CC BY
75
УДК 372.8
СИСТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ И ЗАДАЧ ПРИ КОМПРЕССИВНОМ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТКИЕ НА ПРИМЕРЕ СЛУШАТЕЛЕЙ ЦЕНТРА ДОВУЗОВСКОЙ ПОДГОТОВКИ
© 2016 Л. В. Детушева1, И. В. Детушев2, В. П. Добрица3
1 аспирант кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: detushe va-lilia@ yandex.ru 2 соискатель кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике, преподаватель математики Центра довузовской подготовки
e-mail: [email protected] 3докт. физ.-мат. наук, академик МАН ВШ, профессор кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: dobritsa@mail. ru
Курский государственный университет
В работе приведена классификация математических упражнений, описан алгоритм решения математических задач на основе компрессивного обучения математике, перечислены критерии отбора математического материала, выделены психолого-педагогические закономерности.
Ключевые слова: компрессивное обучение, система заданий и задач, критерий отбора, абитуриенты, слушатели Центра довузовской подготовки, принципы отбора.
Задачи играют огромную роль в жизни человека. Существуют различные виды задач: задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни. Они направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач.
Без сомнения, и в обучении математике одну из главных ролей играют задачи. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных задач, среди которых и содержатся математические задачи.
В данной работе под задачами понимаются обычные школьные математические задачи, в том числе примеры, упражнения, которые имеются в школьных учебниках, пособиях по подготовке к Единому государственному экзамену, Основному государственному экзамену и различных методических пособиях.
Место и функции задач в обучении математике всегда определялись в зависимости от целей обучения. Было время, когда учащимся приходилось заучивать наизусть отдельные математические задачи без их понимания. Затем от учащихся требовали самостоятельного решения задач по готовым образцам. Для этого все используемые в обучении задачи разбивались на многочисленные типы, и для каждого из них учащиеся должны были знать определенный типовой метод решения (образец решения). В последующем задачи использовали для закрепления пройденного материала, для контроля и оценки знаний и умений учащихся и т. д.
В последнее время обучение решению математических задач сводится к осознанному пониманию и умению применять свои знания в определенных учебных ситуациях. К сожалению, количество часов, отводимых на изучение математики,
сокращается, в результате чего усвоение материала недостаточное и при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике у учащихся возникают проблемы при решении некоторых задач.
Во многих российских вузах открыты Центры довузовской подготовки абитуриентов. Центры довузовской подготовки ведут работу, направленную на подготовку к успешной сдаче школьниками ЕГЭ, ОГЭ и других видов вступительных испытаний. В Центрах работают подготовительные курсы, которые дают абитуриентам возможность повторить и систематизировать учебный материал по математике, получить представление о процедуре сдачи и содержания ЕГЭ и ОГЭ, поработать с контрольно-измерительными материалами. За определенное количество часов изучают и прорабатывают темы по математике и другим предметам.
В настоящее время практически каждый преподаватель математики Центра довузовской подготовки при высших учебных заведениях сталкивается с проблемой: как эффективно организовать процесс обучения, какие подобрать упражнения и задания для абитуриентов с учетом того, что на занятия приходят слушатели с достаточно большим разбросом знаний по математике.
Для достижения этой двуединой цели необходимо, чтобы обучение осуществлялось более рациональным образом и с оптимальной пользой для каждого из обучающихся. Большое значение для достижения успеха имеет правильно поставленная и хорошо продуманная методика преподавания. На наш взгляд, таковой и является методика компрессивного обучения математике.
«Под компрессивным обучением понимается технология, позволяющая за ограниченное время усвоить значительный объем материала и которая включает в себя комплексное использование таких направлений как развитие памяти, внимания, технику быстрого чтения, умения анализировать текст, устанавливать взаимосвязи между понятиями, выделять новую смысловую информацию и необходимый для изучения материал, умелое использование информационных систем, технических и информационных средств обучения» [Добрица 2008].
