CC BY
42
УДК 519.71 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ*
А. С. Шмыров1, В. А. Шмыров2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, ashmyrov@yandex.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, ст. преп., vasilyshmyrov@yandex.ru
Введение. В настоящее время полеты в окрестности коллинеарных точек либрации системы Земля—Солнце считаются одним из перспективных направлений в космической навигации. Действительно, расстояние от центра Земли до первой внутренней точки либрации Li примерно 1,5 млн км. Полет на такое расстояние занимает меньше времени и энергетических затрат, чем, например, полет к Марсу или Венере. Многие проекты этого типа (ISEE-3, SOHO, Genesis и другие) уже реализованы, другие находятся в стадии разработки. Эти проекты связаны с важными практическими задачами — мониторингом Солнца, наблюдением за кометами и т. д.
Точка либрации Li является неустойчивой [1] и без управляющего воздействия космический аппарат (КА) не может там находиться длительное время. Поэтому весьма важной является задача стабилизации орбитального движения КА с помощью управлений, оптимальных в том или ином смысле и отвечающих современным технологиям. Отметим при этом, что необходимые для стабилизации управляющие ускорения оказываются малыми по величине, что открывает возможность использования таких экзотических систем управления, как солнечный парус.
Относительная малость управляющего воздействия не единственное препятствие в проблеме использования солнечного паруса. Развертывание и управление ориентацией паруса представляет собой довольно трудно реализуемую в техническом отношении задачу. Гораздо проще управлять отражательной способностью поверхности космического аппарата. В связи с этим мы рассмотрим специальный вид управления, а именно, предположим, что управляющее воздействие направлено по линии Земля— Солнце, и покажем, как меняются свойства орбитального движения для различных видов синтезирующих функций.
Уравнения движения и проблема стабилизации. В данной работе изучается орбитальное управляемое движение КА в окрестности точки либрации Li системы Земля—Солнце. В качестве математической модели движения служит хилловское приближение круговой ограниченной задачи трех тел [2-4]. Уравнения управляемого орбитального движения КА записываются в виде
3ж!
Х1=У1+Х2, У1 = - + + 2 + 2xi +У2+Щ
Х2=У2~Х1, у2 = --Г^—-2 i-I1)
(x2 + x2 + Х3У'2 3хз
Х3 У 3j Уз , 2 , 2 I 2\Ч/9
(х2 + х2 + х3)3/2
*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия. © А. С. Шмыров, В. А. Шмыров, 2012
где х = (х1, Ж2,хэ) —координаты положения КА во вращающейся геоцентрической системе координат; у = (у1,у2,уз) —импульсы, и —управляющее воздействие.
За единицу расстояния примем расстояние от центра Земли до ¿1 —величину равную приблизительно 0.01 а. е., а время масштабируется так, чтобы период обращения Земли вокруг Солнца (год) равнялся 2п единиц времени. В этом случае единица скорости будет равна 303,14 м/с, а единица ускорения будет равна 5, 93 • 10-5 м/с2.
В работе [5] представлен иной вариант хилловского приближения круговой задачи трех тел.
Система уравнений неуправляемого движения получается, если в (1) положить и = 0. Эта система является гамильтоновой с гамильтонианом
1 3 3
Я(х,у) = -|Ы|2- — --х\ +
+ Х2У1 - Ж1У2-
2""" ||x|| 2 1 2 Точка либрации Li во вращающейся системе имеет координаты
x* = (1,0, 0), у* = (0,1, 0)
(2)
(3)
и является точкой равновесия неуправляемой системы.
Качественные свойства орбитального движения в окрестности коллинеарной точки либрации ¿1 и принципы построения синтезирующих функций связаны с линеаризованной системой уравнений, которая имеет вид
Xi = Х2 + yi, yi = 8(xi - 1) + (y2 - 1) + u(x,y);
X2 = -xi + y2, y2 = -4x2 - yi; Хз = Уз, УЗ = -4x3.
