CC BY
23
ляются (путем выполнения двух шагов моделирования) динамические переходы (fy, sy)* 4{bj, s,).
5. Q:=QuQ\ Q' =0.
6. В Q' добавляются те из состояний ty, Sy, которые не содержатся в Q.
7. Шаги 4-6 повторяются до тех пор, пока в Q' появляются новые состояния.
4. Описание программ
Алгоритмы моделирования реализованы программно на языке С++. Исходными данными для программы служат текстовые файлы, содержащие описание схемы и описание теста. Схема описывается на языке SDL [2]. Обязательно присутствие раздела INPUTS, содержащего имена входных полюсов, и хотя бы одного из разделов NETS (описание узлов схемы) и COMPS (описание связей элементов схемы). При трансляции описания схемы во внутреннюю форму производится синтаксический контроль описания. При наличии в описании разделов NETS и COMPS одновременно проверяется соответствие их друг другу. В качестве примера приведем описание охвмы логического вентиля ИЛИ-» НЕ с двумя входами:
NAME: NOR-2; INPUTS: Xl,X2;OUTPUTS: Y; PMOS: T11.T12; NMOS: T21,T22; COMPS; T11=1*N3, 2*N5, 3*N1; T12=1*N3, 2*N5, 3*N2; T21=1*N5, 2*N6, 3*N1; T22=1*N6, 2*N4, 3»N2; X1=N1; X2=N2; Y=N5; VDD=N4; GND=N3;NETS; N1=X1, T11.3, T21.3; N2=X2, T12.3, T22.3; N3=GND, T11.1.T12.1; N4=VDD, T22.2; N5=Y, T21.1, T12.2, T11.2; N6=T21.2, T22.1;ENDC.
Последовательность входных состояний (тест) задается уравнениями вида: <имя_входного_полюса>=а, Ь, ..., где а, Ь,... принимают значения из 5. Возможна сокращенная запись теста уравнением вида: <имя_вход-ного_полюса>=[а, 6,..]//,.., где i - натуральное число, означающее, что группа значений а, Ь,... повторяется
/ раз. Если значение переменной не задано, то полагается равным 00. Уравнения разделяются символом ';'• Пример задания теста для схемы ЖЖ_2: Л1=[10]/2, [01]/2; Х2=[ 10,01 ]/2.
Может быть задано также начальное состояние, которое проверяется на устойчивость. Если начальное состояние не задано, то оно вычисляется с помощью шага моделирования для полностью неопределенных полного и входного состояний.
Начальное состояние задается уравнениями вида: <имя_узла или имя_полюса>=а; где аеБ. Если уравнение для узла не задано, то его начальное состояние полагается равным ЕЕ (кроме полюсов йИО и К/)Д состояния которых равны 10 и 01 соответственно). Уравнения с одинаковой правой частью можно объединить в одну цепочку равенств.
Пример задания начального состояния для схемы МЖ_2: М=№=00;Л2=Ш=10.
Кроме того, могут быть заданы также список синхронных входов и эквивалентность Я на множестве точек полурешетки Р2. Результатом работы программы является последовательность полных устойчивы* состояний со значениями в иолурешет-ке 5, в которые переводят схему наборы теста.
Основные блоки программы:
- трансляция во внутреннее представление описаний схемы, теста и начального состояния с синтаксическим и семантическим контролем (программа написана при участии А. Лесных);
- проверка начального состояния на устойчивость;
- подстановка в схему схем всех ее элементов;
- построение по эквивалентности Л полурешетки <Л>;
- собственно моделирование;
- вывод результатов - полных состояний схемы . или (по желанию пользователя) состояний отдельных узлов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агибало* Г.П. Дискретные автоматы на полурешетках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 227 с.
2. Киносита К., Асада К., Карацу О. Логическое проектирование СБИС: Пер. с япон. М.: Мир, 1988. 309 с.
Статья представлена кафедрой программирования факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 11 января 1999г.
УДК 519.7
И.А. Панкратова
СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННЫХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ С ЗАДАННЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 98-01-00288
Рассматривается задача синтеза комбинационных переключательных схем из элементов фиксированного базиса (транзисторов и резисторов), обладающих заданным динамическим поведением. Даются постановка задачи и метод ее решения, состоящий из двух шагов: сведения задачи к построению схем, реализующих булевы функции, и синтеза последних в виде параллельно-последовательных сетей.
