CC BY
62
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.51.011
Н.Д. Егупов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4842) 54-78-36, [email protected],
Ю.П. Корнюшин, д-р техн. наук, проф., (4842) 54-78-36, [email protected],
Д.А. Акименко, канд. техн. наук, доц., (4842) 54-78-36, [email protected],
П.Ю. Корнюшин, студент, (4842) 54-78-36, [email protected] (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МЕТОДОМ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Задача синтеза нелинейных робастных регуляторов рассматривается и решается как задача двухэтапной оптимизации. Вначале определяются возможные границы изменения параметров регулятора, затем находятся оптимальные значения параметров регулятора для всего семейства систем. Используется вероятностный подход кробастности. Математический аппарат - матричные операторы.
Ключевые слова: робастный, система, объект, нелинейный, оператор, оптимизация, параметризация, базис, критерий.
Введение. Достаточно часто структура системы и алгоритм ее функционирования являются заданными, однако на имеющихся элементах обеспечить требуемое качество работы невозможно. Решить задачу возможно только путем введения в систему регуляторов (корректирующих устройств). Линейные регуляторы не всегда могут обеспечить необходимое качество управления для нелинейных объектов. Задача усложняется, если параметры объектов управления являются неопределенными. В связи с этим возникает проблема синтеза нелинейных регуляторов, обеспечивающих системе динамические свойства, близкие к заданным, в условиях
параметрической неопределенности математической модели объекта, то есть синтеза робастных регуляторов.
В работе рассматривается один из возможных подходов решения задачи, основанный на использовании аппарата матричных операторов [1]. Особенностью матричных операторов является то, что они могут быть эффективно применены для решения задач как с линейными и нелинейными объектами управления, так и с линейными и нелинейными регуляторами, обеспечивая высокую точность вычислений при простоте алгоритмизации. Используется вероятностный подход к робастности [2]. Полагается, что структура регулятора заранее задана.
Постановка задачи. Задан объект, описываемый уравнениями вида
п—1
( п )
d
di
и
і=о dtI £0 dtIJ 4 ' (1)
V (*) = Р2 (и (*))•
Требуется синтезировать регулятор, находящийся в прямой цепи системы управления (рис. 1) и описываемый уравнениями
и
(* )=ИЬ^2 * * ^ 1 > к,
1=0
(1) (* ) +V Ьи—и W & 1 Л1
I (* ) = ^ (е( * )), є( * ) = у (*)-х ( * ),
где у(*), х(*), и(*) - вход, выход системы и управление.
(2)
Рис. 1. Структурная схема системы
Вид нелинейности ^ (е(?)) определяет конструктор регулятора, исходя из его функционального назначения.
Объект параметрически неопределяем. Неопределенность является интервальной [1], то есть часть либо все параметры его математической модели находятся в некотором интервале а* < а* < а*, а* < а“ < а“. Задача синтеза состоит в определении параметров регулятора
;0 “I_^0 Ь ], который обеспечивает для системы, содержащей
параметрически неопределенный объект, близость ее выходных сигналов к наперед заданному эталону. Поскольку математическая модель объекта задается с использованием интервальной неопределенности, то и эталонные свойства системы управления задаются в некотором интервале хэ (?)< хэ (?)< хэ (?). Верхние и нижние границы эталонных свойств могут
быть определены, например, по принципу построения «коробочки» В.В. Солодовникова [3] (рис. 2).
Рис. 2. «Коробочка» В.В. Солодовникова
Алгоритм синтеза. Задачу синтеза сформулируем как задачу двухэтапной оптимизации. На первом этапе определяются возможные границы изменения элементов вектора Р оптимальных параметров регулятора для всего семейства системы. Для этого формируется массив векторов оптимальных параметров регулятора для каждой системы семейства при случайно выбранных параметрах объекта управления. Во многих практических задачах неопределенные параметры, действительно, имеют вероятностную основу по своей природе или по способу их оценки. Для простоты будем полагать, что плотность вероятности распределения параметров имеет равномерный закон распределения. Полагаем также, что неопределенные параметры являются случайными некоррелированными величинами с заданными законами распределения. На втором этапе проводится максимизация целевой функции относительно искомых параметров регулятора для всего семейства систем.
