CC BY
92
зволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:
- использование математического аппарата теории экстремальных задач дало возможность реализовать процедуру аналитического решения задачи структурного синтеза для рассматриваемого ОУ;
- аналитическое решение задачи структурного синтеза позволило:
- определить размерности управляющих параметров синтезированного управляющего устройства и установить их алгоритмическую связь с параметрами рассматриваемого ОУ;
- получить синтезированный АУ в форме обратной связи по фазовым координатам;
- процедура параметрического синтеза реализуется на основе пакета прикладных программ “линейная алгебра”.
Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ для рассматриваемого класса задач динамического синтеза.
Литература: 1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1978. 470с. 2. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Госте-хиздат, 1954. 595с. 3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384с. 4. Атанс М., Фалб П Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764с. 5. Радиевский А.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №3. С.70-75. 6. Радиевский А.Е. Функционально-аналитический метод синтеза детерминированного регулятора // Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. С.137-148. 7. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 584с. 8. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.:Наука, 1969. 360с. 9. Бесекерский В.А.-,Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768с. 10 . Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488с.
Поступила в редколлегию 23.10.2006
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.
Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд.техн.наук, с.н.с., заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 73-13-567, 73-14-180.
УДК621.77
СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ
НИКИТИНА Т.Б.__________________________
Описывается разработанный метод синтеза робастного управления многоканальными итерационными системами, основанный на декомпозиции исходного движения многоканальной итерационной системы, на движениях отдельных каналов, входящих в многоканальную систему. При этом синтез робастного управления многоканальной системы сводится к последовательному синтезу отдельных каналов, начиная с первого основного силового канала и заканчивая последним маломощным быстродействующим каналом.
1. Введение
Многоканальные системы, работающие по принципу грубого и точного управления, позволяют получать точность, недостижимую в одноканальных системах [1]. Одним из первых применений двухканальной итерационной системы является следящая измерительная система, у которой второй канал представляет собой маломощный следящий измеритель с весьма узкой диаграммой направленности, установленный на подвижной платформе, жестко связанной с первым силовым следящим измерителем с широкой диаграммой направленности. Примером трехканальной итерационной системы является стратосферная
следящая система, у которой первый канал измеряет направление на Солнце, второй, более точный канал, измеряет направление на край диска Солнца, и, наконец, третий, точный канал, измеряет направление на изображение объекта, излучаемого на Солнце. Многоканальные итерационные системы достаточно широко используются при управлении прокатными станами, тяжелыми металлорежущими станками, в измерительных системах и многих других областях. Их применение оправдано там, где с помощью одноканальных систем не удается получить требуемую точность, причем области применения многоканальных итерационных систем постоянно расширяются в связи с неуклонным повышением требований к точности управления. Более того, в ряде случаев без таких систем принципиально невозможно вести технологический процесс, процесс измерения, слежения, стабилизации и т.д. [1-3].
Синтезу многоканальных итерационных систем посвящено достаточно большое количество публикаций. В работах [1-4] рассмотрены вопросы синтеза оптимальных по квадратичным критериям качества регуляторов многоканальных итерационных систем, как во временной, так и в частотной области. Однако синтезированные таким образом регуляторы обладают достаточно высокой чувствительностью к изменению параметров и структуры объектов управления многоканальных систем, а также внешних воздействий.
24
РИ, 2006, № 4
Целью данной работы является синтез робастных регуляторов многоканальных итерационных систем, обладающих малой чувствительностью к изменению параметров и структуры моделей каналов и внешних воздействий.
2. Постановка и особенности задачи
В многоканальных итерационных системах процесс воспроизведения задающего воздействия уз (t) осуществляется последов ательными приближениями
yi(t) = у i—і(t) + Ayi(t), (1)
которые реализуются с помощью соответствующих каналов управления
АУі (0= J Wi(t — т)[уз(т) — Уі—1(т)]. (2)
t0
Такие системы соответствуют итерационному алгоритму воспроизведения. Обычно на каждый канал
действует возмущение Fi(t), приведенное к выходу системы, а процесс измерения ошибки между задающим воздействием узі(t) и выходом yi(t) і-каналь-ной системы сопровождается помехой fi(t) .
