Синтез полиномиальных регуляторов заданной точности для неминимально-фазовых объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИНТЕЗ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ ОБЪЕКТОВ

А. В. Воронин, Т. А. Щелканова

Институт кибернетики Национального исследовательского Томского политехнического университета, 634050, Томск, Россия

УДК 621.37

Исследован компенсационный метод синтеза полиномиальных регуляторов с учетом возможности обеспечения заданной статической ошибки замкнутой системы. Проанализированы возможности создания регуляторов по методу желаемой передаточной функции, при которых могут быть получены заданные показатели качества, в частности значение статической ошибки управления.

Ключевые слова: неминимально-фазовый объект, передаточная функция, нули, полюсы, статическая ошибка.

The article deals with the compensation method for synthesis of polynomial regulators to reflect possibility of providing a given static error of a closed system. The authors have analyzed the algorithm for obtaining the desired regulator transfer function that allows getting similar quality, in particular, the level of static error.

Key words: nonminimal-phase object, transfer function, zero, poles, static error.

Введение. В современной теории автоматического управления существует большое количество методов синтеза регуляторов. Некоторые из них концептуально просты, однако их использование ограничивается отсутствием четких рекомендаций относительно применения этих методов для конкретных объектов и требований к их качеству. К числу таких методов относятся методы синтеза компенсационных регуляторов [1], с использованием которых в рамках общего подхода для одного объекта может быть получено несколько регуляторов различных порядков. Все эти регуляторы основаны на идеях метода желаемой передаточной функции, в соответствии с которыми нули и полюсы системы размещаются в заданных точках комплексной плоскости. В данной работе рассматривается возможность обеспечения регулятора дополнительными свойствами, в частности обеспечения заданного уровня установившейся статической ошибки.

Описание метода желаемой передаточной функции. Идея синтеза регулятора методом желаемой передаточной функции состоит в том, что для известной передаточной функции объекта

Wo( s) = = ^ + (1)

R( s) rnsn + rn V1 +... + Г

Рис. 1. Структурная схема системы управления' и желаемой передаточной функции замкнутой системы по управлению Яж( у) для структурной схемы, представленной на рис. 1, можно записать

у) - я (а 1+)

где Ярег( я) - искомая передаточная функция регулятора. Разрешив это равенство относительно Ярег( я), получаем

1 ^Су)

Ярег( Я ) =

Ж0( у)1 - Жж( у)'

(2)

Данный подход хорошо известен, однако его непосредственное применение для неминимально-фазовых объектов приводит к физически не реализуемой или негрубой системе, так как регулятор, полученный по формуле (2), содержит в качестве сомножителя величину, обратную передаточной функции объекта, что приводит к сокращению нулей и полюсов, в том числе правых. Компенсация левых полюсов не нарушает устойчивости объекта, однако может вызывать скрытые колебания координат, которые часто нежелательны, так как приводят к дополнительному расходу энергии управления и увеличению динамических нагрузок в силовой части системы.

Получить работоспособную систему можно, наложив ряд ограничений на структуру желаемой передаточной функции замкнутой системы Яж( у) и передаточную функцию регулятора

Ярег( у) [2, 3]. В частности, можно потребовать, чтобы функция Яж( у) была представима в виде

Яж( я) - ТТТ м (я), в(у)

(3)

где С (в) - характеристический полином желаемой передаточной функции; М( у) - ткяк

,к-1

+ т0 - полином, подлежащий определению. При выполнении данного условия передаточная функция регулятора не будет содержать нулей, сокращающихся с нулями объекта. Для того чтобы функция Ярег( у) не содержала полюсов, сокращающихся с нулями объекта,

необходимо выполнение условия

где полином N(у) - пу' + п1 -1я1 1 +

1 - Яж( я) - N (я), в (у)

. + п0 также подлежит определению. Из (3) и (4) следует М (у)

ЯреГ( Я) -

N ( я)

(4)

(5)

Для вычисления коэффициентов полиномов N( у) и М (у) необходимо выполнить подстановку (3) в (4), в результате чего получаем полиномиальное уравнение

Р(у)М(у) + Я(у)N(у) - в(у), (6)

из которого может быть сформирована система уравнений относительно коэффициентов искомых полиномов N(и М(5) .

Выбор порядков полиномов G (5), N (5), М (5) зависит от условий разрешимости, физической осуществимости и грубости [3], которые могут быть записаны в виде системы неравенств относительно степеней полиномов рассматриваемых передаточных функций.

Будем использовать величину nG для обозначения порядка полинома G(5). Так как число

уравнений относительно коэффициентов, получаемых из (5), равно nG +1, а число неизвестных равно пМ + nN + 2, для разрешимости системы должно выполняться неравенство

пв ^ пм + Щ + 1. (7)

Для выполнения условия грубости необходимо, чтобы относительный порядок передаточной функции регулятора был неотрицательным. Очевидно, что это условие выполняется, если

пм < Щ + г, (8)

где г - необходимый порядок астатизма синтезируемой системы.