1. Постановка задачи
Переключательная схема служит моделью БИС и определяется в [1] как тройка конечных множеств (X, 2, 2у, где Л"- множество элементов схемы, 1- множество узлов, 2^2. - множество полюсов схемы. Эле-
мент схемы принадлежит некоторому множеству В базисных элементов и имеет собственные полюсы. Множество узлов схемы представляет собой разбиение на множестве полюсов всех ее элементов. Среди полюсов схемы выделяют полюсы источника питания - Уйй и СМ), входные полюсы, через которые на
схему подаются воздействия извне, и выходные полюсы, с которых снимается реакция схемы.
Будем рассматривать схемы, состоящие из простейших переключательных элементов - транзисторов различных типов, резисторов. Транзистор представляет собой элемент с управляемой проводимостью и задается монотонной функцией проводимости здесь 5 - состояние затвора транзистора; р -проводимость между его истоком и стоком, реР, €5; Р и 5 - полурешетки проводимостей и состояний соответственно. В общем случае />сС={0, 1, X, О', Г, X', Е}; здесь 0, 1, X - точки полурешетки, представляющие собой проводимости соответственно разомкнутой, замкнутой и резистивной цепей; остальные элементы - в подходящей степени неопределенные значения: 0'=1+Х, Г=0+Х, Х'=0+1, Е=0+1+Х (полная неопределенность). В частности, для КМОП-схем Р={0, 1, X'}- Состоянием узла является пара проводимостей от этого узла до полюсов источника питания, т.е. Б=Р2. В табл. 1 приведены значения функций проводимости некоторых транзисторов на множестве точек полурешетки С2.
Таблица!
Функции некоторых транзисторов
в Г, Т2 Т} Т<
00 X' X' 1 0
01 1 0 1 0
10 0 1 0 1
ох 1 0 1 0
хо 0 1 0 1
IX 0 1 0 1
XI 1 0 1 0
11 X' X* X* X'
XX X' X' 1 0
Здесь Г| и Г2 - МОП-транзисторы п- и /»-типа соответственно; Г3 и Г4 - нормально открытый и нормально закрытый транзисторы с затвором Шоггки. Резистор представляет собой элемент с двумя полюсами и постоянной проводимостью между ними, равной X.
Припишем всем входным полюсам схемы входные переменные х\,..., х„ со значениями в 5, а выходным - выходные переменные уи...,ут также со значениями в 5. Переключательная схема является комбинационной, если значения переменных ут зависят только от структуры схемы и значений переменных х„н не зависят от состояний остальных (не являющихся полюсами) узлов. Таким образом, функционирование комбинационной схемы задается уравнением у=<р(х), где уе5Г, хе5", <р - векторная функция.
Под динамическим поведением комбинационной переключательной схемы будем понимать процесс изменения ее выходного состояния при асинхронном изменении состояний входных полюсов. Пусть входное состояние а меняется на Ь. Процесс этого изменения
описывается промежуточным входным состоянием а+Ь, где «+» - сложение в полурешетке 5. На выходах схемы при этом вырабатывается некоторое значение и= =дЦа+Ь). При установившемся входном состоянии Ь на выходах схемы появляется значение Четверку
(аЬ, ш) назовем динамическим переходом схемы.
Теперь можно поставить задачу синтеза комбинационной переключательной схемы с заданным динамическим поведением. Заданы:
1) полурешетки проводимостей Р и состояний Б=Р2-,
2) система команд К на полурешетке 5, где каждая команда имеет вид (аЬ, -*>г), а, ¿ей", и»,
3) элементный базис - множество переключательных элементов {еь..., ек), каждый из которых описывается функцией//=1,..., к.
Требуется из элементов заданного базиса построить комбинационную переключательную схему
реализующую заданную систему команд в следующем смысле: для любой команды с={аЬ, м/г)&К динамический переход (аЬ, иу) схемы реализует команду с, т.е. удовлетворяет соотношениям и<и», у<г, где < - отношение порядка в полурешетке 5™.
