Синтез оптимальных экстраполяторов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСТРАПОЛЯТОРОВ

Рассматривается вопрос оптимизации параметров экстраполятора с учетом как ширины спектра, так и центральной частоты случайного входного сигнала. Показано, что оптимизация весовых коэффициентов экстраполятора позволяет существенно снизить ошибки экстраполяции.

Ключевые слова: дискретизация сигнала, экстраполирование, оптимизация, ошибки.

При цифровой обработке непрерывные сигналы подвергаются дискретизации по времени и уровню. В результате в интервалах между отсчетами теряется информация, частичное восстановление которой возможно с использованием экстраполяторов различных порядков [1].

В общем случае алгоритм работы экстраполятора вытекает из разложения сигнала в окрестности момента времени ¿0 в степенной ряд Тейлора [2]:

,(,) = ,00) + ^ %) + + + ^ , <->«0) = 1 s^")«ь) ^п0 (1)

1 1•2 „! „.0 „!

где ,(-) (^0 ) — „-я производная сигнала в момент времени ^ •

Рассмотрим непрерывные и дискретные экстраполяторы нулевого и первого порядков. Непрерывный экстраполятор нулевого порядка. При использовании в выражении (1) только первого слагаемого получаем экстраполятор нулевого порядка, для которого сигнал

,э (г + т) = , (г), (2)

где т — время экстраполяции.

Очевидно, что ограничение числа членов ряда (1) неизбежно приводит к ошибке экстраполяции, дисперсия которой в данном случае определяется следующим образом:

о2 = [ + т) - ,э (г + т)]2. (3)

Черта сверху в выражении (3) означает статистическое усреднение.

Используя соотношение (2), нетрудно показать, что для стационарного сигнала

а2 = 2о2[1 - г (т)], (4)

2

где а , г(т)— дисперсия и коэффициент корреляции сигнала ).

Оптимальный непрерывный экстраполятор нулевого порядка. В целях минимизации ошибки экстраполяции представим алгоритм работы оптимального непрерывного экстраполятора нулевого порядка в виде

s3 (t + т) = as(t),

где a — весовой коэффициент.

Найдем значение весового коэффициента a, обеспечивающего наименьшую ошибку экстраполяции. Аналогично соотношению (3) можно записать, что в данном случае

о2 = [s(t + т) - as(t)]2 = о2 [1 + a2 - 2ar(т)]. (5)

Для определения оптимального значения коэффициента a возьмем от дисперсии ошибки экстраполяции производную по a и приравняем ее к нулю:

d 2

^ = 2о 2[a - r (т)] = 0. da

Из данного соотношения находим, что минимальная дисперсия ошибки экстраполяции при a = r (т) составит

О^ш = 02[1 - Г2(т)]. (6)

В результате выигрыш в величине ошибки экстраполяции при использовании оптимального коэффициента a определим в виде отношения дисперсий ошибок, соответствующих выражениям (4) и (6):

о2 = 2[1 - r (т)] = 2

1 - г (т) 1 + г(т)

Для получения конкретных численных результатов примем следующий коэффициент корреляции сигнала:

2 2

г (т) = exp( -Дю т )cos(ю0 т), где Дю, Ю0 — ширина и средняя частота спектральной плотности сигнала. Тогда получим, что

оэ

2

2 2 2 а^т 1 + exp(-Дю т )cos(ю0т)

Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок экстраполяции оэ/о, /а и квадрата их отношения для различных значений произведения Дют при

ю0 = 0 представлены в табл. 1.

_Таблица 1

Дют 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

ojo, % 2,83 7,07 14,11 28,00 41,49 54,38 66,51 77,76

Оэшш/О , % 2,83 7,06 14,07 27,73 40,59 52,33 62,73 71,64

2 1 2 О О э / эmin 1,00 1,00 1,01 1,02 1,04 1,08 1,12 1,18

Из полученных результатов следует, что при Ю0 = 0 оптимизация параметров экстрапо-лятора нулевого порядка дает незначительный выигрыш относительно ошибки экстраполяции. В табл. 2 представлены результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок экстраполяции и их отношения для различных значений произведения Ю0т при ширине

спектральной плотности сигнала Дю = 0.

_Таблица 2

ю0 т 0,01 0,04 0,08 0,16 2,98 3,06 3,10 3,12 3,13

ojo, % 1,0 4,0 8,0 16,0 200 200 200 200 200

О*™/О , % 1,0 4,0 8,0 16,0 16,0 8,0 4,0 2,0 1,0

О о э / эmm 1,0 1,0 1,0 1,0 12,5 25,0 50,0 100 200

Анализируя данные табл. 2, можно отметить, что в диапазоне 0 < ю0т < 0,3 оптимальный экстраполятор не обеспечивает уменьшение ошибки экстраполяции. В то же время при ю0т> 3 ошибка экстраполяции не превышает 10 % и меньше ошибки неоптимального экст-раполятора в 25—200 раз.