В матричной форме при u(x,у) = 0 уравнения (4) представимы в виде
z = Az,
где z = z(x, y), а
A-
Матрица A имеет набор собственных чисел
(4)
(5)
/ 0 1 0 1 0 0 \
-1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
8 0 0 0 1 0
0 -4 0 -1 0 0
\ 0 0 -4 0 0 0 /
Л1 = у/1 + 2У7, Л2 = -у/1 + 2 а/7, А3 = 1у/2\/7-1,
= Лб = 2 г, Л6 = -2г.
Поскольку Л1 —положительное собственное число, линейная система (5) неустойчивая, и возникает проблема стабилизации движения. На рис. 1 показано, как ведет себя траектория КА, если управление отсутствует (и = 0). Начальные данные для этой и всех остальных траекторий управляемого движения, которые будут проиллюстрированы далее, выбираются одинаково, а именно
xi (0) = 1, x2(0)=0, x3(0)=0, yi(0)=0, У2(0) = 0.95, уз(0) = 0.01. (6)
2
x
Смысл начальных данных (6) заключается в следующем: КА, находящийся в точке либрации получает импульс порядка нескольких сотых единиц скорости.
Исследуя свойства управляемости в линейной системе (4) нетрудно заметить, что система, состоящая из первых четырех уравнений для переменных (х\, Х2, У1, У2), описывающих движение в плоскости эклиптики, полностью управляема (удовлетворяет условию Калмана). В то же время система из шести уравнений вырождена — последние два уравнения для переменных (хз,уз), описывающие пространственное движение, отделяются от первых четырех, и управление не влияет на изменение этих переменных. Это приводит к тому, что качественные свойства управляемых траекторий в линейном приближении автоматически не переносятся на нелинейных случай (система (1)) даже вблизи коллинеарной точки либрации Ь1. Поэтому при доказательстве устойчивости стационарного решения приходится использовать специальные свойства системы (1).
Стабилизирующие управления. При построении стабилизирующего управления, обеспечивающего устойчивость по Ляпунову орбитального движения в окрестности Ь воспользуемся свойством гамильтоновости системы (1), которым она обладает при и = 0. Если взять управление как функцию только от переменной Х1, то очевидно, что система (1) останется гамильтоновой. Рассмотрим управление
и = и1(х1 ) = а(х 1 — 1). (7)
Гамильтониан системы (1) с управлением и1(х1) будет иметь вид
Н*{х,у) = ^|Ы|2 -щ- \х\ + Ш-+хш-хт - °-{Х1 - I)2, (8)
и при а < —9 этот гамильтониан будет функцией Ляпунова в некоторой окрестности точки либрации Ь1 [2].
Теорема 1. Стационарное решение (3) гамильтоновой системы с гамильтонианом (8) при а < —9 устойчиво по Ляпунову.
Рис. 3.
Таким образом, управление и(х 1) является стабилизирующим и обеспечивает устойчивость по Ляпунову стационарного решения (3) системы (1). На рис.2 приведен график управляемого движения с управлением и1(х1) с начальными данными (6) при а = -10. На рис.3 приведена зависимость управления от времени, т.е. и(Ь) = и1(х(Ь)). На рис.3 видно, что величина управляющего воздействия и 1(х^)) носит условно-периодический характер и эта величина не стремится к нулю с возрастанием времени. При использовании солнечного паруса это свойство не является нежелательным, но для систем с реактивным управлением оно приводит к большим затратам рабочего вещества. Поэтому весьма желательным является построение таких законов управления, чтобы на траекториях управляемого движения управляющее воздействие стремилось к нулю с течением времени.
Синтезирующие функции, обеспечивающие асимптотическую устойчивость по отношению к части переменных. Поскольку, как было отмечено ранее, управляемая система линейного приближения, описывающая движение в плоскости эклиптики, полностью управляемая, можно построить стабилизирующее управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость по отношению к переменным (х1, Х2, У1, У2). В работах [2, 3] показано, что это свойство, не смотря на вырожден-
ность линейной системы (5), справедливо и для системы (1). В работе [3] показано, что это достигается с помощью управления вида
и = и?(х, у) = - 2.г'1 - у2 + к\Х\ + к2х2 + кзуг + к4у2 + к5 (9)
11х11
при подходящем выборе коэффициентов (к\, к2, кз, к5). Точнее, оказывается справедливой следующая теорема.
