CC BY
16
Пусть 7 — (0,0, Ь — 1)-компонента Тогда имеем следующее равенство:
Ш = ¿0,0,17 + Мп+г 0П+г,
где мп+г — (0,Ь — 1)-форма. Получим ш = ¿0)0)17, поэтому каждая ¿0)0)1 -замкнутая является локально ¿0,0,1-точной. □
Библиографический список
1. Manea A. Cohomology of foliated Finsler manifolds // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III : Mathmatics, Informatics, Physics. 2011. Vol 4(53), № 2. P. 23-30.
2. Bejancu A., Farran H. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle // Reports on Math. Physics. 2006. Vol. 58, № 1. P. 131-146.
3. Vaisman I. Cohomology and differential forms. N. Y. : Marcel Dekker Inc., 1973.
4. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 17-22.
5. Galaev S. V. Contact structures with admissible Finsler metrics // Physical Interpretation of Relativity Theory : Proc. of Intern. Meeting. Moscow, 4-7 July 2011. Moscow : BMSTU, 2012. Р. 80-87.
Foliation on Distribution with Finslerian Metric A. V. Bukusheva
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, [email protected]
A distribution D with a admissible Finsler metric is defined on a smooth manifold X. Let F be a foliation on X. On the distribution of D as on a smooth manifold foliation F corresponds to the foliation TF. Using this foliation and connection over distribution we define analog exterior derivative. Exterior differential forms is applied to a special form.
Key words: sub Finslerian manifold, interior connection, almost contact metric space, cohomology.
References
1. Manea A. Cohomology of foliated Finsler manifolds. Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III : Mathmatics, Informatics, Physics, 2011, vol. 4(53), no. 2, pp. 23-30.
2. Bejancu A., Farran H. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle. Reports on Math. Physics, 2006, vol. 58, no. 1, pp. 131-146.
3. Vaisman I. Cohomology and differential forms. New York, Marcel Dekker Inc., 1973.
4. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost Contact Metric Structures Defined by Connection over Distribution with Admissible Finslerian Metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 3, pp. 17-22 (in Russian).
5. Galaev S. V. Contact structures with admissible Fins-ler metrics. Physical Interpretation of Relativity Theory : Proc. of Intern. Meeting. Moscow, 4-7 July 2011, Moscow, BMSTU, 2012, pp. 80-87.
УДК 517.5
СИНТЕЗ В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ЯДРЕ ДВУХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Т. А. Волковая
Преподаватель кафедры математики, информатики и методики их преподавания, Кубанский государственный университет, филиал в г. Славянске-на-Кубани, [email protected]
Пусть п — целая функция минимального типа при порядке р =1, п(В) — соответствующий дифференциальный оператор. Максимальное п(^)-инвариантное подпространство ядра аналитического функционала называется его С[п]-ядром. С[п]-ядром системы аналитических функционалов называется пересечение их С[п]-ядер. В статье описаны условия, при которых С[п]-ядро двух аналитических функционалов допускает синтез по корневым элементам оператора п(^).
Ключевые слова: спектральный синтез, дифференциальный оператор бесконечного порядка, инвариантные подпространства, подмодули целых функций.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть О — выпуклая область в С; Н — пространство функций, аналитических в О, с топологией равномерной сходимости на компактах; Н* — сильное сопряженное к Н; п(г) — целая функция минимального типа при порядке р = 1; п(^) — соответствующий дифференциальный оператор бесконечного порядка. Считаем, что функция п отлична от константы. Следовательно, п(С) = С. Оператор п(^) является линейным непрерывным оператором, действующим из Н в Н. Замкнутое подпространство Ш С Н называем инвариантным, если п(^)Ш С Ш. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н линейной оболочки корневых элементов оператора п(^), содержащихся в Ш.
Пусть Н* — сильное сопряженное к пространству Н, Р — интерпретация Н* в терминах преобразований Лапласа. Известно, что пространство Р совпадает с индуктивным пределом Р[1,Н^), где Н^ — сопряженная к опорной функции области О [1]. Оператор умножения на функцию п является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[п]. Из теоремы о биполяре вытекает, что между совокупностью {Ш} замкнутых инвариантных подпространств в Н и совокупностью {I} замкнутых подмодулей в Р можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности:
I = Т (Ш0), Ш = (Т-1(1))0,
где Т — преобразование Лапласа Н* ^ Р, Ш0 — аннулятор Ш в Н*, Т-1 — обратное преобразование Р ^ Н *, (Т-1 (I))0 — аннулятор Т-1 (I) в Н .В работе А. Б. Шишкина [2] развивается общий метод, позволивший А. Н. Чернышеву [3] доказать теорему двойственности: замкнутое инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда подмодуль Т(Ш0) является обильным.
В работе [4] обильность замкнутого подмодуля в Р расщепляется на три отдельных свойства: интенсивность, устойчивость и насыщенность. В работе [5] эти свойства подвергаются дополнительному исследованию. Используя описание ограниченных множеств в Р, легко показать, что в этом пространстве выполняется аксиома локальной равномерной устойчивости: для любой точки А е С и любого ограниченного множества В с Р существуют окрестность иА точки А и ограниченное множество В' с Р такие, что
/ е В, С е иА, е Н(С) ^ е В'.
