Система разрешающих уравнений метода граничных уравнений для полупространства с подкрепленным отверстием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория упругости

СИСТЕМА РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ПОДКРЕПЛЕННЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р техн. наук, профессор; А.А. ХОДЖИБОЕВ**, к-т техн. наук; О.А. ХОДЖИБОЕВ*, тж., Н.Г. САЛОМОВ*, к-т физ.-мат. наук.

*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан, 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, эл. -почта: tiees@mail ru

**Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджа-бовых, 10; эл.-почта: [email protected]

В работе предлагается алгоритм решения задачи полупространства с подкрепленным отверстием произвольного очертания, которое находится под действием тектонических напряжений.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: плоская деформация - полупространство - крепь - горная выработка - упругое кольцо - бесконечность.

Подкрепление отверстия в виде упругого кольца, называемый крепью, в общем случае имеет механические характеристики Gj - модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона (рис. 1).

Задача моделируется в виде подобластей ^ и ^ совместно, работающих под действием растягивающих (сжимающих) тектонических напряжений действующих на бесконечность. На поверхности контакта двух подобласти и ^ соблюдается условия совместности деформаций, на основе которого составляется, граничные условия согласно которых возникают одинаковые перемещения и напряжения (рис. 2). Эти же условия совместности деформаций являются обоснованием совместного решения систем уравнений для внутренней поверхности крепи и поверхности выработки. Интегральные уравнения соответствующие плоской задаче, записываются в виде тождества Сомильяна [2]:

и(р) = |(рхикх + РуЧх№к -I(Pxkuk + Ру^у + | (^икх + ^ЧхМО ,

5 5 О

Чр) = |(Рхику + Ру ^ку )Лк - I(PXУuk + Р>к №к + I (^¿у + ^ку №О , (1)

5 5 О

ке 5 , k,р еО ,

где Рх, Ру - поверхностные силы, отмеченные звездочкой параметры, соответствуют фундаментальному решению Мелана:

икх = а

- (3 - 4у )1п г„ + Р1 + (3 - 4у)2 1п Я. - 8(1 - V) 1п Я. +

^ , ч • 2п 2у/У/ 4у/У/ • 2л

+(3 - 4у^1п2 в +---81П2 0

Я

Я

^ = а

4 у/у.-

С08Р1 • С08Р1 + (3 - 4у)СО80- 81пв--• 8шв +

+ 4(1 - v)(1 - 2v)в

ику = а

С08 Р1 • С08Р2 + (3 - 4у)СО80- 81пв +

Я

4у/у/ а ■ а

-::^-COSв • 81Пв -

Я2

- 4(1 - v)(1 - 2v)в

Vky = а

-(3 - 4у)1п г. + р2 + (3 - 4v) 1п Я. -

2 2 у.у. 4 уу.- 2 -8(1 - v)1n Я. + (3 - 4у)с082 в —-Ц— + в

Я

Я

где а =

1

8^(1 - V)

(х/ х/) (х/ х/) , в = -¡-, cos Р1 = —--, cos Р2 =

у/ - у

у + уд -и ■/

Соответствующие фундаментальные напряжения на наклонной плоскости вычисляются по формулам [1]:

Ркх = {[(1 - 2^ + 2^]^ + 3(1 - 2^ «1 +

+2

. 2 а 4уу/ 2у2 у-

а -2(1 -2v)^-cosв

81п2 в —

Я

у

Я

Я

sinв

Я

-«1 +

(2)

вsшв „ ч3у/ + у „ cosв

3-«1 +(1 - 2v)-2— «2 + 4 у/У/ —3- «2 +

+16 уу

ч

щ

ч

2

2sin в^cosв /

-4(1 - 2v)

2 2 у / cos в 16у^у- cosв• sln в

4

-«2

я3

-«2

Остальные фундаментальные напряжения Р*х, Р* и Р*^ имеют аналогичные выражения.

Погружая область О + ^ в полуплоскость, где часть границы рассматриваемого тела совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости, из теоре-

* * * *

мы взаимности работ с учетом Рхх = Р*х = Рх* = Р** = 0 получаем

* . *

и(р) + | Р Uds = |Ри ds

(3)

где 5" = So + 51, р еО , Р =

Р Р

хх ух

Р Р

ху уу

*

и =

* *

икх ^кх

* *

ику ^ку

и =

|ик К

Р =

I Рх

\Р„

Если часть границы рассматриваемой области не совпадает с поверхностью полуплоскости то уравнение (3) записывается в виде

и(р) +1P*Uds = |Ри^ , Р еО .

(4)

Если граница удаляется на бесконечность, то из (3) с учетом

Нт

| I и {В}- В {и})с1Аё =0 получим

А ^ 1 -1

*

и(р) + ] и Pds , Р е So + О .

(5)

Характерная особенность уравнения (5) заключается в том, что оно не имеет сингулярностей и интеграл в правой части понимается в обычном смысле, так как

— г *

Нт Р [ и sdф = 0.

