CC BY
11
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров, А. Ф. Султанова, Л. А. Гатауллина
СИНТЕЗ СКОЛЬЖЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ НЕ ИНВАРИАНТНОСТИ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В СИСТЕМАХ С ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Ключевые слова: невыполнение условий инвариантности, неполная информация о состоянии, линейный стационарный объект, многообразие скольжения, векторное управление.
Синтезировано такое подвижное многообразие, что в скользящем режиме на нем исходная система обладает заданным повышенным качеством переходных процессов, несмотря на действие ограниченных внешних и параметрических возмущений, как неопределенных, так и номинальных. Найдено векторное управление, приводящее исходную и модельную систему в скользящий режим на единое многообразие.
Keywords: failure to comply with the condition of invariance, incomplete information, linear stationary object, sliding manifold, vector control.
Synthesized a movable manifold that the sliding mode on it the original system has given high quality of transient processes, despite the limited effect of external and parametric disturbances as uncertain and nominal. Found vector control, which leads the original and the model system in the sliding mode to a single manifold.
(1)
Введение
Рассматривается управляемая система z = Ао z + Бои + ОоРо Ц) + Л( 2, г), х = К2,
с матрицами и столбцами размеров 2 — П х 1, А — п х п, Б0 — п х т, и — т х 1, О0 — п х I, Р0 — I х 1, Л — п х 1, К — q х п, где Л - вектор ограниченных неопределенных возмущений, х - выходной q х 1 — вектор. Полагается, что система (1) имеет регулярную форму [1], согласно которой первые п — т строк матрицы Б0 являются нулевыми и
размерность системы п равна 2т .
Задается модельная система - идентификатор Люенбергера, дополненный вектором номинальных (известных) внешних возмущений ) с номинальной матрицей входа 00(г) и произведением с размерами матриц п х п и п х q
¿м = А 2м + Б0и + (х — К2м) + 00^(0. (2) Представим вектор г в виде суммы
2(/) = ¿м(0 + 42(0 (3)
и рассмотрим многообразие скольжения 5 для модельной системы (2)
S (s = C(t)zM = 0), C(t) = (C\t),C2):
1Г ,27 чГ
Zm = (z" ,z" ) в котором C - m x n, С1 - m x (n - m), С2 = Em -m x m единичная матрица.
(4)
Постановка задачи
Задача 1. Найти такое многообразие 5 (4), чтобы в скользящем режиме на нем исходная система (1) обладала заданным повышенным качеством переходных процессов, несмотря на действие ограниченных внешних и параметрических возмущений, как неопределенных
h(z, t) = 4A(t )z + 4B(t )u + D0 4F (t) +
(5)
+ 40(г )(^ъ(/) + 4Р (г)),
так и номинальных 00^э (г).
Задача 2. Найти такое векторное разрывное или непрерывное управление и, чтобы оно приводило за требуемое время изображающую точку (и.т.) модальной (2), а затем и исходной (1) систем на многообразие (4) общего скользящего режима.
Построение многообразия скольжения
Найдем сначала уравнения скользящего режима в исходной системе (1). Для этого переходим в ней к координатам модальной системы. Так как согласно сумме (3) 2 = 2м + 42 , то система (1) преобразуется к виду:
(6)
(7)
¿м + 42 = А0 (¿м + 42) + Б0и + С0Р0 (г) + + Л(2м + 42, г), х = К (2м + 42).
Перепишем систему (6) в виде: 2М = А0 2м
+ Б0и + 00^) + Л(2,г) + + А042 — 42, х = К (2м + 42)
Производная £ многообразия 5 (4) принимает вид:
5 = с (г )2м + с(г )2м = с (г )2м (г)+с(г )2м (г) = = с (/)2м + с(г )А0 2м + с^и+00Р0 (г) + (8) = с(г )Л(2,г)+с(г )А0 42—с(г )42.