п - С п - С
Это означает, что результаты статей [4] и [5] применимы к Р. Пусть 5 е Н*. Замкнутое инвариантное подпространство
Шз := {/ е Н : (5, п(£)к/) = 0, к = 0,1,...} С Н
называется полиномиальным ядром функционала 5 (точнее, С[п]-ядром функционала 5). Если п(£) — многочлен, то подпространство совпадает с множеством решений однородного уравнения п-свертки (5, /(г, Ъ)) = 0, где /(г, Ъ) — п-сдвиг функции / е Н на шаг Ъ. В этом случае подпространство допускает спектральный синтез (п(£) = С [6], п(£) = С9 [7], п(£) е С [С ] [8]). Случай п — целая функция минимального типа при порядке 1 рассмотрен Р. Г. Письменным [9]. Им же доказана следующая теорема: если существует уточненный порядок р(г) ^ р, 0 < р < 1, такой, что функция п является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке и индикатор Ъ(0) функции п при уточненном порядке р(г) всюду положителен, то подпространство допускает спектральный синтез.
Полиномиальным ядром (точнее, С[п]-ядром) системы функционалов 51, 52 е Н* называется замкнутое инвариантное подпространство := П С Н. Существуют системы из двух функционалов, С[п]-ядра которых не допускают спектральный синтез. Пусть ^х, — преобразования Лапласа функционалов 51,52 е Н* и отношение /#"2 является мероморфной функцией от п. В настоящей работе найдены некоторые достаточные условия на целые функции и #"2, при выполнении которых С[п]-ядро системы функционалов 51,52 допускает спектральный синтез.
1. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Неотрицательную функцию д, определенную в окрестности называют уточненным весом
д(г )
порядка р G [0, если она возрастает, дифференцируема в окрестности и lim -- = га,
r—+ж ln r
Т д'(г)г f ln д(г)
lim —r— = р. Если д — уточненный вес порядка р, то функция р(г) := —- является уточнен-
r—+ ж д(г) ln r
ным порядком. При р > 0 верно и обратное, т.е. для любого уточненного порядка p(r) ^ р функция д(г) := rp(r) является уточненным весом порядка р. По известным свойствам уточненного порядка функция д(г)г-р = rp(r)-p является медленно растущей, значит, равномерно по k из любого отрезка [а; b] С (0;
lim w(kr)(kr)-P =!, lim Д!М = kP. (1)
r—+ ж д(г)г P r—+ ж д(г)
Множество E С C называем нуль-множеством, если множество |E| := {|z| : z G E} имеет нулевую относительную меру.
Пусть п — целая функция вполне регулярного роста при уточненном порядке р(г) ^ р G (0,1) с всюду положительным индикатором, v — обратная к функции д(г) := rp(r). Легко убедиться, что функция Д(г) = v(ln r) является уточненным весом нулевого порядка и существует такая константа к > 1, что вне некоторого нуль-множества E выполняются оценки
к-1 |z|< A(|n(z)|) < к |z|. (2)
При этом
limi^= lim = 1=: р > 1- (3)
t—ж lnlnr t—ж д(ег) р
Условие (3) означает, что функция д(ег) является уточненным весом порядка р. Значит, равномерно по k из любого отрезка [а; b] С (0;
Hm —m д(П) = *> = kР. (4)
+ж д(ег) r—+ж д(г)
r—>
Пусть г>(г) = ехр д(г) — обратная к функции Д(г). Тогда функция 1пР(г) является обратной к функции Д(еГ). Значит, функция 1пР(г) является уточненным весом порядка р. Следовательно, равномерно по к из любого отрезка [а; Ь] с (0;
1п г>(кг)
11т = кр. (5)
г^+ж 1пр(г)
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть & и ^ — целые функции, допускающие представления & = , ^ = ^дС, где /, ., д, С — целые функции. Считаем, что функции /, д, С являются п-симметричными, т.е. / := / о п, . := . о п, д := д о п, С := С о п, где /, ., д, С — некоторые целые функции. Пусть разложения Адамара для функций . и С имеют вид
С \ ТГ Л С
%) = ПА ^ - ^ , д<0 = Ш ^ - ^ ,
где Л := {Аг}, Г := {р} — последовательности нулей функций . и С соответственно, занумерованные каким-либо образом. Считаем, что все элементы последовательностей Л := {А^} и Г := {р} лежат вне единичного круга, т.е. £0 := тт^^тт ||А^|, || > 1. Введем обозначения. Во-первых, пусть
аа :=8ир^—, Аг := эир,П ^ А:=та^АЛ;Аг} < Д(|А„ |) д(|7п |)
Во-вторых, для любого натурального п
Ьп(г) := д(г)С„(г)&(г) - /(г)^(г),
rn(5) := (кд(Дп(5))), Rn(5) := exp ^ ( 4кА j lntn
где in := max maJ |Лг|Лг| I, Fn := Fn о n, Gn := Gn о n
i=1,...,n I J
F» (Z) := П f1 - f) •
GGn (Z) = П 1 - Л
i<n
В-третьих, для оценки функции ) воспользуемся специальными характеристиками:
Sn :=
i>n
1 1
Km := max< max
l£M
к ъ
Л7
где М — произвольное непустое множество натуральных чисел. Если М = 0, то полагаем Км = 1.
3. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ
Рассмотрим вспомогательные оценки для функций , и в терминах характеристик £п и Км.
Лемма 1. При любых 6 > 0, достаточно больших натуральных п и г, удовлетворяющих условию | > гп(6), выполняются оценки:
ln |Fn(z)| < 5 |z|, ln |G„(z)| < 5 |z|, |Ln(z)|< (|f(z)G(z)| + |g(z)F(z)|) e5|z|.
