Система моделей качества передачи информации в общем гауссовом канале Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.28.037.372

СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ОБЩЕМ ГАУССОВОМ КАНАЛЕ

© 2012 Е.В. Чучин1, Е.Е. Яковлев2

1канд. техн. наук, доцент, ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: chew 42@yandex. ru 2аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: retker@yandex. ru

Курский государственный университет

Синтезированы аналитические соотношения, моделирующие качество передачи двоичных сигналов по каналам радиосвязи с четырёхпараметрическим распределением коэффициента передачи канала. Полученные модели объединены в систему, построенную по иерархическому принципу.

Ключевые слова: канал радиосвязи, четырёхпараметрическое распределение, модель качества, система моделей.

Известные в настоящее время результаты исследования общих гауссовых каналов связи с четырёхпараметрическим распределением коэффициента передачи канала базируются на численных методах анализа помехоустойчивости приёма сигналов при вариации значений параметров. Подобный подход обусловлен сложностью аналитического моделирования качества передачи сигналов в случае произвольного отношения между квадратурными компонентами, определяющими величину регулярной и флуктуирующей составляющих передаточной функции канала связи. Преодолеть эти сложности можно с помощью аналитического выражения, полученного в виде гипергеометрического ряда [Пионтовский, Чучин 2010].

Применяя это выражение, можно вычислить вероятность ошибки при приёме сигнала для любых соотношений между квадратурными компонентами коэффициента передачи общего гауссового канала. При этом в качестве исходной модели для последующего усреднения может быть использовано одно из известных выражений для вычисления вероятности ошибки при постоянном уровне сигнала на входе приёмника, определяемое как функция отношения сигнал/шум:

P„tа = f (h) .

Наиболее доступной процедурой для этого является усреднение вероятности ошибки при некогерентном приёме сигнала (а = 1). В этом случае при ц = const имеем

f (h) = p„ (1) = W-y

(1)

При наличии в канале связи аддитивной помехи в виде белого шума распределение отношения сигнал/шум, как и распределение коэффициента передачи, будет соответствовать четырехпараметрическому закону. Тогда можно записать

2h

hlxhly

exp

hly

-Yz

ф3)

і; ^ 2 Ку

1 РІ

h2Yl hYy

hly

hly

По аналогии с коэффициентом передачи канала здесь введены обозначения:

тЛ “рх Р Т. тЛ ^1'У РсТ . г.2 “фхРоТ . г2 “ф РсТ .

ПТХ 2 . hPY 2 . ФХ 2 . hФY 2 ’

V V V V

в = < 1- у2 = **_• у2 = • у2 = у2 + у2 .

вф й2 _ ’ Гх й2’ ^ й2 ’ Гх ^

А/Фу ^О* А/Фу

Регулярные компоненты квадратурных составляющих коэффициента передачи канала определяют независящую от времени величину регулярной части отношения сигнал/шум в канале связи ир = ИрХ + Ип. Суммарное (общее) отношение сигнал/шум в четырёхпараметрическом канале зависит от полной мощности всех составляющих сигнала (мощности регулярных и флуктуирующих компонент) и определяется соотношением

и2 = и2 + и2 +—(и2 + и2 ).

Г10 ГI рХ + Л <ру + 1фХ + ГI фу /

Поскольку регулярные и флуктуирующие компоненты могут принимать независимо друг от друга произвольные значения, то отношение между ними характеризуется величиной

+ МрУ 2"р

У 2 2 I 2 I 2

°Х + °У "ФХ + "'ФУ

В случае симметрии канала по флуктуирующим компонентам имеют место следующие равенства:

Кх = аФу = Лф; в<ф = 1; Г22 = 22 = К / К.

Усредняя (1) в соответствии с (2) по всем возможным значениям к для случая некогерентного приёма ортогональных сигналов в общем гауссовом канале, имеем

= /Р" (1 Ъ (фй. (3)

0

После вычисления интеграла получим

р4(1 = 1 ехр&--^*-. (4)

•\Мфх + 21^фу + 2) % ^фх + 2 ЛФу + 2"

Приравнивая в этом выражении любую из величин /X, //^, кфх, или их

совокупность к нулю, можно получить различные соотношения, являющиеся элементами подсистемы моделей качества передачи двоичных цифровых сигналов в четырехпараметрическом канале связи при воздействии помех в виде белого шума.