В этом случае поправка Ayi(t), вносимая i-м каналом
в формирование выходной координаты yi (t) і-каналь-ной системы, примет следующий вид:
аУі(t) = Jwi(т)[(t) — Уі—і(T) — Fi(t) + fi(T)], (3)
0
а сама выходная координата і-канальной системы y i(t) будет равна
y і (t) = Уі—i(t) + Ayi(t) + Fi(t). (4)
Так, в трехканальной стратосферной следящей системе компонентами вектора задающих воздействий
x(t) являются направления на Солнце, на край диска Солнца и непосредственно на исследуемый объект на Солнце. Эти координаты достаточно близки, хотя измеряются с различными помехами. Возмущения, приведенные к выходам каждого канала, в основном обусловлены ветровой нагрузкой. В многоканальной системе регулирования геометрических параметров проката вектором задающих воздействий являются заданные значения толщин прокатываемых полос в каждой клети многоклетьевого прокатного стана, начиная с первой и заканчивая последней. Основным возмущением является продольная разнотолщинность полосы, компенсируемая последовательно каждой клетью с транспортным запаздыванием, обусловленным временем прохода участка полосы между прокатными клетями.
Введем векторы задающих воздействий Уз (t) = {y3i(t)}, возмущающих воздействий
F(t) = {Fi(t)}, выходных координат y(t) = {yi(t)} и
ошибок измерений E(t) = {i(t)}. Тогда согласно (1)-(4) получим следующее выражение [1]:
y(t) = W |y з« + f(t)] + EF (t), (5)
где
W1 0 0
E1W2 W2 0
W= n—1 " n—2 "
ПEiWn ПEiWn • i=1 i=2 Wn
E1 0 . 0
E1E2 E2 0
n n
П Ei П Ei • En
i=1 i=2
Здесь Ri(p) - разомкнутые, Wi(p) - замкнутые операторы и Ei(p) - операторы ошибок каналов, связаны следующими соотношениями
Wi(p) = Ri(p)[l + Ri(p)]—Ч (6)
Ei(p) = 1 + Ri(p)]—1, і = 1n. (7)
Введем вектор ошибки E(t) отработки многоканальной системой вектора задающих воздействий Уз (t) в виде E(t) = Уз (t) — y(t). Тогда получим следующее выражение для вектора ошибки:
E(t) = E(p)[y з (t) — F(t)]— w(p)f(t), (8)
где операторная матрица ошибки многоканальной системы E(p) , преобразующая вектор задающих воздействий Уз (t) в вектор ошибки E(t) = E(p^ (t), равна E(p) = I — w(p).
Предположим, что каждый канал (6) задан неизменяемой частью - объектом управления и запишем модель объекта управления каждого канала в пространстве состояния xi(t) в следующем виде:
= AiX і + BiUi(t), (9)
АУі = Cixi, (10)
причем кроме измеряемого вектора ошибки системы
Eu(t) = E(t) + f(t), (11)
в каждом канале имеется также вектор xiU (t) измеряемых с вектором помех фі(t) переменных состояния
xiu = Ciuxi +фі . (12)
Введем вектор состояния многоканальной системы x(t) = {xi(t)}, вектор управления U(t) = {ui(t)}
РИ, 2006, № 4
25
и запишем уравнение состояния объекта управления многоканальной итерационной системы (9)-( 13) в следующем виде:
ddp = AX (t) + Bu (t), (13)
Ay(t) = CX (t), (14)
X u(t) = Cux(t) + ф (t), (15)
где A = diag{Ai}, B = diag(B;}, C = diag{C },
Cu = diag{Cui} P(t) = {pi(t)}.
Для реализации астатизма в системе введем вектор состояния интеграторов zu (t), на вход которых подадим вектор ошибки системы E(t), измеренный с вектором помех f(t) :
= Eu(t) = x3(t) -y(t) + f(t) dt
(16)
Прибавим к этим уравнениям исходные уравнения
E(t) = X(t) - y(t), (17)
Eu(t) = E(t) + f(t), (18)
Ay(t) = CbX(t), (19)
y(t) = CBAy(t) + F (t). (20)
Представим систему (13)-(20) в стандартной форме, принятой в теории H “ [5]:
= AX(t) + B1W (t) + B2U (t), (21)
z(t) = C1X(t) + Dnw(t) + D12U(t), (22)
y(t) = C2x(t) + D21WV + D22U (t). (23)
Введем в вектор внешних воздействий W(t) векторы задающих X3(t) и возмущающих F(t) воздействий, а также вектор помех измерения f (t), векторы ошибки системы E(t), помех измерения p(t), измеряемых переменных Xu (t), а также вектор фиктивных помех pz(t) измерения вектора состояния интегратора zu(t) в следующем виде:
W(t) = {xT(t),FT(t),fT(t), pT(t), ф T(t)}.