(6) (7)
Доказательство. Пусть п(Ь;Л) — число точек А^ £ Л в круге : |£| < Ь}. Покажем, что для любого Ь > 0 выполняется неравенство п(Ь;Л) < АД(Ь). Для этого рассмотрим упорядочение Л : , А^2,..., при котором |А ^ | < |А^21 < ... . Предположим, что в круге |£ | < Ь содержится п точек
Л71,..., . Положим ¿0 := max ¿m- Тогда по определению числа Ад имеем n(t;A) = n < ¿0 < Ч/
т=1,...,п
< АЛ/А(|А^01) < А/(Ь). Значит (см. [10, гл. I, § 4, лемма 2]),
ln
Fn (Z) ln(1 +
i<n
1 + ш
= J ln + у ) dn(t; Л) <
o
^П л и л
< п(Ь„;А)Ш (1 + М) + |С| / ^Л < п((„;Л)Ш (1 + М) + /^Л <
0 1
< А/(Ь„) (ъ (^1 + ^ + 1пЬп) < А//М 1п (Ьп + |С|) А(|С|).
А 1 1п IСI
В силу (3) е := — > 0. При к = ^ ^ | £ [1; логарифмическая производная
ln tn
ф'к(k; t„) _ 1 ^ t
ln tn
A (tn)tn ln tn
^(k;tn) k \tn + tn ln(tn + tn)
A(tn)
функции ^(к; Ьп) := -ту-рг 1п (Ьп + Ь^) (по переменной к) мажорируется функцией 1 (1 — р + е) = —е
/¿(Ьп ) к к
равномерно по достаточно большим Ьп. Значит, при к > 1 и всех достаточно больших Ьп > 1 выполняется неравенство
1п^(к; Ьр)= / ^(Ь; ) ¿Ь — 1п2Ьп < 1п 1
Л ^(Ь; Ьп)
Следовательно, при |£| > Ьп и достаточно больших п имеем
2ke
ln
Fn(Z)
<
А /lntr
2 Vln |Z|
A(|Z |)-
(8)
Пусть 5 > 0. Из (8) вытекает, что ln Fn(Z) < — A(|Z|) при достаточно большом n и |Z| >
2к
> Rn(5). Если |z| > rn(5) и z £ E, то в силу (2) |Z| = |n(z)| > А ^КГп(5)^ > Rn(5), значит, ln|Fn(z)| = ln Fn(Z) < — A(|Z|) = 75— A(|n(z)|). Выберем окружности |z| = t^, которые не пересека-
2К 2К
ются с исключительным нуль-множеством E и удовлетворяют условиям: t^ < tjk+1 < 2tk и t^ ^ га
5
при k ^ га. Если tk < |z| < tk+1, то ln |Fn(z)| < lnMF„(|z|) < lnMF„(t'fc+i) < ^(M*(tfc+i)) < 5
< 2tfc+1 < 5tk < 5 |z|. Так как rn(5) ^ га при n ^ га, то при достаточно большом n выполняется неравенство rn(5) > t1, значит, для таких n и z, удовлетворяющих условию |z| > rn(5), выполняется оценка ln|Fn(z)| < 5|z|. Значит, первая из оценок (6) доказана. Вторая доказывается аналогично. Оценка (7) следует из оценок (6). Лемма доказана. □
Для о > 0, А £ C обозначим через D (А) замкнутый круг с центром в точке А радиуса о |А|. Пусть M — некоторое множество натуральных чисел, m := min M. Если M = 0, то положим
Em := U (D (А,) U D (А,)) ,
¿GM
FM (Z) = П¿GM l1
Gm(Z) := Г
1 - -f-¿gm v а,
Если М = 0, то := 0, a Ём и (5м полагаем тождественно равными единице. Легко показать (см. [11]), что вне множества
ln
G м (Z)
-^м (Z)
< 1 Sm (|Z| +1)
а
1
GGM (Z)
Fm (Z)
< sm (|z | + i)exp(sm (|z | + 1)),
s := s
(9) (10)
Пусть 0 < о < 1/2. Символом Mn(5) обозначим множество значений индекса i, больших n, для которых хотя бы одно из чисел |А,| (1 — о) и |Аг | (1 — о) не превосходит Rn (5), а символом Nn (5) обозначим множество {i > n : i £ Mn(5)}. Множество кружков ENn(5) = (JiGNn(¿) ^¿j U D (А,)) и круг |Z| < Rn(5) не имеют общих точек, так как по определению множества Nn(5)
min {|Z| : Z £ En„(5)} > minj|А,| (1 — о), |Аг| (1 — о)} > (5).
Выберем а > 1 и обозначим через г^а(5) число из отрезка [гп(5); (к/А (Ла(5)))], которое не лежит во множестве |Е|. Такое число при достаточно больших п найдется, так как из (4) вытекает, что (кд(^а(5))) гп(5)-1 ^ ар > 1. Для всех г из окружности |г| = г^а(5) выполняется неравенство
|n(z)| < <,«(<$) := 3Km„wRT(5),
к' := к2р.
Действительно, так как окружность |г| = (5) не пересекается с множеством Е, то из (2) вытекают неравенства |п(г)| < А (кгП,а(5)р) < А (к2/А (Ла(5))). Значит (см. формулу (5)), при достаточно большом п выполняются неравенства |п(г)| < (5). Остальное вытекает из очевидных неравенств 3 > 1 и Км„(й) > 1.
