Синтез ПИД-регулятора для объектов второго порядка с учетом расположения полюсов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2016, 9(1), 50-60

УДК 681.5

Synthesis PID Controller

for Objects Second Order

with Regard to the Location Poles

Andrey P. Prokopiev*, Vladimir i. ivanchura and Rurik T. Emelyanov

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 13.10.2015, received in revised form 26.12.2015, accepted 06.02.2016

The paper explored the method of synthesis of PID control systems for objects of the second order. As a theoretical basis of methods used modal method for linear systems with respect to the location of the complex poles. The obtained equations linking the values of the transient response, the complex poles and coefficients of the control object. The numerical illustration is given.

Keywords: automatic control system, synthesis, PID control, the modal method, the complex poles, transfer characteristic.

Citation: Prokopiev A.P., Ivanchura V.I., Emelyanov R.T. Synthesis pid controller for objects second order with regard to the location poles, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2016, 9(1), 50-60. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-1-50-60.

Синтез пид-регулятора

для объектов второго порядка

с учетом расположения полюсов

А.п. прокопьев, В.и. иванчура, Р.Т. Емельянов

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Рассмотрена методика синтеза ПИД-регулятора системы управления для объектов второго порядка. В качестве теоретической основы методики использован модальный метод для линейных систем с учетом расположения комплексных полюсов. Получены соотношения, связывающие значения переходной характеристики, значения комплексных полюсов и коэффициентов объекта управления. Приводится числовой пример.

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: [email protected]

*

Ключевые слова: система автоматического управления, синтез, ПИД-регулятор, модальный метод, комплексные полюсы, переходная характеристика.

Введение

Синтез регуляторов систем автоматического управления (САУ) - одна из основных предметных задач теории автоматического управления. Наибольшее распространение в САУ технологическими процессами получили пропорционально-интегрально-дифференцирующие (ПИД) регу ляторы [1]. Одним из методов синтеза ПИД-регуляторов [2], октивно развиваемым учеными, выступает модальный метод [3, 4 и др.]. В иауаных роботах, посвященных синтезу регуляторов, отсутствуют соотношения, связывающие значлния переходной характеристики и коэффициентов объекта управления с учетом распсложения комп лексных полюсов .

Наиболее распространенными для мобильных строителоных и дорожных машин как объектов управления являются математические модели второго порядка.

Исходно«; математическое описание системы и постановк а задачи

Рассматривается линейная система автоматического управления с передаточной функцией! (ПФ) объекта второго по рядка.

Передаточная функция объекта управления второго порядка Wo(s) и ПИД-регулятора Wy(s) имеет вид

W (s) = bf+ba +

a0 s + axs + a2

K K.s2 + -s + K.

Wy (s)TKp+-L + Kds = —-^-L,

K s s

где s - преобразователь Лапласа; Kp, K, Kd - соответственно коэффициенты пропорциональности, интегрирования и диф ференцирования.

При последовательном соединении ПФ объекта и ПИД-регулятора образуют разомкнутую систему с ПФ следующего вида:

K.b0s3 + (Kb + Kh0У + (КЬ0 + К h )s + Kb,

W(s) = Wo (s) W (s) = --p 0 2 ' 0--—.

a0s + a,s + a2 s

ПФ замкнутой системы уп равле ния с единично й обрат ной связью

) jv(s) КоОе3 +(KA +KA У +(кь + крь>+кь

к(у) = с -

1 + =(с) (а0 + КАУ +Ц +КД + КрЪ0)с2 + (аг + К,Ъ, + КрЪх)с + К&

Исходными данными для синтеза ПИД-регулятора САУ являются ПФ объекта управления ¥0$ всорого порядка и задан ные показатели качеств а: перерегулирование и время регулирования.

Решается задача определения значений коэффициентов ПИД-регулятора КА Кр, К,■, обеспечивающих заданные показатели качества по заданным ПФ объекта управления второго порядка ¥0^) и значениям действительного полюса ¿е = -та и комплексных полюсов ¿2 = -т|2 + _/Р; 53 = -т)2 -ур ПФ замкнутой системы управления.