Относительный порядок передаточной функции в левой части (4) равен нулю. Следовательно, относительный порядок передаточной функции в правой части (4) также должен быть равен нулю. Таким образом:

пв - пк + щ + Г. (9)

Естественным ограничением является также условие правильности передаточной функции желаемой системы

nG > пр + Пм + Г , (10)

Выражения (7)-(10) учитываются при определении степеней неопределенных полиномов М (5) и N (5), в качестве которых обычно рекомендуется выбирать минимально возможные степени. Из этих выражений также можно определить ограничения снизу на порядок желаемой передаточной функции системы nG

^ > 2пк -1. (11)

Очевидно, что при использовании такого подхода невозможно обеспечить произвольную функцию Жж( 5), т. е. произвольное расположение ее полюсов и нулей. Обычно задается лишь

расположение полюсов исходя из требований к динамическим характеристикам замкнутой системы и ее астатизму. Вместе с тем метод позволяет частично управлять нулями замкнутой системы, которую можно использовать для получения наилучшего или заданного качества.

Постановка задачи. Из соотношений (7)-(10) следует, что выбор полиномов G (5), N (5), М (5), а следовательно, и Жрег( 5) не является однозначным. Эта неоднозначность может быть использована для обеспечения выполнения дополнительных требований к замкнутой системе, одним из которых является статическая точность. Известно, что одним из способов повышения статической точности является введение астатизма. Однако при использовании этого метода уменьшается запас устойчивости и снижается быстродействие. Другим вариантом является обеспечение заданного уровня статической ошибки регулирования.

В предположении, что передаточная функция регулятора определяется отношением (5), установившаяся ошибка £ж для схемы на рис. 1 может быть записана в виде

^-т-^ «„+ /» , (12)

1 + к 1 + к

где к -(т0/п0)(р0/г0). При фиксированных р0 и г0 увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы и соответственно уменьшение £ при сохранении желаемого характеристического полинома в( я) возможно только тогда, когда имеется возможность варьировать коэффициенты п0 и т0. Для этого необходимо, чтобы уравнение синтеза (6) было недоопределе-

но, т. е. число неизвестных было больше числа уравнений.

Пусть объект управления описывается передаточной функцией (1). В соответствии с (11) минимальный порядок желаемого полинома пв - 2п -1 и число уравнений, которые можно получить на основе (6), равно 2п. В соответствии с (9) размерность полинома N (я) равна ^ - п -1. Соответственно число неизвестных коэффициентов равно п{ - п. Максимальная размерность полинома М(у), соответствующая реализуемому интегродифференцирующему регулятору, согласно (5) равна

пм - щ - п -1,

а число неизвестных коэффициентов т{ равно п . Полученная система уравнений относительно п, т{ имеет единственное решение и не позволяет регулировать уровень статической ошибки замкнутой системы. Таким образом, возможность подстройки статической ошибки требует более высоких порядков полиномов в (я), N (я), М (у), чем те минимальные значения, которые следуют из (7)—(10).

Рассмотрим возможности обеспечения дополнительной точности и грубости компенсационного полиномиального регулятора на примере расчета регулятора для неустойчивого объекта - перевернутого маятника, описываемого дифференциальным уравнением

3 3 (р-— gр +— и . 2 Ь 2 Ь

Здесь Ь - длина маятника; р - угол отклонения маятника от вертикали; и- управляющее воздействие. Объект является структурно-неустойчивым, так как характеристическое уравнение имеет два вещественных корня - положительный и отрицательный. Передаточная функция объекта по управлению имеет вид

я (я) - РМ =

Л(у) У2 -16

В соответствии с (11) минимальный порядок желаемого полинома С (в) равен 3. Примем

в (у) - (у +10)3 - у3 + 30у2 + 300у +1000. В данном случае из (3) следует N(я) - п1я + п0. Соответственно полином М(у) должен быть не выше первого порядка. Из условия разрешимости следует М(у) - т1я + т0.

Условия (2), (3) имеют вид

Жж(5) --М(5), 1 - Гж(5) = 5' - 163 N(5),

ж (5 + 10)3 (5 + 10)3

а уравнение синтеза -

16 М(5) + (52 -16) N(5) - 53 + 3052 + 3 005 + 1000 . (13)

Подставляя N(5) и М(5) в (13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 5 , получаем систему уравнений

п1 - 1, п0 - 30, 16т1 - 16п - 300, 16т0 - 16п0 - 1000.

Отсюда следует т1 - 19,75, т0 - 92,5, п1 - 1, п0 - 30 , при этом передаточная функция регулятора равна

ш - 19,755 + 92,5 - 19,75(5 + 4,68) ег(5) - 5 + 30 - 5 + 30 , а статическая ошибка определяется только особенностями системы и имеет фиксированное значение, управлять которым невозможно.

Ясно, что выбранный порядок полинома G (5) не позволяет учесть при синтезе регулятора требования, предъявляемые к статической ошибке. В этом случае можно усложнить регулятор либо за счет введения астатизма, либо путем повышения порядка М(5) . Оба варианта предполагают повышение порядка полинома G (5).