Дискретный экстраполятор нулевого порядка. Алгоритм работы данного экстрапо-лятора записывается следующим образом [1]:

¿3 (ti +т) = s(ti X

где s(ti)— i-й отсчет сигнала; ti = iT; T — период дискретизации; i = 0, 1, 2, 3, ... — номер отсчета.

При этом дисперсия ошибки экстраполяции определяется из соотношения

°2 = [s(ti +т) —э (ti +т)]2, которое после несложных преобразований приводится к виду

о2 = 2о2[1 - г(т)]. (7)

Полученное выражение (7) для дисперсии ошибки экстраполяции совпадает с аналогичным выражением (4) для непрерывного экстраполятора.

Оптимальный дискретный экстраполятор нулевого порядка. Для данного экстра-полятора можно записать следующий алгоритм работы:

¿э (ti +т) = as(ti).

Опуская несложные выкладки, аналогичные алгоритму работы непрерывного экстраполятора, оптимальное значение весового коэффициента а, минимизирующего ошибку экстраполяции, можно определить как а = г(т) . При этом дисперсия ошибки экстраполяции определяется соотношением

°2min = о2[1 - г2(т)].

Данное выражение полностью совпадает с выражением (6) для дисперсии минимальной ошибки непрерывного экстраполятора нулевого порядка.

Непрерывный экстраполятор первого порядка. При использовании в выражении (1) первых двух слагаемых получаем алгоритм работы рассматриваемого экстраполятора:

s, (t + т) = s(t) + s '(t )т.

Дисперсия ошибки экстраполяции в данном случае определяется соотношением о2 = [s(t + т) - (t + т)]2 = 2о2 [1 - г(т) - 0,5г "(0)т2 + г'(т)т - г '(0)т], где г'(т), г"(т) — первая и вторая производные коэффициента корреляции г(т) сигнала s(t).

Оптимальный непрерывный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора представим в виде

(t + т) = а0 s(t) + a1 s '(t )т, при этом дисперсия ошибки экстраполяции будет определяться выражением о2 = о2[1 + а2 - 2а0 г(т) - af г "(0)т2 + 2а1г '(т)т - 2а0а1г '(0)т].

Подбором весовых коэффициентов a0 и a1 минимизируем ошибку экстраполяции. Для

этого возьмем частные производные от о2 по а0 и а1 и приравняем их к нулю:

d 2 d 2

= 2 о2 [а0 - г(т) - а1г '(0)т] = 0, = -2 о2 [а1г "(0)т2 - г'(т)т + а0г '(0)т] = 0. dao -а1

Решая данную систему уравнений относительно коэффициентов а0 и a1, находим, что

_ г (т)г "(0) + г'(т)г '(0) _ г'(т) + г (т)г '(0) а0 _ 2 ' а1 _ 2 • г "(0) - [ г '(0)]2 {г "(0) - [ г '(0)]2 }т

После подстановки в полученные выражения для а0 и а^ коэффициента корреляции

2 2-

сигнала г(т) _ ехр( -Дю т )соб(ю0т) можно в окончательном виде записать:

2 2

а0 _ ехр( -Дю т )соб(ю0 т), а1 _

2 2 2

2 Л ехр(-Дю т )[2тДю тсоб(ю0т) + ю0 Бт(ю0т)]

(2Дю2 + ю02)т

Тогда дисперсии ошибок экстраполяции о^, о^^ будут определяться выражениями

о^ _ 2о2 {1 - ехр( - Дю2т2) соб(ю0т) + Дю2т2 + 0, бю^т2 -

2 2 2 2 2 2 -2Дю т ехр(-Дю т )соб(ю0т)- ю0т ехр(-Дю т )б1п(ю0т)},

2 2 I 2 2 2

Оэтт _ о О - ехр( - 2Дю т )соб (ю0 т) -

(8)

2 2 2 2 ехр( - 2Дю т )[2Дю т соб(ю0т) + ю0 бш(ю0т)]

2Дю2 + ю02

(9)

Для получения конкретных результатов рассмотрим частные случаи. Положим среднюю частоту сигнала ю0= 0. Тогда соотношения (8) и (9) примут следующий вид:

о2 _ 2о2{1 - ехр( - Дю2 т2) + Дю2 т2[1 - 2ехр( - Дю2 т2)]},

оЭт1П _ ^ [1 - ехр( - 2 Дю2 т2 )(1 + 2 Дю Г6 )]• Результаты расчетов относительных среднеквадратических ошибок оэ/о, оэт1п/о , а также квадрата их отношения приведены в табл. 3.

Таблица 3

2.2 N

Дют 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

оэ/о , % 6,93-10-2 4,33-10-1 1,73 6,85 15,2 26,5 40,43 56,6

оэтш/о , % 5,66-10-2 3,53-10-1 1,40 5,51 12,0 20,4 30,0 40,3

2/2 о о э / этт 1,50 1,50 1,51 1,53 1,61 1,69 1,81 1,97

Сравнивая данные табл. 1 и 3, можно отметить, что применение экстраполятора первого порядка позволяет при Дют < 0,1 практически на порядок уменьшить ошибку экстраполяции. При этом оптимизация параметров экстраполятора также уменьшает ошибку экстраполяции более чем в 1,5 раза по сравнению с неоптимальным экстраполятором.