В вектор контролируемых параметров Z(t) включим вектор ошибки системы E(t), вектор переменных состояния интеграторов zu(t), вектор переменных состояния Xo(t), которые необходимо ограничивать в объекте управления Xo(t) = CoX(t), и вектор управления u(t) в следующем виде:
Z(t )= {E T(t), Zu(t),X o(t),u (t)}.
В вектор измеряемых переменных y(t) включим измеряемый вектор ошибок системы Eu(t), измеренный вектор выходов интеграторов Zu(t) и измеряемый вектор состояния Xu(t) в виде
y(t) = {?T (t), XT (t)}1". Тогда матрицы в описании многоканальной итерационной системы примут следующий вид:
dz
dz
" = X3 - CBX - F + f :
zu3 = zu + фz :
dX
dt A
dz - Cb 0
dt
+ tBu +
I -I I
У = cb [Ay + ^
CB =
C1
C1 C2
C1 C2 ...Cn
F
_ф
_Pz _
u
x0
u
Cb
I
C0
X
zu
I -I
X3
F
f
ф
.Pz.
u
Є
+
+
u
I
- Cb
I
Cu
X
zu
I -I I
I
I
X3
F
f
ф
Pz
+
u
3. Последовательный синтез робастных регуляторов каналов
В рамках такой постановки может быть определена передаточная функция оптимальных операторов
u(t) = F(s)y(t). (24)
При этом оптимальное управление u(t) с помощью оптимального оператора F (s) формируется на основании информации об измеренных ошибках многоканальной системы E;(t) и непосредственно измеряемых переменных состояния системы У;изм (t). Однако синтез такого регулятора представляет определенные трудности в связи с высокой размерностью матрицы состояния решаемой задачи, определяемой суммой размерностей матриц состояния всех каналов, входящих в систему, и матриц состояния формирующих фильтров всех внешних воздействий - как задающих, так и возмущающих, действующих на все каналы, входящие в систему.
При невысоких размерностях векторов состояний моделей каналов формирующих фильтров задающих и возмущающих воздействий синтез такой системы может быть выполнен на современных ЭВМ. Как отмечалось в [4], комфортной размерностью является
РИ, 2006, № 4
26
размер решаемой задачи до 100. Если размер исходной задачи превосходит 200, то необходимо выполнять декомпозицию исходной задачи.
Простейшим является подход, основанный на образовании наиболее быстрых движений в системе, из условий заданного предельного значения числа обусловленности ст матрицы состояния многоканальной системы. Однако такой подход применительно к синтезу рассматриваемого класса многоканальной системы следует применять достаточно осторожно в связи со спецификой работы рассматриваемого класса систем. Отбрасывание наиболее быстрых движений для первого основного силового канала вполне уместно, однако высокочастотные составляющие спектра задающих и возмущающих воздействий при синтезе быстродействующих каналов отбрасывать нельзя и необходимо учитывать. С другой стороны, синтез управления основного силового канала по полному вектору состояния всей системы приводит фактически к нулевым компонентам матрицы коэффициентов усиления по компонентам вектора состояния быстродействующих каналов, для формирования управления первого канала необходимо тщательно фильтровать высокочастотные составляющие векторов состояния быстродействующих каналов.
Поэтому одним из рациональных подходов декомпозиции исходной задачи синтеза многоканальной системы является последов ательный синтез оптимальных операторов отдельных каналов.
Рассмотрим последовательный синтез каналов многоканальной итерационной системы начиная с первого основного силового канала [10, 11]. Модели задающего x(t) и возмущающего F(t) воздействий заданы передаточными функциями формирующих фильтров wx1 и WF1. Объект управления задан передаточной функцией W01(s). Введем в вектор контролируемых переменных z(t) ошибку первого канала e^t), компоненты вектора состояния X1(t) , которые нужно ограничивать, и управление U1(t). Введем в вектор измеряемых переменных y(t) измеренное значение ошибки системы eU1(t) и измеряемый вектор переменных состояния xu (t). Тогда первый канал может быть представлен в стандартной форме (21)-(23), принятой в теории H 0 .