Примем желаемый характеристический полином в виде

G(5) - (5 +10)4 - 54 + 4053 + 60052 + 40 005 +10 0 00. Тогда условия (2), (3) принимают вид

1 А 2 1 с

Гж(5) --М(5), 1 - Гж(5) - 5 - 4 N(5),

ж (5 +10)4 (5 + 10)4

а уравнение синтеза -

16 М(5) + (52 -16) N(5) - 54 + 4053 + 60052 + 40 0 05 +10 0 00. (14)

Добавим условие физической реализуемости передаточной функции регулятора, т. е. предположим, что deg(N) > deg(M). Тогда из (3) находим полиномы минимального порядка

М(5) - т15 + т0, N(5) - 52 + п15 + п0. Подставив полученные выражения для М (5) и N (5) в формулу (14) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 5, получаем систему уравнений

п1 - 40, п0 -16 - 600, 16т1 - 16п1 - 4000, 16т0 - 16п0 -10 000. Отсюда следует т1 = 290 , т0 - 1241, п1 = 40, п0 - 616 , при этом передаточная функция регулятора равна

2905 +1241 290(5 + 4,28)

^,еГ(5) -

5 + 405 + 616 5 + 405 + 616

Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы с регулятором в ППП БтиНпк Дополнительный регулятор

13,22

б2+6,82б+13,22

А*)

42,5б2+290б+562,5 16

б2+40б-62,5 б2-16

Рис. 3. Структурная схема синтезированной системы в ППП БтиНпк

Полученное решение однозначно. Следовательно, при минимальных порядках полиномов N (у), М (у) повышение порядка полинома в (у) не позволяет регулировать какие-либо характеристики замкнутой системы, кроме в( б). Однако для рассматриваемого варианта желаемого полинома замкнутой системы в (у) в рамках принятых ограничений порядок полинома М (у) числителя регулятора может быть повышен до М(у) - т2у2 + т1Б + т0. Тогда полиномиальное уравнение (13) принимает вид

16(т2у2 + т1Б + т0) + (у2 - 16)(п2у2 + п1Б + п0) - у4 + 40б3 + 600б2 + 4000б +10 000. (15) В результате система уравнений для коэффициентов при б является недоопределенной. Она содержит шесть неизвестных и пять уравнений. Введем отношение к - т0/п0 и запишем уравнение (15) в виде

16 (т2б2 + т1Б + кп0) + (б2 -16) (п2б2 + п1б + п0) - б4 + 40б3 + 600б2 + 4000б +10 000.

Как отмечено выше, величина к определяет статическую ошибку в замкнутой системе. Пусть заданный уровень статической ошибки определен как £ - 0,1 у. Тогда, учитывая только управление, из формулы (12) получаем

1

1-к

- 0,1.

Отсюда следует к - -9. Записывая и решая систему уравнений относительно коэффициентов

при степенях б , получаем П2 - 1, щ - 40, п0 - -62,5 , т2 - 42,4, т1 - 290, т0 - 562,5. Таким

образом, передаточная функция регулятора имеет вид

^ 42,4б2 + 290б + 562,5

япег(Б) --2-.

рег б 2 + 40б - 62,5

Структура модели замкнутой системы в пакете 81шиНпк и график переходной функции представлены на рис. 2, 3.

Побочным эффектом обеспечения заданного уровня статической ошибки стало появление двух нулей замкнутой системы в точках -3,41 ± 1,26у , что привело к существенному перерегулированию в переходной функции (рис. 4). Добавив в прямую цепь регулятор

|

/ /

-Система с основным регулятором Система с дополнительным регулятором

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t, с

Рис. 4. Переходные характеристики в синтезированных системах

Ш г л 13,22

^рег1( s) = ~i-,

р s2 + 6,28s +13,22

можно добиться желаемого качества переходного процесса (рис. 4). Структурная схема полученной при этом системы представлена на рис. 3.

Из рис. 4 следует, что синтезированная система, содержащая два регулятора - основной и дополнительный, имеет статическую ошибку, равную 0,1, в то же время качество процесса соответствует желаемому.

Выводы. Результаты проведенного исследования свидетельствуют о том, что метод желаемой передаточной функции в модификации [3] позволяет синтезировать регулятор, обеспечивающий управление в системе с заданной точностью, т. е. обеспечивающий заданный уровень статической ошибки. При этом перерегулирование в системе может достигать больших значений. Во избежание этого в систему вводится дополнительное регулирующее звено компенсирующего типа. В результате система имеет заданное значение статической ошибки управления, а также приемлемое перерегулирование.

Список литературы

1. НИКУЛИН А. Е. Основы теории автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

2. КРУТЬКО П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели. М.: Наука, 1987.

3. КИМ Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М.: Физматлит, 2003.

Воронин А. В. - канд. техн. наук, доц. Института кибернетики Томского политехнического университета; e-mail: [email protected];

Щелканова Т. А. - магистрант Института кибернетики Томского политехнического университета; e-mail: [email protected]

Дата поступления - 15.10.12 г.