Рассмотрим случай, когда ширина спектральной плотности сигнала Дю _ 0. Тогда

а0 _ соб(ю0т), а1 _ Б1п(ю0т)/ю0т,

2 2 2 2 2 оэ _ о {2[1 - соб(ю0т)] + ю0 т - 2ю0тБ1п(ю0т)}, оэт1п _ 0.

В табл. 4 показаны результаты расчетов нормированной среднеквадратической ошибки оэ / о при Дю _ 0 для различных значений произведения ю0 т.

_Таблица 4

ю0 Т 0,01 0,04 0,08 0,16 0,32 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

оэ/о , % 0,005 0,08 0,32 1,28 5,11 7,96 12,4 17,8 24,2 31,4

Сравнивая данные табл. 2 и 4, можно отметить, что экстраполятор первого порядка по сравнению с экстраполятором нулевого порядка обеспечивает уменьшение ошибки экстрапо-

ляции более чем на порядок. При этом оптимизация параметров экстраполятора первого порядка позволяет свести к нулю ошибку экстраполяции.

Дискретный экстраполятор первого порядка. Для вычисления первой производной сигнала в выражении (1) воспользуемся первой обратной разностью. При этом

5& ) - - Т)

s '(ti) =■

T

Тогда алгоритм работы дискретного экстраполятора первого порядка можно записать следующим образом:

5э & +Т) = ^ + тТ) ^ )-Т ^ -т).

Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение для дисперсии ошибки экстраполяции:

оэ =о

1 + 11 + -) - 2 (1 + -] г (т) + 2 - г (т + T) - 2 (1 + -]-г (T)

Т) Т2 V Т) Т V Т) Т

Результаты расчета относительной среднеквадратической ошибки экстраполяции для дискретного неоптимального экстраполятора первого порядка при Дю = 0 и т = Т для различных значений произведения юо т приведены в табл. 5.

Таблица 5

Ю0 т 0,01 0,04 0,08 0,16 0,32 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

о^ о, % 0,01 0,16 0,64 2,55 10,1 15,8 24,5 34,9 47,0 60,7

Оптимальный дискретный экстраполятор первого порядка. Алгоритм работы данного экстраполятора имеет вид

+т) = ао ^ + т) ^) - а1 т ^ - т)'

при этом ошибка экстраполяции определяется следующим выражением:

оэ =о

1 + а02 (1 + — ] + а2 \ - 2а0 (1 + — ] г (т) + 2а1 — г (т + T) - 2а0 а1 (1 + — ]—г (T)

Т) т2 V Т) 1 т V Т)Т

Аналогично предыдущим случаям выбором весовых коэффициентов ао и а1 минимизируем ошибку экстраполяции.

Система уравнений, позволяющая найти оптимальные значения коэффициентов ао, а1, имеет следующий вид:

-оэ. = 2 о2 (1 + 1

da0

T

а0 (1 + TJ- г (т) + 2а1 T г (T)

= 0,

-оэ = 2о2 1

а T- г (т + T) + а0 (1 + T-I г (T)

= 0.

da1 T

Решая данную систему уравнений относительно искомых коэффициентов, находим

a = г(т) г(т + T) - г(T)г(т) г( a = г(т + T) - г(T)г(т)

a0 _ 7 =Тг(T), а1 _ .

1 + T [1 - г2(T)] f 1 + T

[1 - г2(T)] T

Результаты расчетов нормированных ошибок оэ1 о, о^^ /о, а также их отношения

о^оэт[п для неоптимального и оптимального дискретных экстраполяторов первого порядка

2 2

при различных значениях произведения Лют и ю0 = 0, т = Т, г (т) = ехр( -Дю т )еов(ю0 т) приведены в табл. 6.

_Таблица 6

Дют 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

, % 0,138 0,864 3,435 13,41 28,97 48,73 71,11 94,47

°этш/° , % 0,113 0,70 2,79 10,66 22,31 35,98 49,87 62,58

а а э / этт 1,50 1,51 1,52 1,58 1,68 1,83 2,03 2,28

Анализ полученных данных показывает, что оптимизация параметров экстаполятора позволяет в 1,5 раза снизить ошибку экстраполяции, а при ширине спектральной плотности сигнала Дю = 0 оптимальный экстраполятор обеспечивает нулевую ошибку экстраполяции:

аэтт = 0 •

Выводы. Оптимизация параметров экстраполяторов нулевого и первого порядков с учетом ширины спектральной плотности сигнала не дает заметного уменьшения ошибки экстраполяции. Вместе с тем оптимизация параметров экстраполяторов с учетом средней частоты спектральной плотности сигнала позволяет более чем на порядок снизить ошибку экстраполяции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала экстраполяторами // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 5. С 57—60.

2. ПискуновН. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1966. Т. 1. 551 с.

Сведения об авторе

Сергей Ильич Зиатдинов — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информационно-сетевых технологий 18.05.11 г.