CC BY
46
УДК 62-50:531.8
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОБЪЕДИНЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
© 2010 г. А.А. Костоглотов, А.И. Костоглотов, С.В. Лазаренко, Л.А. Шевцова
Ростовский военный институт ракетных войск Rostov Military Institute of the Rocket Troops
Предложен новый метод синтеза оптимального управления, разработанного на основе применения принципа максимума к признаку истинного движения объекта Гамильтона - Остроградского. Установлена аналитическая зависимость закона управления от фазовых координат и его прямая связь с интегральным функционалом. Класс синтезируемых управлений по методу принципа максимума Л.С. Понтрягина расширен принципиально новыми решениями. Аналитическое и численное моделирование показало более высокую эффективность этих решений в сравнении с известными. Условия оптимальности получены на основе асинхронно-игольчатого варьирования. Метод назван «Объединенный принцип максимума» (ОПМ).
Ключевые слова: принцип Гамильтона - Остроградского; асинхронно-игольчатое варьирование; объединенный принцип максимума.
The new method of synthesis of the optimum control developed on the basis of application of a principle of a maximum to a sign of true movement of object of Hamilton-Ostrogradskogo is offered. Analytical dependence of the law of management on phase co-ordinates and its direct communication with integrated functional is established. The class of synthesised managements on a method of a principle of a maximum of L.S. Pontrjagina is expanded by essentially new decisions. Analytical and numerical modelling has shown higher efficiency of these decisions in comparison with the known. Optimality conditions are received on the basis of an asynchronously-needle variation. The method is named «the combined - maximum principle».
Keywords: principle of Hamilton - Ostrogradsky; asynchronously-needle a variation; the combined maximum principle.
Введение
Теория оценивания и оптимизации в настоящее время базируется на методах классического вариационного исчисления, динамического программирования Р. Беллмана и принципа максимума Л.С. Понтрягина (ПМП) [1 - 4], из которых принцип максимума считается наиболее конструктивным. Эти методы сформулированы для объектов, движение которых записывается в виде системы дифференциальных уравнений, и поэтому дают условия оптимальности для рассматриваемого данного момента времени, а проблема синтеза требует дополнительных трудоемких построений и вычислений [4, 5]. Если принцип максимума [3] применить к признаку истинного движения Гамильтона - Остроградского [1], то условия оптимальности получаются для конечного промежутка времени, т. е. решается задача синтеза оптимального управления. При этом можно установить признаки траекторий, подозреваемых на оптимальность. Обоснованием такого подхода является наличие пропорциональной связи между сопряженными функциями Л.С. Понтрягина у = [у^...,уп] и обобщенными координатами q = qn] во всех точках траектории истинного движения.
Пусть объект с п степенями свободы описывается системой уравнений Лагранжа второго рода [1]:
d - ß, = 0;
dt dq s dqs
s = 1, n ,
(1)
а мерой качества управляемого движения выбран интегральный функционал [3]
J = j F (q, q , u, t)dt,
(2)
где t0 - начальный момент времени, ^ - момент времени окончания процесса, значение которого зависит от выбора вектора обобщенных управляющих сил Qs = 1, п), (с, I) е R2п - векторы обобщенных координат и скоростей, Т(с, с) - кинетическая энергия системы.
Уравнения (1) приводятся к закону изменения кинетической энергии вдоль траектории [6]
п сЬ п t1 п
Т - То = £ | d А =£ | Qsсlsdt = £ А* . (3)
Х=1 со* *=1'0
С помощью сопряженных функций у * целевой функционал (2) можно расширить и привести к следующему виду
J =j
" f d дт дт ^
-------ßs +V0F
s=i ^dt dq s dq s
dt =
= j
d дТ дТ
-----ßs
dt dqs dq s
\
qs +V 0F
dt =
0
s
0
п f ш )
= Ü - T - As )
s=1
+J
Ü - d f-Vs - As ) + Ш о F
S=1 dt I qs
dt,
(4)
d dt
ш
= 0; ^ = ^ ; ш s = ;
qs qk X = const, s, k = 1, n.
J1 = J F(q, q, u, t)dt ^ min .
(6)
s,k =1
некоторой замкнутой области Gu, М - число искомых параметров.