Синтез робастного регулятора сводится к определению такого динамического блока типа наблюдателя [6], заданного матрицами Ap, Bp , Cp , входом которого является измеряемый вектор исходной системы y(t), а выходом - вектор управления u(t) исходной
системы
dXp r r = ApXp + Bpy, (25)
u = CpXp , (26)
где
Ap = A - B2BTXTO + [і - y-2Y00XTO]-1Y00CTC2 + y^B^X» ,
Bp = [і -y-2Y0oXo-1Y0oCT , Cp = -B2Xo ,
X0 и Y0 являются решением обобщенных алгебраических уравнений Риккати по управлению и фильтрации:
ATXo + Xo A - Xo [B2BT - y-2B^T ]Xo + C^T = 0 , AYo + YoAT - Yo[CTC2 -y^CTC^o + B^T = 0 .
Для получения приемлемых показателей качества синтезируемой системы в вектор контролируемых переменных z(k) необходимо включать ошибку системы, переменные состояния системы, которые нужно ограничивать, а также компоненты вектора управления u(k). При этом роль весовых матриц в критерии качества выполняют матрицы C1, Бц и D12, с помощью которых формируется вектор контролируемых переменных z(k). Искусство проектировщика заключается в подборе таких значений этих матриц, при которых в системе обеспечивается выполнение заданных требований по качеству регулирования.
Нахождение оптимального регулятора, минимизирующего H2-норму, также сводится к решению двух уравнений Риккати по управлению:
AtX2 + X2A - X2B2BTX2 + CTC1 = 0 и по фильтрации:
AY2 + Y2At - Y2CTC2Y2 + B1BT = 0.
Матрица коэффициентов усиления оптимального регулятора и матрица состояния замкнутой оптимальной системы, минимизирующей H2 норму, имеет следующий вид:
F2 = -BTX2,
4.Синтез робастного наблюдателя
L2 =-Y2CT, (27)
>2F + L2C2 . (28)
2
При синтезе робастного регулятора минимизируется ошибка H0 нормы вектора контролируемых пара-
• II ||0
метров у = min||z|| .
Для реализации робастного управления по полному вектору состояния (24) при использовании 2 - Рикка-ти подхода необходимо построить робастный наблюдатель в виде (25)-(26), минимизирующий H0 норму ошибки между вектором состояния объекта управле-
ния X(t) и наблюдателя X(t) у = mi
X -
x
Наблюдатель (25)-(26) по аналогии с наблюдателем полного порядка (27)-(28) минимизирует H0 норму ошибки векторов ||Х - Х|0 и при этом предполагается одинаковая размерность векторов состояния исходной системы X и наблюдателя x. Задав уровень
РИ, 2006, № 4
27
толерантности у , решаем задачу робастной фильтрации ||Х - Х||“ < у .
Заметим, что в классической постановке синтеза H “ регулятора в частотной области фактически требуется найти такую передаточную функцию регулятора w p, которая бы минимизировала H“ норму вектора контролируемых параметров системы z при заданном векторе внешних воздействий w . При этом порядок передаточной функции Wp не задается. При реализации регулятора с передаточной функцией Wp в пространстве состояний в виде A, B, C, D матриц не требуется соответствия порядков исходной системы и регулятора, так что при использовании 2-Риккати подхода порядок регулятора может получиться ниже порядка исходной системы. Такая ситуация имеет место для исходной системы, содержащей малые постоянные времени, которые при больших значениях уровня толерантности у могут быть отброшены при синтезе робастного регулятора. Это происходит несмотря на то, что при синтезе робастного регулятора с использованием 2 - Риккати подхода решаются 2 уравнения Риккати, или эквивалентные им задачи нахождения спектров двух матриц Гамильтона соответственно по управлению и по фильтрации. Однако задавая при этом достаточно большое значение уровня толерантности у , часть переменных состояния наблюдателя, с помощью которого реализуется регулятор, может быть отброшена.
5. Эквивалентность синтеза робастного регулятора в частотной и временной областях
Первоначально постановка задачи H “ оптимизации выполнена в частотной области начиная с формулировки критерия качества. Физический смысл критерия H “ есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. Для системы с одним входом и одним выходом - SISO - системы H “ норма представляет максимальное по всему частотному диапазону значение амплитудно - частотной характеристики. Первоначальное решение задачи h “ оптимизации было также получено в частотной области и связано с операциями факторизации соответствующих матриц передаточных функций. Затем были получены аналогичные результаты во временной области на основе решения уравнения Риккати соответственно для регулятора и наблюдателя и была показана эквивалентность подходов решения задачи в частотной и во временной областях.
