СИСТЕМНИЙ ПіДХіД ДО ОЦіНЮВАННЯ ОПЦіОНіВ НА БАЗі МОДЕЛі CEV Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.71

СИСТЕМНИИ П1ДХ1Д ДО ОЦ1НЮВАННЯ ОПЦ1ОН1В НА БАЗ! МОДЕЛ1 CEV

© 2016 БУРТНЯК I. В., МАЛИЦЬКА Г. П.

УДК 336.71

Буртняк I. В., Малицька Г. П. Системний пщхщ до оцшювання опцiонiв на 6a3i моделi CEV

Метою cmammi е досл/дження пох/дних актив/в за допомогою '/нструмент'/в спектрального анал/зу, сингулярноi та регулярноi теорн збурень. Використовуючи нейтральну за ризиком оцнку, отримуемо задачу Кошi, яка дозволяе обчислити наближену цну пох/дних актив/в та ¡хню вола-тильн/сть на основiр'жяння дифузИ. До загальноi дифузндодаемо два фактори швидко та пов'/льно зм/ннихчинник/в нелокальноi волатильностi, отримуемо модель з багатовим/рною стохастичною волатильн/стю. Комбтуючи методи зi спектральноi теорн сингулярних i регулярних збурень, можна обчислити ц/ну пох/дних актив/в як розвинення за власними функцями i власними значеннями л'тшних оператор/в та розв'язання р'/вняння Пуассона. Перспективами подальших досл/джень у даному напрямi е вдосконалення спектральноi теорИ та поширення результат/в статтi на випадки, коли р'/вняння, з якого знаходяться власнi значення, не мае дискретного спектру, а також коли стохастична волатильн/сть залежить в/д чотирьох i бмьше неоднор'/дних фактор/в, якi присутнi на фондових ринках.

Кпючов'1 слова: стохастична волатильн/сть, локальна волатильн/сть, спектральна теор'/я, сингулярна теор'/я збурень, регулярна теор'/я збурень. Рис.: 1. Формул: 3. Б'бл.: 12.

Буртняк 1ван Володимирович - кандидат економ/чних наук, доцент кафедри економ'/чноi к/бернетики, Прикарпатський нац/ональний ун/верси-тет iм. В. Стефаника (вул. Шевченка, 57, iвано-Франкiвськ, 76018, Украна) E-mail: [email protected]

Малицька Ганна nempiBHa - кандидат ф'/зико-математичних наук, доцент кафедри математичного та функц/онального анал'/зу, Прикарпатський нац/ональний ун/верситет iм. В. Стефаника (вул. Шевченка, 57, iвано-Франкiвськ, 76018, Украна)

УДК 336.71

Буртняк И. В., Малицкая А. П. Системный подход к оценке опционов на базе модели CEV

Целью статьи является исследование производных активов с помощью инструментов спектрального анализа, сингулярной и регулярной теории возмущений. Используя нейтральную по риску оценку, получаем задачу Коши, которая позволяет вычислить приближенную цену производных активов и их волатильность на основе уравнения диффузии. В общей диффузии добавляем два быстро и медленно меняющихся фактора нелокальной волатильности, получаем модель с многомерной стохастической волатильностью. Комбинируя методы спектральной теории сингулярных и регулярных возмущений, можно вычислить цену производных активов как разложение по собственным функциям и собственным значениям линейных операторов и решение уравнения Пуассона. Перспективами дальнейших исследований в данном направлении является совершенствование спектральной теории и распространение результатов статьи на случаи, когда уравнение, из которого находятся собственные значения, не имеет дискретного спектра, а также когда стохастическая волатильность зависит от четырех и более неоднородных факторов, которые присутствуют на фондовых рынках. Ключевые слова: стохастическая волатильность, локальная волатильность, спектральная теория, сингулярная теория возмущений, регулярная теория возмущений. Рис.: 1. Формул: 3. Библ.: 12.