Вывод основных соотношений

ПФ замкнутой системы с ПИД-регулятором при задании комплексных полюсов предста-

вим в виде

K (,) =

W(S) = Каь0к + (КА + Kpb0+s2 + (Kb +KpbOs+Klbl

1 + W(s) (cj + Kdb0 )| + T|1)(,s + и + p j)(s +ij2 - p j) Введем обоиначения для упрощения выражения (1):

b _ "nn —

; b„, _-

KA+KA.

b„, _-

K,bo + Kpb,

p с,.

b„, _-

Kb,

. + KA л 02 a0+Kdb0 ' 03 Oo+^A

(1)

(2)

-*0 1 b

С учетом выражений (2) полу чим в области изображений для переходной характеристики замкнутой системы с ПИД-регулятором при задании значений комплексных полюсов:

H(s)=-

beoS yb0ls ybms уЬю

(3)

^ут|1)(чут12уР./)<Пут12- py)s

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет третий порядок. При известн ых заданных действительном полюсе sj и компеексных полюсах sn s3

Н = -Ml ; = -ТЪ + РУ; s3 = -Tk -3>j 1

это уравнение имеет вид

DO?) о (s - s) - s2 )(s о- ) о s-3 (т^! + 2г|2 ) s2 + [п (^2 - pj)+

+-Ъ + Р./И(- + i+ -PjO^ + i-Cp -рУ-Оь + Р.Д

Примени])! упрощение

111 0l2 - Р_)+Oh + Р /)С) + )2 - PD] = Р2'+42 +2 22lll 112 , пЩъ-Р+Хъ+P/)=ni(P--H+).

Тогда характеристическое уравнен ие примет следу ющий вид:

D(s) = s3 + (п + 2г|2У + (р2+г|= + 2^ T|)s -+-т,1ЦР2+пТ).

Характеристическое уравнение корректируемо+ системы можно представить таким выражением:

(а0 + Kdb0)s3 + (a -кKb + Kb0)s2 + Мы + кр0 + K h)s+Kfr

ao + KA

( a- + K-b +K bA

= s +

p" 0

a0 +Kd bo J

s2 +

(a2 + Kb0 +Kb ^

Г0 '

v a+ KA J

s + -

K,A

a0 + KA

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, получим:

a+KA+KPK 2

ao+KA

a2 + KP 0+ Kpb1 =R2jn )

«0 + Kdb0

= P2+12 + 2тц П2; (4)

ао+кЛ

Определим установившееся значение На переходной характеристики Н(/) при задании комплексных полюсов в соответствии с теоремой предельно го перехода:

К Ь

Нш(5 • ¿0)) —-^-;

П1ОЪ " Р/ХП + в УЖ + КА) тогда установившееся значе ние Нвл

, кь

О ^ =_'-Л_. (5)

с п (112 - РУ)(1Ъ + иа(ао + кАУ

Упростив выражение; (5), получим

н -_КЬ__(6)

В соответствии с (4)

КА

a0 + Kdb0

= тц(п2+Р2), (7)

подставляя (7) в (6), имеем

Н -_КЬ_.ПМ1Р!)-! (8)

^ Ti.Cn 2+Р2)Сл„вКД) т^СпС+Р2) • ^

Полученный результат (8) подтверждает, что рассматриваемая замкнутая система управления является астатической отно сительна входного воздействия.

Определим начальное значвние НТ£о. переходной характеристики Н() в соответствии с теоремой ппадельного перехода для случая задания вомплексных полюсов:

КА

lim(s ■ h(s)) —

s—w

т. е

* =

ao + KA"

in.it. , т 1

Доказано, что для рассматривае мой задачи синтеза ПИД-регулятора системы управления с ОУ второго порядка справедливо условие НШ1 < Н(р) <1 при установившемся значении Н= 1. Это выраженил не зависит от типл заданных полюсов.

- 53 -

Таким образом, значение переходной! характеристики замкнутой системы с ПИД-регулятором изменяется во времени от hinit до hstab. = 1. При этом если значение Ье0 = 0, то начальное значение переходной характеристики hiniL = 0.

Очевидно, что при некотором значении b0, hinit войдет в 5%-ю зону установившегося значения. Это свидетельствует о возможности значительного уменьшения времени переходного процесса при b0 не равного 0.