Из принципа (5) следуют уравнения Лагранжа второго рода
d dT дТ —
----= Qs , s = 1, n
dt dqs dqs
(7)
где Т = Т (д, д) - обобщенная кинетическая энергия, соответствующая обобщенной скорости , -обобщенная работа, соответствующая обобщенной координате .
Из условий (2) - (4) следует: для того, чтобы минимумы функционала меры качества (2) и расширенного функционала (4) были эквивалентны и при этом выполнялся закон изменения (3) необходимо, чтобы для сопряженных функций и обобщенных скоростей всюду на траектории выполнялось условие пропорциональности:
Задача состоит в нахождении таких допустимых управлений и е Gu, которые переводят систему (7) из начального состояния t = 'о в конечное t = tк, а целевой функционал (6) принимает при этом минимальное значение.
Основная теорема ОПМ [7, 8]
Образуем расширенный функционал
tk
J = J [X(T + A) + F ]dt,
(8)
Доказанное устанавливает связь объединенного принципа максимума с принципом максимума Л.С. Понтрягина.
Постановка задачи
Движение управляемой системы подчиняется принципу Гамильтона-Остроградского на конечном промежутке времени t е ['о, tк ] [1]
'к
8 Я =| (5Т + Л)Л = 0, (5)
'0
'=^ д('о) = до; д('о) = до;
' ='к, д('к) = Чк; д('к) = дк ■
Мерой качества управляемого процесса выбран целевой функционал [3]
где X - неопределенный множитель Лагранжа.
Теорема. Для того чтобы обобщенная сила Q(q, q,u, t) с Gq и соответствующая ей траектория
(q, q) е R2n доставляли минимум расширенному функционалу (8), необходимо выполнить условия максимума для обобщенной мощности
Ф(д, q, Q, X) = max £ Ш (q, q,u) + Vs]qs, (9)
QcGqS=1
при этом X = const > 0, а на концах траектории t = t0, t = tk выполняются условия трансверсальности
X( A - T ) + F = 0,
(10)
5' F
Здесь q e [q^...,qn]; q e [q^...,qn] - обобщенные координаты и скорости; F (q, q, u, t ) - определенно-
1 n
положительная функция; T = — £ askqsqk - кинети-
ческая энергия; 5 'A = £ Qs5qs - элементарная работа
s=1
обобщенных сил, параметрически зависящих от энергоемких параметров (управлений),
m _
Qs = Qs fe q U, t) = E Usm9ms (b q tU = {usm } 6 Gu ,
m=1
s = 1, n - управления (параметры), выбираемые из
=- - фиктивная сила, зависящая от формы задания целевого функционала.
Доказательство. Применим к расширенному функционалу (8) асинхронно-игольчатое варьирование [1, 3, 7]. Для произвольной обобщенной силы Q с GQ асинхронная вариация функционала будет иметь выражение
А/ = [ЦТ + Л) + F Ш|'к +
"о
п 'к дТ дТ
+Е | М— 8í?s +—+ QsЧs)+^ > о, (11)
s=1 'о дgs Лgs
где 5qs, 5qs - синхронные вариации обобщенных координат и скоростей; А/ = 8/ + /А' - асинхронная вариация.
Интегрирование по частям первого слагаемого под знаком интеграла и замена в граничных условиях синхронной вариации так, чтобы асинхронная вариация равнялась нулю Аqs =8qs + д.,А' = о, откуда 8qs = -д.,А', преобразует выражение (11) к виду
+
s
о
о
s
о
n дТ
s=1 ^s
n tk дТ
Z j^^—dqsdt =
s=1 t0 дЧs
k "tkrud\ d дТ
-Z j к-гОтт-gqs ]dt =
t0 s=1 t0 dt дЧ8 dt дЧз
= -X2ТД^к -Z 1 [(—)—Sqs +Xd—5qs]dt.
^ ^ dt дqs 4s
t0 /0LV ^ s
d д(Т- Т) д(ТЕ- Т)
dt дq s
дqs
Это уравнение Лагранжа второго рода для возмущенного движения с начальными условиями
t = х + 65t, 5с(х + 65t) = -1е5^ 51(х + = -l65t.