Буртняк Иван Владимирович - кандидат экономических наук, доцент кафедры экономической кибернетики, Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника (ул. Шевченко, 57, Ивано-Франковск, 76018, Украина) E-mail: [email protected]

Малицкая Анна Петровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического и функционального анализа, Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника (ул. Шевченко, 57, Ивано-Франковск, 76018, Украина)

UDC 336.71

Burtnyak I. V., Malytska A. P. A Systematic Approach to the Evaluation of Options Based on the CEV-Model

The article is concerned with studying the derivative assets, using tools for spectral analysis, as well as of the singular and regular perturbation theory. Using the risk-neutral valuation, we obtain the Cauchy task, allowing to calculate an approximate price of derivative assets and their volatility based on a diffusion equation. In the overall diffusion we add two quickly and slowly changing factors of the nonlocal volatility to obtain a model with the mul-tivariate stochastic volatility. Combining the methods of spectral theory of singular and regular perturbations, one can calculate the price of derivative assets as degradation by native functions and the own values of linear operators and solution of the Poisson equation. Prospects for further research in this direction will be improvement of spectral theory and dissemination of the results of the publication on the cases when the equation, from which the eigenvalues are found, has no discrete spectrum, as well as when the stochastic volatility depends on four or more disparate factors that are present in the stock markets.

Keywords: stochastic volatility, local volatility, spectral theory, singular perturbation theory, regular perturbation theory. Fig.: 1. Formulae: 3. Bibl.: 12.

Burtnyak Ivan V. - PhD (Economics), Associate Professor of the Department of Economic Cybernetics, Precarpathian National University named after V. Stefanyk (57 Shevchenka Str., Ivano-Frankivsk, 76018, Ukraine) E-mail: [email protected]

Malytska Anna P. - PhD (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Mathematical and Functional Analysis, Precarpathian National University named after V. Stefanyk (57 Shevchenka Str., Ivano-Fran-kivsk, 76018, Ukraine)

Спектральну теорш економкти почали широко використовувати в другш половин 20 столггтя, особливо широке застосування вона одержала у фшансовш математищ для аналiзу моделей дифузи на базi розвинення за власними функцiями i власними значеннями лшшних операторiв. Багато проблем, пов'язаних з оцшкою пох^них активiв, було виршено аналпично за допомогою методiв спектрально! теори.

Наприклад, для знаходження цши европейського опцю-ну за допомогою моделi Блека-Шоулза [1]. Серед науко-вих проблем, яю можна виршити шляхом застосування спектральних методiв: прогнозування щн опцюшв [2], знаходження вцсотково! ставки на цшш папери [3], мо-делювання волатильност фшансових активiв [4].

Спектральш методи е потужним шструментом для аналпичного щноутворення похцних активiв, а саме:

опцюнш, в1дсотково1 ставки, моделювання волатиль-ност1 i кредитних ризик1в [5]. Як спектральна теор1я, так i стохастичш моделi волатильностi стали незамiнним шструментом у фiнансовiй математицi. Це пов'язано з тим, що цiни двобар'ерного опцiону шдпорядковують-ся броунiвському руху i корелюють з волатильнiстю [6]. Стохастична волатильшсть, зокрема волатильнiсть активу, лежить в основi похiдно'1 та контролюеться нелокальною дифузieю.

У данш статтi ми продовжуемо тематику робГт [7-9], поширюючи 11 на теорш моделi CEV (constant elasticity of variance model), яка розроблена Джоном Коксом в 1975 р., застосовуючи методику [1-4].

Комбшуючи методи 3i спектрально'1 теори сингу-лярних i регулярних збурень, можна наближено обчислити цiну вибору як розвинення за власни-ми функцiями, хоча працюватимемо з шфшГтезималь-ними генераторами тривимГрно'1 дифуз!1.

Розглянемо спочатку одновимiрну дифузiю

dXt = v( Xt )dt + a( Xt )dWt, в якiй е можливiсть проявляти кiллiнг (стрибок дефолту) на швидкост h (Xt) > 0, Wt - геометричний броушв-ський рух, X завжди строго додатнш. До загально'1 ди-фузГ1 додаемо два фактори нелокально'1 волатильностi: a (Xt) ^ a(Xt) f(Yt, Zt). Перший фактор Y- це фактор швидко мшливих чинникГв. Другий фактор Z змшюеть-ся повгльно. Таким чином, наша модель е багатовимiр-ною стохастичною волатильною моделлю [9].

