CC BY
55
кретной задачи по точности, сложности математического описания и т. д., целесообразно использовать математический аппарат стандартных чисел обусловленности, который достаточно просто вписывается в структуру алгоритма идентификации. Эти обстоятельства позволяют рассматривать ве-
щественный интерполяционный метод как эффективный инструмент для решения практических задач адекватного математического описания цифровых объектов и систем.
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Балакирев В.С., Дудников Е.Г, Цирлин А.М. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. - М.: Энергия, 1967. - 232 с.
2. Ордынцев В.М. Математическое описание объектов автоматизации. - М.: Машиностроение, 1965. - 360 с.
3. Гроп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979. -302 с.
4. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984. - 320 с.
5. Гончаров В.И. Синтез электромеханических исполнительных систем промышленных роботов. - Томск: Изд-во ТПУ, 2002. -100 c.
6. Алексеев А.С., Антропов А.А., Гончаров В.И., Замятин С.В., Рудницкий В.А. Вещественный интерполяционный метод
в задачах автоматического управления. - Томск: Изд-во ТПУ, 2008. - 217 с.
7. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и /-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков ГМ. Численные методы. - М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2003. - 630 с.
9. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. - М.: Мир, 1984. - 265 с.
10. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. Линейные стационарные и нестационарные модели. - М.: Энергоатомиздат, 1997. - 651 с.
Поступила 06.04.2012 г.
УДК 62-533.65
СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОДСИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОГРЕВОМ ВАКУУМНОЙ КАМЕРЫ КАЗАХСТАНСКОГО МАТЕРИАЛОВЕДЧЕСКОГО ТОКАМАКА КТМ
А.Г. Коровиков, В.М. Павлов*, Д.А. Ольховик
Институт атомной энергии НЯЦ Республики Казахстан, г. Курчатов *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Исследован процесс прогрева вакуумной камеры токамака КТМ как объект управления, разработана математическая модель процесса как объекта управления. Сделан вывод о том, что для управления технологическим процессом прогрева необходимо идостаточно использовать систему управления, построенную на основе ПИ-регуляторов. Определены коэффициенты параметров настройки регулятора для каждой зоны прогрева.
Ключевые слова:
Система управления, математическая модель, вакуумная камера, нагрев.
Key words:
Control system, mathematical model, vacuum chamber, heat.
В настоящее время в г. Курчатов, Республика Казахстан, ведутся работы по реализации проекта строительства термоядерной установки Казахстанский материаловедческий токамак КТМ.
На этапе подготовки установки к эксперименту вакуумная камера токамака КТМ и патрубки должны прогреваться до температуры 200 °С с целью обезгаживания и уплотнения вакуумных конструктивов. Процесс должен проходить с обеспечением контроля равномерности прогрева. Техническая структура системы управления подробно рассмотрена в статье [1].
Синтез систем автоматического регулирования (САР) является главной задачей теории управле-
ния, в результате определяются состав, структура САР и параметры всех ее устройств из условия соответствия заданному комплексу технических требований [2, 3]. Основной задачей, которая должна быть решена на данном этапе, является получение модели объекта управления, его математического описания, которое представляет собой, систему обычных линейных/нелинейных дифференциальных или алгебраических уравнений.
При построении математической модели подсистемы омического и индукционного нагрева воспользуемся структурным методом. На первом этапе исходная принципиальная схема заменяется упрощенной функциональной схемой. Для
этого исследуемая система разбивается на функциональные элементы, каждый из которых в дальнейшем будет представлен типовым структурным звеном, т. е. описан дифференциальным уравнением не выше второго порядка. При построении считаем систему абсолютно управляемой, то есть все возмущающие воздействия в системе, примем равными нулю, а также предполагаем, что САР температуры вакуумной камеры (ВК) является стационарной. Предположение о стационарности является некоторой идеализацией, так как не учитывается изменение элементов системы со временем.
Функциональные схемы подсистемы омического и индукционного нагрева представлены на рис. 1 и 2.
Источник питания ленточных нагревателей, уложенных на внешней поверхности вакуумной камеры токамака, представляет собой шестиканальный регулятор переменного напряжения с широтно-импульсным управлением. Все каналы независимые. Выходное напряжение ~220 В (50 Гц). Контроллер формирует управляющие сигналы на открытие тиристорных ключей в зависимости от заданной мощности прогрева. Напряжение на выходе пропорционально коэффициенту заполнения управляющих сигналов источника питания:
иип ) _ Кипиу ,
где Кш - коэффициент пропорциональности источника питания.