Алгоритм включает в себя следующие этапы:
1. Параметризацию уравнения динамики линейной части объекта и регулятора.
2. Формирование критерия оптимальности первого этапа синтеза и проведение оптимизации для каждой системы из всего семейства (определение возможных границ изменения оптимальных параметров регулятора).
101
3. Формирование критерия оптимальности второго этапа и оптимизацию параметров робастного регулятора.
Параметризация уравнения динамики линейной части объекта и регулятора. Параметризация выполняется путем перехода от дифференциальной формы описания линейных частей объекта и регулятора к интегральной форме:
и
1 1
(і) + |Кх(і,Т)х(0й* = \Ки/ (і,г)и/ (г)^,
0 0
Т т
(і) +1 ки (і ,т, Р) и (г) йт=\ к2 (і ,т, Р) г (г) йт,
(3)
(4)
где кх(і,т) = \(і-г)£
у=0
а.
'(п -1)! йт'
Ядра К (і,т), Ки (і,т,Р) и К2 {і,т,Р) имеют ту же структуру, что и
вышеприведенное ядро.
Для перехода в спектральную форму (с использованием матричных операторов) представим сигналы х (і), и/ (і), и (і) и г (і) в виде конечномерного разложения по заданному ортонормированному базису ф = {(Рг (і): і = 1, N, і є[іо, Т]}:
х (і) = Рт (і) Сх, иг (і) = Рт (і) Си/, и (і) = Рт (і) Си, г (і) = Рт (і) С2,
где Р(і) = [^1 (і)^2(і)...фк(і)]т.
Спектральные характеристики Сх, Си/, Си, С имеют вид
и / и / и /
Су Ґ~< У Ґ~< у
1 1^2
■'М
[<< ...см ]т,
Сх=[с;-с2х...сМ] , Си/ с 2 = [с^с2 ...см ]т,
т т
СУ= |х{і)фj (Ойі, = |и(іМ- (і)йі у=ЇМ.
іо іо
Тогда спектральная форма, соответствующая уравнениям систем (1), (2), будет иметь вид
Сх = А1Си/,
Си = А 2 (Р) С2,
Р т (і) Си/ = ^ (Р т (і) Си), Р т (і) С2 = ^ (Р т (і) С").
(5)
(6)
(7)
(8)
Матричные операторы Л15 A2 (P) определяются следующим образом:
A, = (I + A х B,f, A 2 (P ) = (I + A „ (P ))" B ( P).
где Ax, и Bu^ - спектральные характеристики ядер Kx (t,т), K (t,r), a
A (P) и В (P) - ядер Ku (t,x,P), Kz (t,x,P) соответственно.
Формирование критерия оптимальности первого этапа синтеза. Эталонный выходной сигнал для всех систем семейства выбирается внутри области, определенной «коробочкой» В.В. Солодовникова. Поскольку известен эталонный выходной сигнал и задан входной (соответственно и сигнал е(t)), то можно сформировать следующие невязки между левыми и правыми частями уравнений (5) и (6):
E(Cu/,С ) = С - AC,
\ > 1 (9)
E (P, Cu, Cz ) = Cu - A2 (P) Сz.
Уравнения (5), (6) описывают линейные части системы. Для нелинейных элементов справедливы соотношения (7), (8). Данные соотношения можно рассматривать как ограничение типа равенства для критерия оптимальности, сформированного на основе невязок (9) и имеющего вид
J (P, CU/,Cx^, Cu, Cz Wet (p, CU/,Cx^, Cu, Cz) E (p, CU/,Cx^, Cu, Cz) , где E(p,Cu/,Cx,Cu,Cz)= ET(cu/,Cx) ET(p,Cu,Cz)J.