Определение значений составляющих пеоеходной характеристик и замкнутой системы управления

Определим составляющие переходной характеристики h(t) замкнутой системы с ПИД-регулятором в соответствии с теоремой предельного перехода, пр и задании комплексных полюсов в среде программы MathCAD применив функцию упрощения (simplify):

- 2 (b-b цхк^-к^+к,.)

lim 1(5 + ti.W5) I simplify —-----—--—;

lim [(5- + T)2 + p j)h(s)\simplify -—

5 -У-42 "Р./

_ (¿0 n- - bi+ -b„ j)(Kd ч2-крв j - к, p2 - Крц2 + 2KrfP n- j) j ;

-i^Cni 2+ РУХЯо+КАХть- П + P j) ;

lim [(5 + n2 - P j)h(5)]simplify -—

5 --e+f>)L

(b - HO- + Pb j)K n- - 2jKd en- - Krfp2 - Kpn- + к +Kp p j) j 2P(n- -P j)(ao+Kdbo)(4i -n- + p j) '

Обозначим:

установившееся значение hstab. в со ответствии с (6)

Kb,

j = ' 1

s,ab- тцСП+РЖ- Kdb0y

при подстановке исходных данныо получимустановившееся сначение hstab. переходной! характеристики hstab° = 1,тогда составляющая у (t) обусловленная полюсом s1 = —rji.

(b, - ь0-л, )(к,n2 - к ц,+к.)

=--li 0 11A t1' 2 pl1-HV • v, )9)

а'в к n 1 («=0 -у кд )(P2 -в г£ -о Стц 112 у п 2) v

составляющая hs (t), обусловленная комплексным полюсом s2 = -т|2 +

h (t) (М2 -b + pb0 j)(Kb r\l-KpKj-Kde 2 -Kpn2 + 2KdPn2 j) j (_„2-ej)t nm

hs (t) =--£----e 12 vj', (10)

S2 2(5 (n 2 + в jKao+Kd ЙД^- T1 ,+Pj)

составляющая h (t), обусловленная комплексным полюсом s3 = -n2 + j'P,

, (t) (b - bn + pb„j)(Kd П - 2]Kd Pn2 - Kd p2 - kpn2 + K +kp p j)j +pj)( hs (t) =-----e b vj>. (11)

* 2Р(Л2-p j)(a0+Kdb0)(nl -П2 + P j) v '

Таким образом, для комплексных полюсов выражение переходной характеристики Н() примет следующий вид:

И(( = о^. + \ уе)+ин (о) + И1з (а). (12)

или, упростив выражение (12), заменив сумму Н (() + Н^ (/) на удвоенную действительную часть 2Яе[Н^(у)] или 2Яе[у (/)], т, у.

И(щ) = Кы. -ьЬу (с) + 2 Яе(е)],иль И(е) = И^ + 0= (])+ 2((еЦ (е)].

Графическая реализация проверки примененного упрощения представлена на рис. 1: принятые обозна+ения = 0(1е[К(Л)] или 013(е) = И22К^ез/г2(К)].

С интез параметров пид-регулятора

Равенства (4) представим в виде системы уравнений!, в которой неизвестными являются значения наэффиц иентов ПИД-регулятора

Кл [Ьи- Ьо (Пи + 2П))]+КрЬ0= а0 (-л! + 2ц2) - ах;

-кд(р Чт^п^+КА+КА = ао((е2-)112^21г11ег)-022; (13)

-КАчЖ+П^ + КА = аощф 2+012). Введем обозначения для предстсаления системы ууавнений в матричной форме:

Ач ^-¿оОз^тъ УЛо= КЛъ=У я ^оОп +2^2) -К = -А(Р2+ч2+2111П2); К2 =Ь1; Лз =К сз = ао(Р2+^2 + П2)-«2; (14) ^31 =-Ь0111(|32-Ы12); К = 0; КъеК, Сз =«о П1(р2+л2)-

t

Рис. 1. Графическая реализация упрощения замены суммы h^ (t)+h^ (i) на удвоенную действительную часть 2Re [hь (t)] или 2Re [hs (t)]

С учетом принятых обозначений (14) сформируем матрицы:

V (С > L1 Г к, 1

Л = кОз ; С2 = С2 ;йЙ2 = к.

U ^32 ^33 J v С3 J 1 к J

(15)

Матричное уравнение для определения искомых значений коэффициентов регулятора имеет вид

(Л-Ке) = С2. А его решение представляется в виде

к 2=ла 2.