Передаточная функция источника питания:
КЛр) = киП.
Источник питания - типовое безынерционное звено.
Определим действующее значение напряжения источника питания, разделив максимальное значение напряжения на корень из 2. Учитывая, что сигнал управления принимает значение в диапазоне 0...100 %, коэффициент усиления источника будет рассчитываться как:
и- 220 = 1,556.
Кип =
uv 100V2
W (р) = - „
" наг (-р) -г т-2
Количество теплоты, выделенное в нагреваемом материале, определяется по закону Джоуля-Ленца:
2 U2
Q = 12 RAt = UaL At.
Qh R
Отсюда передаточная функция ленточного нагревателя:
-Ql.=
U2n Rp'
Таким образом, нагреватель может быть описан как интегрирующее звено.
Характеристики зон вакуумной камеры сведены в табл. 1.
Для определения температуры каждой зоны вакуумной камеры используется зависимость вложенного количества теплоты от свойств материала камеры, начальной и конечной температуры.
Q = ет(Тш - TJ,
где m - масса металла, кг; с - удельная теплоемкость металла, Дж/(кг-град);
Передаточная функция, описывающая процесс нагрева ВК, имеет вид:
T 1
WJp) = -=■ = —.
Q cm
Рис. 1.
Функциональная схема подсистемы омического нагрева. Пк - пропорциональный канал регулирования; Ик - интегральный канал регулирования; ИП - источник питания; Тз(V - заданная температура; Тош(V - сигнал рассогласования (ошибка); X - блок возведения в квадрат; иу($ - сигнал управления; иип() - сигнал с выхода источника питания; Он^) - количество теплоты, вложенное нагревателем; Ок(V - количество теплоты, разогрева вакуумной камеры; Оп(V - конвективные потери; 7(1) - температура вакуумной камеры
Рис. 2. Функциональная схема подсистемы индукционного нагрева. 1у(I) - сигнал управления; Ои(I) - количество теплоты, выделяемое индуктором; Оп2(V - потери от излучения тепла
Таблица 1. Характеристики зон вакуумной камеры
Нагреваемая зона ВК Площадь нагреваемой зоны, м2 Вес зоны, кг Сопротивление нагревателя, Ом Длина нагре- вателя, м Номер зоны нагрева
Внутренний цилиндр 3,8 198 - - 1
Патрубки 17,8 2590 7,2 16 2
Крышка 8,1 1910 15,66 17,4 3
Конус 8,6 335 14,625 13 4
Внешний цилиндр 4,2 590 7,2 8 5
Днище 3,1 2208 8,55 9,5 6
Теплообмен между поверхностью вакуумной камеры и потоком воздуха с другой температурой осуществляется за счет конвективной теплоотдачи. Тепловой поток при конвективном теплообмене рассчитывают по формуле Ньютона:
Ф = ЯРАТ,
где Ф - тепловой поток, Вт; Я - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-град); / - площадь поверхности теплоотдачи, м2.
Количество теплоты, переданное от внешней поверхности ВКпри конвективном теплообмене, будет равно:
0__ = Фг = ЯРА Тг.
Передаточную функцию, описывающую процесс конвективных потерь, можно записать в виде:
W
X =
Q,43eBRe0,5 Яв D
= 0,115;
Re = UeD = 109,629,
где и - скорость движения воздуха (при расчетах задано 0,01 м/с); и - кинематическая вязкость воздуха (при расчетах задано 1,51-10-5 м2/с); Яв - теплопроводность воздуха (при расчетах задано 0,02485 Вт/(м-град)); Д, - поправочный коэффициент на скорость потока воздуха (при расчетах задано 0,55); Б - диаметр зоны ВК «Внутренний цилиндр» (при расчетах задано 0,534 м); Д, - поправочный коэффициент, учитывающий высоту расположения ВК и характер местности (при расчетах задано 0,31).
Количество теплоты, переданное от ВК при лучистой теплоотдаче, зависит от температуры возду-
ха, температуры поверхности ВК, а также от степени черноты поверхности ВК.
(/ ^ \ 4 /т \4Л
Q = ф t = є CF
Qn2 изр nCQ
T ВК 100
100
t,
где С0 - коэффициент излучения абсолютно черного тела (С0=5,67 Вт/(м2-К4)); е„ - коэффициент лучистой теплоотдачи (при расчетах принято е„=0,9 [4]); ТВК - текущая температура вакуумной камеры, К; Твозд - температура воздуха, К (при расчетах задано 290 К).
