления) и распределить посевные площади между агроэкосистемами (второй уровень управления), чтобы добиться максимального объема продукции наиболее важной культуры, по другим культурам получить объемы сельскохозяйственной продукции не ниже заданного уровня и не допустить снижения гумуса в поч -ве.
На практике подобные задачи решаются недостаточно точно. Как правило, по балансовым уравнениям рассчитывают нормы удобрений, необходимые для достижения планируемой урожайности культур. Исходя из данной урожайности, планируют распределение посевных площадей. Основы балансового метода представлены в монографиях [Шатилов 1980; Муха, Пелипец 1988].
Однако известно, что балансовые уравнения имеют зональный характер. Они могут быть эффективно использованы для сопоставления территорий по уровню плодородия почвы. Точность принятия решений по управлению антропогенными факторами земледелия в условиях конкретного производства здесь невысокая.
В научной литературе [Образцов 1990; Доспехов 1985; Державин, Рубанов 1975] предлагается альтернативный подход, основанный на разработке отдельных регрессионных уравнений зависимости урожайности культур от антропогенных факторов земледелия и погодных условий. Но данный метод имеет частный, узконаправленный характер. Он позволяет рассчитать нормы удобрений для достижения достаточно высокой урожайности монокультуры при определенных, например средних, типовых погодных условиях. Но практиков интересует решение задачи достижения устойчивой урожайности всех культур севооборота при различных погодных условиях. При этом необходимо поддерживать положительный баланс гумуса, иначе снижение гумуса отрицательно скажется на урожайности культур в последующие годы.
Существует еще один альтернативный подход решения задачи распределения посевных площадей и ресурсов удобрений с помощью разработки линейной экономико-математической модели. Но данный метод также имеет определенные недостатки. В линейных экономико-математических моделях считается, что урожайность растет при увеличении количества вносимых удобрений по линейной зависимости, а в действительности данные зависимости имеют криволинейный характер и могут быть адекватно описаны, например, полиномами второй степени. Такое допущение значительно снижает точность принимаемых решений. Второй недостаток заключается в статическом характере модели, недостаточно полно учитывающей закон севооборота и влияние удобрений на урожайность культур в последующие годы, то есть последействие агропроцессов.
Учитывая вышеназванные недостатки, предлагаем иной метод решения рассмотренной задачи. Он основан на разработке и совместном использовании регрессионных моделей урожайности культур и изменения содержания гумуса за период ротации, имитационной модели агроэкосистемы, линейной экономико-математической модели, предназначенной для распределения посевных площадей.
В рамках данного метода выделим три основных этапа:
1) разработка моделей агроэкосистем;
2) управление состоянием агроэкосистем;
3) двухуровневое управление состоянием агроэкосистем и распределением посевных площадей.
Первый этап включает следующую последовательность действий.
1) анализ и систематизацию исходных данных многолетних полевых опытов, изучающих влияние минеральных и органических удобрений на урожайность культур севооборота и содержание гумуса в почве;
2) выбор агроклиматического показателя, учитывающего такие важные факторы, как осадки и температуру, влияющие на урожайность культур. Описание агроклиматического показателя законом распределения случайной величины;
3) разработка регрессионных моделей зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от количества вносимых удобрений и погодных условий. Разработка регрессионных моделей зависимости изменения содержания гумуса в почве за период ротации от количества вносимых удобрений;
4) разработка экономико-математических моделей рентабельности производства сельскохозяйственных культур;
5) разработка имитационной модели, включающей последовательность чередования культур севооборота, законы распределения погодных условий, комплекс регрессионных моделей урожайности культур и моделей рентабельности сельскохозяйственного производства.
На вход имитационной модели поступает следующая информация:
1) варианты вносимых удобрений;
2) диапазоны урожайности сельскохозяйственных культур.
В результате прогнозирования на выходе имитационной системы получаем следующие результаты:
1) среднюю за время прогноза урожайность и рентабельность производства сельскохозяйственных культур;
2) процентное соотношение урожаев, попавших в заданный диапазон, выше и ниже заданного диапазона.
Для успешного решения поставленной задачи такие комплексы математических моделей должны быть разработаны для всех п агроэкосистем хозяйства.
Рассмотрим содержание второго этапа, предназначенного для управления состоянием агроэкосистемы.