По методу эквивалентного управления В. И. Уткина выражение 5 приравнивается к нулю [2]:
5 = с (г)2м + с(г)А0 2м + с^и +
+с(/)ВД(/)+с(г)Л(2,г) + (9)
+с(г )А0 42—с(г )42 = 0
и находится эквивалентное уравнение и =иэкв :
и =иЭкв = —(с(/ )Б0)—1(с(г)4;т — С (^ —
с(/)Ас 2м — с^^ (г)—с(/)Л(2, г)—с(/)А, 42).
Подставим это уравнение и =иэкв в систему (1). Получаем уравнение скользящего режима по многообразию 5 (4) в исходной системе (1):
2 = Ао г + Во (Сто)-1 стг - С^)гм -
- С(ОАогм - С^^о (0 - С(ф(г,0 - (10)
- С«)АоАг) + DоFо(t) + Кг^),
х = Кг.
Найдем уравнения скольжения в модельной системе (2). Приравнивая нулю производную £, найденную в силу данной системы,
£ = С «)гм + С(0гм = С «)гм + С(ОАо гм
+ С^ )Вои + С^ )^Т (х - Кгм) + + С^ ^о^) = 0, и выражая из данного равенства
и = иэкв = -(С№о)-1 (С ^ )гм + С^ )Ао гм +
+ С^)^Т х (х-Кгм) + С^)), получаем после подстановки и =иэкв в систему (2) систему модельного скользящего режима
г =Аогм -Во(С№о)-1(С^)гм + С(0Аогм + + С(0^Т(х-Кгм) + С(^о(0 + ^Т х х (х -Кгм) + DоFо(t). Вычтем из системы (10) скользящего режима исходной системы (1) систему (11) модельного скольжения. Получаем систему в отклонениях Аг от модельного скольжения:
(Е - Во т)Во )-1 С^))Аг = (Е - Во (С^)Во )-1 х
х СШАоАг + ) - ^Т (х - Кгм)).
С учетом (Е - Во (СВо) С) ф о получаем систему в отклонениях
Аг = Ао Аг - К^Т КАг + К(г, t).
(12)
Учтем регулярность исходной и модельной сис-
тем: в матрице Во =
' Во1 ^ Во
субматрицы удовлетво-
^ о2 у
ряют условиям Во1 = о, \Во2 ф о . Модельная система (11) принимает вид
гм =Аом гм -Ао12 )гМ +
+ Ки£,тКАгЦ) + О1^),
(13)
1
где Ао11, Ао12 , Ки1, (п - т) х (п - т),
(п -т) х (п - т), (п - т) х п,(п - т) х I — субматрицы при (п - т) = т, п = 2т. Обозначим в системе (13)
Ки10ТКАг(Г) + = Н(Аи,Г), (14)
где Н - (п - т) х 1 вектор, и зададим субматрицу
С ^) в виде
СV) = А-2(С1с + С1М«, гЪ$)),
(15)
1
где Сос - (п - т) х (п - т) - субматрица обратной связи для системы (13) без учета Аг(^ и Fо(t) находится либо по методу модального управления, либо, например, по методике работ [3, 4] с экспо-
ненциальным убыванием
гМ«)
в заданное число
к раз, к > 1, за требуемое время.
11
Матрицу Сн ^, гм(})) для преодоления (превышения) действия вектора Н(Аг^) (14) неопределенностей от вектора Аг(^ и действия номинальных возмущений Fо (0 формируем в диагональном виде
СН(^ г)) =
С11 !\гм,1
о
о
С
п - т,п - т
(16)
Тогда в системе (13) сумма Н(Аг^) (14) и - Сн гМ ^))гМ принимает вид - Сн((, г1(( ))гМ + Н( Аг, () =
СцЩп(гш л)
^ (
С
п - т,п - т
ядп(гм,п-т )
н1( Аг, Г)
НГ
Л Аг,{)
(17)
Задаем значения Сц такими, чтобы выполнялись превышения коэффициентов Сц над модулями Н (Аг, t) :
Сц > \H¡ (Аг,щ / = 1, п - т, п - т = т. (18) При выполнении неравенств (18) модельные координаты гм/ ^), / = 1, п - т, системы (18) в допол-
11
нение к действию обратной связи - СосгМ приобретают дополнительное затухание С// согласно неравенствам (18).