Целевую функцию данного этапа оптимизационной задачи можно представить в виде функции Лагранжа
Lag (P, Cu, Cu/, Сz ) = J (P, Cu/, Сx^, Cu, Cz) +
N / \ N / \ (10)
H X(FT (t)Cu/ - F(FT (t,)Cu )) + A, £ (FT (I,)Cz - F(FT (t,)C-)).
i=1 i=1
Минимизация целевой функции (10) выполняется для каждой к -й системы семейства (к = 1,N , N - число систем в семействе), т. е. минимизируется множество целевых функций Lag ^ Pk, Cu, Cu/, Сz j.
Результатом реализации первого этапа являются разрешенные интервалы изменения параметров регулятора для всего семейства систем:
В ^ Рг ^ 1 = 11 + к + !• (11)
Границы интервалов являются ограничениями при реализации второго этапа синтеза.
Формирование критерия оптимальности второго этапа синтеза. Вторым этапом является максимизация целевой функции относительно искомых параметров регулятора для всего семейства систем [4]. Целевая функция определяет принадлежность выходов всех систем допустимой эталонной области. Рассмотрим поэтапное формирование данного критерия оптимальности.
1. Для любого 7 -го момента времени формируется характеристическая функция, определяющая принадлежность выхода г -й системы допустимой области изменения эталона:
Хг (0, Р V ) = (X (0, Р V ) - X (*/ )) ^ (X (*7 ) - X (*7, P, V )) , (12)
где хг (*, Р, Vг) - выход г - й системы; - случайные значения параметров
г - го объекта управления; Р - оптимизируемые параметры регулятора для всех систем семейства.
Анализ выражения (12) показывает, что если хг (^, Р, vi) принадлежит допустимой области, то %г (*7, Р,vi ) = 1, в противном случае
Хг (17, Р, vi ) = 0. Характеристическая функция, определенная для 7 -го момента времени, является случайной и критерием служить не может, поскольку параметры объектов выбираются случайным образом.
Распространить свойства характеристической функции на все семейство систем можно путем осреднения, то есть взятием математического
ожидания для хг (, Р,vi):
1 N
х( ^,Р )=М [хг (о,Р, V )} = N Е х- (0,Р, V).
Учет всего времени работы систем выполняется путем осреднения *7, Р) для всех моментов времени, то есть путем интегрирования по переменной *. В результате получаем следующий критерий оптимальности для всего семейства систем
Максимизация критерия (13) выполняется при учете ограничений (11). Максимальное значение критерию обеспечивают оптимальные значе-
*
ния параметров регулятора Р для всего семейства систем.
Вероятность «качественной» работы регулятора для всего семейства систем можно оценить по формуле
(14)
где М - число случайным образом выбранных из всего семейства систем
данной области изменения эталона.
Выходной сигнал хг (*, Р,vi) для нелинейной системы находится в
виде конечномерного разложения по заданному ортонормированному ба-
зису Ф = (ї): і = 1,N, ї є [?0, Т]|. Поэтому критерий (13) целесообразно
записать в виде
Коэффициент 1/ N, присутствующий в формуле (15), на положение точки максимума не влияет, поэтому он может быть опущен. При желании проектировщика на параметры регулятора могут быть наложены дополнительные ограничения.
Пример. Система управления имеет структурную схему, приведенную на рис. 1. Линейная часть объекта управления описывается уравнением
Параметры объекта управления: а0 = 1 ± 0,1, а1 = 0,01,
а2 = 0,01 ± 0,001, Ь0 = 1 ± 0,1, /0 = 0,1, то есть неопределенность объекта является интервальной.
При номинальных значениях параметров объекта без использования корректирующего устройства выходной сигнал (реакция на единичное ступенчатое воздействие) является колебательным и имеет вид, представленный на рис. 3.
Для обеспечения требуемого качества управления в систему вводится регулятор (корректирующее устройство). Линейная часть корректи-
объектов (параметров объектов), для которых
принадлежит за-
і=1 0
нелинейный элемент и^- (*) = ^2 (и (*)) аппроксимирован кусочно-линейной зависимостью с зоной нечувствительности:
К
рующего устройства - ПИД-регулятор (W (s ) = Кп + Кдs н—-), нелиней-
s
ный элемент регулятора:
[£> - fy fuy >
F1 (*) = Sat (*> fry ) = \fr, , £ > f, ,
[-/«•V ’ e<-f,y . fKy = 0,5‘
Необходимо определить параметры ПИД-регулятора.