Методику, реализующую решение данной задачи, можно представить в виде следующей последовательности действий:
1) поиск вариантов вносимых минеральных и органических удобрений, обеспечивающих стабилизацию гумуса в почве. Данная задача решается с помощью регрессионной модели изменения содержания гумуса за период ротации;
2) разработка критерия принятия решений, в комплексе учитывающего требования по максимальной урожайности наиболее важной сельскохозяйственной культуры, устойчивой урожайности других культур выше минимального заданного уровня, достаточно высокой рентабельности сельскохозяйственного производства и сохранению плодородия почвы;
3) прогнозирование поведения агроэкосистемы с помощью имитационной модели при вариантах вносимых удобрений, обеспечивающих стабилизацию гумуса в почве;
4) анализ и систематизация результатов прогнозов. Разработка рекомендаций по рациональному управлению внесением удобрений в агроэкосистеме, обеспечивающих максимальную урожайность наиболее важной сельскохозяйственной культуры и устойчивую урожайность других культур, возделываемых в хозяйстве.
Третий этап, предназначенный для иерархического управления состоянием агроэкосистем и распределения посевных площадей, включает
1) определение площадей Бь Б2, Бк, которые в агроэкосистемах должны быть засеяны определенной культурой. Считаем, что в хозяйстве выращивается к культур. Для определения данных площадей необходимо запланированные объемы продукции ’^, ’^, Wk разделить на соответствующие урожайности сельскохозяйственных культур У1, У2, Ук, взятые из критерия принятия решений;
2) определение площадей агроэкосистем Б/, Б27, Бп7 таким образом, чтобы суммы площадей, занятых определенными культурами в агроэкосистемах были не менее Б1, Б2, Бк. Но в то же время сумма площадей Б/+ Б27+ Бп7 должна быть равной Б - общему ресурсу площади, а площадь Б] наиболее важной культуры должна быть максимальной. Для решения данной оптимизационной задачи можно рекомендовать математический аппарат линейного программирования. Линейная экономико-математическая модель разрабатывается по следующему принципу. Целевая функция отражает максимум посевной площади наиболее важной культуры при ограничениях на посевные площади остальных культур севооборота, обеспечивающие запланированные объемы сельскохозяйственной продукции. Дополнительно возможны ограничения по запасу удобрений, энергетическим, техническим, трудовым ресурсам. Данная линейная экономико-математическая модель разрабатывается только для экономической части задачи и не вносит
искажения в криволинейный характер биологических зависимостей урожайности культур от антропогенных факторов земледелия.
Рассмотренный метод моделирования агроэкосистем в целях рационального внесения минеральных и органических удобрений, а также распределения посевных площадей имеет определенные сложности, связанные с необходимостью ведения долгосрочных полевых опытов, разработки баз данных, комплексов моделей. Но в то же время он имеет преимущества и положительные стороны, заключающиеся в полном и объективном учете последействия агропроцессов, влияния погодных условий на урожайность сельскохозяйственных культур, точности описания биологических зависимостей, комплексном характере эколого-экономических критериев принятия решений.
В качестве примера приведем результаты реализации данного метода для конкретной эгроэкосистемы.
На Льговской опытно-селекционной станции проводились полевые опыты, изучающие влияние вносимых удобрений на урожайность культур севооборота и содержание гумуса в почве. При этом рассматривался следующий десятипольный севооборот: вико-овес, озимая пшеница, сахарная свекла, ячмень, клевер, озимая пшеница, сахарная свекла, горох, озимая рожь, кукуруза. По результатам мониторинга агроэкосистемы созданы базы данных, хранящие информацию об урожайности культур, содержании гумуса в почве на начало ротаций при различных вариантах вносимых удобрений, а также погодных условиях (осадках и температуре).
Для оценки влияния погодных условий на урожайность культур выбран гидротермический коэффициент (ГТК), учитывающий такие важные для управления состоянием агроэкосистемы факторы как сумму осадков и сумму температур выше 10 °С, взятые за период вегетации.
С помощью критерия Неймана-Пирсона доказано, что случайная величина ГТК может быть описана нормальным законом распределения, так как расчетное значение 1 2 при этом оказалось меньшим предельно допустимого теоретического 1 2пр при 5 % уровне значимости. Определены параметры законов распределения ГТК для различных культур (например, для клевера и сахарной свеклы математическое ожидание равно 1,35, среднее квадратическое отклонение равно 0,5).
На основании исходных данных полевых опытов разработаны регрессионные модели зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от количества вносимых минеральных и органических удобрений, а также погодных условий.
Для примера приведем модель урожайности сахарной свеклы, выполненную по активному полнофакторному плану эксперимента 3*3*2:
Уз = 34,32- Х1 + 59,88- Х2 + 23,27- Х3 + 21,52- х^ - 24,82- х^- (1)
- 2,52- Х1- Х2 - 0,03- Х1- Х3 - 12,79- Х2- Х3 + 333,88.
Здесь У3 - урожайность сахарной свеклы (ц/га), х1 - фактор погодных условий, выраженный через гидротермический коэффициент за вегетационные периоды культур, Х2, Х3
- факторы минеральных и органических удобрений (в дозах). Одна доза удобрений означает внесение 22 кг д. в. азота, 15 кг д. в. фосфора, 26 кг д. в. калия, 4 т навоза на 1 га в среднем по культурам.
