Синтез и компьютерная оптимизация цифровых последовательных регуляторов высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

синтез и компьютерная оптимизация цифровых

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Последовательные регуляторы (ПР) широко применяются в микропроцессорных САУ различного назначения. По сравнению с модальными регуляторами (МР) они проще в реализации, т. к. не требуют наблюдения вектора состояния объекта управления (ОУ).

Синтез цифровых ПР обычно проводится алгебраическим методом размещения полюсов по дискретной линеаризованной модели САУ [1, 3, 6-8]. При этом для систем с ОУ т-го порядка структура регулятора задается передаточной функцией:

ОД = в{2)/И(2) , (1)

т т-1

где 0(2) = £ g¡zi-1, И {г) = гт-1 + £ к^-1 - поли-1=1 ¡=1 номы (т — 1)-й степени.

Получаемые при синтезе параметры (g¡ , к) часто не обеспечивают желаемых показателей качества переходных процессов в замкнутой САУ из-за их зависимости не только от полюсов, но и от нулей системы. Поэтому на практике синтез повторяется многократно методом «проб и ошибок». Рациональнее осуществлять оптимизацию параметров итерационными методами по интегральным или другим критериям.

При т > 3 число параметров регулятора (2т — 1) достаточно велико, а их значения требуется варьировать в широких диапазонах, поэтому целесообразнее оптимизацию проводить не в пространстве непосредственно параметров регулятора, а в пространстве полюсов, совмещая ее с процедурами синтеза и анализа динамики САУ. При этом оценивание значений критерия в процессе оптимизации следует осуществлять по нелинейной дискретно-непрерывной модели САУ, учитывающей ограничения, присущие реальной системе.

Рассмотрим основные процедуры синтеза цифровых ПР (рис. 1).

Алгебраический синтез методом размещения полюсов

На первом этапе осуществляется дискретизация непрерывной векторно-матричной модели

(2)

ОУ с заданным периодом дискретности T0 : X [n +1] = AdX [n] + Bdu[nl y[n] = C] X [n] где X - m-вектор состояния ОУ; y[n] - выходная координата системы; Ad = e X 0 - матричная экс-

понента;Bd = (jeÁX di)Bu; CT = CTX;AX-m*m-

0

матрица, Bu и CX - m-векторы непрерывной модели оу. u

Дискретную модель (2), имеющую произвольную форму, необходимо затем преобразовать к канонической форме управляемости, которой соответствует дискретная передаточная функция ОУ:

W (z) = B( z)/ A( z), (3)

где

m

Á(z) = zm + Xa/4, B(z) = £b,z-1 -

поли-

номы т-й и (т — 1)-й степени соответственно.

На втором этапе выбирается эталонный характеристический полином (2т — 1)-й степени для замкнутой дискретной САУ с желаемым размещением полюсов внутри круга единичного

Рис. 1. Этапы синтеза

радиуса на комплексной Z-плоскости. Можно задавать полиномы следующих видов.

Для достижения минимального времени переходного процесса в системе, равного (2т — 1) тактов, выбирается полином с нулевыми полюсами и коэффициентами:

=*2т-1 . (4)

Но переходный процесс при этом будет сильно колебательным с большими значениями управляющего воздействия и[п].

Для получения более медленного переходного процесса с меньшими значениями и[п] можно задавать (т — 1) нулевых и т ненулевых полюсов, используя полином вида

е^оо=*т-1ет (*) , (5)

в котором требуется задавать полюса и по ним вычислять коэффициенты полинома т-го поряд-

ка ят (*) = *т + £ а*

При задании вещественных |у*| <1 и комплексно-сопряженных полюсов | у*| = ^еу* ±/1ту*| < 1 эталонный полином имеет общую форму

2т-1

е*-1( *) = *2т-1 + !>* .

¿=1

На третьем этапе из условия равенства ко эффициентов характеристических полиномов

(6)

В( 2)0( 2) + А( 2)И (2) = е*т-1( 2)

составляется система линейных алгебраических уравнений (2т — 1)-го порядка относительно искомых параметров регулятора, которая в блочном представлении имеет следующий вид:

В.

тх(т-1)

в.

Г, ~ # а,

[а_ * ап — а

(7)

(т-1)хт (т-1)х(т-1)

где элементами матричных блоков в левой части являются коэффициенты полиномов В(*) и А (2) (параметры канонической модели ОУ);

ё = (g1, Ят)т; Ь = (h1, Ьт-1)т - векторы параметров регулятора; а* = (а*, ..., а*^) и а* = (а т,..., а 2т1)Т - векторы коэффициентов эталонного полинома; а = (а1, ..., а )т - вектор коэффициентов

А(2).

Чтобы решение системы (7) было единственным, ее матрица должна быть квадратной (2т - 1) х (2т - 1) и неособенной. Для этого порядок регулятора (1) должен согласовываться с порядком ОУ, который должен быть управляемым.

