CC BY
36
Р.А. Нейдорф, Н.Н.Чан
СИСТЕМНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИИ РЕСУРСОВ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Введение. Задача экономии, а, тем более, оптимизации ресурсов управления, весьма сложна и требует специальных подходов, позволяющих эффективно решить проблему. В данной работе предлагается новый подход к экономии ресурсов управления на основе парадигмы квазиоптимизации быстродействия, сравнительно недавно введенной в теорию и практику автоматического управления [1].
Обоснование связи критерия быстродействия с ресурсным критерием. В работе [1] показано, что при управлении объектом первого порядка
x = и (1)
закон квазиоптимального по быстродействию управления при ограничении
u < vmax = const может быть задан функцией
и =
vmaxx *!x2 + £2
(2)
Для него при £ ^ 0 время регулирования стремится к оптимальному, а параметр £ > 0 позволяет адаптировать систему к непредсказуемым изменениям ее свойств. Это позволяет постановку новой задачи: найти обобщенный критерий, оптимизацию которого обеспечивает закон (2).
Теорема. Закон управления (2) обеспечивает для объекта (1) оптимальность по функционалу качества
1 ж
J(x,u) = - { 2 0
(
2
x
22 X2 +£2
+ ■
-
л
2
2
-и
vn
dt.
(3)
'Vv rmax J
Доказательство. Если принять для объекта (1) оптимизируемый функционал (3), то для решения уравнения Беллмана
( , ( 2 , > — >
2
mm
и
-
2
V V
X
2 2 X2 +£2
+ -
-
V,
2
и
dS
л-------и
дх
= 0,
(4)
У
ушах у
где £ (х) - функция Беллмана, в силу доказанной в [1] асимптотичности закона (2), можно использовать условие стационарности минимизируемой функции
(,Г 2 , ^ ^
д_
ди
-
2
V V
х
2 2 X2 + £2
+ -
-
2
2
и
V„
max
Подстановка (5) в (4) дает
dS л-------и
dx
1 dS п dS 1 и + — = 0 ^ — = --
2
dx
dx
2
.2
x
1
2 2 x2 +£2
2
~ип
v„
У
Jx2 +£2
и. (5)
(6)
Из двух удовлетворяющих условию оптимальности законов физический смысл имеет только выражение со знаком минус, обеспечивающий асимптотическую устойчивость управления.
3(Х,и) = |& + —1— |и2йі.
Теорема доказана.
Следствие 1. Закон квазиоптимального по быстродействию управления (2) обеспечивает для объекта (1) при £ ^ 0 оптимизацию совокупного критерия
ГО у ГО
[ п2йг. (7)
0 ^тах 0
Следствие 2. Поскольку оптимальность по быстродействию закона (2) при £ ^ 0 доказана в [1], следовательно, он же обеспечивает для (1) и оптимальность управления по ресурсу.
Доказательство справедливости обоих следствий элементарно.
Следствие 3. Закон квазиоптимального по быстродействию управления (2) обеспечивает для (1) условную оптимизацию ресурсного критерия
Е
КОБ
їо +Ї
= I
КОБ
и2&
(8)
КОБ , .
при ограничении на время управления I < 1^оп .
Доказательство. При использовании закона (2) время перехода из возмущенного состояния Хд в начало координат при относительной трубке затухания 8 составит величину
£ +^82 ■ Хд +£2
КОБ
1
^Хд +Є2 --^З2 ■ Хд +Є2 1 + 8 ■ ІП
3 ■ ^8 + ^Хд + 8 а оценка ресурса управления будет определяться формулой
&Х = Ушах ■ (\/Х02 + 8 -\13 ■ Х02 + 8 ).
(9)
хп 3
^КОБ _ 0 VтахХ
Х,
^хг772
(10)
Следовательно,
Е
КОБ
КОБ
■^Хд +є2 -^З2 ■ Хд +є2 1 + 8 ■ ІП
(8 +№ ■ Хд +821
3 (8+а! ^+8д 1
(11)
■^Хд +£2 ~^82 ■ Хд + £2
Поскольку в (11) выражения в скобках для каждой конкретной решаемой
гКОБ КОБ
задачи суть константы, минимум Е достигается при максимальном I , а
при наличии указанного в (8) ограничения - при I Следствие 3 доказано.
КОБ
їдоп.
В [2] была обоснована методика синтеза закона квазиоптимального быстродействия системы высокого порядка по рекуррентному алгоритму, построенному на основе закона (2). Идея подхода основывается на предположении о том, что известен закон квазиоптимального по быстродействию движения
ї
о
*
1
системы п —1 -го порядка и требуется найти управление в системе п -го порядка, обеспечивающее это свойство. Далее, применением рекуррентной процедуры закон квазиоптимального по быстродействию управления объектом п -го порядка строится на основе обоснованного в [1] квазиоптимального по быстродействию движения системы 1 -го порядка.
Совместное использование такой методики и полученных в данной работе результатов позволяет решать задачи экономии ресурсов при управлении сложными техническими объектами.