Для оценки плодородия почвы разработана регрессионная модель зависимости изменения содержания гумуса в почве от количества вносимых удобрений.
АУГ = 0,127 • х2 + 0,396 • х3 - 0,090 • х2 • х3 - 0,622;
(2)
где АУГ - изменение содержания гумуса в почве за период ротации (10 лет).
Для оценки экономической эффективности системы разработаны математические модели рентабельности производства культур севооборота.
Например, для озимой пшеницы модель рентабельности имеет вид:
где Я2 - рентабельность производства озимой пшеницы; С ур2 - цена реализации 1ц урожая; У2,Уб2 - урожайность озимой пшеницы при рассматриваемом варианте внесения удобрений и при варианте абсолютный контроль (без удобрений); С б2 - материально-денежные затраты при варианте абсолютный контроль; С2 - материально-денежные затраты, связанные с приобретением, погрузкой, перевозкой, внесением удобрений; С уб 2 - стоимость уборки 1 ц урожая озимой пшеницы; Судед.м , Суд.ед.р, Судедк - стоимость 1 ц азотных, фосфорных, калийных удобрений; С Шгр.еД.мин - стоимость погрузки 1 ц минеральных удобрений; Сед.пер - цена 1 т/км перевозки; С вн.мин. - стоимость внесения минеральных удобрений на 1 га площади; 8мин - расстояние (в км) от складов минеральных удобрений до полей; Кп, Кр, Кк - процент действующего вещества в используемых азотных, фосфорных, калийных удобрениях.
На основе объединения результатов ранее проведенных исследований разработан алгоритм имитационной модели, описывающий функционирование агроэкосистемы во времени. Он учитывает порядок чередования культур в севообороте, законы распределения случайной величины ГТК, характеризующей погодные условия, а также включает в себя аналитические модели урожайности и рентабельности сельскохозяйственных культур.
В основу разработки имитационного алгоритма положен подход, заключающийся в определении последовательных состояний системы через некоторые интервалы времени А 1;, где А 1=1год.
На вход моделирующего алгоритма поступает следующая информация: экономические данные, диапазоны урожайности сельскохозяйственных культур, варианты вносимых минеральных и органических удобрений, приводящие к стабилизации гумуса.
На выходе алгоритма рассчитываются следующие величины:
- средние урожайности культур севооборота;
- процентное соотношение урожаев, попавших в заданный диапазон, выше и ниже заданного диапазона;
- средние рентабельности производства культур севооборота.
На основе имитационной модели, проведено прогнозирование поведения агроэкосистемы при вариантах внесения удобрений, стабилизирующих гумус.
с
л
К
С,= 20
15
+
В качестве примера приведем результаты некоторых прогнозов урожайности и рентабельности производства для озимой пшеницы, озимой ржи и сахарной свеклы (таблицы 1,3). Диапазоны средних урожаев для данных культур представлены в таблице 2. Высокими и низкими считаются те урожаи, которые находятся соответственно выше и ниже диапазона средних урожаев.
Средние урожайности и рентабельности производства сельскохозяйственных культур
Культура Минеральные удобрения (в дозах) Средняя урожайность (ц/га) Средняя рентабельность (%)
Озимая пшеница 0 32,3 99,4
Озимая пшеница 1 37,4 109,5
Озимая пшеница 2 40,6 109,7
Озимая пшеница 3 41,9 102,5
Сахарная свекла 0 347 103
Сахарная свекла 1 394 105,9
Сахарная свекла 2 411 95,1
Сахарная свекла 3 393 70,6
Озимая рожь 0 33 74,1
Озимая рожь 1 38,2 83,5
Озимая рожь 2 40,8 81,4
Озимая рожь 3 40,4 69,4
Таблица 2
Границы диапазонов урожайности культур
Культура Границы диапазонов урожайности (ц/га)
левая правая
Озимая пшеница 32 40
Сахарная свекла 300 380
Озимая рожь 32 40
Статистические частоты высоких, средних и низких урожаев
Культура Диапазон минеральных удобрений (в дозах) Статистические частоты урожаев (%)
высоких средних низких
1 2 3 4 5
Озимая пшеница 0-0,1 0 80 20
Озимая пшеница 0,2-1,3 0 100 0
Озимая пшеница 1,4—1,5 45 55 0
Озимая пшеница 1,6-3,2 65 35 0
Сахарная свекла 0-0,9 35 65 0
Сахарная свекла 1,0-1,3 70 30 0
Сахарная свекла 1,4-3,0 100 0 0
Сахарная свекла 3,1-3,2 35 65 0
Озимая рожь 0-0,5 0 60 40
Озимая рожь 0,6-0,7 10 50 40
Озимая рожь 0,8-3,2 60 40 0
По результатам прогнозов разработаны рекомендации по управлению количеством вносимых минеральных и органических удобрений в агроэкосистеме.