Эффективность данной методики во многом зависит от отбора, конструирования, организации математических задач. Академик РАО П.М. Эрдниев отмечал: «Одним из условий успешного овладения наукой является выявление основного элемента определенной науки, которое позволяет, сосредоточив усилия исследователей на всестороннем анализе этого элемента, построить логически строгую систему изучаемой отрасли. В качестве такого основного элемента методики, на наш взгляд, следует взять понятие "математическое упражнение" в самом широком значении этого слова» [Эрдниев 1986]. Решение математических упражнений является наиболее эффективной формой не только для развития математической деятельности, но и для усвоения знаний, методов и приложений математики, выработки навыков.
Проблеме классификации упражнений и задач уделяется большое внимание как со стороны методистов, так и со стороны психологов. Анализ методической литературы, посвященной классификации упражнений и задач, показывает существование различных подходов к решению этой проблемы. Одни авторы предлагают подразделять упражнения на 1) доказательство, 2) построение, 3) вычисление. Другие предлагают классифицировать, исходя из условия задачи (Л. Л. Гурова, Л.М. Фридман, А. Фуше и др.).
Отметим, что авторы вкладывают разный смысл в понятия строго и нестрого определенных задач. Одни к строго определенным задачам относят те, которые содержат все условия, необходимые для их решения. Другие вопрос об определенности задачи связывают с наличием средств, позволяющих проверить правильность решения задачи. Классифицируют задачи по величине проблемности (Ю.М. Колягин,
У. Рейтман). Задачи группируют по методам их решения: задачи на геометрические преобразования; задачи на векторный метод и т.д. Заметим, что различают задачи творческие и нетворческие (нестандартные и стандартные), теоретические и практические, устные и письменные и т. д. Обратим внимание на тот факт, что классификация математических упражнений проводится у многих авторов, она не в полное мере удовлетворяет логическим требованиям, предъявляемым к классификации объектов.
В. А. Онищук [1981] одним из первых предпринял попытку систематизировать упражнения на дидактическом уровне. Основу его систематизации составляют упражнения, соответствующие дидактическим целям. Выделяются такие этапы формирования умений:
1) актуализация опорных знаний;
2) усвоение знаний;
3) первичное применение знаний;
4) овладение навыками в стандартных условиях;
5) творческий перенос знаний и навыков в нестандартные условия;
6) контроль, коррекция и оценка навыков и умений.
В соответствии с указанными этапами формирования умений выделяются следующие виды упражнений:
- подготовительные;
- вводные;
- пробные;
- тренировочные;
- творческие;
- контрольные.
При переходе от пункта 1 к пункту 6, по мнению В. А. Онищука, должна возрастать самостоятельность учащихся.
К.И. Нешков [1980] выделяет следующие типы задач: задачи с дидактическими функциями, задачи с познавательными функциями, задачи с развивающими функциями.
Е.И. Лященко [1971] предлагает: а) задачи, раскрывающие отдельные аспекты формируемого понятия и выполняющие дидактические функции; б) задачи, раскрывающие связи между отдельными аспектами формируемого понятия; в) задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, а надо применять имеющиеся знания в иной комбинации; г) задачи, с помощью и на основе которых приобретаются новые знания по предмету.
Согласно методике компрессивного обучения математике можно предложить следующую классификацию математических упражнений:
- упражнения, стимулирующие учебно-познавательную деятельность;
- упражнения, организующие и осуществляющие учебно-познавательную деятельность абитуриентов;
- упражнения, в процессе выполнения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.
В последнее время решение математических задач используется для разных функций. При этом под функцией решения задачи понимаются проектируемые преподавателем изменения в деятельности и психике учащихся, которые должны произойти в результате решения ими этих задач. Заметим, что в результате решения каждой математической задачи происходит не одно какое-либо определенное изменение (приобретение умения решать задачи данного вида, развитие мышления,
воображения и т.д.), а различные комплексные изменения в знаниях, умениях, способностях, развитии личности. Однако среди всех этих изменений имеется самое главное: ради которого преподаватель предложил решать именно эту задачу. Эту функцию решения задач имеют в виду, когда говорят о функциях решения задач в обучении.