Використовуемо таю оператори збурень:

дев > 0 i — > 0. Вважатимемо, що е << 1 i § << 1, вну-о

трГшня шкала часу Y е малою, а внутршня шкала часу Z велика. Зауважимо, що Щу iQ^ мають форму

L = ^a2(x)d2a + b(x)dx - k(x),

(1)

званий рГвень небезпеки). Математично час дефолту т можна виразити таким чином:

т— = inf {t > 0: Xt £ I},

rh = inf {t > 0 : flh(Xs)ds > e}, e ~ Exp(—), e(X,Y, Z).

Волатильшсть X включае в себе мкцеву компоненту X^ i нелокальну компоненту багатовимiрностi /(У{, 2) Припускаемо, що п < 0, тобто мiсцева компонента волатильност X^ збкьшуеться при зменшенш Х(, а це означае що цши i волатильнiсть мають вц'емну кореляцiю. Стохастичний рiвень небезпеки к(Х{) зро-стае, при спаданш X. Обчислимо наближену цiну евро-пейського опцiону пут для активу 5. Щну европейського опцiону можна знайти за формулою (2):

<£2> = ^&2х2г>+2д2х + О + сх2г>)хдх + с*2"),

(2)

де Яг - нескшченно малий генератор, кшець iнтервалу тобто точка е2 = м е природною границею. Однак класи-фiкацiя точки ех = 0 залежить вiд вартостi п i с/ст2. Тому проводять таку класифжацш:

1) с/ст2 > 1/2, п < 0, ех = 0 - тривiальний випадок;

2) с/ст2 е (0, 1/2), п е [с/ст2 -1/2, 0), е1 = 0 - це число вiдiграе роль початкового моменту;

3) с/ст2 е (0, 1/2), п < с/ст2 - 1/2, е1 = 0 - при такiй умовi початок iнтервалу е сталим.

Якщо параметри (с, а, п) задовольняють с/ст2 е (0, 1/2), а п е [с/ст2 - 1/2, 0), ех = 0, то ех вважають кiлiнговою межею. Щоб обчислити наближену цiну европейського опцюну, треба знайти власнi функци власнi значен-ня {Аи}оператора (2г) Зазначимо, що {22)> поданий у (2), мае вигляд шфштезимального генератора одно-мiрноl дифузи (1) з волатильшстю аа(х), вiдхиленням (Ь(х) - (/"О) а (х) ) i кiлiнгом к (х), ёот((£2)) включае гра-ничнi умови, яю повиннi бути накладенi на кшцях е1 та е2 рiвняння —(22)Фп = ^пФп< Уп е <2отп((£2))' на ш-тервалi (0, з (£2), записаного у вшлддД (2) тобто:

limx\ 0 Уп

■■ 0, якщо С е |0,— I.

Э2 I 2 '

х е (еьe2),

Нехай потрiбно виплатити дивценди по активу 51 = 5 > 0. тодi простором сташв X буде е1,

е2 = (0, м). Розглянемо багатовимiрний дифузiйний про-цес на юлшгу (скачку дефолту) стало! варiативноl модель Зокрема, Р динамiка X дефолту задаеться як

dXt = (¡u + cX?'?)Xtdt + , Zt^)Х

XX^X, h(Xt) = ¡u + cX?'?.

Для спрощення обчислень вважатимемо, що без-ризикова вiдсоткова ставка г = 0, ц > 0, с > 0, У i 2 е швидко i повкьно змiннi фактори волатильносп, якi визна-чаються системою стохастичних рiвнянь [9].

У нашому дослцженш дефолт може вiдбутися одним iз двох способiв, коли X виходить за iнтервал I, або у випадковий час тк, (к(Xt) > 0 стохастична величина, так

Результати. Розв'язок мае вигляд [11]:

*n = A x ^-Ax-2" )X

XL^Ax-2"), n = 1,2, 3, ...,

1 + 21

A =

I

о21 "I

Xn = 2и I" (n + v), v = -

О 2,

де ¡У =2n=0(-D'

n + v

i!