Вторая вариация функционала будет
А2/Ш=Е I - К*
*=1 í+е5г
или
(12)
Из выражения (12) следует X = const, а при преобразовании краевых условий применена теорема Эйлера об однородных функциях [8]. С учетом преобразований первая асинхронная вариация (11) приводится к условиям трансверсальности (10) и выражению
п 'к d ВТ ВТ AJ =Е J [М--— + — + Qs ) + V ]bqsdt > 0. (13)
s=1 t0 dt dqs dqs
Пусть из допустимой области Gq выбрана другая
обобщенная сила, но полученная из первой игольчатым варьированием Qe = Q + SQ , SQ ф 0 при t е [т, т + 8т], [3]. Асинхронная вариация функционала для этой обобщенной силы запишется аналогично (13)
п tk - ВТ ВТ
AJ = Z J [X(--— + — + Qes ) + Vss ]5qsdt. (14)
s=1 tn dt Bqs Bqs
= Z (Vs - Vs )Sqs (t), (17)
at s=1
t = x + e5t, Д 2 Jjjj (т + sSt) = Д 2 Jjj .
При предельном переходе e ^ 0 , Ves - Vs ^ 0 , qe ^ q , qe ^ q , Sq ^ 0, Sq ^ 0, 5t - произвольно. Из (16) получается
Д2 Je
lim—2""
e^0 e2
= -Z IMßes - ßs ) + (Ves - Vs)МеД2 > 0. (18)
s=1
В силу произвольности синхронные вариации можно положить одинаковыми 8qs = 5qes при t = х + s5t.
Из сравнения (13) и (14) получается вторая асинхронно-игольчатая вариация функционала
А2J = AJе-А/ = ¿ ){Ц_ — +
s=1 t0 dt 5qs
+ 5(7^-7) + Q _ Qs )] + (Vss _ Vs y^qsdt . (15)
dqs
Отрезок [t0, tk ] можно разделить на три части. На полуоткрытом интервале [t0, х) произвольная и варьированные обобщенные силы совпадают, поэтому А2 Jj = 0 . На ограниченном замкнутом интервале [х, х + eSí] Qs Ф Q , но в силу малости интервала e5t = О(е), 7 _T = О(е), [3]. Вторая вариация функционала определяется соотношением
n х+sSí
А2 Jjj = I J (MQes _ Qs ) + (Vs _ Vs)]bqsdt =
s=1 х
= £ [MQes _ Qs ) + Vs _ Vs )]SqsB5t. (16)
s=1
На полуоткрытом интервале (х + e5t, tk ] Qe = Q и выражение под знаком интеграла (15) будет равно нулю
Если обобщенная сила Q оптимальна, то из (18) вытекает теорема объединенного принципа максимума (9)
Ф(9, q, Q) = IШ + Vs )qs = max I (Щ, + V, )qjr, .
s=1 Qs cGQs=1
(19)
Это условие не нарушается вдоль траектории, так как в соответствии с (17) и условиями предельного перехода А2 Jin = const вдоль траектории t e(x+s5t, tk ].
Из теоремы объединенного принципа максимума легко выяснить, что множество, на котором функция ®(q, q, Q) достигает максимума, определяется совпадением зна+ов сомножителей sign(XQs + Vs) = sign qs и их пропорциональностью (XQs + Vs) = цs (qs, qs )qs, где цs (qs, c¡s) - синтезирующая знакопостоянная функция. Теорема позволяет с точностью до функции цs (qs, qs) определить искомые обобщенные силы
ßs [^s (qs, qs )qs -Vs ]
s = 1, n
(20)
Обратная подстановка обобщенной силы (20) в условие (19) устанавливает знакоотрицательность синтезирующей функции
®(q, q, Q) = 1цsq^ ^ 0.
s=1
Построение синтезирующей функции
Согласно формуле (20) равенства
ßs =Х-1[Дs (q, q)qs - Vs ] = 0,
s = 1, n
(21)
определяют в фазовом пространстве гиперповерхность переключения управления. Так как на этой гиперповерхности обобщенная сила равна нулю, условия трансверсальности (10) преобразуются в условие постоянства обобщенного кинетического потенциала
L(q, q, t) = XT(q, q) - F(q, q) = A(Q) = const .
s
Преобразование Лежандра [8] функции L(q, q,t) по переменным qs (s = 1, n) есть функция Гамильтона
X n A
H(q,p,t) = XT + F = - Z-TTPsPk + F = h = const, (22)
2 s,k=1 D
в которой величины qs выражены через qs, ps, t
QL -
при помощи уравнений ps =- (s = 1,n) для обоб-
Qqs
щенных импульсов; при этом при проведении преобразования величины q,t играют роль параметров.