Если Мп(5) = 0, то при любом г £ Мп(5), по крайней мере, одно из чисел |А^| (1 — ст), | (1 — ст) не превосходит (5). Предположим, что |А^| (1 — ст) < (5). Из неравенства > 1 вытекает,
что
1А*| (1 + ст) < Лп(5) < (5) < 3Км„(5)^ак'(5). (11)
1 — ст
Так как при г £ Мп(5) выполняется неравенство | < КМп(¿) |А^|, то
|Аг| (1 + о) < Km„(*)|Аг| (1 + о) < 3Km„(,)(5).
(12)
Из неравенств (11) и (12) вытекает, что при достаточно большом п множество (¿) лежит в круге
К| < ,а(5).
о
В следующей лемме проводится оценка £п(г) при условии, что |г| < гп(6).
Лемма 2. Предположим, что А < Для любых 6 > 0 и а £ (0; 1/2) при достаточно больших п в круге | < гп(6) верна следующая оценка:
|ЬП(г)| < О-«,в(6) + 1) М^ (<«(6)) ехр {Са«,в(6) + 1) + 6г„(6)} ,
где Са = 2л/2п/а.
Доказательство. Пусть О(п) := О(п) о п, Р(п) := Р(п) о п, где
F<"> (Z) = П f1 - f )'
i>n
G(n) (Z) = П (1 - -
Учитывая, что N П (п; = Мп и получим представления:
Р(п) (С) = Рад (С) ¿N„(5) (С), О(п) (С) = Ом„(5) (С) ¿ад (С),
где функции Рм„(5), Ом„(5), (5), ОN„(5) определяются по множествам М„(6) и N(6). Пусть
РМ„(5) := РМ"(5) 0 п, ¿К(5) := (5) о п, ОМ„(5) := ОМ„(5) о п, (5) := ¿N„(5) о п- Тогда для
любого г £ £ := п-1(^) комплексное число (г) можно представить в следующем виде:
g(z)Gn (z)F (z)
1
G
Mn (5)
(z)
F
M„(i)
(z)
+
G
Mn (5)
(z)
F-
Mn(5)
(z)
1
G
Nn (5)
(z)
F
Nn (5)
(z)
Оценим это выражение в круге |z| < rn(5). В силу оценок (6) при достаточно больших n и |z| < rn(5) верно неравенство
|Gn(z)|< max |Gn(z)| < e5rn(5). (13)
|z|=rn(5)
Функция g(z)F(z) —GMn(5)( целая, и окружность |Z| = Rn(5) охватывает исключительное
V FMn (5) (z) /
множество EMn(5), вне которого выполняется оценка (10) с M = Mn(5). Поэтому для |z| < гП,а(5) и, тем более, при |z| < rn(5) с учетом того, что minMn(5) > n, получим:
g(z)F(z)(l - FMn(5)((zB < MgF (<*(5))
V FM„(5)(z)/
max 1С | = R'n,a(5)
1
G Mn(5)(Z )
F?Mn(5) (Z)
<
< MgF (rn,a(5^) sup {sn (|Z| + 1) exp (sn (|Z| + 1))} < IC| = R'n,a (5)
< MgF (гП,a (5)) ^П (5) + 1)exP ^П (^П,a(5) + ^ •
(14)
о
Аналогично, используя оценку (9) с М = Мп(6) и тот факт, что функция (г) м„(5)
F
является целой, при |r| < r'n а(5) получим:
Mn(5)
(z) (z)
g(z )F (z)
G
Mn (5)
(z)
F
Mn(5)
(z)
< MgF (ГП,a(5)) exP ^П (^П,а(5) + ^ •
(15)
Из определения множества N„(6) следует, что множество (5) лежит вне круга |£| < (6),
следовательно, в этом круге функция 1--^К„(5) голоморфна и для нее выполняется оценка (10)
¿К (5) (С)
с М = N„(6). Поэтому при |г| < гп(6) имеем:
(Z)
1
G
Nn (5)
(z)
FNn(5)(z )
< max |Z|=Rn(5)
1
G
Nn (5)
(Z)
F
Nn (5)
(Z)
< sn (Rn,a(5) + 1) exp (sn «,e(5) + 1))
(16)
Из выражения для ) и оценок (13)-(16) получаем следующие неравенства:
|Ьп(г)| < 2^ ««(6) + 1) (г„,а(6)) ехр (25„ «,а(6) + 1) + 6г„(6)) <
< «,в(6) + 1) М^ (г„,в(6)) ехр (Са«,а(6) + 1) + 6г„(6)) .
Лемма доказана.
□
4. ИТОГОВЫЕ ОЦЕНКИ
Предположим, что для функций f, F, g, G выполнено следующее условие: существуют постоянная C > 0 и ограниченная тригонометрически выпуклая 2п-периодическая функция h(9), такие, что для любых z £ C
max{|f(z)G(z)| ; |g(z)F(z)|} < Cexp(h(9) |z|), (17)
где 9 := arg z. При этом предположении справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Если нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что для некоторого 5 > 0 выполняется неравенство
_Ь S .
(18)
in с Л
lim '—^ < -(7(5) (h + 5),
jA (tn)
где (7(5) := к1+2р (2кА/5) ~ , h = max0 h(9) — min {min0 h(9);0}, то существуют возрастающая последовательность N0 = {nj} натуральных чисел и убывающая к нулю последовательность {ej} такие, что |Ln, (z)| < ej exp ((h(9) + 5) |z|) для любых z £ C.