2. Метод решения
Перейдем от системы команд К к табличному заданию функции у=<р(х). Для этого:
1) для всякой команды с=(о6, и>г)еК добавим в таблицу две строки: (а+Ь, IV) и (¿>, г)-,
2) строки с одинаковой левой частью (а, М|)-и (а, и^) объединим в одну: (а, и'), где и> есть наибольшая общая нижняя грань н^^^в 5™. Если для и», и и»2 в ^ общей нижней грани не существует, то система команд К нереализуема (не существует реализующей ее схемы) - по теореме 8.1 в [1]. Построенная таким образом функция <р проверяется на квазимонотонность (необходимое условие реализуемости).
Пусть далее т=1, т.е. уеБ. Функцию состояний у(х) тогда можно представить в виде двух функций проводимости ср^х) и <р\(х), представляющих собой первую и вторую компоненты (р(х) соответственно. Схему N будем строить в виде рис. 1, где Ы0 - схема, проводимость между полюсами 0 и 1 которой реализует функцию <ро{х), ив^| проводимость между полюсами 1 и 2 реализует функцию <Р\(х). Возможно задание различных базисов для построения схем Ы0 и Л^; например, для получения КМОП-схем базис для N0 должен содержать только МОП-транзисторы п-типа, а для Л^ - МОП-транзисторы р-типа.
Задача синтеза двухполюсной переключательной схемы с заданными условиями функционирования известна давно [2,3]; при этом под «условиями функционирования» понимается обычно задание полностью определенной булевой функции. В нашей постановке подлежащая реализации функция есть частично определенная функция на полурешетках. В работах [1, 4] описан декомпозиционный метод синтеза переключательных схем, реализующих заданные функции проводимости, для случая произвольного базиса переключательных элементов, и сформулированы необходимые и достаточные условия полноты используемого базиса.
Х\
ф)
Таблица2
Операции л и V
Рис. 1
Мы рассмотрим алгоритм построения переключательной схемы ТУ, реализующей между полюсами О и 1 функцию проводимости <р(х), для базиса {ТЬТЬ Т^ТьД), где Г| - Г4 - транзисторы, функции которых представлены в табл. Л '-резистор. При иострое* нии схем будем использовать параллельное и последовательное соединения цепей, моделирующие соответственно конъюнкцию (л) и дизъюнкцию (V) прово-димостей. В табл. 2 приводятся значения этих операций на множестве точек полурешетки С2.
XI 0 0 0 X X X 1 1 1
*2 0 X 1 0 X 1 0 X 1
X] л х2 0 0 0 0 X X 0 X 1
XIV х2 0 X 1 X X 1 1 1 1
Пусть задано множество базисных элементов В= ={еь..., <?ь Щ, где е,е{ТиТ2,ТьТ4}, /= 1,..., * - эле-
менты с функциями проводимости /¡Я-ьРР'={ 0, 1, X'}, и функция проводимости <р(х):£Г->Р. Построим дпм каждого элемента ............. из области определения функции <р(х) вектор значений функций проводимости базисных элементов: <®(«)=(/1(ы0.- • •»/¡("л). • • •, X). <Р(м) принимает значения в полурешетке />"=(/>')*'' х. Функции ф(х) сопоставим функцию /¿Р "-*Р, определенную на множестве векторов Ф(и), по правилу: Через аЩ будем обозначать у'-ю компоненту вектора а.
Теорема 1. Для того чтобы существовала переключательная схема из элементов базиса В, реализующая функцию проводимости <р(х), необходимо, чтобы соответствующая функция была квазимонотонна.
Доказательство. Рассмотрим произвольные элементы »1, ы2, иЗ из области определения функции ср(х) такие, что соответствующие им векторы Ф{и\), Ф(ы2), Ф(мЗ) имеют общую нижнюю грань в Р". Тогда для любых /=1,.... п значения функ-
ций проводимости базисных элементов Ди1[/]), /(и2[/]),/(иЗ[/]) имеют общую нижнюю фань в Р'.
В силу монотонности операций конъюнкции и дизъюнкции проводимостеЙ )побая сеть из базисных элементов реализует функцию проводимости / такую, что Ди1), Ди2), ЛиЗ) имеют общую нижнюю грань в Р, а в силу монотонности функций то же свойство выполняется и для каскадного соединения элементов. Таким образом, любая схема из элементов базиса В реализует функцию проводимости, значения которой на элементах «1, и2, иЗ имеют общую нижнюю фань, из чего следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Пусть заданная для реализации функция <р(х) удовлетворяет условию теоремы. Воспользовавшись методом разложения [4], можно получить, например, следующую формулу для <р(х):
компоненты разложения приводятся в табл. 3.