В частности, при отсутствии флуктуаций в канале связи (кфХ = кфХ = 0) из (4) следует (1). В случае симметрии канала по флуктуирующим составляющим (ЬфХ = ЬфХ = Иф) на основании (4) имеем известное выражение для вероятности ошибки при передаче сигналов в райсовском радиоканале:

Рч (1 = ~Г—ехр(---1Г—1 (5)

г ч ' / .О Г , о

^ф + 2

Полный перечень основных аналитических соотношений, определяющих качество передачи сигналов при различных соотношениях между квадратурными компонентами коэффициента передачи гауссового канала, представлен в таблице 1. Названия каналов в этой таблице даны в сокращённой записи по фамилиям учёных, впервые исследовавших распределения данного вида, либо по названию самого распределения.

Здесь и в дальнейшем, в тех случаях когда это не вызывает неоднозначности, подсимвольные индексы могут быть опущены. Например, для каналов связи с постоянным коэффициентом передачи вместо Ир может писаться И2, а в случае канала с релеевскими замираниями сигнала вместо кф будет употребляться эквивалентная

запись И2, где черта над символом означает среднестатистическое значение отношения энергии флуктуирующего сигнала к спектральной плотности белого шума.

Синтез моделей качества для случая когерентного приёма сигналов в каналах связи с четырёхпараметрическим распределением коэффициента передачи может быть проведен аналогично путём усреднения вероятности ошибки, известной для постоянного уровня сигнала. Однако в силу некоторых сложностей аналитического представления результатов моделирования эту процедуру проще выполнить путём применения к моделям некогерентного приёма интегрального ^-преобразования, переводящего все аналитические соотношения таблицы 1 в область когерентного приёма.

Таблица 1

Вероятность ошибки при некогерентном приёме двоичных ортогональных сигналов в

четырехпарамет рическом канале (а =1)

Вид канала Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Общий гауссов п 1 Лрх ^Р¥ # 4 л/(*Фх + 2^. + 2) Р$ Ых + 2 Ы, + 2)

Бекманна (4 = о) 1 РВ = )/ у ехР 7(йфх + 2)(Афу + 2) к2 # Прх кфХ + 2,

Кловского (й Фх = о) 1 РК , ,■ =; 0X0 V 2(ЛФ У + 2) Н2 к2 # “РХ “РУ ! 2 кф¥ +2"

Райса = /ф) 1 & И2 # р9 = 2 ехр 2 9 Ъф + 2 $ Ьф + 2

Хойта (Арх = = °) 1 л/(^<Фх + 2)Афу + 2)

Усечённый Райса (4 = ^Фх = 0) 1 & Ару # ^ л/2(Афу + 2) ОР$ Аф¥+ 2 #

Релея (Арх = = о) (йфх = = / ) 1 '» = Й2 + 2

Усечённо-нормальный (/4 = ^Ру = Афх = О) 1 РН л/2(йф¥ + 2)

Асимметричный (4 = Афх = 0) 1 Р а = г-,- ,ехр л/2(Аф¥ + 2) & Л2 "рх 2 %

Постоянный (4 = Аф¥ = о) - 1ехр(-Т)

Такое преобразование будет иметь вид р4 ^ = е{р4 (і)}. В результате его осуществления получим

1 і к2 к2 к2 к2 #

1 ^(4) ^ ^ 1‘2‘- РХ____________________________PY 1— '*ФХ 1— ™ФУ

% кфХ + 2 к<2>Y + 2 к(Фх + 2 кФ2Y + 2

“ )к 7

где ^1(4)(а, Ь, Ь'; с; м>, х, у, г )= V-(а, Ь + к, Ь'+/; с; у, г);

0=0 к! л

^»,с.Х). *«чШ-££.

Фо (с )к+1 к\ 1\

Как и в случае некогерентного приёма, выражение (6) объединяет всю совокупность моделей для четырехпараметрического канала, но уже при когерентном приёме сигнала.

В частности, при равенстве нулю одной из регулярных составляющих любого из квадратурных каналов, например Ир = 0, для распределения Бекманна получим

р /±\ =__________1_________Р(з)$! 1 1-9-_ЪрХ 1_____Ъфх т_______^ФУ #, (7)

/М1 24 (*фх + 2^ + 2) ‘ % !’9’9”Лфх+ 2' йфх+ 2' Афу + 2 ]

” х1

где ^(з)(а, Ь, Ь; с; х, у, г )= \ — ^ (а, Ь + к, Ь; с; у, г).