Доказательство. Из соотношения (18) вытекает, что найдутся а > 1, 5' £ (0,5) и возрастающая последовательность натуральных чисел N0 = {nj} такая, что для любых j выполняется неравенство ln(1/Snj) > h'A (in.,-), где h' > (7(5')(h + 5') > 0, 5' £ (0,5). Поэтому для любых j имеем Sn, < exp [—h'A (tn,)] • Значит, для любого r £ R последовательность Sn,tn, сходится к нулю. В силу нашего предположения (17) и оценки (7) для всех n > n0 и |z| > rn(5') получим:
|Ln(z)| < (|f (z)G(z)| + |g(z)F(z)|) e5'|z| < 2Cexp ((h(9) + 5') |z|). (19)
Оценим характеристику ). Из определения множества Mn (5') вытекает, что при всех
i £ Mn (5') хотя бы одно из чисел
7
, Rn(5') п или |7:| не превосходит —-. Пусть, например,
Тогда равномерно по i £ Mn(5') выполняются неравенства
1
<
7:
7:
7:
< S
1- а
Rn (5')
1 - а
7:
<
Rn(5') 1- а
Из этих неравенств вытекает, что Км„ (5/) ^ 1 при ] ^ го.
Фиксируем произвольное а £ (0,1/2) и воспользуемся оценкой из леммы 2. Согласно этой оценке, при |г| < гп(6') выполняются неравенства
|Ln(z)| < C.Sn (Rn,a(5') + 1) MgF (r^,a(5')) exp {CaSn «,e(5') + 1) + 5'rn(5')} < < CCaSn (Rn,a(5') + 1) exp {CaSn (Rn,a(5') + 1) + 5'rn(5')} exp {hmax<,a(5')} •
Так как maxh(e)rna(5') < hr^ a(5') + h(e)|z| при любом в, то для любого в при |z| < rn(5') и
о
достаточно больших n выполняется неравенство |Ln(z)| < exp
Dn dn
n + tt^ ) A (tnH exp h(0) |z| =: £n exp h (0) |z| ,
A (in) A(tn)
где
in S-
Sn
+h
rn,a (5'К гп(5') + 5
< -
in S-
Sn
+ к
A(Ra (5'))
A (inК A(tn) A(tn) A(tn) A(tn) A(tn)
dn in (CO- (Rn(5') + 1)) + aSn (Rn(5') + 1)
(h + 5'),
A (tn)
A (tn)
<
ln Rn(5') ln 2((a + ( S _' (5') + ( S
< гу; ^ I ту, \ г WSnRn (5 ) + WSn • A (tn) A (in)
Так как K
Mn, (5') ^ 1 и Snj taj
0 при любом a £ R, то
ния Rn (5) и соотношения (4) вытекает, что
A (tnj )
0 при j ^ го. Из определе-
2р 2 Hm AM =Лкf)'" =(4кf ^
A (in) V 5 / V 5
1
1
d
n
j
—>
—>
Значит, если а достаточно близко к единице, то начиная с некоторого номера
п + к \ ,3 , У (к + ) < -к' + С(5') (к + 5') < 0.
A (tn ,) A (tn3-) A (tn3-)
Это означает, что последовательность е^- сходится к нулю. При этом для всех |z| < rn, (5') выполняется неравенство |Ln, (z)| < е^- ехР (h(0) |z|).
Далее, из оценки (19) следует, что для всех |z| > rn, (5') будет выполняться неравенство
|Lnj(z)| < е^ exp((h(0) + 5) |z|), (20)
где еП3 := 2С exp (— (5 — 5'') rnj (5')) — 0 при j — га. Для всех комплексных z получим |Ln, | < £j х х exp ((h(0) + 5) |z|), причем ej := ma^jе^-; е^.} — 0 при j — га. Лемма доказана. □
Далее рассмотрим некоторые дополнения к лемме 3. Во-первых, в лемме 3 предположение существования мажоранты Сexp (h(0) |z|) для функций fG и gF можно заменить следующим предположением: функции fG и gF имеют конечный тип, а функцию h(0) положить равной max(0),hgF(0)} + е, где hfG(0), hgF(0) — индикаторы fG и gF соответственно и е — произвольное положительное число.
Во-вторых, если fG и gF имеют конечный тип, то оценку (19) можно заменить оценкой |Ln(z)| <
< 2Cexp ^h(0) + е + 5''j |z|j, где h(0) := max {hfG(0); hgF(0)}. Из этой оценки следует, что для
|z| > rnj (5') вместо (20) будет иметь место оценка |Lnv | < е" exp ^(k(0) + е + 5^ |z. В остальном, повторяя доказательство леммы 3, приходим к заключению о справедливости следующей леммы.
Лемма 4. В условиях леммы 3 для любого е > 0 существуют возрастающая последовательность N0 = {nj} натуральных чисел и убывающая к нулю последовательность положительных чисел {sj} такие, что для всех достаточно больших j выполнена оценка
|Lnj (z)| < exp ((k(0)+ е + 5) |z|) .
В-третьих, рассмотрим случай
_ln s
lim „ n = —га. (21)
A (tn)
Лемма 5. Если нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что выполняется условие (21), то в условиях леммы 3 существуют возрастающая последовательность N0 = {nj} натуральных чисел и убывающая к нулю последовательность положительных чисел {е7-} такие, что для любого 5 > 0 и всех достаточно больших j выполнена равномерная по z оценка |Ln (z)| < £j exp((h(0) + 5) |z|) .
Доказательство. Так как функция С (5) убывает и lim C (5) = +га, то для любого k <G N
существует единственное решение 5k £ (0; 1) уравнения кС (5) (h + 1) = k + кС (1) (h + 1). При этом последовательность {5k} убывает, стремится к нулю и для всех k
кС (5k) (h + 5k) = кС (5k) (h + 1) + кС (5k) (5k — 1) < кС (5k) (h + 1) = k + кС (1) (h + 1).