Здесь Ask - алгебраическое дополнение элемента ask
гессиана кинетического потенциала
D = det
д2 L
dqs dqk
= detI\ak\\n, , Ф 0 .
II sklls,k=1
s,k=1
A s = -X
dPs dqs
X Ъ =-Vs, s = M. dt s
A s = -X
¿P. dqs
= -X
ds
дЯ
dEs
V
n A
vi
lqs|
Согласно С-свойству измеримых функций Н.Н.Лузина [8], синтезирующая функция р (д,д) измерима, так как может быть сделана непрерывной
A s =■
VL
на множестве сколь угодно малой меры
Подстановка (21) в уравнение Лагранжа (7)
ЛТ дТ Л „ . —
Ч-—-----—] = Ps^s - К, s =1 п
dt дqs дqs дqs
и исключение с помощью условий трансверсальности (Ю) фиктивной силы
К = — = --дЛ)
дqs дqs дqs
преобразует уравнение Лагранжа на поверхности переключения к виду
„ „ дЛ ч „ .
Ч^ - 2—) = р.
dt дqs
Но так как на поверхности переключения
dPs дЛ
—5---= о , то получаются два соотношения
dt дgs
е . Следовательно, и управления соответствующие ей, будут также измеримыми.
В зависимости от начальных условий изоэнерге-тические поверхности образуют семейство, вырождающееся в точку (устойчивый фокус или центр) при К ^ о, ^ о . Поэтому всякая траектория, пересекающая изоэнергетическую поверхность, должна менять свое направление в сторону устойчивого центра. Но это возможно, если модуль касательной к фазовой траектории р (д, д) и модуль касательной к изоэнергетической поверхности р (д, д) находятся в соотношении
A sA s = ■
J_
Ls > 0.
(23)
Вследствие этого для семейства фазовых траекторий, пересекающих ИЭП, можно записать синтезирующую функцию формулой
A s q q) = -X
dEs dqs
LsVs
s = 1, n .
(24)
а закон изменения оптимальной обобщенной силы на фазовой траектории истинного движения получит вид
Qs =X-
qsqs
LsVs|+Ds
--v
s = 1, n ,
Первое устанавливает, что функция рs является модулем касательной к траекториям д:! (') на поверхности переключения с коэффициентом деформации Ч; второе является уравнением фазовых траекторий на этой же поверхности. Развернутая форма второго уравнения в лагранжевых координатах
п 1 п да _
чеакдк +-т1г^дтдк)+к=о, s=1,п.
к=1 2 т=1 ддт
Равенство (22) показывает, что поверхности переключения являются изоэнергетическими (ИЭП). Откуда по уравнениям Уиттекера [8] определяется синтезирующая функция на этой поверхности
дН
где Ч, Ls, еs - константы, определяемые из решения
краевой задачи управления.
Анализ формулы (23) показывает, что модули касательных р и р могут быть ортогональными или сонаправленными. Поэтому имеет место второй, двойственный закон изменения обобщенной силы
а =х-1 \К | signqs- К ], s =1 п.
Среди всех линий, пересекающих изоэнергетиче-ские поверхности, имеется семейство линий, приходящих в устойчивый фокус. Они называются линиями переключения управления. Согласно (23) и (24) соответствующие семейства касательных и синтезирующих функций записывается в виде
dp dq.
- ^s . .. _ 1
; A s =-X
LsVs
LsVs
s = 1, n .
(25)
где величины р!1, д!1 ,К и производные вычисляются вдоль линии переключения. В простейших случаях уравнение касательной (25) интегрируется. Пусть ps = д; Vs = д; Ls = L . Тогда уравнение линии переключения
д + С = ±kqL,
n
qs
и
s
где С,к - константы, определяемые из краевых условий.