Для нахождения робастного регулятора классическим методом необходимо выполнить взаимно-простую факторизацию матричной передаточной функции G(s). Нахождение компонент такой факторизации может быть выполнено с помощью различных алгоритмов. В частности, для левой взаимно-простой факторизации N-1(s)M(s) = G(s), удовлетворяющей свойству нормализации MM* + NN*= 1, где M* оз-
начает эрмитово сопряженное выражение M, матрицы M(s) и N(s) могут быть найдены из следующих соотношений:
M(s)
A + HC B + HD , N(s) = A + HC H
R-1/2C R -1/2D R-1/2C R -1/2
если передаточная матрица G(s) представлена в пространстве состояний в виде A, B, C,D управляемых
и наблюдаемых матриц, G(s)
A B C D .
При этом H = -(BD* + ZC*)R-1, R = I + D*D , здесь Z - решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати по фильтрации
(A -BS-1D*C)Z + Z(A - BS-1D*C)* - ZC*R-1CZ + BS-1B* = 0.
где S = I + D*D .
Матрица F =-S-1(D*C + B*X), где X - решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати по управлению
(A - BS_1D*C)*X+X(A - BS_1D*C) - XBS'1B*X+C*R-1C=0
Заметим, что при этом собственные числа замкнутых матриц регулятора A + BF и наблюдателя A + HC имеют строго отрицательные значения.
Этот переход является своеобразным мостиком между классическим подходом, связанным с синтезом передаточной матрицы робастного регулятора в частотной области путем взаимно-простой факторизации соответствующих матриц, и синтезом робастного регулятора во временной области путем решения двух уравнений Риккати, либо нахождением спектров двух матриц Гамильтона соответственно по управлению и по фильтрации.
6. Робастная идентификация моделей внешних воздействий
После синтеза первого канала синтезируем оператор второго канала. Приведем схему второго канала к аналогичному виду, используемому при синтезе первого канала. При последовательном синтезе каналов необходимо сформировать эквивалентное задающее воздействие для второго канала. Если на входы всех каналов многоканальной итерационной системы подаются одинаковые задающие воздействия, то эквивалентным задающим воздействием y2(t) для второго канала согласно итерационному алгоритму (1)-(3) является ошибка отработки задающего воздействия y1(t) первым каналом и, следовательно, передаточная функция модели эквивалентного задающего воздействия второго канала равна
Wy2 = Wy1[l + Wp1(s)Wo1(s)]_1.
Рассмотрим задачу построения модели эквивалентного задающего воздействия wy2(s), минимизирующего H “ норму матрицы, равной разности матриц модели wy2(s) эквивалентного задающего воздей-
РИ, 2006, № 4
28
ствия и фактического эквивалентного задающего воздействия. Определим минимальную ошибку построе-
ния модели Y = min
wy2
- w
yiL
wplw01
Это классическая проблема Неванлинны - Пика, которая может быть решена с помощью алгоритма Неванлинны [8].
Тривиальным решением этой задачи является равенство передаточной функции модели эквивалентного задающего воздействия на второй канал Wy2 передаточной функции модели ошибки отработки задающего воздействия первым каналом Wyil + Wpiwoi]1. Естественно, что для упрощения задачи синтеза регулятора второго канала целесообразно получить более простую передаточную функцию эквивалентного задающего воздействия на второй канал wy2 . В этом случае может быть задан уровень толерантности y отклонения аппроксимированной передаточной функции от передаточной функции модели ошибки
wy2 - wy1[ + wp1wo1] ^ Y .
Над
Задавая различные значения уровня толерантности y , можно получить существенное упрощение аппроксимирующей передаточной функции wy2 эквивалентного задающего воздействия на вход второго канала. Заметим, что впервые применение минимаксного критерия для нахождения аппроксимирующего полинома, минимизирующего максимальное отклонение аппроксимирующей функции от экспериментальных значений, было предложено Чебышевым.
При действии на первый канал возмущающего воздействия Fi, некоррелированного с задающим воздействием yi, к эквивалентному задающему воздействию на второй канал необходимо прибавить ошибку компенсации этого возмущения с помощью первого канала.