Рассмотрим основные функции обучения математике:
- развивающую, направленную на развитие математической речи (формулирование определений, проведение доказательств и т.д.), логического мышления (обоснование, обобщение, анализ), аккуратности и строгости в записи решения задач;
- воспитывающую, направленную на воспитание самостоятельности учащихся, умения воздействовать в парах, умения взаимодействовать в коллективе (работа в группе в течение всего занятия);
- обучающую, направленную на формирование знаний, умений и навыков использования подходящего математического инструментария для анализа различных математических ситуаций на занятиях по математике;
- контролирующую, направленную на выявление уровня обученности слушателей подготовительных курсов в центрах довузовской подготовки при высших учебных заведениях по математике, их готовности к сдаче ЕГЭ и ОГЭ, а также их способностей к самостоятельному изучению отдельных тем, применимых к определенному типу задач по математике.
Также отметим метапредметные компетенции изучения курса математики на довузовском отделении, целями которых являются обеспечение возможностей учащихся самостоятельно ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, оценивать результаты своей деятельности. К предметным компетенциям отнесем систематизацию математических знаний и умений, необходимых для практической деятельности и продолжения образования.
Основной целью обучения слушателей подготовительных курсов является формирование знаний, умений и навыков по математике, необходимых им для успешной сдачи выпускных экзаменов, а также для успешного обучения в вузе. Поэтому у абитуриентов необходимо сформировать такой уровень математической подготовки, который им необходим для решения задач, требующих глубокого анализа (в том числе и прикладных задач). Общие умения по решению задач следует отличать от частных умений решения задач определенного вида. В составе частных умений лежат изучаемые абитуриентами частные методы (алгоритмы) решения задач. Все эти частные умения формируются на основе алгоритма решения задач:
1. Быстрое прочитывание условия задачи.
2. Выделение в условии задачи смысловых единиц, понятий и отношений.
3. Анализ текста задачи на энтропийность, то есть разбиение встречающихся понятий на уже «известные» и «новые» для обучающихся.
4. Установление взаимосвязей между «новыми» и «известными» понятиями.
5. Повторение ранее усвоенных понятий, необходимых для восприятия новых понятий;
6. Определение отношений между «новыми» понятиями, построение иерархии «новых» понятий.
7. Оценка возможной значимости «новых» понятий.
8. Анализ результата. На данном этапе предполагается провести проверку согласованности результата решения поставленной задачи с ее условием. Этот этап является заключительным этапом при решении математической задачи, после чего дается окончательный ответ на поставленный вопрос.
Отметим, что данный алгоритм решения математической задачи является основным компонентом компрессивного обучения математике.
Анализируя приведенные выше цели обучения, функции обучения, можно сделать вывод о том, что знания о задачах и сущности их решения нужны еще и для того, чтобы само решение было полным и адекватным содержанию задачи. Не все учащиеся достаточно ясно и правильно представляют себе сущность решения задач на вычисление, на доказательство или построение. Для решения данной трудности можно выделить две категории знаний: общие знания о задачах и сущности их решения и специфические знания о сущности математических задач.
К знаниям первой категории отнесем общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций, о составных частях и структуре задач, об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи (задачи на нахождение искомого и распознавания, задачи на преобразования и построение, задачи на доказательство), общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач, о структуре и этапах процесса решения задач.
К знаниям второй категории отнесем общее представление о моделях и моделировании, сущность математического моделирования и его использование при решении разнообразных задач прикладного характера, методы решения таких задач.
Процедура отбора математических заданий и задач включает в себя следующие особенности:
1) определение задач изучаемой темы путем ознакомления с методическими указаниями при подготовке к экзаменам (задачи формирования знаний, умений, навыков, приемов учебно-познавательной деятельности, воспитания качеств личности);
2) ознакомление с содержанием учебного материала по темам на подготовительных курсах, выделение основных научных и воспитательных идей, понятий, теорем, умений, навыков, которые должны быть усвоены слушателями подготовительных курсов в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом общего образования;
3) обоснование логики раскрытия темы в соответствии с этапами подготовки к экзаменам, принципами, специфичными для компрессивного обучения школьников-абитуриентов (принцип структурирования учебного материала при компрессивном подходе к обучению математике; принцип учета потребностей обучающихся в необходимых им математических знаниях; принцип учета индивидуально-психологических особенностей учащихся; принцип соразмерности необходимости выдачи математической информации и способности обучающихся ее понять, усвоить и запомнить; принцип компрессивной направленности обучения математике; принцип комплексного воздействия на внимание, память и логико-математическое мышление обучающихся с целью их интеллектуального развития);
4) конкретизация числа последовательности всех занятий по теме в соответствии с выделенным программой по математике подготовительных курсов числом часов на ее изучение;
5) четкое определение тематики каждого занятия, формулировка основных задач, совокупность которых должна обеспечить решение общего комплекса математических задач по изучению темы;
6) конкретизация математических задач данного занятия на основе изучения психолого-педагогических особенностей слушателей подготовительного отделения;
7) отбор наиболее рационального содержания обучения на данном занятии по математике, выделение в нем главного;
8) выбор оптимального сочетания методов и средств обучения для реализации методики компрессивного обучения;
9) выбор формы организации учебной работы слушателей подготовительных курсов при высших учебных заведениях - лекции, практические занятия, семинары, групповые занятия, индивидуальные занятия;
10) определение оптимального темпа обучения математике на подготовительных
курсах;
11) определение содержания и методов домашней работы учащихся согласно их учебной мотивации.