Разложение функции <р{х)
Табл ицаЗ
£1 й ¿3 £4 & й' й'
0 0 0 Е Е Е 0 0 X' X'
1 1 Е Е Е Е 1 X1 X' X'
X г 0' 0 1 Е 0 1 0 1
г г Е Е Е Г 0 X' X' X*
0' Е 0' Е Е 0' X' 1 X' X'
X' X' X' 1 0 X1 X' X' 1 0
Функция <р{х) квазимонотонна, т.е. для любых не обязательно различных аь аъ а3 из области ее определения из того, что (р{а{), <р(а2), <р{а3) не имеют общей нижней фани в Р, следует, что ах, аъ а3 не имеют общей нижней фани в Д". Непосредственной проверкой можно убедиться, что это свойство выполняется и для функций - g^, т.е. они также квазимонотонны. Кроме того, функции g\ -g^ реализуются квазимонотонными функциями ' - #4' со значениями в полурешетке Рзначит, соответствующие им схемы можно построить из элементов Т\ - Г4 (этот алгоритм будет описан в следующем разделе). Функция gs требует особого рас-
смотрения. Предварительно установим следующее вспомогательное утверждение.
Утверждение. Если функция /\Р"-*Р квазимонотонна, то для любых а и аъ а3 из области ее определения таких, что./(л1)=1\ У{а2)=0', .Да3)=Х', хотя бы одна из пар (аь а2), (а2, а3) и (<>1, а3 ) не имеет общей нижней фани в Р".
Доказательство. Предположим, что все пары (аь аз), (а2, я3) и (а|, а3) имеют общие нижние грани в Р". Тогда для любого/=1,..., к п+\ пары компонент (щЦ], а2\]\), (Рг\]\ а3[/]) и (а,(Д а3[/]) также имеют общие нижние грани. Так как ¿/¡[Д аг\]\ и а3[/] принимают значения в полурешетке Р' или равны X, то и вся
-тройка (а,[/1 а2[/], оз[/]) имеет общую нижнюю грань (по доказанному в [4]), а поскольку это выполняется для любого у, то и тройка векторов (аь а2, а3) имеет общую нижнюю грань в Р". Но/аО./агХХ^з) общей нижней грани в Р не имеют, что противоречит квазимонотонности / Утверждение доказано.
Обозначим через 11° множество всех элементов а из области определения функции / для которых /а)=сг, сге{0,1, X, О', Г, X'}, и вернемся к функции g¡. Будем разлагать ее по операциям конъюнкции и дизъюнкции проводимостей до тех пор, пока не получим все компоненты разложения такие, что |=1, |С/^°|=1. Пусть gi(a{]r0'. Для каждой компоненты разложения возможен один из двух вариантов:
1) (¡о и а\ не имеют общей нижней грани. Тогда функция g/ реализуется квазимонотонной функцией g со значениями вР'и следующей областью определения: ив°=и/, и^=и/.
2) ао и а\ имеют общую нижнюю фань. Тогда множество можно разбить на два подмножества: С/0ХО, состоящее из элементов, не имеющих общей нижней
грани с а\, и II* ° (его элемента не имеют общей
нижней грани соов силу доказанного утверждения).
Реализующую gi функцию можно построить в виде: gi^vXлgi2<gi, где gih gi2 - квазимонотонные функции со значениями в Р\ заданные следующими мдажесгвами:
Таким образом, задача сведена к реализации • функций проводимости с<т значениями в'Р*......
3. Синтез переключательных схем, реализующих функции проводимости со значениями в полурешетке Р'={0,1, X'}
Пусть квазимонотонная функция —>Р' задана двумя множествами: I// и и задано множество базисных элементов {в),..., ек} с функциями проводимости ¿-.З-ьР', 1=1.....к Вычислим значения каждой
из функций/, ..., / для всех аргументов х^..., х„ на множестве и/=и/и1//, т.е. построим множество функций Ф=^(хх\...^(х„),...Лх{\...Лх„)}. Если существует Дрс^еФ такая, что для всех аеЦ имеет место ДоЭДЖя)» то искомая схема С состоит из одного базисного элемента еь затвор которого отождествлен с входным полюсом схемы В противном случае будем строить схему N в виде параллельно-последовательной сети, определяемой следующим образом:
1. Базисный элемент е„ затвор которого отождествлен с входным полюсом схемы х, а исток и сток - с полюсами 1 и 2 соответственно, есть сеть Л^, реализующая между полюсами 1 и 2 функцию проводимостиДхД
2. Если М12 и N3,4 - сети, реализующие функции проводимости/ (между полюсами 1 и 2) и/2 (между полюсами 3 и 4) соответственно, то их последовательное соединение состоит в отождествлении полюсов 2 и 3 и есть сеть Л^, реализующая функцию проводимости /¡л/"2 между полюсами 1 и 4, а параллельное соединение состоит в попарном отождествлении полюсов 1 и 3,2 и 4 и есть сеть Л^д, реализующая функцию проводимости/\\zfi между полюсами 1 и 2.