Естественно, что при этом кроме возмущения, поступающего с первого канала, необходимо учитывать возмущение, действующее непосредственно на второй канал. Формирующий фильтр эквивалентного возмущающего воздействия на второй канал wF 2 аппроксимирует ошибку wfi[ + wpiwoi]-1 компенсации с помощью первого канала возмущения, действующего на первый канал.
Построение эквивалентного возмущающего воздействия wF 2 сводится к минимизации ошибки H“
нормы y = min
w
F2
wFi[l + wp1w0i]_1
Для упрощения аппроксимирующей передаточной функции wF 2 эквивалентного возмущающего воздействия на второй канал, оставшегося после компенсации с помощью первого канала возмущающего воздействия, действующего на первый канал, может быть задан уровень толерантности Y и решена задача роба-
стной аппроксимации
wF2 - wfi
+ wp1wo1
^ Y.
Пример. Рассмотрим синтез робастных регуляторов двухканальной системы с раздельной нагрузкой [1]. Система предназначена для отработки заданных значений скоростей вращения Ю31, Ю32 первой и второй платформ. Для реализации астатизма введем два интегратора, на входы которых подадим разность между заданными значениями скоростей вращения Ю31, Ю32 первой и второй платформ и скоростями вращения двигателей юд1, юд2 .
В системе доступны для прямого измерения следующие переменные состояния: скорости вращения исполнительных двигателей юд1, юд2, токи двигателей Jд1, Jд2 , напряжения на якорях двигателей uя1, uя2 и выходные напряжения интеграторов zi, z2. Тогда вектор измеряемых выходных координат примет вид y = {сод1,^д1,uя 1,z 1,Юд2, ^2,uz2} .
В вектор внешних воздействий введем следующие сигналы: заданные значения скоростей вращения первой и второй платформ, моменты сопротивления, действующие на первую и вторую платформы - ветровые нагрузки, а также помехи измерения выходных координат системы - компоненты вектора y . Тогда вектор внешних воздействий примет следующий вид:
w = {со3Ь ro32,Mc1,Mc2,frabfra2,fjbfj2,fz1,fz2}.
В результате синтеза робастных регуляторов двухканальной электромеханической следящей системы [1] было установлено, что дисперсии одноканальной и двухканальной системы существенно зависят от параметра Y, характеризующего уровень толерантности системы к изменению параметров и структуры моделей каналов и внешних воздействий, и, в зависимости от величины этого параметра, увеличиваются значения дисперсий до 20%. Кроме того, применение процедуры последовательного синтеза оптимальных операторов каналов приводит к увеличению дисперсии двухканальной системы на 7% по сравнению с дисперсией двухканальной системы, синтезированной по смешанному H2 и H “ критерию. Естественно, что на уровень дисперсий ошибок существенно влияют уровни шумов измерительных приборов, а также ограничения на переменные состояния и управления, так что значения дисперсии ошибки двухканальной системы по критерию H2 є2 = 2,1 -10-6 рад2 без учета ограничений и дисперсии ошибок первого канала и двухканальной системы є2 = 2.1 -10-5 рад2, є| = 2,6 -10-6 рад2 с учетом ограничений на управление и переменные состояния являются предельными значениями и служат ориентиром для обоснованного выбора параметра толерантности Y .
В заключение заметим, что введение в вектор внешних воздействий w(t) только вектора задающих воздействий ®3(t) позволяет синтезировать достаточно хорошие переходные процессы по задающему воздействию, однако при этом переходные процессы по вектору возмущающих воздействий F(t) являют-
РИ, 2006, № 4
29
ся сильно колебательными с малым декрементом затухания. Введение в вектор внешних воздействий w(t) как вектора задающих юз(Ч), так и вектора возмущающих воздействий F(t) позволяет синтезировать робастные регуляторы с хорошим качеством переходных процессов как по задающим, так и по возмущающим воздействиям.
7. Заключение
Таким образом, применение многоканальных систем, работающих по принципу грубого и точного управления, позволяет существенно повысить точность управления по сравнению с одноканальными системами. Для таких систем сформулирована задача робастного управления. При управлении такими системами необходимо поддерживать малые ошибки отдельных каналов и ограничивать управляющие воздействия и переменные состояния отдельных каналов. Основная трудность применения стандартного подхода к синтезу робастного управления такими системами заключается в формировании соответствующих матриц, с помощью которых задается вектор контролируемых параметров. Смысловая постановка задачи синтеза управления многоканальными системами заключается в минимизации ошибки многоканальной системы при ограничении на управления и переменные состояния.