Чаще всего домашнее задание предлагается учащимся с целью закрепления материала, изученного на занятии по математике. Однако из нашего опыта работы в Центре довузовской подготовки можно сделать вывод о том, что эффективность выполнения домашнего задания по математике зависит от перспективы дальнейшего использования результатов домашней работы слушателей, от того, насколько активно они используются при получении новых знаний. Поэтому при определении домашнего задания преподавателю следует предусмотреть возможность использования его для углубления изученного материала, для воспроизведения опорных знаний, особенно тех, которые используются при объяснении нового материала, что, в свою очередь, является одним из составляющих методики компрессивного обучения математике.
Рассмотренные выше особенности планирования учебного процесса по математике позволяют определить в нем место процедуры отбора и конструирования математических упражнений. Прежде всего, необходимо определить задачи формирования математических знаний, умений и навыков, руководствуясь программой подготовительных курсов и методическими рекомендациями по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, затем выделить понятия, факты, умения, исходя из содержания выпускных экзаменов, установить взаимосвязь между ними, определить уровень формирования знаний и умений. В соответствии с выделенной совокупностью математических знаний и умений определяется совокупность упражнений, несущих соответствующие действия и способствующих овладению необходимыми математическими знаниями и умениями. При этом следует исходить из роли и места математических упражнений на различных этапах усвоения знаний и умений, а также из учебных возможностей слушателей подготовительного отделения (возрастных, уровня подготовленности, прогнозируемости результатов ЕГЭ и проходных баллов при поступлении в вузы).
Каждое используемое на занятиях по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ математическое упражнение должно иметь определенную цель, причем при отборе упражнений не следует упускать из виду и общие цели их использования, место в общей системе математических упражнений. Следует учесть и дидактическое обеспечение выполнения математических упражнений: учебные материалы с использованием технологий мультимедиа, компьютерный контроль знаний (МуТеБ1;, ЛБТ-тест), Интернет-уроки, «живая геометрия» и др. Отобрав нужные математические упражнения, необходимо их правильно подать. Количество однотипных упражнений, последовательность выполнения упражнений, комбинация одних математических упражнений с другими определяются критериями отбора упражнений.
Для создания системы математических заданий и задач в контексте компрессивного обучения использовались следующие критерии отбора:
- применимости задач к выпускному государственному экзамену;
- задачи, способствующие мотивации изучения соответствующего математического аппарата;
- построения системы задач по принципу возрастающей сложности.
Данные психологии и наблюдения за слушателями подготовительных курсов свидетельствуют о том, что в решении самых различных задач разными людьми проявляются некоторые общие закономерности, характеризующие решение математических задач как специфическую деятельность. Наряду с логической структурой решения задачи, определяемой организацией исходных ее элементов, логикой необходимых математических преобразований, «можно говорить о наличии психологической структуры решения математических задач, выражающей присущее человеку строение интеллектуальной деятельности». Опираясь на психологические исследования П.А. Шеварева [1959], выделим следующие закономерности влияния последовательности выполнения математических упражнений на умственную деятельность учащихся.