е^0 ;

(5')

Системы алгебраических уравнений для численного решения, при разбивке контуров , 52, 5з на п-у, П2 и П3 элементов, задачи сводится к такому виду [1]: для упругого кольца (крепи):

] =п1+п2 * ] =п1 +п2 ] =п1 +п2 ] =п1+ п2 0 ] =п1+ п2 £ аи^ + £ //- £ еиРх/-- £ ^Ру} =-°0 £ еу 008 а/,

]= ] = ] =П1+у ] =п1+1 ]=

(6)

У=п1+п2 ] =п1+п2 * ] =п1+ п2 ] =п1+ п2 0 ] =п1 + п2

£ суи] + £ /- £ Ъ]Рх} - £ ИуРу} =-°0 £ ¡1]

]=п1+у

]=п1+у

/=1

/=1 /=1 I = 1,..., «1 + «2

для контура отверстия в полупространстве:

/=П1+«2 +«3 /=п\+п2 + «3 /=«1 +п2 + п3 /=«1 +п2 +п3

£ а*и/ + £ /- £ ё/Рх. - £ щРу /=Щ+п2 +1 /=Щ+п2 +1 /=п + п2 +1 /=Щ +п2 +1

/ =п1 +п2 +п3

]=п1 +п2 +1

еИ со%аИ ,

У У

0

s

}=ПХ+П2 + п3 }=П1 2+п3 _* J=П1 +п3 _

_ J=П1+П2+П3 _

Г 'fJpXJ - I ^ =

J=П1+П2 +1 J=Щ + П2 +1

Г СУМ7 + Г

J=П1+П2 +1 J=П1+П2 +1

0 J=П1+Щ2 + П3 _

= -^с Г ^ , (7)

J=п1 + п2 +1

* * i = П1 + П2 +1,...,П1 + П2 + П3, ау = ау + <5у / 2 , diJ = diJ + (5у / 2 ,

где I - номер фиксированного элемента, J - номер элемента, в котором производится интегрирование.

В результате решения систем уравнений (6) и (7) определяются неизвестные перемещения на свободной поверхности упругого кольца (крепи) и неизвестные перемещения и напряжения на линии контакта крепь - поверхность выработки.

х

Рис. 2. Условие контакта крепи с контуром выработки в полупространстве

Коэффициенты

ау , Ьу , °у , diJ еу , ^ , ^ , Ьу системы уравнений (6) и аналогичные коэффициенты системы уравнений (7) определяются на основе фундаментальных решений Мелана.

При определении коэффициентов системы уравнений (6), которые относятся к крепи надо поставить значения G и V материала крепи. При вычислении коэффициентов системы уравнений (7), которые относятся контуру отверстия выработки в полупространстве, надо учитывать G и V для материала окружающей геосреды.

Разрешающие уравнения (6) и (7) представим в стандартной матричной форме:

[ А] • {X} = {В}, (8)

где [А] - матрица коэффициентов, {X} - вектор неизвестных, {В} = В° х Р° -матрица свободных членов, которые имеют следующие структуры:

[ А] =

А +п2 В пп1 + п2 - ^п2 -Gn2 0 0 0 0

с п\+ + п2 Ппх+п2 - Нп2 0 0 0 0

0 0 0 0 Ап3 Вп3 -Gn3

0 0 0 0 Сп3 ^3 - Нп3

{ X} = {

= v Р Р и v Р Р

» иП1+П2 ' Щ+П2 ' хп2 ' Уп2 ' п3* п3 ' Хп3 ' упз (

I7

(9)

(10)

так как Рхп2 = Рхп3

Р = Р

Уп2 Уп3

из-за того, что по условию совместности деформаций на границе контакта крепи с поверхностью выработки, поэтому матрицу (9) и вектор (10) могут быть представлены в таком виде:

[ A] =

A «1+«2 в «1+«2 E«2 -G„ «2 0 0

C «1+«2 D«1+«2 -F «2 —H« «2 0 0

0 0 A«3 B«3 —E«3 —G«3

0 0 C D« «3 —F «3 —H«3

(11)

(12)

V

+ « ' +П2 'Р ХП2 'Р >«2 ' иПз , ^«3 | '

Элементы блоков матриц (9), (11) и векторов (10), (12) имеют структур соответствующих составляющим в формулах (6) и (7).

В матрицах (9) и (11) нули представляют блочные матрицы соответствующих размеров с нулевыми элементами.

При разбивке «1 = 8, «2 = 8 и «з = 8 матрица [А] (11) имеет порядок 56х56. Матрица правой части [ 5] имеет следующий вид:

[В] = [В0] х Р0, где [В0] = \eFEF ], Р0 = ё°х . Элементы матрицы [ В] вычисляются по формулам:

j=n1+n2

j=n1+n2

E = ^ е„ cosajj, F = ^ cosaj , i = 1,...,« + «2,

У j=1

j=nj+«2 + «з

e,-,- cos aii

j=1 j=nj+«2 + «з

F = ^ fij cosa-j , i = «1 + «2 + 1,...,«1 + «2 + «3 j=«1+«2 +1

Е = I

/=«1+«2 +1

В результате решения системы уравнений (8) определяются искомые перемещения на поверхности упругого кольца, линии контакта упругого кольца с окружающим материалом и напряжения на линии контакта.

После определения перемещений на линии контакта и на контуре упругого кольца вычисляем деформации и по ним соответствующие напряжения. Таким образом, определим напряженно-деформированное состояния взаимодействия упругое кольцо - полупространство по линии контакта и по свободной поверхности.

Таким образом, разработан алгоритм решения статической задачи взаимодействия упругого кольца с полупространством в условиях плоского деформированного состояния на основе метода граничных уравнений.

Л и т е р а т у р а

1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000. - 282с.

2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872с.

SYSTEM OF RESOLVING EQUATIONS OF BOUNDARY INTEGRAL APPROACH FOR THE HALF-SPACE WITH REINFORCED HOLE UNDER THE

TENSION TO INFINITY

J.N. Nizomov, A.A. Hojiboev, O.A. Hojiboev, N.G. Salomov

In this article, we solved the problem related to half-space with arbitrary shape's anchored openings. The half-space is under the tectonic stresses.

KEY WORDS: plane deformation - half-space - lining - mine opening - elastic tunnel ring-halfspace - infinity.