е узагальненими полг-

номами Лагерра. При асимптотичному дослгдженш ми розглядаемо задачГ

(~dt + {&2))Щ,о = 0. u0i0(0,x, z) = Н(х),

(■-dt + (22))щ.о = <АщД, и10(0,x,z) = 0,

r = Tj л г

+ <£2»"од = ®32и00, иод(0, х,г) = О,

де <А i Ъ мають вигляд

Л = -уз х^дХх2"+2д2х - х2"+2д2х, в = -VIх\ - Уо.

Лщ10 = 1сп Шп)Тп =2 2 спЛКп-фкТп

п п к

■ВдгЩ.а =^сп{Ъд2х1)п)Тп + £ (д2сп){Щп)Тп + + сп(Щп)(д2Тп) =

= ХХ спЪКпфкТп + (д2сп)ЪКпфкТп -П к п к

п к

Аналггичш вирази для сЛкп, Ъкп\ Ъкп можна отримати, зробивши замiну змiнних [10] Лх~2п — у, ви-

користовуючи ду1?п (у) = -4--11)(у) i /0° у"е~уЬ{") X

(„) Г(п + а + 1) „

Х(у) Ь^Шу = Г-■-'-дпт,

п!

де ^пт - символ Кронекера. Формули для визначення <Лк,п> мають вигляд [9]:

Г ЗЛп ч—т /п I—ч т

' з \ /—1\ (Ъ[к\

т= О

X

П\Кп

(п - т)!Жп_

/ЗЛП

X

■771=0

X

X---*

(п — т)! Жп_т к'п~т |

+

Х -^,71-1 +

(п-1)!^

п\Кп

(т) (т) + (тг) (з)] (п-2)!ЛГ„_2

+ [ШШ(„-П3)Тж„-з5'"-3}

п\Ж„

/~2ч п!Жп |

+

^ 4 ^ п!Жп |

^к.п— 1

(П

= (-фп. 1)

2 /ТГ

= - —ЖпАпе а\к

-А2/4

Знайдемо власнi значення рiвняння:

- <Й2> ^п = % £ <£2»,

i припустимо, що Не Ж. Тодi розв'язок и00 даеться у виглядi:

«0,0 = 2 СпУпТп , Сп = (^п, Н), Тп = в-ап.

Визначимо

<Лк,п •■= (-фк.сАтрп), икп'=

Тк -Тп

Тодi можемо знайти и10:

"1,0 = I £спАКпгркик1П -XСПЯП1ПФ^ТП.

71 кфп

Визначимо

(Лк ~ Лп)2 Лк — Ял

тепер и01 набуде вигляду:

Щ,1 = X X спЪкпфкикп спЪппфп1Тп +

п к*п п

+ 11 (д2сп)ЪКпгркиКп -^{д2сп)ъп1пфп1тп+ п к*п п

+ 11 С„ ЪКпфк(дгК)Ук,п -1 СпЪ^МдМ - 12Тп. п кФп п

Звернемо увагу на те, що и01 е лшшним в (у1о', у1 /, у0 /, а для фiксованих х, у, х) iснуе стала С така, що для будь-якого е < 1,5 < 1 маемо:

\ие'8 - (и0,0 + 7ёи1)0 + л/5и0>1)| < С(е + <5).

Виграш европейського опцiону з цiною виконання К > 0 можна розкласти таким чином [11]:

(К - = (К- ^)+1{т>£} + К{1 - 1{т>г}). (3)

Перший доданок у правш частинi (3) е прибутком опцiону, поданого до дефолту в момент часу Ь. Другий

х

п

член - це прибуток опцюну, поданого шсля дефолту, який вiдбуваеться в момент часу Л Таким чином, вар-ткть опцiону з цшою виконання К позначаеться як х; К) i може бути виражена у виглядi суми:

де

и£-е({, х; Ю = «о 5 (С. Ю + и£/ а, X) К),

и^^.х-.К) = - Х^Ч^],

Пр8(£, х; К), = К —

г со

■>0

г СО

о

и18(г,х-,х') = ^х,у,2[8х'(Хс)Цг>1]], 1 е ¿2 (Е+, т)

ми використовували, що 1 = /0°^х' (Xt )dx' на множит

{т > Г}.