При L = 2, С = о - это уравнения парабол, проходящих через начало координат и соответствующих задаче о переводе фазовой точки в начало координат:
q = Q(q, q, u, t) = u,
1 lk
J = — J q 2 dt ^ min; 2 ♦
q(to) = qo; q(to) = qo; q(tk) = q(tk) = 0
а уравнение линии переключения
L = 2
k .2 q = ±_q ,
2
При произвольном L касательная к этой линии записывается двумя формулами
2
dq dq kLq
a-L-1
Lq
M = -
2X
kL\q[
xjq. 'L\q\'
u = X
2xq
1 г I -|L-1
kLq +e
= X-1
x| q|q Liq+e
u e G„
(26)
u = X
k|q|
M =
- iL—1 .
q
kx\q\
. iL—1
2X—1
iqi'
= X 1 [—X |q| signq — q ],
(27)
u e G,,
(28)
u = X
2 . .
-sign q — q k
соответствующий закону сухого трения с постоянным коэффициентом трения, а формула (28) определяет закон управления
1 =X 1 [—X|q|signq — q] .
Анализ взаимного положения траектории истинного движения и линии переключения позволяет установить принципиально разные законы управления и формы их записи:
1) траектория истинного движения всюду совпадает с линией переключения управления. Тогда синтезирующая функция и закон управления записывается следующими формулами:
2) траектория истинного движения пересекает линию переключения. Тогда
соответствующий закону сухого трения с переменным коэффициентом трения.
Пример 1. Исследование законов оптимальных управлений. Целью исследований является сравнительный анализ управлений, получаемых методом принципа максимума Л.С.Понтрягина (ПМП) и ОМП по показателям быстродействия, точности, структуре управляющей функции.
Задача синтеза оптимального управления объектом
д = и(д, д), и(д, д) е Gu;
'о = ^ до = ^^ до =5;
'1 ='к, дк = 0, дк = ^
доставляющего минимум целевому функционалу
'к
/ = о,51 д 2dt,
о
где Gu - область допустимых управлений, 'к - нефиксированный момент времени окончания процесса, зависящий от выбора управления ^д, д).
В качестве эталона сравнения принято кусочно-постоянное управление для случая, когда истинная траектория пересекает линию переключений
u(q, д) = ^sign(-0,5и^кд - д), и = 5 ,
которое при к = 1 является решением задачи синтеза управления по методу принципа максимума Л.С. Пон-трягина [3], а при к = о,4446 - решением задачи А. Фуллера [6] для управлений с учащающимися переключениями.
Решение задачи методом ОПМ записывается в виде
u(q, q) = X
X |q|q
Llql +e
e G,,
Из анализа (26) и (27) вытекает, что объединенный принцип максимума расширяет класс допустимых управлений и решения по методу принципа максимума Л.С. Понтрягина получаются как частный случай. Так при Ч-1 = и, L = 2, к = 1, формула (28) является решением Л.С. Понтрягина [3], а при к = о, 4446 формула (28) является решением А.Т. Фуллера [6] для управлений с учащающимися переключениями. Кроме того, при L = 2, формула (26) определяет закон управления
для случая, когда истинная траектория всюду совпадает с линией переключения.
Сравнение проводилось для трех вариантов. 1. Сравнение решения, полученного по методу ПМП, и решения, полученного по методу ОПМ, при
исходных данных U = 5,
X—1 = 1,
G,,
u e [—5,5],
L = 1, е = о . Результаты моделирования показаны графиками на рис.1. На рисунках: слева - переходный процесс д('), посередине - структура управления , справа - фазовый портрет д(д).
q
2
q
q
2. Сравнение решения, полученного по методу ПМП, и решения, полученного по методу ОПМ, при исходных данных и = 5, Х-1 = 0,65 , Gu :и е [-да,да], L = 1, е = 0. Результаты моделирования показаны графиками на рис. 2.
3. Сравнение решения, полученного А. Фуллером [6] для управлений с учащающимися переключениями, и решения, полученного по методу ОПМ, при исходных данных и = 5, Х-1 = 0,7, Gu : и е [-да, да], k = 0,4446, L = 1,333, е = 0 . Результаты моделирования показаны графиками на рис. 3.
Все результаты представлены в безразмерном виде.
Анализ решений показывает, что по всем позициям сравнения результаты, полученные методом ОПМ, эффективнее или совпадают с результатами, полученными А. Фуллером на основе ПМП.
Пример 2. Выведение спутника на орбиту. Спутник совершает плоское движение в поле центральной силы [1, 8]
г -ф2г = --^2- + и1, фг + 2гф = и2,
где r - радиаль, определяющая расстояние спутника до гравитирующего центра; ф - полярная координата; ц - потенциал гравитирующего центра.