12
Так как в скольжении субвекторы гм и гм связаны уравнением многообразия 5 (4), то т х 1 суб-
2 1 Т 2Т Т
вектор гм вектора гм = (г , г ) равен
гМ = -(С2)-1С1(0г° =-С1(0г° . (19) Для того, чтобы вектор г(^ исходной системы (1) совпадал через заданное малое время (например, за одну четверть времени переходного процесса в модельной системе (2)) с модельным скольжением с заданной точностью необходимо обеспечить достаточно быстрое затухание вектора отклонений Аг(^ от модельного вектора гм (^. Из уравнения (12) следует, что для этого необходимо с помощью слагаемого К^Т КАг создать управление по обратной связи для устойчивости и качества процессов затухания отклонения Аг(^ и для преодоления действия вектора неопределенности ). С этой це-
о
о
г
м,п - т
+
лью n x n -матрица Ku в системе (12) разбивается
на два слагаемых:
Ku =
' Kui ^
v Ku2 у
= Kuoc + K
uh >
(20)
Ku1 - (n - m) x m, Ku2 - m x m.
Система (12) запишется в виде 422 = (Ас — Кио^К)42 + (Л(2,/) — Ки^гК). (21) Матрица Киос размером п х п находится по методу работ [3, 4], а п х п -матрица КиЛ из условия
KuhGTK = d/'ag (ai.....а„):
(22)
где а,- = КЛ/-|42/|, КЛ/ > |Л/ (2,г)|, / = 1, п . Решение для п х п - матрицы Кил в системе (22) существует, 2
так как при п неизвестных в системе (22) имеется 2
п уравнений.
Выполнение условий (22) обеспечивает, помимо
действия обратной связи — Ко^тК42 в системе (21), дополнительное ускорение затухания всех отклонений 42,-, / = 1, п , до нулевых значений, несмотря на действие вектора Л(2,г) неопределенных ограниченных возмущений.
Приведение модельной и исходной систем в скользящий режим
Найдем управление и по модельной системе (2). Воспользуемся методом его построения по заданному вектору скорости ¿0 зан (^) попадания и.т. на
подвижные гиперплоскости скольжения
5/ (¿/ = с, (г)2 = 0) многообразия скольжения 5 (4) [5]:
5(5 = (51,..., 5т )Т = с(/)2м = 0),
C(t) =
'C,(t) Л
Cm (t)
- m x n -матрица. Заданный вектор
производных So3dw (t) приравнивается выражению действительной производной So(t) в силу системы (2):
s = So (t) = ¿оза„ (t) = С1 (t)zM + С1 (t )zM + ZM = = 12 [(С 1(t ))zM + (Cic + C1(t ))zM
= A-2[(С?!(t))zM + (Cic + С," (t))(AonzM -
+ Zm =
(23)
- Ku1GTK4z + D^Fr
DjF)(t))]+A021ZM + Ao22 zM +
+ B02u + Ku2GTK4z.
Из данного равенства выражается векторное, m x n, управление u:
u = B02s03a« - B0;1IA01I2 [(CH(t))zM + (Coc +
+ C°(t))-(A011ZM --Ku1GTK4z + D°F0(t))]+ (24)
-M
+ A021ZM + A022 zM + Ku 2GTK4zj
где
C H (t) = d/ag I d / dt,..., d (C"-m,n - m) / dt I;
[ 1"м1| izM,n - m j
d(C///zM,i ^ d(C///(zM/ s/gn "м/))
dt dt
-C//d(zM, /s/gn "м, /)/dt 2 '
(zM,/s/gn "м,/ ^
d (Zm,/ s/gn Zm, /) / dt = Zm,/ d (s/gn zm,/) / dt +
+ zm,/s/gn zm,/
n
Zm,/ =za0/,jZM,j + kug (x - KzM) + D0/F0(t),
j=1
a0j - элементы n x n - матрицы A0 , ^ - / -я строка n x n - матрицы Ku , D0/ - / - я строка n x l - матрицы D0 , / = 1, n .
