CC BY
18
УДК 681.5.01 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-1-8-12
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С НЕУСТОЙЧИВЫМ СОСТОЯНИЕМ РАВНОВЕСИЯ*
SYNTHESIS OF CONTROL SYSTEMS BY OUTPUT OF NON-MINIMALLY-PHASE NONLINEAR OBJECTS WITH UNSTABLE EQUILIBRIUM STATE
© 2017 г. В.С. Елсуков, В.И. Лачин, О.Ю. Демидов
Елсуков Владимир Сергеевич - д-р техн. наук, профессор, Elsukov Vladimir Sergeevich - Doctor of Technical Sciences,
кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский professor, department «Automation and remote control», Platov
государственный политехнический университет (НПИ) име- South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocher-
ни М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635)255-297. kassk, Russia. Ph. (8635)255-297. E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
Лачин Вячеслав Иванович - д-р техн. наук, профессор, зав. Lachin Vyacheslav Ivanovich - Doctor of Technical Sciences,
кафедрой «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский professor, head of department «Automation and remote con-
государственный политехнический университет (НПИ) име- trol», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI),
ни М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635)255-297. Novocherkassk, Russia. Ph. (8635)255-297. E-mail: lachinv@
E-mail: [email protected] mail.ru
Демидов Олег Юрьевич - аспирант, ассистент, кафедра Demidov Oleg Yurevich - post-graduate student, assistant,
«Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государ- department «Automation and remote control», Platov South-
ственный политехнический университет (НПИ) имени Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk,
М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635)255-297. Russia. Ph. (8635)255-297. E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
Предложен метод синтеза систем автоматического управления для функционально неопределенных нелинейных объектов n-го порядка с математической моделью в виде дифференциальных уравнений в нормальной форме. Алгоритм его структурного синтеза основан на задании требуемого уравнения движения системы и решении обратной задачи динамики для преобразованного с помощью дифференциальной компенсирующей связи объекта управления. Алгоритм параметрического синтеза сводится к решению задачи на условный минимум интегральной ошибки регулирования при ограничении на модуль характеристического частотного многочлена алгоритмически линеаризованной системы.
Ключевые слова: объект управления; неопределенность; нелинейность; устойчивость; синтез регуляторов.
Proposed the method of synthesis automatic control systems for functionally indeterminate nonlinear objects of n-order with mathematical model as differential equations in normal form. Its structural synthesis algorithm is based on the setting required equation of motion of system and inverse solution of dynamics task for converted by means of compensating differential feed of control object. Algorithm of parametric synthesis reduced to the solution of the problem conditional minimum of integral control error when restricted to a module of frequency characteristic polynomial algorithmically linear zed system.
Keywords: control object; ambiguity; nonlinearity; stability; synthesis of regulators.
Введение Для управления неминимально-фазовыми
т-. „ объектами в условиях неопределенности в Г31
В настоящее время для управления линеи- J г
, предложен алгоритм робастного управления ли-
ными стационарными неминимально-фазовыми „ r г „ „
объектами в работах [1, 2] представлены алгебраические методы синтеза систем автоматического управления.
нейным объектом, на который действует возмущение в виде функции от векторов состояния и неопределенных в ограниченном диапазоне параметров. Причем, вектор состояния объекта *Работа выполнена при финансовой поддержке управления должен быть доступен измерению. В Российского фонда фундаментальных исследований, работах [4 - 6] представлены решения задач грант № 16-08-00572. адаптивного управления неминимально-фазовы-
ми линейными и нелинейными объектами с измеряемыми скалярными входом и выходом. Однако существующие способы адаптивного и ро-бастного управления достаточно сложны как в аналитическом расчете системы регулирования, так и в ее технической реализации.
В работе [7] предложен алгоритм аналитического синтеза систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком, но с левыми собственными значениями матрицы выхода. А в работе [8] - для аналогичных объектов, но уже с правыми собственными значениями матрицы выхода.
В настоящей статье предлагается достаточно простой алгоритм синтеза систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собственными значениями матрицы выхода и неустойчивым состоянием равновесия. Алгоритм основан на применении непрерывной дифференциальной связи для компенсации функциональной неопределенности объекта управления, задании требуемого дифференциального уравнения движения синтезируемой системы и решении для преобразованного объекта обратной задачи динамики.