Система уравнений (13) значительно упрощается, если значение коэффициента

b 0 = 0:

al+rfCdbl

=iii +

a2 + Kpbl

= p2+n2 + 2n П2;

(16)

KibL=n,(P2+n2).

В этом случае уравнения для расчета значений коэффициентов ПИД-регулятора имеют

bha

K = £_ = ао(П, + 2П2)-a,.

b1

b,

K c2 ao(P2+n2 + 2П, П2) - a2 . K = b = b '

(17)

K = £3 = a0 n,(P2-+n2)b,

b, b,

Получены выражения для расчета коэффициентов ПИД-регулятора, включающие коэффициенты ПФ объекта второго порядка при задаунок зноченияу комплексных полюсов. Выполнена проверка рас смотренной методики на конкретном примере. Пример). Задан объект управ ления втирого порядка с ПФ

0,01 s + 0,7

a0 s2 + a,s + a2 0,04 s2 + 0,12 s +1

a

Требуется синтезировать ПИД-регулятор, который обеспечит переходную характеристику без перерегулирования, а время регулирования tp = 3 c.

Для реализации метода синтеза применены зависимости (15), (17). Расчеты выполнены в среде программы MathCAD.

Исходные данные; для комплексных значений по люсов: значение т; опредеиено с учетом желаемого времени регувирования, равного 3, с и расчета по известной приближенной формуле [5, 6]

Re(s)

-ili = Re(X0

где ЯеН-) - действительная часть полюс;;!, наиболее приближенного к мнимой оси корневой плоскости; значенае т|2 и(П определяется из требуемого значения перерегулирования и яоияния этого полюса на полюс т—

П = 1;т)2 =5; (3 = 0,5; Ъе = 0,7; Ъ0 = 0;0);а0 = 0,04; е = 0,12; а2 =С,0. Для заданных комплексных полю сов определены 2оэ ффициенты ПИД-регулятора:

К 2 =

' к1

Kp

V K У

Г0,52 0,828 1,езз

; К1н=0,528;Кс =0,828; ко,. =1,633.

Выполне но моделирование переходного процесса для периода времени t = 0,0.001.. .10. Составляющие 1(0, 1я(е), 13(а), обнсловленные полюсом ¿и = —т ае =омплексными полюсами ¿2 = -т|2 + Р/0 ¿Уз = -аТСг + РИ определяются по зависимостям (9) - (10).

Переходная характеристика 1(0 получена по выражению (12). При t = 1 получим МО = !аъ. -о\(И)оИ= 0)-оо01=0=17.

Начальное значение 1)— переходной характеристики к(()

h =-

a0 + KA

-=0,117.

(18)

1

Рис. 2. График переходного процесса синтезированной системы с заданными комплексными полюсами ^ = 3 с при Ь0 = 0,01

На рис. 2 представлен график переходного процесса Н(1) замкнутой САУ с синтезированными параметрами ПИД-регулятора.

При известном значении Ь0 = 0,01, заданных параметрах объекта второго порядка и комплексных полюсов в рассмотренном примере время переходного процесса, исходя из условия 5 % зоны установившегося аначения, равно 3 с.

Определены коэффициенты ПИД-регулятора при Ь0 = 0,05:

f K 1 1,098 ^

К2 = = 3,106 ; Kd= 1,098; Kp = 3,106; Kt = 3,423

IK J v 3,423 J

Начальное значение кле = 0,579 переходной характеристики к=) при Ь0 = 0,05. На рис. 3 представлен график переходного процесса й(С замкнутой САУ с синтезированными параметрами ПИД-регулятора при значении коэффициента объекта Ь0 = 0,05.

При из значени Ь0 =0 0,05, заданных параметрах объекта второго п ядка и ком-

плексных полюсов в рассмотренном примере время переходоого процесса, исходя из урловия 5 % зоны установившегося знвчения, равно 2,45 с.

Определен ы коэффициенты ПИД-регулятора при Ь0 = 0,1:

; Kd = 5,420; Kp = 24,878;Kt = 20,992.

Начальное значение = 0,93 переходной характеристики к(4) при Ь0 = 0,1 На рис. 4 представлен график переходного процвсса й(/) замкнутой САУ с синтезированным и параметрами ПИД-регулятора при значении коэффициента объекта Ь0 = 0,1.