Осккьки функци виграшу

И0(х) = (К - х)+ 1 И,(х) = дх, (х) належать ¿2 (М+, тгс) , ми можемо обчислити:

Во,п = (Уп ОХ (к -0+Х В1,п = (Уп > йх'). Вирази для с0 и та сх и можна знайти з [12]:

X

"2

а 2

+

1-п -а2+1

-2

у+1 ^т + 2

, АК-21

-Г( У+1)( п-1)! /£+>( АК-21) 1

ГГ11+ п + 1) п-1 у 'у

Г( у+п + 1)

с1,п = Уп (х') т(х')

2Р2(а,р,у,х) = X

а(а + 1) ... (а + п- 1) х

«+1 2Г+1-21 А2 К а2

с0,п

л/Г (у+п)

де ^ п!у(у + 1)...(у + п_1)

узагальнена гiпергеометрична функцш.

Орiентовну вартiсть европейського опцiону тепер можна обчислити за допомогою теорем 1, 2 i 3 [9].

Для европейського варiанта волатильшсть опцю-

ну Iез цiною ие,5(Ь,Х]К) визначаеться з викори-станням

ие-5({,х; К) = х, Iе-6; К), де иВ5(г,х,1е'8; к) - цша Блека-Шоулза з волатиль-нiстю Iе

Г( у+п)у! п -1)!

X

Волатильшсть

0,45 - £ = 0,001

0,4

0,35

0,3

0,25

0,2

- 35 40

Результати обчислень цiн европейських опцiонiв наведемо на рис. 1.

Волатильшсть

0,4 Ь б = 0,1

В олатил ых сть

£ = 0,0001

65 35 40 Волатильшсть

|-б = 0,01

А К

65

65 35

40

45

50

55

60

65

- Волатильшсть з швидко змшюваними чинниками

----- Волатильшсть з повтьно змшюваними чинниками

— Волатильшсть повноТ вартост Рис.1. Динамiка волатильностi цш европейських опцiонiв

На AiBrn сторош рис. 1 побудовано волатильшсть, яка залежить вiд цши и0 0 + Лщо опцiону для модели яка мае ткьки швидкозмшюваш чинники волатильно-стi. Динамiка Y i функцiя волатильностi f задаються формулою

dYt = l~Yt~ ^=(3Erf(Yt) j dt + (tdWty,

f(Xt) =

a exp(yt)

ехР\ 2,

Для порiвняння побудовано волатильнiсть повно! BapTocTi ие i и5. На правгй сторонi рис. 1 наведено волатильшсть, викликану наближеною цшою м0 о + л/й Щ 0

опцгону для мoделi, яка мае тГльки повГльно мiнливий фактор вoлaтильнocтi. Динамка Z i функцiя волатиль-ност/задаються формулою

dZt = (-йZt - л/й gErf (Zt ))dt + gdWtz, оexp(Zt)

f (Zt)--T^T •

exp(Z)

Для пopiвняння, побудовано вoлaтильнicть повно! вартостг и5 i u0 0. Як i cлiд було oчiкувaти, при е i S, якi прямують до нуля, вoлaтильнicть прямуе до цши вола-тильнocтi, iмплiкoвaнoю повною цiнoю.

ВИСНОВКИ

У cтaттi застосовано методику знаходження цiни для похгдних aктивiв, якi задовольняють модель CEV з волатильнгстю, що степенево зростае по основнгй змгн-нiй процесу i залежить вГд повГльно та швидко змгнюва-них фaктopiв. Сильними сторонами дано! методики цг-ноутворення е кoмбiнувaння метoдiв спектрально! теорГ! сингулярних i регулярних збурень, за допомогою яких обчислюеться цiнa активу зведенням до розв'язання ргв-няння методом знаходження власних значень, власних функцгй та розв'язання вгдповгдного ргвняння Пуассона, зокрема знаходження резольвенти у вгдповгдному Пль-бертовому просторг. ■

Л1ТЕРАТУРА

1. Lewis A. Applications of Eigenfunction Expansions in Continuous-Time Finance. Mathematical Finance. 1998. No. 8. P. 349-383.