Постановка задачи
Рассматриваются объекты управления (ОУ) с математической моделью в виде дифференциальных уравнений в нормальной форме:
4+1
при i = 1, n—1;
[bu ~9(x) при i = n;
У = Cx ,
(1)
где ф(ж) - ограниченно неопределенная нелинейная функция, причем скорость ее изменения тоже ограничена, т.е.
ФМ) -Фо; ^(x)/ dx
-У;
(2)
x - вектор состояния, x = [хь..., xn] ; u - управляющее воздействие; y - выходная величина; С -матрица выхода, C= [1, сь..., с], причем n > I > 1 и некоторые коэффициенты из компонентов матрицы C могут быть меньше нуля; b - постоянный коэффициент.
Необходимо найти такой закон управления u = u( y, g), чтобы движение системы автоматического управления (САУ) с объектом (1) и сигналом задания g = const удовлетворяло уравнению
( п Л ( 1 л
1 + Ет;Рг У = 1 + Zc,Pl V i=1 ) V i=1
g
или, что то же,
f
\
1+Z^iP
V i=1 )
X1=g
(3)
где Ti (i = 1, n) - постоянные коэффициенты, которые подлежат определению из условий [9, 10]:
I = J [ Xl(0) - x1(t )]dt ^ min, x1(0) > 0; (4)
|A( p)\ >1.
I ja
(5)
где А(р) - характеристический полином линеаризованной системы.
Алгоритм решения
Следует заметить, что заданное уравнение движения САУ (3) определяет требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:
_ v(n) _
1
ig-
( п—1 Л
1+ZTiPi
V i=1
(6)
Если подставить выражение для производной хпТ в уравнение ОУ (1), то становится очевидным, что сформулированная задача - это обратная задача динамики. Решить ее можно алгоритмически, благодаря ограничениям (2). В частности, если определить переменные состояния ОУ, то искомый закон управления можно сформировать следующим образом:
=b (XnT +uk).
(7)
где ик - компенсирующая составляющая управления, которая служит для компенсации функции ф(ж) и которую предлагается сформировать с помощью сигнала рассогласования между требуемым значением производной (6) и оценкой этой производной хп , т.е.
Иг, =-
(1+MP)n
XnT xn
(8)
где ц - «малая» постоянная времени инерционного фильтра, который необходим для согласования по фазе сравниваемых сигналов.
Дифференциальная компенсирующая связь с сигналом (8) преобразует ОУ таким образом, что он становится эквивалентным последова-
X
1
X
n
u
T
1
тельному соединению п интеграторов и форсирующего звена с передаточной функцией
I
С (р) = 1+^е,р1 . Для синтеза САУ с таким ОУ
1=1
можно предложить следующий алгоритм:
1. Полагая, что к входу ОУ уже подключена дифференциальная компенсирующая связь с сигналом (8), записать уравнение наблюдателя его переменных состояния
x = Ax+K(y - Cx)+Bu .
(9)
где А - матрица преобразованного ОУ; B = [0, 0, ..., Ь]т; K - искомая матрица постоянных коэффициентов.
2. Определить компоненты матрицы K по желаемому расположению корней характеристического полинома наблюдателя det (р! - Л+KC), приравняв его, например, полиному биномиаль-
ной формы (1+ц 1 p) .
1
n—1
1nT
= - X1 -Z
xixi+1 I
(10)
i=1
4. Найти оценку производной п-й переменной состояния с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается к выходу объекта управления и соответствующим выходам наблюдателя переменных состояния:
1
е1 (1+ир)n
( 1-1
pn-ly-Z i=1
Л
cl-ixn-i+1 xn-l+1
- x„
. (11)
/
5. На основании уравнений (1), (7) - (11) найти характеристический полином синтезированной и алгоритмически линеаризованной системы
А(р) = (1+2пцр) тпрп + "^р1 +1. (12)
1=1
6. С помощью полинома (12) и дополнительных условий (4) и (5) определить значения неизвестных до сих пор параметров [9, 10]:
Т1 = 2n+1 щ; хj+1 =
Ti /2 при j = 1;
.х^2- /2х j-1 при j = 2,n -1.
Пример синтеза
Рассмотрим синтез САУ для нелинейного объекта с неустойчивым состоянием равновесия и правым собственным значением матрицы выхода, который описывается следующей системой уравнений:
Xi+1 при i = 1;
2
(13)
[и - x1 + x2 при i = 2; y = x1 - 0,2 x2.