В соответствии с разработанной методикой модального синтеза ПИД-регулятора для объектов второго порядка переходный процесс носит апериодический характер. При известном значении Ь0 = 0,1, заданных параметррк оОъекта второго поаядка и комплеесных полюсов в рассмотренном примере время переходного нроцескз, исходя из условия 5 % зоны установившегося значения, равно 0 с.

i Kd' '5,420 N

К 2 = KP = 24,878

10, ч20,992y

1

Рис. 3. График переходного процесса синтезированной системы с заданными комплексными полюсами гр = 2,45 с при Ь0 = 0,05

1.05

h(t) 1 1 0.95

1.05 0.95

10

Рис. 4. График переходного процесса синтезированной системы с заданными комплексными полюсами 1Р = 0 с при Ъ0 = 0,1

Определение коэффициента b0 передаточной функции объекта по заданному начальному значению hiniL переходной характеристики h(t)

Преобразовав зависимость (1 8), получим следующее выражение для расчета b0(hinit) :

Ъо(Ки) =

(

1

Л

, K =

-1

h

\ init. J

Kd

ao(Thy 2lU - ai b

тогда итоговая зависимость примет вид

hn

a0 Ь1

Л

1 [a1 - a0

(19)

При заданном начальном значении переходной характеристики кШ1 = 0,95 величина коэффициента! равна й0(/г,на) = 1,66025.

Зависимость (19) позволяет выполнить расчет коэффициента Ъ0 передаточной функции объекта по заданному начальному значению кш. переходной характеристики к(р), коэффици-ентовПФ объекта (й, а0, а1), заданных полюсов (т)1, п2) системы управления. Рекомендации по определению значений комплексных полюсов могут Цепь предложены после дополнительных исследований по разработанлойметодике.

Заключение

РазрлЗонана месодика модального синтеза ПИД-ревулятора по заданным значениям параметров объекта второго порядка и комплексных полюсов замкну той системы управления.

Исследование показало, что при некотором значении Ъ0, не равного 0, начальное значение переходной характеристики /г/и,-°. войдет в 5%-ю зону установившегося значения. Это свидетельствует о возможности значительного увеличения быстродействия скорректированной системы.

0

2

4

6

8

t

Список литературы

[1] O'Dwyer A. PI and PID controller tuning rules: an overview and personal perspective, Proceedings of the IET Irish Signals and Systems Conference. Dublin Institute of Technology, June, 2006, 161-166; http://arrow.dit.ie/engscheleart/39.

[2] Прокопьев А.П., Иванчура В.И., Емельянов Р.Т. Идентификация нелинейной системы управления с ПИД-регулятором. Труды XМеждународной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'15), М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2015, 387-397; http://www.sicpro.org/sicpro15/ code/r15_08.htm [Prokop'ev A.P., Ivanchura V.I., Emel'ianov R.T., Identification of nonlinear control systems with the PID control, SICPRO'15, Moscow, 2015, 387-397; http://www.sicpro.org/sicpro15/ code/r15_08.htm (in Russian)]

[3] Вадутов О.С. Синтез ПИД-регулятора в системах с запаздыванием методом условной оптимизации с ограничениями на размещение полюсов. Известия Том. политех. ун-та. Информационные технологии, 2014, 325(5), 16-22. [Vadutov O.S. Synthesis of PID controller in time-delay systems by method of constrained optimization with restrictions on placement of poles, Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. Information technology, 2014, 325(5), 16-22 (in Russian)]

[4] Ефимов С.В., Замятин С.В., Гайворонский С.А. Синтез ПИД-регулятора с учетом расположения нулей и полюсов системы автоматического регулирования. Известия Том. политех. ун-та, 2010, 317(5), 102-107 [Efimov S.V., Zamiatin S.V., Gaivoronckii S.A. Synthesis of the PID controller with respect to the location of zeros and poles of the system of automatic control, Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2010, 317(5), 102-107 (in Russian)]

[5] Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Задачи корневого анализа и синтеза и синтеза систем автоматического управления. Известия Том. политех. ун-та, 2010, 316(5), 1620 [Efimov S.V., Gaivoronckii S.A., Zamiatin S.V. Root tasks of analysis and synthesis and synthesis of automatic control systems, Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2010, 316(5), 16-20 (in Russian)]

[6] Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963, 112 с. [Underman E.G. Root locus method in the theory of automatic systems, Moscow-leningrad, Gosenergoizdat, 1963, 112 p. (in Russian)]