2
Отметим, что координаты субвектора zM (19) зависят от разрывных функций s/gn Zm / (t) в выра-111
жениях для - C^ (t, ZM(t))ZM в сумме (17), а получаемое управление u (24) для приведения исходной и модельной систем в скользящий режим содержит и производные d(s/gn Zm /)/ dt .То и другое может
ухудшить переходные процессы. В этой связи предлагается сигнатуры и их производные заменить в реализации многообразия скольжения и управления их аппроксимацией непрерывными функциями.
Функции s/gn Zm j аппроксимируются непрерывными, нелинейными функциями близкими к функции f (Z/) трехпозиционного реле с малой зоной нечувствительности [6]:
f/ (z/) = 1 при z/ > b/, f/ (z/) = -1 при z/ < -b/, (25)
f/ (Z/) = (1/ b/)Z/ при b/ a Z/ a -b/, где линейная функция может быть заменена на нелинейные:
f (Z/) = (1/ b/2)z/2 при 0 < z/ < b j, f (z/) = - (1/ b/2 )z/2 при - b/ < z / < 0; f (Z/) = (1/ bf)zf при b / a Z/ a - b/,
/ = 1, n - m.
Производные d(s/gn Zm /)/ dt аппроксимируются функцией [7]:
,2„ , ч2п
(26)
4 (5/дп 2м/)/ьг = в ехр[-в2(г - г0)2]/л/Л,
В работе [6] приведен алгоритм определения данной производной d(s/-gn 2м/)/ df с учетом «прошивания» и.т. координатных плоскостей 2м / = 0 с двух разных сторон.
В полученном управлении и (24) составляющие вектора В>оздн могут быть, в частности, заданными либо в виде [8]:
¡¡о/ здн = Кв, в/ + Кд! д /, / = 1, п - т, (27)
где к5. = кВ, < о при в д/ > о, к5. = к5. < о
при 5/ д/ < о , д/ - функции вспомогательных функций переключений структур управления, КдI = к++1 < о при в/ д/ > о,
Кд. = к~. > о при в д/ < о ;
либо заданы также в виде (27), но с другими параметрами к5. , Кд . :
к+ = К- < о, кд = ка. = о
в/ в/ д/ д/
(28)
при в/д/ > о и при в/ д/ < о Во втором случае (28) имеем непрерывное векторное управление с экспоненциальным приближением и.т. к гиперплоскостям 5/ (в/ = С/ (})гм = о) многообразия скольжения
5(в = (¡1,..., вт )Т = С(Огм = о), ( С1($) ^
С= ••• , т = п - т;
УСт ^ )у
многообразия
G(g = (дь..., дт )Т = Огм = о), т = п - т, вспомогательных гиперплоскостей переключений д / =О / гм = о в данном случае не требуется.
Отметим также, что управление и, найденное для приведения модельной системы в скользящий режим на модельное многообразие 5 (4), приводит на это же многообразие и исходную систему (1), так как при ее преобразовании к системе (7) правые части модельной системы (2) и исходной системы (7) совпадают при
КивТ (х - Кгм) = ^г,Г) + ААг - Аг. (29) Построение управления не по системе (2), а по системе (7), также будет обеспечивать приведение обеих систем, (2) и (7), в скользящий режим на многообразии 5 (4), но его реализация по методам работ для систем с полной информацией о состоянии [8] в связи с большим числом логических переключающих устройств в случае не приведения возмущений к единому вектору может привести к усложнению реализации управляющего устройства и потребовать дополнительной мощности при реализации управления в цифровом виде. Энергетические затраты без применения модельного управления также возрастают, так как неопределенные возмущения К(г, t) и
неопределенности АоАг и Аг не идентифицируются и не компенсируются в силу равенства (29), а возмущения преодолеваются, даже если они имеют на определенных интервалах по времени нулевые значения.