0=0

При отсутствии регулярных составляющих в составе сигнала (крх = hPY = 0), что имеет место при распределении Хойта, из (6) и (7) следует

р /±\ =__________1______К $ 1 1 1-2-1 - кфх 1 - ). (8)

^ ^ (кФх + 2^ + 2) 1 %2’2’2” ^х + 2’ ^ + 2)

Если при этом положить равными нулю и флуктуирующие составляющие в обоих

квадратурных каналах (сигнал отсутствует), то на основании известных свойств

гипергеометрических функций

/ \ / \ / \ Г (с) Г (с - а - Ь)

а, Ь,Ь'; с; х, г )= 2^(а, Ь + Ь'; с; г) и 2 ^ (а,Ь; сЛ) = —(-г-/---тт,

Г (с - а) Г (с - Ь)

с учётом того, что Г(1/2) = л/Л и г(з/2) = л/Л /2, получим естественный для

двухпозиционных передач результат р=1/2. Остальные соотношения, следующие из (6), после выполнения соответствующих преобразований приведены в таблице 2.

Таблица 2

Вероятность ошибки при когерентном приёме двоичных ортогональных сигналов в четырехпараметрическом канале (а = 1/2)

Вид канала (распределения) Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Общий гауссов р 1 Р (4)$ 1 1 1.2. крх і кФХ і h<^>Y

4 ^{к2ФХ + 2^ + 2) 1 %2,2,г” кфх + 2’ ^ + 2’ Ифх + 2’ ^ + 2

Бекманна (кРу = 0) 1 к2 А2 А2 # „ _ 1 Р (з) 1 1 1 .2. Прх 1 "фх 1 "фУ

В ^(кфх + 2)(kфY + 2) 1 $22’2” кФх + 2’ кфх + 2’ ^ + 2

Кловского (к Фх = 0) 1 к2 й2 й2 # п = 1 р(3) 1 _1 1 - 2. крх . кРУ 1 1 кФУ Рк ^2(кфу + 2) 1 $2 2 2 • кфу + 2* • кф, + 2"

Вид канала (распределения) Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Райса = /ф) 1 & , К к1 # Рр = -;— ч*1 Ч; 2, 1; 1—^^ Ьф + 2 1 2 кф + 2 кф + 2

Хойта (*& = ^Ру = °) р _ 1 р & 111. 2. , Лфх ! Лфу # РХ 2^ + 2)Афу + 2) '$ *фх + 2- НЬ,+ 2 )

Вид канала (распределения) Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Усечённый Райса (4 = Афх = 0) р - 1 Р (з) ¥ ^2(йфу + 2) 1 & к2 к2 # 1 1 1 . 2. "ру 1 1 ''фу $2,2,2; ’ кфу + 2’ ’ кфу + 2

Релея (Кх = ^ = о) (йфх = Нфх = /ф) Рр 2 {' )/ И =+2 ]

Усечённо-нормальный (аРх = Ару = Афх = О) рн = — агсБт 1 ^— * V +2

Асимметричный (йру = Афх = 0) п - 1 Р (з) А ^2(лфу + 2) 1 & к2 к2 # 1 1 1 . 2. "рх 1 1 "фу 2’2’2’^’ - , 2 , 2 % 2 к<»у +2!

Постоянный (4 = Афу = о) = 211 -^ [Тг))

Функции 4) и ранее в математике не использовались и введены здесь для удобства обозначения обобщённых гипергеометрических рядов, содержащих функцию F1 (*). Удобство состоит в том, что, независимо от числа переменных гипергеометрического ряда структура параметров, их количество и значения остаются постоянными.

Каждая пара аналитических моделей, входящих в таблицы 1 и 2 под одним номером, связаны прямым и обратным Е-преобразованием. Это позволяет осуществлять непосредственный переход от моделей качества при когерентном приёме к моделям для некогерентного приёма и обратно. Кроме того, для каждой такой пары существует обобщённая параметрическая модель, объединяющая смежные соотношения с помощью параметра а (параметра некогерентности приёма). Для постоянных каналов таким обобщённым соотношением является

Р~{а) = 1 <[1 -. 1Р1 (а;а + I;-+ / г(« + 1)1. (9)

2

2

2

будет

Для каналов связи с релеевским характером замираний таким соотношением

И

-<“> = 2-(^) }■ (9а)

Здесь, как и во всех остальных случаях,

" 12 - при когерентном приёме сигнала; а = #

11 - при некогерентном приёме сигнала.