Передаточную функцию, описывающую процесс лучистой теплоотдачи, можно записать в виде:
W^(P) = = -
19,3914-10-8 -
1371,517
Коэффициент теплоотдачи ВК через теплоизоляцию равен 0,1 Вт/(м2-град). Коэффициент конвективной теплоотдачи зоны ВК «Внутренний цилиндр» зависит от скорости воздуха и направления потока по отношению к вертикальной оси ВК, диаметра внутреннего цилиндра, теплофизических характеристик воздуха. При ламинарном режиме движения воздуха (критерий Рейнольдса Ке меньше 1000) коэффициент теплоотдачи будет равен, Вт/(м2-град):
Индукционный нагрев металлов основан на законах электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла и Джоуля-Ленца. Внутренний цилиндр вакуумной камеры находится в переменном магнитном поле, которое возбуждает в нем вихревое электрическое поле. Под действием ЭДС индукции в камере протекают вихревые (замкнутые внутри тел) токи, выделяющие теплоту по закону Джоуля-Ленца.
Определим расчетный диаметр зоны ВК «Внутренний цилиндр» при нагреве цилиндрической плоскости изнутри, м:
Д = Д + £ = Д + МА к = Д + М -Ор5 = 0,7531,
V/
где Б2 - диаметр зоны ВК «Внутренний цилиндр», м; / - частота тока, Гц; £ - эффективная глубина проникновения тока, м; М - коэффициент. М=0,27 - определяется из табл. 3, 4 [5].
Активное и реактивное сопротивления нагреваемого слоя равны, Ом:
6 к^/ ^ = 0,00136.
r2 =пD2 2,81-10-
где К=3,45 и cos^=0,77 - определяются из [5, 6, рис. 3-7] соответственно; a=0,092 м - ширина индуктора.
= r2^ = 0,001125. cos ф
Реактивное сопротивление, Ом:
= SsL = 1,217-10-4, e 1 - k1
где x10 = Щ^°S = 3,13 -10-4 Ом; ^=0,28 - опреде-a
ляется из [5, рис. 6-2]; S - площадь боковой поверхности индуктора. Sj=0,23 м2.
Реактивное сопротивление рассеяния, Ом:
xs = ^(S2 -S1) = 2,651-10-4, a
где S2 - площадь боковой поверхности зоны ВК «Внутренний цилиндр». S2=0,423 м2.
Коэффициент приведения активного сопротивления материала ВК (сталь 12Х18Н10Т), Ом:
с =-----,----1--------г = 1,079 • 10-4.
(„ V ( „ , „ Л2
Приведенное активное сопротивление равно, Ом: г2' = сг2 = 1,4674 -10-7.
Расчет приведенного активного сопротивления произведен для одновиткового индуктора (м=1), в индукторе токамака КТМ ^=423, отсюда следует:
гш = г2 w2= 0,02626 Ом.
Мощность, передаваемая в оболочку вакуумной камеры, равна:
би = •
Передаточная функция индуктора имеет вид:
ж (р)=
' инд ) ,2 •
1У Р
В результате синтеза математической модели были получены выражения для всех динамических звеньев. Модель, в том числе блоки возведения в квадрат и четвертую степень, реализованы в приложении 81ши11пк инженерного математического пакета МаНаЬ. Проведенные исследования разгонных характеристик (реакция на ступенчатое воздействие), логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовочастотная характеристика (ЛФЧХ) моделей объекта управления для зон нагрева, показали (рис. 3, а), что подсистемы омического и индукционного нагрева обладают свойством самовыравнивания, и являются устойчивыми, т. к. годограф (рис. 3, б) не охватывает точку с координатой (—1/,0) (критерий Найквиста).
ЛАЧХ и ЛФЧХ подсистемы управления прогревом ВК без регуляторов представлены на рис. 3, в.
В задаче стабилизации наиболее важны свойства установившегося режима. Для следящих систем в первую очередь нужно обеспечить высокое качество переходных процессов при изменении задающего сигнала (уставки) [6]. Можно выделить три основных требования:
• точность;
• устойчивость;
• качество переходных процессов.
Для управления системой омического нагрева наиболее рационально использовать алгоритм с фиксированной структурой, в состав которой входят пропорциональная и интегральная составляющие, т. е. ПИ-алгоритм, т. к. система нагрева обладает высокой инерционностью.