Теорема 2. Существует синтезирующая функция и2(х,у) вида (9), такая что стационарное решение (3) управляемой системы (1) с управлением П2(х,у) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по отношению к переменным (Х1 ,Х2,У1,У2) [3].
Рис. 4.
-
( 5 10 15 20
Рис. 5.
На рис. 4 показано поведение траектории управляемого движения в пространстве положений под действием управления и2(х, у,), а на рис. 5 показана зависимость величины управления и(Ь) = и2(х(Ь),у(Ь)) от времени. Видно, что управление с течением времени меняется от величины порядка -0.446541 до величины порядка -0.000069 (в выбранных единицах ускорения).
Функция опасности. Дальнейшие исследования будут связаны с понятием «функция опасности». Это понятие появляется при рассмотрении линейного приближения управляемой системы (4). Собственное число А1 матрицы А (формулы (4),(5)) положительное, и это влечет неустойчивость стационарного решения (3) (коллинеар-ной точки либрации Ь1 ).
Обозначим через ¿1 собственный вектор-строку матрицы А, т. е.
¿1А = А1 ¿1,
и образуем линейную форму
/1(2 ) = ¿12.
Видно, что на траекториях линеаризованной системы (4) справедливо соотношение
/1 = А1/1,
откуда
/1(4) = /1ЫеЛ^-М,
т. е. величина /1(4) экспоненциально возрастает. С другой стороны, если в начальный момент времени функция опасности /1(хо, уо) = 0, то, положив и = 0, получим в линейном приближении, что траектория не покидает окрестности точки либрации с течением времени. Поэтому при стабилизации орбитального движения первоочередное внимание следует уделять функции опасности.
Оптимальные синтезирующие функции. С помощью функции опасности /1(х, у) образуем функционал
71(и)^У [&2 / 2(х, у) + и2] Л ^ шт . (10)
«0
Поставим задачу построения управляемых траекторий для «плоских» переменных системы (4) — (х 1, х2, у 1, У2), на которых функционал ^ достигал бы минимума, т. е. задачу линейно-квадратичной оптимизации. Решением такой задачи будет синтезирующая функция
из(х,у) = к/1(х,у),
поскольку для функционала (10) функция Беллмана зависит только от функции опасности. Коэффициент к является функцией от &1,
к = к(к1).
На рис. 6 показано поведение оптимальной траектории управляемого движения с законом управления из. Изменение величины управляющего воздействия в течение времени приведено на рис. 7, где видно, что величина управляющего воздействия резко убывает в начале движения, а затем ее значения меняются в пределах порядка нескольких сотых единиц ускорения. Последнее свойство объясняется влиянием нелинейности, так как управление из не гарантирует асимптотического приближения к точке либрации.
Рис. S.
Рис. 9.
Чтобы обеспечить последнее свойство, рассмотрим задачу оптимизации с функционалом
J2(u) = J [klll(x,y)+ к0( \x\2 + a2 \y\2 )+u2] dt ^ min .
(11)
10
Решением этой задачи будет синтезирующая функция
П4 = М4(ж, у),
линейная функция от переменных (х,у).
На рис. 8 приведен график траектории в пространстве положений, а на рис. 9 проиллюстрировано поведение величины соответствующего управления М4(х, у,). Видно, что с течением времени эта величина стремится к нулю.
Литература
1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
2. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.
3. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 250-257.
4. Shmyrov A. S., Shmyrov V. A. Qualitative properties of controllable orbital motion in a neighborhood of collinear libration point // Classical and Celestial Mechanics. Selected papers. Siedle: Wydawnictwo Collegium Mazovia. 2012. P. 149-157.
5. Gomez G., Masdemont J. J., Mondelo J. M. Libration Point Orbits: A Survey from the Dynamical Point of View // Proceedings of the Conference "Libration Point Orbits and Applications". Aiguablava, Spain, 10-14 June 2002. World Scientific, 2003. P. 311-372.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
оо