3. Других сетей нет.
Теорема 2. Для того чтобы существовала сеть, реализующая функцию / необходимо и достаточно, чтобы для любой пары (а ,Ь), где a&Uf, bellсуществовала функция <Pat,e Ф, такая что <pat£b)=\.
Доказательство. Достаточность. Непосредственной проверкой убеждаемся, что следующие формулы (и соответствующие им схемы) реализуют f.
I ПФ-^/'П 5>о)
heUj а*иа{ aeU'f Aei/}.
Здесь знаки I и П обозначают дизъюнкцию и конъюнкцию проводимостей соответственно.
Необходимость. Пусть _Ла)=0,.Д^)=1» и не существует фаь^Ф такой, что <раь(а)=0, <раЬ(Ь)=\. Возможны два случая:
1) не существует (раь^Ф такой, что <patia)=\, Я>ЛЬ)=0. Тогда векторы <р\(а),..., <рк.„(а)) и (<pi(b),..., <PkJJt>) имеют общую нижнюю грань, и в силу нарушения условия квазимонотонности функции fv построение сети, реализующей f, невозможно;
2) существует <р„ье Фтакая, что <patHay=\, <раь(Ь)=0. Предположим, что соответствующий базисный элемент е„ь участвует в построении сети, реализующей / в параллельном соединении с некоторой сетью St с функцией f\. Тогда это соединение реализует функцию/^/, v^, и/2(а)= \J2{b)=f\{b).
Итак, значения функции / на элементах а, b либо совпадают со значениями <раь, либо имеют общую нижнюю грань - 1. В обоих случаях участие сети с функциейJ2 'в'дальнейших построениях не приведет к реализации Дх) такой, чтоДа)=0,У(6)=1, т.к. на элементах a, b значения (раь будут повторяться либо нарушится условие квазимонотонности. Аналогичные рассуждения можно провести и для последовательного соединения элемента е„ь с сетью S1. Необходимость доказана. Теорема доказана. •
Формулы (1) доставляют схемы, далекие от оптимальных (по числу транзисторов). Для упрощения получаемых схем применим декомпозиционный параметрический метод Павлова [5]. Суть метода состоит в последовательном упрощении задаваемых для реализации функций путем разложения их по базисным операциям (в нашем случае это операции д и v); под «упрощением» здесь понимается сокращение области определения функции до тех пор, пока не найдется реализующая ее функция <ре Ф. Функция /задается четверкой параметров: Ц°, и/, от/, т} (на старте алгоритма m°=\Uf\, m}=\U/\), и считается, что <р реализует/ если \Uf°nU°\>mf0y \u}rXJj^m}. При поиске разложения f\vfz"£f используются формулы:
U (2)
После нахождения функции <ре Ф, реализующей /ь определяются параметры второй компоненты разложения:
£/•-с/» пс/;,1/х-£/}-£/;,
т\ =т),т\ = т)-\и} nU^. (3)
Для получения разложения f\rf2<f надо в формулах (2), (3) поменять местами верхние индексы 0
и 1. Так как при разложении по V уменьшается параметр т/, а при разложении по л - т/, то для выбора базисной операции на каждом шаге алгоритма можно использовать следующее эвристическое соображение: если т/>т/, то выбираем операцию л, иначе - V. Если для очередной компоненты разложения не находится реализующей ее функции в Ф, то она, в свою очередь, подвергается разложению, и так до определения всех компонент. Процесс сходится, если выполнено условие теоремы 2.