В силу соотношения (21) можно считать, что для каждого j > k выполнены неравенства
ln Sn,
A (tn, )
> hk > кС (5k) (h + 5k),
где Л4 := к + к(7 (1) (к + 1). Пусть > 0 и ^ 0 при к ^ га. Ссылаясь на лемму 4, заключаем, что для любого к £ N существует убывающая к нулю последовательность положительных чисел {е^-} такая, что для всех достаточно больших ] выполняется равномерная по г оценка
(г)| < е^ ехр ((к(6>) + + 5^ |г.
Осталось для любого ] положить := е^-. Лемма доказана. □
5. ПОДМОДУЛИ С ДВУМЯ ОБРАЗУЮЩИМИ
Пусть О(С) — кольцо целых функций одной комплексной переменной с топологией равномерной сходимости на компактах, (С) — подкольцо О(С), состоящее из п-симметричных целых функций, т.е. из целых функций, допускающих представление в виде композиции с о п, где с £ О(С). Система элементов /15...,/п £ О(С) называется независимой, если выполняется импликация: если С1/1 + ... + сп/п = 0 и С1,..., сп £ (С), то С1,..., сп = 0. Ранг множества I С О(С) — это максимальное число элементов в независимых системах /1,...,/ £ I. Замкнутый подмодуль в Р ранга 1 автоматически является интенсивным и насыщенным [5]. Это означает, что проверка обильности такого подмодуля в Р сводится к проверке его устойчивости.
Пусть замкнутый подмодуль I С Р порожден функциями & и 3. Покажем, что ранг I равен 1. Если /1 ,/2 £ I, то с1/1 + с2/2 = 0, где с1 := /2с2 := — /1/^ — целые функции. Убедимся, что с1?с2 £ (С) на примере с1. Действительно, существуют обобщенные последовательности га := -а о п, га := гОа о п £ С[п] такие, что г^^ + га3 = ^ (га/— + г^^ /2 в топологии пространства Р. Так как вложение Р С О(С) является непрерывным, то га/— + га^ с1 в топологии пространства О(С). Это означает, что обобщенная последовательность га/-?- + -арС? сходится к некоторой целой функции с1 в топологии пространства О(С). При этом с1 = с1 о п.
Фиксируем А £ С, для которой выполняется условие: найдется г0 £ А := п-1 ( А) такое, что &(г0)3(г0) = 0. Символом А( А) обозначим совокупность векторов а = (а1 ,а2) £ С2, для которых а1&(г)+а23(г) = 0 при любом г £ А. В силу предложения 5.5 из [5] замкнутый подмодуль I является устойчивым тогда и только тогда, когда для каждого вектора а £ А( А) существуют обобщенные последовательности га, га £ С[п], такие, что га |д = а1, га|д = а2 и га & + га3 ^ 0 в топологии Р.
Теорема 1. Если для некоторого 5 > 0 и некоторой ограниченной тригонометрически выпуклой 2п-периодической функции Л,(0), удовлетворяющей условию Я(0) + 5 < Л,(0) + 5 < Я^(0), нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что выполнено (18), то замкнутый подмодуль I, порождаемый функциями & и 3, является обильным.
Доказательство. Зафиксируем точку г0 £ С такую, что & (г0 )3 (г0) = 0. Функции & (г )/&(г0), 3(г)/3(г0) порождают тот же подмодуль I, что и исходные, кроме того, они удовлетворяют условиям теоремы вместе с функциями & и 3. Поэтому, не ограничивая общности, можем считать, что &(г0) = 1, 3(г0) = 1. Для доказательства теоремы достаточно построить последовательности Р?,
£ С[п] такие, что
Р?&—<3 ^ 0 в Р и Р? (¿0) = (¿0 ) = 1. (22)
Так как любой главный подмодуль в Р является обильным, то существуют последовательности рт,5т £ С[п] такие, что ^ и дт3 ^ /3 по норме ||^(г)|| := вир |^(г)| ехр (—Л,(0) |).
Пусть N := {п?}, {е?} — последовательности из леммы 3. Положим Р?(£) := (£)6Пз.(£), О?(С) := Р™, (С(С). Здесь {к?}, {1?}, {ш?} — возрастающие последовательности натуральных чисел, , ртз. — последовательности полиномов. Покажем, как выбрать эти последовательности, чтобы выполнялись следующие два условия:
1) последовательность (г) := Р?(г(г) — О?(г)3(г), где Р? := Р? о п, := о п, сходится к нулю в топологии Р;
2) существуют а > 0 и £ К, для которых при 3 > выполняется неравенство Р? (г0) > а.
Пусть := о п, дт, := о п. Функция (г) отличается от функции (г) функциональными множителями ) и /(г), которые заменены аппроксимирующими их п-симметричными многочленами (г) и (г) соответственно. Представим Ь? (г) в виде суммы
Ь ) + Ь ?2) (г) + Ь ?2) (г),
где
Ь?1) (г) := [рт, (г) — $(*)] (г), Ь?2) (г) := (г)&(г) — /(г)-, (г)3(г),
Ь?3)(г) := [/(г) — ^ (г)] (г)3(г).