Закономерность 1. Если в процессе обучения математике выполнить три условия: а) слушатели подготовительных курсов выполняют математические задания одинакового типа; б) некоторая особенность математических заданий неизменно повторяется; в) слушатель Центра довузовской подготовки может получить верный ответ и в том случае, когда не осознает эту особенность, то степень осознания данной особенности снижается. Из данной закономерности следует необходимость чередования математических упражнений.
Закономерность 2. Усиление ошибочной ассоциации, возникающей в соответствии с рассмотренной выше закономерностью 1, начинается, как правило, после выполнения трех однотипных математических упражнений.
Целесообразно преподавателю учитывать закономерность 1 и 2 в структурах систем математических упражнений в школьных учебниках и методических пособиях. В связи с этим на базе Курского государственного университета было разработано учебно-методическое пособие «Обучение слушателей подготовительных курсов при вузах решению текстовых задач по математике на ЕГЭ на основе компрессивного подхода», в котором учитываются рассмотренные выше закономерности [Детушева 2015].
Закономерность 3. Выполнение математических упражнений на овладение каким-либо действием в некоторой ситуации вовсе не обеспечивает успеха в применении этого действия в другой ситуации, отличной от рассмотренной.
Закономерность 4. Упражнения по математике на выполнение действия на материализованном этапе существенно не влияют на овладение этим действием на умственном этапе. Эта закономерность позволяет сделать вывод о том, что степень овладения действием на умственном этапе существенно не зависит от количества упражнений.
Закономерность 5. Если взаимно обратные действия изучаются раздельно, то в совокупность математических упражнений, выполнение которых требует прямых действий, следует включать упражнения на обратные действия. Этим достигается быстрое переключение мышления слушателя Центра довузовской подготовки с прямых на обратные действия и наоборот, исключается развитие инерции мышления. На занятиях по математике целесообразно решать как прямые, так и обратные задачи.
Следует заметить, что традиционный односторонний подход к проблеме математических упражнений не позволяет выделить всю совокупность теоретических положений, составляющих научную основу методики использования математических упражнений. Главное при этом - сформировать такой общий подход к решению математических задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение - как конструирование и изобретение способа решения.
Заметим, что в настоящее время успех и плодотворность процесса обучения математике решает вопросы воспитания учащихся с опорой на их неиссякаемые силы, веру в их способности. Через воспитание в учебном процессе только и можно эффективно по-настоящему осуществить цели и задачи обучения математике.
Библиографический список
Детушева Л.В. Применение методики компрессивного обучения при решении текстовых задач на проценты [Электронный ресурс] // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск, 2014. № 4(32). URL: http://scientific-notes.ru/pdf/037-027.pdf (дата обращения: 12.08.2015).
Детушева Л.В. Обучение слушателей подготовительных курсов при вузах решению текстовых задач по математике на ЕГЭ на основе компрессивного подхода. Курск: Изд-во Курского государственного университета, 2015. 84 с.
Детушев И.В., Детушева Л.В. Структурно-содержательная модель компрессивного обучения математике школьников-абитуриентов [Электронный ресурс] // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск, 2015. № 4(36). URL: http://scientific-notes.ru/pdf/041-022.pdf (дата обращения: 25.12.2015).
Детушев И.В. Система заданий и задач для студентов экономических специальностей [Электронный ресурс] // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск, 2013. № 4(28). URL: http://scientific-notes.ru/pdf/033-029.pdf (дата обращения: 25.12.2015).
Добрица В.П. Компрессивность как форма инновационного обучения // Инновационные технологии в образовательном процессе: сб. науч. тр. Курского филиала Финуниверситета. По материалам XII Международной научно-методической конференции. Курск: АПИИТ «ГИРОМ», 2015. С. 75-80.
Добрица В.П., Матвеева И.С., Захарова Е.С. Информационные технологии как условие реализации компрессивного обучения // Вестник МГПУ, серия: Информатика и информатизация образования. 2008. № 16. С. 82-86.
Лященко Е.И. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. №3. С. 20-25.
Нешков К.И. Об изменении в содержании курсов математики IV и V классов // Математика в школе. 1980. №3. С. 17.
Онищук В.А. Урок в современной школе. М.: Просвещение, 1981. 191 с.
Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьников. М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1959. 302 с.
Эрдниев П.М, Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 256 с.