Задача управления: найти управления u1, u2, с помощью которых спутник выводится на орбиту относительно гравитирующего центра, уравнение которой r = r0(1 - sin rot),
и совершает по ней движение с постоянной угловой скоростью
ф = p = const.
Критерий оптимальности формулируется в виде
1W „ . Л12 2 о
В соответствии с этим критерием законы оптимального управления имеют вид
-I rlr
j=2-1 i [r- ro ^-z sin rot)]2+(ф- pt )2)
dt
u =X
I L |r-r0 (l-Z sinrot)|+ 6j
u2 =X
L2 ф-P +S2
—[r-r0 (l-z sinrot)] >;
-(ф-P)
- t 2
\ . 1 ^ 2
w V
\
\ (
\ \
\
I
/ -2- , 1 -q
q i
Рис. 1. Сравнение решений методом ОПМ (кривые 1) и ПМП (кривые 2)
1 2
2 £
t
q — 2
t 1
;! -1
Рис. 2. Сравнение решений методом ОПМ (кривые 1) и ПМП (кривые 2)
2
^ 1 / t
2
\ 1
\ / s Г
1 1
q _ 1 2
/V ( \
q
Рис. 3. Сравнение решений методом ОПМ (кривые 1) и А.Фуллера (кривые 2)
r
q
u
t
Ч
и
u
q
r 180
3.0
1.0
0.2
210
Г 18(1
240
270 Ф
Рис. 4
На рис. 4 показана траектория глубокого маневра спутника при движении от гравитирующего центра
' = о г = о,2; Г = о; го = 2; фо = -о,5я; фо = -2; р = 1с_1; Ч-1 = 1оо; г = о,5; ю = 7с"1; р = 2; L1 = 4о; L2 = 5о; е1 = Ю; е2 = 1.
На рис. 5 показана структура управления при движении спутника от гравитирующего центра.
На рис. 6 показана траектория глубокого маневра спутника при движении к гравитирующему центру
' = о г = 4; Г = о; го = 2; фо = -о,5я; фо = -2; р = 1с_1; Ч-1 = 9о; г = о,5; ю = 5с"1; р = 2; L1 = 3о; L2 = 36о; е1 = 1; е2 = 1.
Выводы
Метод синтеза «Объединенный принцип максимума» отличается универсальностью, простотой, высокой точностью расчетов. Структура управления проста. Применение метода расширяет класс управлений
4.0
3.0
1.0
240
300
270
Ф
Рис. 5 Рис. 6
принципиально новыми решениями, не сводящимися к решениям по методу принципа максимума Л.С. Пон-трягина.
Литература
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. М., 1961.
2. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М., 1987.
3. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1976.
4. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.
5. Наумов Г.В. Построение кривой переключения для задач оптимального управления с учащающимися переключениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 3. С. 46 - 51.
6. Fuller A.T. Study of an optimal non-linear control system// Journal of Electronics and Control. 1963. № 1(15). Р. 63 - 71.
7. Костоглотов А.А. Метод идентификации параметров голономных систем на основе аппарата асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 86-92.
8. Маркеев. А.П. Теоретическая механика. М., 1990.
t
Поступила в редакцию 30 ноября 2009 г.
Костоглотов Андрей Александрович - д-р техн. наук, доцент, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8-918-55-39-224. E-mail: [email protected]
Костоглотов Александр Иванович - д-р техн. наук, профессор, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8-904-50-63-609.
Лазаренко Сергей Валерьевич - преподаватель, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8-905-4568-660. E-mail: [email protected]
Шевцова Людмила Алексеевна - канд. техн. наук, преподаватель, Ростовский военный институт ракетных войск.
Costoglotov Andrey Aleksandrovich - Doctor of Technical Sciences, assistant professor, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 8-918-55-39-224. E-mail: [email protected].
Costoglotov Aleksandr Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 8-904-50-63-609.
Lasarenko Sergey Valerievich - senior lector, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. . 8-905-45-68-660. E-mail: [email protected]
Shevtsova Ludmila Alekseevna - Candidate of Technical Sciences, senior lector, Rostov Military Institute of the Rocket Troops._