Ь?2)(г) совпадает с Ьп, (г). По лемме 4 (г) < ехр((Л,(0) + 5) |г|) для любого г £ С. При фиксированном п? значение ш? = ш (п?) подбирается так, чтобы выполнялись неравенства
: (2)
Lj1 (z) < ej exp((k(#) + 5) |z|), Lj3)(z) < ej exp((k(#) + |z|) при всех z G C. Из вышеизложенного следует, что для всех j верна равномерная по z G C оценка Lj(z) < 3ej exp ((k(#) + 5) |z|), и, значит, при указанном выборе mj выполняется условие 1).
Далее, (Zo) GGn. (Zo) = (zo)(5„3. (zo) — G(zo) = 1 при j — га. Поэтому при некоторых a > 0 и jo > j' для всех j > jo будет выполнено неравенство Pj(zo) = pmj (zo)GGnj (zo) > a. Это означает, что выполняется условие 2).
Далее построим по функциям Pj и (< функции Pj, Qj G С[п] такие, что выполнены соотношения (22). Это можно сделать следующим образом. Положим Pj(z) = (n(z) — aj) Pj(z), Qj(z) =
= (n(z) — aj) (j (z) — + 1, где aj = Zo — - 1 , j > jo. Тогда Pj (zo) = Qj (zo) = 1 и
-Pj (zo) (zo)
Pj (z )F (z) — < (z)G (z) = (n(z) — aj) (p (z )F (z) — < (z)G (z)) — — j G (z).
Так как |n(z) — av| < |n(z)| + |Zo| + a при j > jo, и PjF — (jG — 0 в P, то первое слагаемое в правой части равенства стремится к нулю в P. При этом в силу условий 1) и 2)
1 - = ^-Ц (р?(г0) - §?(г0)) = -^-Ц (Р?(г0(г0) - § (^(¿0)) - 0.
Р;? (^0) Р? Ы 4 7 Р? (¿0) 4 7
Значит, и второе слагаемое стремится к нулю в Р. Теорема доказана. □
С уменьшением 8 усиливаются требования на близость точек из Л и Г, а возможный рост функций и приближается к экстремальному.
Теорема 2. Если для некоторого 8 > 0 и некоторой ограниченной тригонометрически выпуклой 2п-периодической функции к(0), удовлетворяющей условию к(0) + 8 < к(0) + 8 < Н^(0), нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что выполнено (21), то замкнутый С[п]-подмодуль I с Р, порождаемый функциями & и G, является обильным.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как и доказательство теоремы 1, но при оценке функции (г) вместо леммы 4 нужно использовать лемму 5.
6. ПРИЛОЖЕНИЕ К СПЕКТРАЛЬНОМУ СИНТЕЗУ
Пусть $1 , $2 ^ Н*, &, G — характеристические функции функционалов $1 и $2 соответственно. Из теоремы двойственности, теоремы 1 и теоремы 2 вытекает, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если целые функции & и G удовлетворяют условиям теоремы 1 или теоремы 2, то С[п] — ядро системы функционалов , $2 е Н* допускает спектральный синтез.
Рассмотрим примеры применения теоремы 3. Во-первых, пусть произведения &(г) = ^(г)/(г),
& (¿^ (¿) -
G(г) = ^(¿)д(г) и частное -—— = (г)д(г) принадлежат Р. Здесь / = / о п, д = д о п и
/, 9 — целые функции экспоненциального типа. В этом случае Р(г) = = 1, следовательно, = 0. Все условия теоремы 2 выполнены, значит, подпространство допускает спектральный
синтез.
Во-вторых, в условиях предыдущего примера предположим, что функция ^ имеет вполне регулярный рост и ее индикатор к<Д0) удовлетворяет неравенству
к^ (0) + ^ (0) - ^ (0) < Н^ (0), (23)
где к^(0) и к^(0) — индикаторы функций & и G соответственно. В этом случае к/(0) = к^(0) -- к^ (0), кд (0) = к^ (0) - к^ (0). Из неравенства (23) следует, что функции и /G принадлежат Р. Таким образом, условия теоремы 2 выполнены, значит, подпространство WSl)S2 допускает спектральный синтез.
В-третьих, предположим, что образующие & и G являются п-симметричными функциями и произведение FG принадлежит Р. В этом случае выполнение условий теоремы 2 следует из естественных представлений & = /, G = д. Так что подпространство WSlдопускает спектральный синтез.
В заключение автор выражает свою признательность профессору А. Б. Шишкину за постановку задачи и полезные консультации.
Библиографический список
1. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3-30.
2. Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 9. С. 143-160.
3. Чернышев А. Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА. 2001. № 6. С. 75-87.
4. Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Локальное описание целых функций // Исследования по математическому анализу. Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 8,
4. 1. Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН, 2014. С. 218-230.
5. Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Локальное описание целых функций. Подмодули ранга 1 // Владикавказ. мат. журн. 2014. Т. 16, № 2. С. 14-28.
6. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпро-
странства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Мат. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331-362.
7. Мерзляков С. Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1986. Т. 40, № 5. С. 635-639.
8. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности //Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559-1588.
9. Письменный Р. Г. Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Славянск-на-Кубани, 2010. 104 с.
10. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М. : Гостехиздат, 1956. 632 с.
11. Абузярова Н. Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 4. С. 3-22.
Synthesis in the Polynomial Kernel of Two Analytic Functionals
T. A. Volkovaya
Kuban State University, Branch in Slavyansk-on-Kuban, 200, Kubanskaya str., Slavyansk-on-Kuban, 353560, Russia, [email protected]
Let n be an entire function of minimal type and order p =1 and let n(D) be the corresponding differential operator. Maximal n(D)-invariant subspace of the kernel of an analytic functional is called its C[n]-kernel. C[n]-kernel of a system of analytic functionals is called the intersection of their C [n]-kernels. The paper describes the conditions which allow synthesis of C [n]-kernels of two analytical functionals with respect to the root elements of the differential operator n(D).