В результате синтеза САР были получены параметры настройки ПИ-регуляторов для каждой зоны ВК (табл. 2). Для настройки применен метод СНК, который основан на использовании критерия максимальной скорости нарастания при отсутствии перерегулирования или при наличии не более чем 20%-го перерегулирования [7].
Таблица 2. Параметры настройки ПИ-регуляторов
Зона ВК Параметр регулятора Номер зоны нагрева
К Т, с
Внутренний цилиндр 89 А/град 7,8 1
Патрубки 1,004 1/град 0,0191 2
Крышка 0,843 1/град 0,0197 3
Конус 0,998 1/град 0,0183 4
Внешний цилиндр 0,735 1/град 0,0195 5
Днище 0,4723 1/град 0,0225 6
Подтверждением результатов проектирования любой системы регулирования, оценкой ее характеристик соответствию техническим требованиям, предъявляемым к проектируемой системе, являются модельные и/или экспериментальные исследования.
К основным техническим характеристикам системы относятся следующие:
• диапазон регулируемой температуры от 0 до 250 °С;
• максимальная динамическая ошибка регулирования (этап входа на стационарный режим) не более 5 %;
• максимальная статическая ошибка поддержания заданного уровня температуры (режим поддержания температуры ВКна уровне 200 °С в течение длительного времени, необходимого для проведения дегазации) не более 2 %.
Анализ результатов исследований показал, что
в подсистеме управления прогревом ВК перерегулирование в переходных режимах не превышает 5 %, а в режиме поддержания температуры не более 2 % (рис. 4). Система полностью устойчива.
Оценивая быстродействие системы управления по времени регулирования, получаем, что время регулирования не превышает 1,25-105сдля 5 % отклонения выходной величины от установившегося значения (рис. 4). Минимальный темп роста температуры на начальном участке прогрева - не менее 0,1 град/мин.
Запас устойчивости системы с регуляторами составляет:
• по амплитуде - бесконечность;
• по фазе - от 160 до 167° в зависимости от зоны нагрева.
Выводы
Произведен синтез подсистемы управления прогревом вакуумной камеры токамака КТМ. Определен тип регулятора и параметры его настройки. Показано, что для управления технологическим процессом прогрева необходимо и достаточно использовать систему управления, построенную на основе ПИ-регуляторов. Подсистема управления позволяет вывести вакуумную камеру на оптимальную рабочую температуру с минимальными затратами времени. Перерегулирование не превышает 5 %, а в режиме стабилизации температуры - не более 2 %.
Фаза, град Амплитуда, дБ д Амплитуда, уел. ед.
Переходная характеристика
Диаграмма Найквиста
б
ЛАЧХ, ЛФЧХ
Частота, рад/с
в
Рис. 3. Подсистемы управления прогревом ВК: а) переходные процессы подсистемы управления прогревом ВК; б) годографы Найквиста; в) ЛАЧХ и ЛФЧХ. Зона: 1) «Внутренний цилиндр»; 2) «Патрубки»; 3) «Крышка»; 4) «Конус»; 5) «Внешний цилиндр»; 6) «Днище»
Рис. 4. Реакция подсистемы нагрева с ПИ-регуляторами на ступенчатое воздействие. Зона: 1) «Внутренний цилиндр»; 2) «Патрубки»; 3) «Крышка»; 4) «Конус»; 5) «Внешний цилиндр»; 6) «Днище»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коровиков А.Г., Павлов В.М., Ольховик Д.А. Алгоритмическое обеспечение подсистемы управления прогревом вакуумной камеры токамака КТМ // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318. - № 5. - С. 116-119.
2. Методы классической и современной теории автоматического управления. В 3-х т. / под ред. Н.Е. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. -736 с.
3. Кулаков Г.Т. Анализ и синтез систем автоматического регулирования. - М.: Технопринт, 2003. - 134 с.
4. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. -М.: Высшая школа, 1975. - 496 с.
5. Сухоцкий А.Е. Установки индукционного нагрева. - Л.: Энер-гоиздат, 1981. - 330 с.
6. Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления. - Томск: ТУСУР, 2010. - 162 с.
7. Chien K.L., Hrones J.A., Reswick J.B. On automatic control of generalized passive systems // Transactions of the ASME. - 1972. -№ 74. - Р. 175-185.
Поступила 20.01.2012 г.