Обобщённые модели образуют систему №го уровня сложности,

формирующуюся, как и остальные модели, по иерархическому принципу. Ранг

обобщённой модели повышается по мере введения в процесс исследования большего числа параметров, характеризующих канал связи.

Дальнейший синтез системы моделей качества передачи сигналов в общем гауссовом канале целесообразно провести, основываясь на объединении соотношений, приведенных в таблицах 1 и 2, в единую аналитическую зависимость, позволяющую унифицировать процедуру расчёта вероятности ошибки в четырехпараметрическом канале при различных сочетаниях параметров.

Модели 2-го уровня сложности могут быть получены путём усреднения выражения (9) в соответствии с двухпараметрическим законом распределения случайной величины к. Например, при райсовских замираниях сигнала, используя соотношение

' 2кк„

W2 (к) = ТТехР( -

к і

к2 + кр2 |г

2 К 0

к

Ф

к2

0 <к < юз

получим

/7.2 \

1 -

ехр(- у

(-к №

а + 1,а;а +1,1;—,-у]

(10)

Отсюда при а = 1 и а = 1/2 следуют частные случаи, приведенные на 4-й позиции в таблицах 1 и 2 соответственно.

Модель 3-го ранга, соответствующая распределению Бекманна, получается аналогичным образом с заменой в (10) Ж2(И) на Ж3(И). Она имеет вид

Рв а

■1 -

И^ \аехр(-у£)

I 1,2

ФY 2

в

Ф

а + іа,^ - і

1,а +1;

И

01,УХ, '

2

ФУ

2

(11)

Для синтеза обобщённой модели 4-го ранга и 4-го уровня сложности необходимо выполнить усреднение выражения (9) по И c учётом Ж4(И), полученной в [Пионтовский, Чучин 2010]. Тогда имеем

ехр(- у2)

------ "ЛТ л 1----- , У V , У V ,

2

1 а + 1,а,\; 1

, ,2’і -

1,а +1; в

22 2 ЛхЛу-ф

к2

ФY

(12)

Приведенные выше соотношения (9), (10) и (11) представляют собой частные результаты, следующие из (12) при понижении ранга модели. Естественно, что, помимо этих выражений, модель, представленная в виде (12), содержит также множество других формул, позволяющих проанализировать зависимость качества связи от условий, возникающих в канале передачи.

Иерархическая структура, соответствующая шестнадцати возможным состояниям канала связи, показана в виде объёмного орграфа на рисунке 1.

Рис. 1. Объёмный орграф четырёхпараметрического канала связи

а

2

ФУ

2

0

Здесь на рисунке 1 вместо символов Ирх, Ифх, Иру, Ифу использованы цифровые обозначения «ноль» и «единица», сгруппированные в кортежи из четырёх цифр. Единица означает наличие данной компоненты, а ноль - её отсутствие. Истоком графа является вершина, соответствующая кортежу из всех единиц.

Последовательно, исключая каждую компоненту из рассмотрения, можно различными маршрутами прийти к стоку графа, где все компоненты равны нулю. Каждому состоянию соответствует своя система моделей из таблиц 1 и 2.

Достоинством обобщённой модели (12) является её универсальность, обеспечивающая возможность унифицированного расчёта вероятности ошибок при численных методах исследования каналов связи. Однако при анализе частных ситуаций желательно иметь более простые модели, позволяющие осуществлять аналитический анализ, не прибегая к численным методам. Поэтому, несмотря на наличие обобщённой модели (12), подсистемы моделей, представленные в таблицах 1 и 2, имеют самостоятельное значение. Содержащиеся в них формулы для расчёта вероятности ошибок при когерентном и некогерентном приёме сигналов характеризуют предельные случаи квазикогерентного приёма, задаваемого произвольной величиной параметра а. Для каждой из позиций, представленных в таблицах, существует возможность обращения одних формул в другие с помощью Е и ^-преобразований.

В то же время следует отметить, что исследование частных моделей не даёт полной картины зависимости качества передачи сигналов от совокупности факторов, определяющих канал связи. Такая зависимость может быть выявлена только на основе системных методов исследования при использовании обобщенных моделей качества.

Системам моделей качества, как и любым другим системам, присуще свойство эмерджентности, которое отражает появление у системы новых свойств, отсутствующих при рассмотрении её составных частей. Это можно наблюдать на примере райсовского канала, описываемого выражением (10).