Рис. 3. Выходной сигнал нескорректированной системы
Требуемое качество работы системы задается «коробочкой»
В.В. Солодовникова со следующими параметрами: хуст = 1,0, tpe2 = 1,5 с,
а = 0 %. Исходя их данных условий, принимаем xэ (t )=1,1 i(t), Xg (t) = 0,9 -1(t - 2.5). В качестве x3 (t) - эталонного выходного сигнала, входящего в «коробочку» В.В. Солодовникова и имеющего то же время регулирования, примем x3 (t) = 1 - exp (-а • t), а = 2.
Положим, число случайно выбранных объектов управления N =651. Это соответствует по математическому ожиданию доверительной вероятности а- 0,8 и относительному отклонению v = 0,05.
В качестве базиса используются блочно-импульсные функции N -128. Минимизация целевой функции (15) дает следующие значения параметров регулятора: Кп = 1,29, Kд = 0,98, Ки = 1,84.
Значение целевой функции (15) в “стартовой” точке J (P)=1417,5. В точке экстремума J (P)=106,2.
На рис. 4. показаны десять выходных процессов, являющихся реакциями системы на единичное ступенчатое воздействие для десяти случайно выбранных из всего семейства объектов (из 651).
Как видно из приведенного графика, одна из десяти систем даже при регуляторе, синтезированном для всего семейства объектов, не входит в границы, определенные «коробочкой» Солодовникова. Несколько “странный” вид выходных сигналов системы объясняется проявлением ее нелинейных свойств.
Вероятность «качественной» работы регулятора для всего семейства
рассматриваемых объектов составляет величину Р^ (/) < хв1 , Р*, у) < хэ (/)| = = 0.983.
Предложенный алгоритм синтеза робастных регуляторов для нелинейных объектов управления является достаточно простым и обеспечивает высокую вероятность «качественной» работы системы.
Выводы. Особенностью предложенного метода синтеза является следующее: 1) не используется процедура линеаризации математических моделей объекта управления и регулятора, а это очень важно; 2) синтез как линейных, так и нелинейных регуляторов можно выполнять также и в статистической постановке.
Список литературы
1. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник: в 5 т. 2-е изд., перераб. и доп. Т.1. Математические
модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 656 с.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. 303 с.
3. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5 т. 2-е изд., перераб. и доп. Т.3. Синтез регуляторов систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 616 с.
4. Корнюшин. Ю.П., Мельников Д.В., Парсегов С.Э. Синтез робастных регуляторов для нелинейных объектов управления с использованием матричных операторов // Труды МГТУ № 594. 2007. С. 157 - 168.
N.D. Egupov, Y.P. Kornjushin, D.A. Akimenko P.Y. Kornjushin SYNTHESIS NONLINEAR ROBUST REGULATORS THE METHOD OF MATRIX OPERATORS
The problem of synthesis nonlinear robust regulators is considered and solved as a problem two-step optimization. In the beginning possible borders of change of parameters of a regulator are defined, and then there are optimum values of parameters of a regulator for all family of systems. The likelihood approach to robustness is used. The mathematical apparatus - matrix operators.
Key words: robust, system, object, nonlinear, the operator, optimization, parametri-zation, basis, criterion.
Получено 03.10.11
УДK 681.5:681.3
Д.В. Мельников, канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой, (4842) 77-45-11, [email protected],
Н.Д. Егупов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4842) 54-78-36 (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
СИНТЕЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ТУРБИН В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Рассмотрен метод расчета параметров системы регулирования турбины в условиях неопределенности объекта.
Ключевые слова: система регулирования, турбина, параметрическая неопределенность, матричный оператор.
Для современной энергетики характерна тенденция всемерного повышения надежности энергетического оборудования в интересах, как потребителей, так и производителей энергии. Среди многих факторов, определяющих безотказность и долговечность энергетической турбины, суще-