Key words: spectral synthesis, differential operator of infinite order, invariant subspaces, submodules of entire functions.
References
1. Krasichkov-Ternovskii I. F. Invariant subspaces of analytic functions. II. Spectral synthesis of convex domains. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 88, no. 1, pp. 3-30.
2. Shishkin A. B. Spectral synthesis for systems of differential operators with constant coefficients. Duality theorem. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1998, vol. 189, no. 9, pp. 1423-1440.
3. Chernyshev A. N. Spectral synthesis for infinitely differential operator with constant coefficients. Duality theorem. Trudi FORA, 2001, vol. 6, pp. 75-87 (in Russian).
4. Volkovaya T. A., Shishkin A. B. Local description of entire functions. Mathematical forum, vol. 8. Sequence analysis and related problems of mathematical modeling. Vladikavkaz, UMI VSC RAS and RSO-A, 2014, pp. 218230 (in Russian).
5. Volkovaya T. A., Shishkin A. B. Local description of entire functions. Submodules of rank 1. Vladikavkaz.
Math. Journal, 2014, vol. 16, no. 2, pp. 14-28 (in Russian).
6. Krasichkov-Ternovskii I. F. Invariant subspaces of analytic functions. III. On the extension of spectral synthesis. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 88, no. 3, pp. 331-352.
7. Merzlyakov S. G. Invariant subspaces of the operator of multiple differentiation. Math. Notes, 1983, vol. 33, no. 5, pp. 701-713.
8. Krasichkov-Ternovskii I. F. Spectral synthesis in a complex domain for a differential operator with constant coefficients. I: A duality theorem. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1991, vol. 182, no. 11, pp. 1559-1587.
9. Pismenny R. G. Glavnye podmoduli i invariantnye podprostranstva analiticheskih funkcij : dis. kand. fiz.-mat. nauk [Principal submodules and invariant subspaces analytic functions : Dr. phys. and math. sci. diss.]. Slavyansk-on-Kuban, 2010, 104 p. (in Russian).
10. Levin B. Ja. Distribution of Zeros of Entire Functions. Translations of Math. Monographs, vol. 5, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 1964; revised ed. 1980.
11. Abuzyarova N. F. A property of subspaces admitting spectral synthesis. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1999, vol. 190, no. 4, pp. 3-22.
УДК 517.54
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С ПРОСТЫМ КОНЦОМ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Е. Г. Ганенкова
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Петрозаводский государственный университет, [email protected]
В 1954 г. М. Хайнс (M. Heins) доказал, что если A — аналитическое множество, содержащее бесконечность, то существует целая функция, для которой A является асимптотическим множеством. В статье получен аналог теоремы Хайнса: для произвольной многосвязной плоской области D с изолированным граничным фрагментом, аналитического множества A, содержащего бесконечность, и простого конца области D с носителем p построен пример аналитической в D функции, для которой множество асимптотических значений, связанных с p, совпадает с A.
Ключевые слова: асимптотическое значение, простой конец, аналитическая функция, аналитическое множество.
Пусть D — область из C, f — определенная в D функция, z0 £ dD — достижимая граничная точка, т.е. существует кривая, лежащая в D, кроме конца z0.
Определение 1 [1, гл. 1.6, с. 21; 2, с. 336]. Число a £ C называется асимптотическим значением функции f в точке z0, если существует кривая Га, целиком лежащая в D, кроме своего конца z0, такая, что
lim f (z) = a.
Га
Кривая Га называется асимптотической кривой, соответствующей асимптотическому значению a. Множество всех асимптотических значений (асимптотическое множество) функции f в точке z0 обозначается As(f,z0).
По теореме Иверсена (F. Iversen) [1, гл. 1.6, с. 23; 3; 4, гл. 5.1, с. 224] для непостоянной целой функции f асимптотическое множество As(f, га) содержит бесконечность. Также это множество является аналитическим (в смысле Суслина) [5], т.е. может быть представлено в виде
A ^J {Ani П П2 П Ani П2П3 П ... },
(ni ,П2 ,... )
где Ani ...nk — замкнутые множества, а объединение берется по всевозможным наборам (n , n2,...) натуральных чисел (более подробную информацию об аналитических множествах можно найти, например, в [6, гл. VIII, § 32; 7, с. 135]).
В 1918 г. В. Гросс (W. Gross) [8] построил пример целой функции, множеством асимптотических значений которой является расширенная комплексная плоскость. В 1954 г. М. Хайнс (M. Heins) [9] доказал, что для любого аналитического множества A, га £ A, существует целая функция, асимптотическое множество которой совпадает с A.
В [10,11] рассматривались функции более общего вида: аналитические в некоторой плоской области произвольной связности с изолированным граничным фрагментом.
Определение 2 [12]. Область D с C имеет изолированный граничный фрагмент, если выполняется одно из условий:
(I) существуют континуум K с dD и открытое множество U такие, что K с U и (dD\K)ПU = 0;
(II) существуют простая кривая Г с dD с различными концами С,п и открытый круг B такие, что С, п £ dB, Г \ (С, п} С B и (dD \ Г) П B = 0.
(III) существует изолированная точка множества dD.
Если выполняется условие (I), (II) или (III), то говорят, что D имеет изолированный граничный фрагмент I, II или III рода соответственно.
В [11] был получен следующий аналог результата М. Хайнса.