Иллюстрационный пример. Рассматривается вертикальный взлет ракеты. Нужно найти закон управления подачей жидкостного топлива, близкий к оптимальному по экономии топлива.
При массе ракеты т£ и массе топлива тт, скорости потери топлива -ётт „
-----, сопротивлении окружающей среды гтр = — /л ■ V,
GT — ■
пропорциональном скорости, и силе тяги Ет = г ■ От модель полета в таком приближении примет вид ¡г = V;
m т —-Gt;
r ■ Gt - v - m ■ g + Gt • | I - g ■ (mk + тт )
12 v )
v —
(mk + mT )
(13)
Переменными состояния при принятых обозначениях будут высота ¡ , остаток топлива тт и скорость полета V .Управляющим воздействием является
йОт
скорость сервопривода, изменяющего расход топлива, т.е. и —
dt
Для унификации записи ММ необходимо произвести замену переменных. h — Xj; тт — x$;v — Х2; Gt — Х4; ¡л — k — const. Тогда модель полета будет редставлена в виде
Xj — Х2
x4 - k ■ Х2 - 2 ■ g ■(mk + Х3)+Х4
x 2 —
Х 3 — - Х4 Х 4 — и
mk + Х3
(14)
Закон управления объектом с ММ (14) можно определить по рекуррентному алгоритму, предложенному в [2], следующим образом:
Шаг 1. У1 = Х].
r
Шаг 2. уі = —
У1
і
д д У1 +81
+ Уд ^ Уд = У2(х1,х2) .
Уд
Шаг 3. у2 =-+ Уз ^ Уз = У3(Х1,Хд,Хз,Х4) ■
82
У
Шаг 4. Уз =----3 + У4 ^ У4 = У4(ХьХд,Хз,Х4,и) .
83
Шаг 5. У4 + — = 0 ^ и = и(Х1,Хд,Хз,Х4) .
84
Синтез с помощью ЭВМ в среде пакета Реопігоі, который разработан для решения подобных задач [2], дает закон управления в аналитическом виде:
Г2Н
(^2 + е^)"
.5 1.5
+ (^2 + ^2) ^
9.8 г,
1.0х|2
.5 1.5
-з.о-
3.00 X'! з
1.0Х[2
1.5 2.5
Сг12 ч- є[2) (ї[2 + Еі2)
-.1 + .5г,
9.8гл
Г2Ч
(200 +1-3)
*2
.5 1.5 200 + г,
(г^ + е^) (^2+е^)
9.8х.
200 + х
-19.6 -
~ 20014 -■ 1*2 - 3920.0- 19.6г^ + ц
9.8х,
.5 х-1 + ~
(200 + ї3)2
.5 1.5
(Х]2 + Єі2) (г^ + е^)
-3.0-
З.ООХ[3
1.5 2.5
(х^ + е^) (г^ + е^)
9.8 т,
х з (2 0 0 + х^)
-3.0-
3.00х[ 3
1.5
2.5
18.00-
3.0
15.000і[4
2.5 1.5 3.5
(ї|2 + Е|2) (х|2 + Є|2) (і|2 + Е|2)
-3.0-
3.00ї[3
1.5
2.5
(ї^+Е^) (ї^+Е^)
200—. 1 ^2 — 3920.0— 19.6*3 + Х4 .5*2 + '
*3
200 +1-}
и =
+
+
+
В приведенное окончательное выражение для квазиоптимального управления вертикальным взлетом ракеты, которое, как легко видеть, получается весьма сложной и громоздкой нелинейной функцией переменных состояния, входят параметры ег- рекуррентной квазиоптимизации системы управления по шагам. Их значения, как показано в данной статье, определяют не только степень квазиоптимальности быстродействия, как это декларировалось в работах этого направления, но и квазиоптимальность системы по расходу топливных ресурсов, что и иллюстрирует приводимый пример.
На рис. 1 представлены переходные процессы управления подачей топлива, которые наглядно иллюстрируют, как влияет параметр квазиоптимизации е на ресурсную затратность полета. Видно, что уступка в быстродействии повышает экономичность управления. Это позволяет реализовать компромисс между временными и энергетическими ресурсами.
t(c
Рис. 1. Затраты ресурсов при вариации параметров квазиоптимизации
Заключение. С помощью законов управления, квазиоптимальных по быстродействию в трактовке, предложенной в работе [1], можно эффективно организовывать компромисс между двумя важными критериями оптимизации управления: временным и энергетическими, что позволяет решать практические задачи ресурсо- и энергосбережения при организации управления в технических системах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейдорф Р.А. Нелинейное ускорение динамических процессов управления объектами первого порядка с учетом ограниченности воздействий / Вестник ДГТУ. Управление и диагностика в динамических системах. - Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 1999. - С. 13-21.
2. Нейдорф Р.А., Чан Н.Н.Синтез законов квазиоптимального по быстродействию управления на основе динамической аппроксимации / Сб. трудов ММТТ-19. - Воронеж-2006. Т. 2. - С.110-113.