2. Goldstein R. S., Keirstead W. P. On the Term Structure of Interest Rates in the Presence of Reflecting and Absorbing Boundaries. SSRN eLibrary. 1997. URL: https://papers.ssrn.com/sol3/pa-pers.cfm?abstract_id=19840

3. Pelsser A. Pricing Double Barrier Options Using Laplace Transforms. Finance andStochastics. 2000. No. 4. P. 95-104.

4. Davydov D., Linetsky V. Structuring, Pricing and Hedging Double-Barrier Step Options. Journal of Computational Finance. 2001. No. 5. P. 55-88.

5. Fouque J., Papanicolaou G., Sircar R. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

6. Gatheral J. The Volatility Surface: a Practitioner's Guide. John Wiley and Sons, Inc., 2011. 208 p.

7. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Модель шляхозалеж-hoï волатильност для шдексу ПФТС. Б'знес 1нформ. 2012. № 3. С. 48-50.

8. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Обчислення цш опцю-hîb методами спектрального аналiзу. Б'знес 1нформ. 2013. № 4. С. 152-158.

9. Буртняк I. В., Малицька Г. П. Дошдження процесу Орнштейна-Уленбека методами спектрального аналiзу. Про-блеми економки. 2014. № 2. С. 349-356.

10. Cox J. Notes on Option Pricing I: Constant Elasticity of Diffusions/Unpublished draft, Stanford University, 1975.

11. Linetsky V. Lookback Options and Siffusion Hitting Times: A Spectral Expansion Approach. Finance and Stochastics. 2004. Vol. 8, No. 3. P. 373-398.

12. Lorig M. Pricing Derivatives on Multiscale Diffusions: An Eigenfunction Expansion Approach/Princeton University - Department of Operations Research & Financial Engineering (ORFE), 2012.

REFERENCES

Burtniak, I. V., and Malytska, H. P. "Model shliakhozalezhnoi volatylnosti dlia indeksu PFTS" [The model of path-depended volatility for the index PFTS]. Biznes Inform, no. 3 (2012): 48-50.

Burtniak, I. V., and Malytska, H. P. "Obchyslennia tsin optsion-iv metodamy spektralnoho analizu" [Calculation of option prices methods of spectral analysis]. Biznes Inform, no. 4 (2013): 152-158.

Burtniak, I. V., and Malytska, H. P. "Doslidzhennia protsesu Ornshteina-Ulenbeka metodamy spektralnoho analizu" [The study of the process Ornstein-Uhlenbeck methods of spectral analysis]. Problemy ekonomiky, no. 2 (2014): 349-356.

Cox, J. Notes on Option Pricing I: Constant Elasticity of Diffusions: Unpublished draft, Stanford University, 1975.

Davydov, D., and Linetsky, V. "Structuring, Pricing and Hedging Double-Barrier Step Options". Journal of Computational Finance, no. 5 (2001): 55-88.

Fouque, J., Papanicolaou, G., and Sircar, R. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

Goldstein, R. S., and Keirstead, W. P. "On the Term Structure of Interest Rates in the Presence of Reflecting and Absorbing Boundaries". https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=19840

Gatheral, J. The Volatility Surface: a Practitioner's Guide: John Wiley and Sons, Inc., 2011.

Lewis, A. "Applications of Eigenfunction Expansions in Continuous-Time Finance". Mathematical Finance, no. 8 (1998): 349-383.

Linetsky, V. "Lookback Options and Siffusion Hitting Times: A Spectral Expansion Approach". Finance and Stochastics. Vol. 8, no. 3 (2004): 373-398.

Lorig, M. Pricing Derivatives on Multiscale Diffusions: An Eigenfunction Expansion Approach: Princeton University - Department of Operations Research & Financial Engineering (ORFE), 2012.

Pelsser, A. "Pricing Double Barrier Options Using Laplace Transforms". Finance and Stochastics, no. 4 (2000): 95-104.

<C

QQ 2

о

=т

о

о

<

о

Ш