Частными случаями этого выражения являются модели постоянного канала (9) и модель релеевского канала (9а). Для этих моделей с увеличением мощности незамирающего или флуктуирующего сигнала вероятность ошибки монотонно снижается. В то же время в случае райсовского канала увеличение общей мощности сигнала при некоторых обстоятельствах может привести даже к резкому ухудшению качества связи.

Так, например, представляя вероятность ошибки через общее отношение сигнал/шум Н0 = Ир + Иф и учитывая, что Ир /Ир = д2, можно записать [Зюко 1986]:

)■

1 + д2

И0 + д + 2 И0 + д + 2

’2 & № # .2 . „2 . оеХР -7^72 %

Из этого выражения следуют частные результаты:

2

- при Нф = 0 для незамирающего сигнала

- при Нр = 0 для релеевского сигнала

д = 0 ^ р = =^-.

И2 + 2

Сравнение этих выражений показывает, что обобщенная модель качества приема сигналов в райсовском канале не является простой совокупностью частных результатов, а сложно зависит от них. Численный анализ этих соотношений

показывает, что при райсовских замираниях проявляется модальность возникновения ошибок, не свойственная частным ситуациям.

Поведение вероятности ошибки при увеличении отношения сигнал/шум за счёт прироста энергии флуктуирующей составляющей сигнала при фиксированной энергии регулярной составляющей показано на графике рисунка 2.

Рис. 2. Зависимость вероятности ошибки от величины флуктуирующей составляющей

райсовского сигнала при hp = const

Такое поведение кривых обусловлено одновременным влиянием на качество передачи сигналов двух альтернативных факторов. С одной стороны, при увеличении энергии флуктуирующей составляющей сигнала возрастает его энергетика, что должно вести к уменьшению вероятности ошибки. С другой стороны, при этом происходит уменьшение значения q2, что вызывает ухудшение качества связи. Наибольшее значение вероятность ошибки достигает в области, когда кф = hp.

В случае когда повышение отношения сигнал/шум происходит за счёт увеличения энергии регулярной составляющей сигнала, при фиксации его флуктуирующей части такого явления не наблюдается, поскольку здесь оба фактора способствуют снижению вероятности ошибки.

Аналогичным образом вероятность ошибки изменяется в случае когерентного приёма сигналов. При этом обеспечивается свойственный этому приёму соответствующий запас в помехоустойчивости по отношению сигнал/шум. График зависимости вероятности ошибки для этого случая также приведен на рисунке 2.

Система моделей, характеризующая качество передачи цифровых сигналов в общем гауссовом канале при воздействии белого шума, представляет собой только небольшую часть некоторой метасистемы более высокого уровня. Такими метасистемами могут быть системы моделей, учитывающие:

- неортогональность сигналов, формируемых на передающем конце канала

связи;

- наличие в канале связи структурных помех, произвольным образом коррелированных с передаваемыми сигналами;

- возможность передачи сигналов по параллельным каналам с различной степенью поражения сигналов в отдельных каналах;

- различия в законах замираний сигналов и помех как по воздействию на сигнальные позиции, так и по ветвям разнесения;

- специфику построения приёмных устройств, оптимизированных для приёма сигналов в условиях помех при различной априорной информации об их структуре, а

также множество других факторов, влияющих на качество передачи сигналов по каналу связи.

Системный синтез моделей, учитывающих воздействие этих факторов, может быть осуществлён в различной последовательности путём обобщения результатов, полученных для каналов с четырёхпараметрическим распределением коэффициента передачи в присутствии белого шума. В этом проявляется многомерный матричный подход к построению моделей качества. Каждая новая модель вышестоящего уровня является результатом системного объединения совокупности моделей предшествующего иерархического уровня. При этом в отличие от принципа «матрёшки», когда осуществляется однозначное вложение одной системы в другую, здесь каждая система может одновременно являться подсистемой многих метасистем, формируемых на основе различных признаков эквивалентности.

Библиографический список

Пионтовский В. В., Чучин Е. В. Системные свойства каналов цифровой радиосвязи // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ фак. информатики и вычислит. техники Курск. гос. ун-та. Курск, 2010. С. 84-92.

Зюко А. Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., Финк Л. М. Теория передачи сигналов. М.: Радио и связь. 1986. 304 с.