Данный алгоритм строит однокаскадные схемы, а значит, решение в классе КМОП-схем существует, только если задана отрицательная функция либо на входы схемы вместе с каждым входным сигналом подается и его инверсия. В дальнейшем предполагается рассмотреть вопрос о выделении каскадов, преследующем двоякую цель: во-первых, расширение класса реализуемых функций и, во-вторых, упрощение получаемых схем (особенно при задании на синтез системы функций).
ЛИТЕРАТУРА
1. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешетках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.227 с.
2. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963. 827 с.
2. Поваров Г.Н. Метод синтеза вычислительных и управляющих контактных схем // Автоматика и телемеханика. 1957. №2. С. 145-162.
4. Агибалов Г.П., Бузанов В.А., Липский В.Б., Румянцев Б.Ф. Логическое проектирование переключательных автоматов. Томск: Изд-во
Том. ун-та, 1983. 156 с.
5. Павлов В.Л. О синтезе логических схем из элементов «ИЛИ-НЕ» с ограниченным числом входов // Вычислительная техника Кау-
нас: Каунасский политехнический институт, 1971. Т. 2. С. 219-223.
Статья представлена кафедрой защиты информации и криптографии факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
УДК 519.7
Н.Г. Парватов
К СИНТЕЗУ ФОРМУЛ, РЕАЛИЗУЮЩИХ И ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ
КВАЗИМОНОТОННЫЕ И МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ НА ПОЛУРЕШЕТКЕ ПОДМНОЖЕСТВ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 98-01-00288
Предлагаются методы синтеза формул из одноместных функций и двухместной дизъюнкции (конъюнкции) для реализации и представления квазимонотонных и монотонных функций на полурешетке подмножеств ¿-элементного множества.
Постановка задачи
Будем рассматривать функции, которые вместе со своими аргументами принимают значения из верхней полурешетки С всех непустых подмножеств множества £={0,..., А-1}. Множество всех таких функций обозначим Рс- Функции из Рс заслуживают внимания в связи с тем, что с их помощью удается адекватно и с наперед заданной точностью моделировать динамическое поведение интегральных схем логического управления [1]. Область определения любой такой функции / от п переменных является полурешеткой С - и-й декартовой степенью полурешетки С. В ней элементы суть наборы длины л с компонентами в С, отношение порядка й есть покомпонентное включение и сложение есть покомпонентное объединение.
Функция/называется аддитивной, если она является гомоморфизмом полурешеток, т.е. если Да+А)= =Да)+/6) для любых аиЬюй/. Функция/называется точечной, если ее значение на любом элементе </ из Df равно сумме (объединению) элементов, содержащихся в с/. Функция / называется монотонной, если для произвольных а и ¿> из £>/ всякий раз из а<Ь следуетФункция /реализуется функцией g, или g является реализацией / если g{c¡)^d) при любом </ из Функция /называется квазимонотонной, если она реализуется некоторой монотонной функцией. Множества всех аддитивных, точечных, монотонных и квазимонотонных функций в Рс обознача-
ются соответственно Н, Р, А/ и Q. Вместе с отношением реализации они являются частично упорядоченными множествами, причем Я и Р - собственными подмножествами в М, М- собственным подмножеством в Q, Q - собственным подмножеством в Рс, поэтому можно говорить о минимальных элементах в них. Минимальными в Q функциями являются минимальные точечные функции, множество которых обозначается Т. Множества всех минимальных элементов частично упорядоченного множества S обозначается m(S). В частности, m(P)=m(Q)=m(M)=T, т(С)=Е - множества минимальных точечных функций и одноэлементных подмножеств соответственно. Элементы в С будем рассматривать и как функции в Рс, принимающие значения соответствующих констант и, следовательно, являющиеся точечными функциями, т.е. CqP, причем т(С)ст(Р). Введенные выше определения взяты нами из [2].
Пусть BcQ. Определим понятие формулы над В и функции данной формулы. Сделаем это в форме следующего индуктивного определения:
1. Пусть х - символ переменной, принимающей значения в полурешетке С. Тогда х - формула над В и одноместная функция, значения которой совпадают со значениями своего аргумента - функция данной формулы.
2. Пусть Fu-, Fm - формулы над В и функции /i,—> fm являются функциями соответствующих формул Fi,..., Fm. Пусть/- символ m-местной функции из В. Тогда/F,,..., Fm) - формула над В и ДА,..., • ••>/п) - функция данной формулы.