Так, например, для достижения максимальной урожайности сахарной свеклы (411 ц/га) при ограничениях на устойчивую урожайность других культур севооборота (озимая пшеница, озимая рожь, ячмень выше 32 ц/га, горох выше 20 ц/га, кукуруза на силос выше 380 ц/га), рентабельность производства выше 75% и сохранение содержание гумуса в почве можно рекомендовать внесение 1,9 доз минеральных удобрений и 1,692 доз органических удобрений. Для достижения максимальной урожайности озимой пшеницы 41 ц/га при устойчивой урожайности сахарной свеклы выше 300 ц/га и аналогичных ограничениях на урожайность озимой ржи, ячменя, гороха, кукурузы, рентабельность производства и сохранение плодородия почвы можно рекомендовать внесение 2,5 доз минеральных удобрений и 1,781 доз органических удобрений. Для достижения максимальной рентабельности производства (145,6% в среднем по всем культурам севооборота) при аналогичных ограничениях на устойчивую урожайность культур и сохранение гумуса в почве можно рекомендовать внесение 1,6 доз минеральных удобрений и 1, 662 доз органических удобрений.
Рассмотрим пример общего вида экономико-математической модели, предназначенной для распределения посевных площадей между агроэкосистемами. Допустим, необходимо распределить площади между рассмотренной выше агроэкосистемой и монокультурой сахарной свеклой. Обозначим через Б1, Б2, Б4, Б5, Б6, Б7, Б8 - минимальные возможные площади рассматриваемых в севообороте культур, которые обеспечивают запланированные объемы сельскохозяйственной продукции при заданных в критериях
принятия решений ограничениях на устойчивую урожайность культур. Обозначим через S3 площадь сахарной свеклы, которая должна быть максимальной. Обозначим через S1/ площадь, занятую агроэкосистемой (севооборотом), а через S2/ - площадь, занятую монокультурой (сахарной свеклой). S - общий ресурс площади.
Тогда экономико-математическая модель будет иметь общий вид:
0,2 S1/ + S2/ ® MAX (максимальная площадь под сахарной свеклой)
S1/ + S2/ = S - ( общий ресурс площади используется полностью)
0,1 S1/ > S1 - (ограничене на площадь вико-овса)
0,2 S/ > S2 - ( ограничение на площадь озимой пшеницы)
0,1 S1/ > S4 - (ограничение на площадь ячменя)
0,1 S1/ > S5 - (ограничение на площадь клевера)
0,1 S1/ > S6 - ( ограничение на площадь гороха)
0,1 S1/ > S7 - (ограничение на площадь озимой ржи)
0,1 S/ > Ss - (ограничение на площадь кукурузы).
Также может представлять интерес другая задача: обеспечение запланированных объемов сельскохозяйственной продукции по всем культурам севооборота при использовании минимального ресурса площади.
В данном случае экономико-математическая модель будет иметь общий вид:
S1/ + S2/ ® MIN (используется минимальный ресурс площади)
0,1 S1/ > S1 - (ограничене на площадь вико-овса)
0,2 S1/ > S2 - ( ограничение на площадь озимой пшеницы)
0,2 S/ + S2/ > S3 - (ограничение на площадь сахарной свеклы)
0,1 S1/ > S4 - (ограничение на площадь ячменя)
0,1 S1/ > S5 - (ограничение на площадь клевера)
0,1 S1/ > S6 - ( ограничение на площадь гороха)
0,1 S1/ > S7 - (ограничение на площадь озимой ржи)
0,1 S1/ > SS - (ограничение на площадь кукурузы).
Таким образом, предложенная методика моделирования агроэкосистем позволяет решать задачи двухуровневого управления распределением посевных площадей между агроэкосистемами и внесением удобрений в агроэкосистемах. При этом в комплексе учитываются требования устойчивой урожайности культур, достаточно высокой экономической эффективности сельскохозяйственного производства и сохранения плодородия почвы.
Библиографический список
Шатилов И.С., Чудновский А.Ф. Агрофизические, агрометеорологические основы программирования урожаев. - Л. : Гидрометеоиздат, 19S0. - 320 с.
Муха В.Д., Пелипец В.А. Программирование урожаев основных сельскохозяйственных культур. - Киев : Вища школа, 19SS. - 222 с.
Образцов А.С. Системный метод: применение в земледелии. - М. : Агропромиздат, 1990. - 303 с.
Доспехов Б.А. Методика полевого опыта. - М. : Агропромиздат, 1985. - 351 с. Державин Л.М., Рубанов И.А. Вид и анализ производственной функции «урожай-удобрение» // Агрохимия. - 1975. - №4. - С. 124-130.