Проведенные исследования для рассматриваемого класса многоканальных итерационных систем позволили получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:
- разработан алгоритм последовательного синтеза робастного управления отдельными каналами в предположении, что все предыдущие каналы синтезированы;
- предложена робастная идентификация внешних воздействий многоканальной итерационной системы для построения эквивалентного задающего воздействия при последовательном синтезе отдельных каналов многоканальной итерационной системы;
- показана эквивалентность синтеза робастных регуляторов отдельных каналов в частотной и временной областях;
- для синтеза робастного управления автономными каналами предложено использов ать стандартный подход, при котором итеративно решаются две системы уравнения Риккати соответственно для робастного регулятора и робастного наблюдателя.
Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования для синтеза робастных регуляторов в целях обеспечения стабильных динамических характеристик при работе многоканальной итерационной системы на различных участках нелинейных характеристик внешнего трения, а также при изменении параметров моделей внешних воздействий и объекта управления.
Приведен пример синтеза робастного управления двухканальной следящей системой с раздельной нагрузкой. Показана высокая эффективность синтезированной системы при малой чувствительности к изменению параметров и структуры моделей объектов управления, а также моделей задающих и возмущающих воздействий.
Выполнено сравнение точности систем, синтезированных по квадратичному критерию и по критерию, минимизирующему H “ норму. Показано, что при синтезе по смешанному критерию можно так подобрать параметры регуляторов, что синтезированная система при незначительном увеличении ошибки регулирования будет иметь существенно меньшую чувствительность к изменению параметров и структуры объекта управления и внешних воздействий.
Литература: 1. Кузнецов Б.И., Новоселов Б.В., Богаенко И.Н. Проектирование многоканальных систем оптимального управления. К.: Техника, 1993. 242 с. 2. Кузнецов Б.И., Новоселов В.В., Богаенко И.Н. Проектирование систем со сложными кинематическими цепями. К.: Техника,1996. 282 с. 3. Кузнецов Б.И., Богаенко И.Н., Грабовский Г.Г. Системы управления высококачественными источниками постоянного тока. К.: Техника, 1999. 236с. 4. Кузнецов Б.И., Никитина Т.Б., Коломиец В.В. Синтез электромеханических систем со сложными кинематическими цепями. Харьков, УИПА.2005. 511с. 5. Khargonekar P., Petersen
I. , RoteaM. H“ оptimal control with state feedback // IEEE Trans. Automat. Contr., AC - 33. 1988. Р. 783 - 786. 6. Doyle
J. , Glover K., Khargonekar P., and Francis B. State - space solutions to standard H2 and H “ control problems // IEEE Trans. Automat. Contr., AC - 34, no 8. Р.831 - 847, Aug. 1989. 7. Doyie J.C. Synthesis of Robust Controllers and Filters, ”Proc. IEEE Conf. On Decision and Control, San Antonio, TX, December 14 - 16, 1983. 8. SafonovM.G. , Chiang R.Y. and Flashner H. H“ Control Synthesis for a Large Space Structure,” AIAAJ. Guidance, Control and Dynamics, 14, 3, pp. 513 - 520, May/June 1991. 9. Stein G. Lecture Notes, Tutorial Workshop on H“ Control Theory, Los Angeles, CA, Dec. 7 - 8, 1987. 10. НикитинаТ.Б. Синтез приближенно - оптимальных нелинейных систем цифрового управления технологическими процессами с аналитическими нелинейностями //Автоматизація виробничих процесів. Київ. 2003. №2(17). С.62-65. 11. Никитина Т.Б. Приближенно оптимальное цифровое управление электроприводами с аналитическими нелинейностями // Вестник НТУ «ХПИ». Сб. научных трудов. Харьков: НТУ «ХПИ». 2003.Т1,.№10. С.321-322.
Поступила в редколлегию 23.10.2006
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Игуменцев Е.А.
Никитина Татьяна Борисовна, канд. техн. наук, доцент кафедры систем управления технологическими процессами и объектами Украинской инженерно - педагогической академии. Научные интересы: синтез электромеханических систем со сложными кинематическими связями. Увлечения: горные лыжи, фото, туризм. Адрес: Украина, 61016, Харьков, пер. Лысогорский, 15А, кв. 1. тел. 3736085.
30
РИ, 2006, № 4