Необходимо найти закон управления и = и(y,g), чтобы движение САУ с объектом (13) и сигналом задания g = const удовлетворяло уравнению
(l+Tjp+i2 p 2) y = (1-0,2 p) g
или, что то же,
3. На основании выражения (6) для хпТ и полученных с помощью наблюдателя оценок переменных состояния сформировать требуемый закон изменения производной п-й переменной состояния:
х2Р2)x1 = g ,
(14)
где коэффициенты Т1 и т2 подлежат определению из условий (4) и (5).
В соответствии с предложенным алгоритмом на основании уравнения (14) формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния
*2Т = % = — {&-(1+т1Р) ХЛ, (15) ^2 Р
искомый закон управления в общем виде
и = х2Т + ик , (16)
и компенсирующую составляющую управления 1
uk =-
(1+МР)
X^f X'
2 2T
2'
(17)
где %2 - оценка производной второй переменной состояния, а постоянную времени инерционного фильтра полагаем ц = 0,01.
Считая, что сигнал (17) дифференциальной компенсирующей связи компенсирует сигналы внутренних обратных связей объекта (13), записываем для преобразованного объекта уравнение наблюдателя его переменных состояния
"0 1" "k1"
x = x +
0 0 k2 _
(y-[1 -0,2] x)
+
4T
(18)
и его характеристический полином приравниваем желаемому полиному:
n
xn =
Г "0 1" >1" Л
det si - + L1 -°,21
V [0 0J k 2 _
— s 2 + 200s + 10000.
Приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при одинаковых степенях оператора 5 справа и слева от знака равенства, находим значения параметров наблюдателя: ^=2200, k2=10000.
Оценка производной второй переменной состояния вычисляется с помощью инерционно-дифференцирующего фильтра, который подключается входами к выходам объекта управления и наблюдателя переменных состояния:
-5
Хо —
(1 + МР)'
-{РУ - Х2}
(19)
На основе закона (15) и оценок переменных состояния формируем требуемый закон изменения производной второй переменной состояния:
' 1 " Х1 -тл}.
Х2Т ="
^2 Р
(20)
На основании уравнений (13), (16) - (20) можно составить структурную схему синтезированной САУ и найти ее характеристический полином
А( р) = (1+4цр) Т2 р 2 +ТьР+1.
С помощью этого полинома и условий (4) и (5) определяем неизвестные до сих пор параметры: XI = 0,2 и т2 = 0,01.
В результате моделирования синтезированной САУ на ПК с помощью пакета Simulink получены ее переходные процессы по переменной состояния Х\{() и выходной величине (рисунок) при отработке ступенчатого сигнала задания с начальными условиями: Х1(0) = 0,1 и Х2(0) = 0,5.
хьг 1,5
1,0
0.5
-0.5
-1,0
о.е.
X
/
/4 V
0,2
0,4
0.6
0,8
U с
Переходные процессы
Выводы
1. Известные методы не позволяют осуществлять синтез систем автоматического управления для функционально неопределенных нелинейных объектов с неустойчивым состоянием равновесия и правыми собственными значениями матрицы выхода.
2. Предложен алгоритм управления динамическими объектами указанного класса, отличающийся тем, что основан на задании требуемого уравнения движения системы управления и решении обратной задачи динамики для преобразованного с помощью дифференциальной компенсирующей связи объекта управления. Причем указанная дифференциальная связь вводится в синтезируемую систему по сигналу рассогласования между требуемым и вычисленным с помощью соответствующего дифференцирующего фильтра значениями производной п-й переменной состояния.
3. На основе предложенного алгоритма осуществлен синтез системы автоматического управления для нелинейного объекта второго порядка с неустойчивым состоянием равновесия и правым собственным значением матрицы выхода.
4. Результаты компьютерного моделирования синтезированной системы свидетельствуют о том, что она обеспечивает требуемые показатели качества переходных процессов.
Литература
Ким Д.П. Синтез неминимально-фазовых систем управления с заданным временем регулирования // Мехатро-ника, автоматизация, управление. 2010. № 4. С. 5 - 10. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2012. 360 с.
Гребенщиков Д.Е., Паршева А.И., Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления для одного класса неминимально-фазовых объектов // Вестн. АГТУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1. С. 89 - 94.
Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MatLab. СПб.: Наука. 1999. 467 с.
Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми объектами определенного класса // Проблемы управления. 2013. № 1. С. 19 - 25.
Фуртат И.Б. Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. № 3. С. 30 - 37.
7. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с произвольным относительным порядком по выходу // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 88 - 90.
8. Елсуков В.С., Лачин В.И., Липкин С.М. Синтез систем управления для ограниченно неопределенных нелинейных объектов с правыми собственными значениями матрицы выхода // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 5. С. 70 - 75.
9. Гавриленко О.С., Елсуков В.С. Аналитическое конструирование агрегированных законов комбинированного управления нелинейными объектами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2010. №4. С. 11 - 14.
10. Lachin V.I., Elsukov V.S., Mustafa M.N. Synthesis of Robust Automatic Control System of Electromagnetic Bearings // 2015 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBC0N-2015). Proceedings. Omsk State Technical University. Russia, Omsk, May 21-23: Materials Science Forum. 2015. Pp. 397 - 400.
References
1. Kim D.P. Sintez neminimal'no-fazovykh sistem upravleniya s zadannym vremenem regulirovaniya [Synthesis of Non-minimal-phase Control Systems with a Predetermined Regulation Time]. Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie, 2010, no. 4, pp. 5-10. [In Russ.]
2. Gaiduk A.R. Teoriya i metody analiticheskogo sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya [The Theory and Methods of Analitic Synthesis of Automatic Control Systems]. Moscow, FIZMATLIT, 2012, 360 p.
3. Grebenshchikov D.E., Parsheva A.I., Tsykunov A.M. Algoritm robastnogo upravleniya dlya odnogo klassa neminimal'no-fazovykh ob"ektov [Robust Control Algorithm for One Class Non-minimal-phase Objects]. Vestnik AGTU. Seriya: Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika, 2010, no. 1, pp. 89-94. [In Russ.]
4. Andrievskii B.R., Fradkov A.L. Izbrannye glavy teorii avtomaticheskogo upravleniya sprimerami nayazyke MATLAB [Selected Chapters of Control Theory with Examples of the Language MATLAB]. St. Petersburg, Nauka Publ., 1999, 467 p.
5. Furtat I.B. Adaptivnoe upravlenie neminimal'no-fazovymi ob"ektami opredelennogo klassa [Adaptive Control of Non-minimal-phase Objects of a Certain Class]. Problemy upravleniya, 2013, no. 1, pp. 19-25. [In Russ.]
6. Furtat I.B. Adaptivnoe upravlenie neminimal'no-fazovymi nelineinymi ob"ektami [Adaptive Control by the Non-minimal-phase Nonlinear Objects]. Izv. vuzov. Priborostroenie, 2013, no. 3, pp. 30-37. [In Russ.]
7. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Sintez sistem upravleniya dlya ogranichenno neopredelennykh nelineinykh ob"ektov s proizvol'nym otnositel'nym po-ryadkom po vykhodu [Synthesis of Control Systems for Limitedly Indeterminate Nonlinear Objects with Arbitrary Relative Order by the Output]. Izv. vuzov. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2014, no. 1, pp. 88-90. [In Russ.]
8. Elsukov V.S., Lachin V.I., Lipkin S.M. Sintez sistem upravleniya dlya ogranichenno neopredelennykh nelineinykh ob"ektov s pravymi sobstvennymi znacheniyami matritsy vykhoda [Synthesis of Control Systems for Limitedly Indeterminate Nonlinear Objects with Right Eigenvalues of Input Matrix]. Izv. vuzov. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2015, no. 5, pp. 70-75. [In Russ.]
9. Gavrilenko O.S., Elsukov V.S. Analiticheskoe konstruirovanie agregirovannykh zakonov kombinirovannogo upravleniya nelineinymi ob"ektami [Analytical Development of the Aggregate of the Laws of the Combined Nonlinear Objects Control]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2010, no. 4, pp. 11-14. [In Russ.]
10. Lachin V.I., Elsukov V.S., Mustafa M.N. Synthesis of Robust Automatic Control System of Electromagnetic Bearings // 2015 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON-2015). Proceedings. Omsk State Technical University. Russia, Omsk, May 21-23: Materials Science Forum. 2015. Pp. 397-400.
Поступила в редакцию 18 января 2017 г.