Дополнительным преимуществом полученных двух типов управлений (27) и (28) является то, что
переключение с управления и (24), (27) на непрерывное управление и (24), (28) или с другой заданной скоростью 5оздн ^)
воздн У) = (5оздн 1 ,...,возднт V ,
в ={В+здн / ПРИ В > воздн/ = ) . -
[ в^дн/ При в/ < о,
либо
.К/
¡¡оздн/ = ¡¡оздн/ = ¡¡оздн/ = Кв/в/ где Кв . < о, к / = 1,3,5,...,
с асимптотическим, и без смен знаков функций 5/, приведением в малой окрестности многообразия скольжения 5 (4)
В | < Ав /, Ав/ > о, / = 1, т,
на данное многообразие позволяет регулировать параметры установившихся колебаний такого гибридного управления
и = и (24),(27) при (в/1 > Ав I,
и = и (24)(28)при \< Ав,, (30)
/ = 1, т.
Устранение таким управлением (30) высокочастотных установившихся колебаний управления со сравнительно большой амплитудой обеспечивает, помимо устранения их возможного негативного влияния на исполнительные механизмы с понижением ресурса и возможности резонансных колебаний в звеньях системы, и существенное уменьшение энергетических затрат на управление, оцениваемых интегралом от суммы модулей составляющих управления с размерными коэффициентами за время переходного процесса.
Выводы
Впервые разработаны методы синтеза подвижных многообразий, не проходящих в общем случае через начало координат, в скольжении по которым обеспечивается устойчивость и качество переходных процессов в условиях номинальных и неопределенных возмущений, неполной информации о состоянии и невыполнении известных условий инвариантности. Впервые синтезировано гибридное управление, приводящее систему на указанное многообразие скольжения и обеспечивающее, помимо заданных устойчивости и качества процессов, и регулирование параметров установившихся колебаний управления и его малые энергетические затраты. Полученные методы существенно расширят области применения управлений на скользящих режимах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-00463 мол_а.
Литература
1. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме. Автоматика и телемеханика, 1981, № 4, С.5-13.
2. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,272 с.
3. Мещанов А.С. Критерии экспоненциальной устойчивости и затухания процессов линейных нестационарных систем. - Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2004, № 2, С.46-52.
4. Мещанов А.С. Приведение линейных нестационарных объектов с идентификатором состояния к модельному движению при неопределенности. Вестник КГТУ, 2008 г., №4, С. 127-134.
5. Мещанов А.С., Туктаров Э.А. Аналоговое и цифровое управления, воспроизводящие модельные движения ма-
лых размерностей с малыми энергетическими затратами. Ч!,П. «Вестник технологического университета». т.19, № 8, 2016, С. 90-94, 99-104.
6. Мещанов А.С., Султанова А.Ф. К построению многообразий скольжения и управления при невыполнении условий инвариантности. «Вестник технологического университета», т.19, № 10, 2016 , С.113-120.
7. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., Наука, 1973 г.. 832 с.
8. Мещанов А.С. Приведение линейных стационарных объектов на многообразия скользящего режима при неопределенностях// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013. № 2. С.157-163
© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected]; Э. А. Туктаров, аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected]; А. Ф. Султанова, аспирант кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, [email protected]; Л. А. Гатауллина, аспирант кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, [email protected].
© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; Е. А. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; A. F. Sultanova, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, [email protected]; L. A. Gataullina, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, [email protected].