На четвертом этапе проводится проверка результатов синтеза путем компьютерного анализа динамики замкнутой САУ. При этом анализируется ее робастность, т. е. способность сохранять устойчивость и приемлемые показатели качества при вариациях параметров ОУ. Кроме того, проверяется отсутствие скрытых колебаний внутри интервалов квантования по времени, а также исследуется влияние квантования цифровых сигналов по уровню временного запаздывания и ограничения управляющего воздействия. При неудовлетворительных результатах осуществляется возврат ко второму этапу, где проводится корректировка размещения полюсов в круге единичного радиуса на Z-плоскости и пересчет коэффициентов эталонного характеристического полинома.

Итерационная оптимизация, совмещенная с синтезом

На схеме такой оптимизации (рис. 2) процедуры синтеза и анализа динамики САУ вложены в общий цикл итерационного процесса оптимизации по выбранному критерию. При этом компьютерный синтез осуществляется не методом «проб и ошибок», а целенаправленным образом. При анализе динамики САУ в ее модели учитывается ограничение на значения выхода регулятора |и[п]| < Ц .

На практике рекомендуется использовать интегральный критерий следующего вида:

Ле,Х) = ^^{еЧп] + с(Уе[л]/Т0)2 + ги2[п]), (8)

" п=0

1. Выбор критерия оптимизации

2. Задание начальных значений параметров метода синтеза

-► 3. Расчет параметров ПР алгебраическим методом

4. Анализ динамики САУ и оценивание критерия

5. Процедура метода оптимизации

6. Верификация результатов оптимизации

Рис. 2. Схема оптимизации, совмещенной с синтезом

где e[n] = g[n] - y[n] - ошибка между ступенчатым входным воздействием и выходом системы; Ve[n] = e[n] - e[n - 1] - конечная разность ошибки; u[n] - управляющее воздействие; (c, r) - весовые коэффициенты.

Критерий (8) можно оценивать (вычислять) при любом характере переходного процесса в нелинейной модели САУ. Однако выбор весовых коэффициентов субъективен, поэтому при неправильном их задании получаемые настройки параметров регулятора будут не оптимальными с технической точки зрения. Например, экстремаль (переходная характеристика ejn]) критерия, соответствующая его минимуму, может иметь большое перерегулирование. Для его снижения или полного исключения следует увеличивать значения весовых коэффициентов (c, r).

Чувствительность динамики САУ к непосредственным вариациям параметров регулятора процедурой применяемого метода оптимизации обычно оказывается высокой, а устойчивость не гарантируется. Чувствительность же динамики и критерия к вариациям полюсов (параметров метода синтеза) ниже, т. к. совмещенный синтез регуляризирует итерационный процесс оптимизации. При этом на варьируемые полюса можно накладывать прямые ограничения по устойчивости САУ и другим условиям. Например, можно проводить оптимизацию в пространстве только вещественных полюсов внутри круга единичного радиуса на комплексной Z-плоскости.

Полные затраты на компьютерную оптимизацию по схеме (рис. 2) зависят от размерности пространства оптимизируемых параметров, используемого метода минимизации интегрального критерия и сложности совмещенных с оптимизацией процедур синтеза и анализа САУ. Количество варьируемых полюсов равно (2m - 1), но при выборе эталонного полинома вида (5) оно может быть сокращено до m.

Оптимизация с синтезом на основе структурных преобразований

С точки зрения снижения размерности пространства варьируемых полюсов, особенно при высоком порядке ОУ, представляют интерес следующие два способа синтеза ПР, совмещенного с оптимизацией, основанные на предварительном расчете параметров МР и последующем их пересчете для САУ с последовательной структурой регулятора.

Первый способ, предложенный в [5], позволяет по т-вектор-строке Кт параметров цифрового МР без наблюдателя вычислять (2т - 1) параметров последовательного регулятора (т — 1)-го порядка вида (1) с помощью следующих выражений:

где

gT=K T(Am-1R Ac); hT=K trab - gT R^ (9)

( сT ^

C T A

- m*m матрица наблюдаемости;

v C1 Am-

Ra = (Am-2B ... AB B) - mx(m - 1) матрица;

R —

ABC

( 0

C T B

0 ^ 0

CTAm-2B C T Am-3 B ... C T B

- mx(m- 1) матрица.

Выражения (9) получены из условия соответствия управляющих воздействий в САУ с последовательным и модальным регуляторами:

u[n] = gTE[n] - hTU[n] = -KTX[n],

где E[n] =(e[n - m + 1], ..., e[n])T - m-вектор ошибки системы; U[n] =(u[n - m + 1], ..., u[n - 1])T -(m — 1)-вектор управления в дискретные моменты времени. Если при составлении выражений для векторов E[n], U[n] и X[n] использовать дискретную каноническую модель ОУ в форме управляемости, то ее следует применять и при предварительном расчете KT, а также в формулах (9).

Данный способ синтеза цифровых ПР не требует явного решения алгебраической системы (7) и оперирует с матрицами меньшей размерности, вычисляемыми однократно, поэтому для оптимизации с совмещенным синтезом он эффективен. При этом получаемые им результаты совпадают с результатами синтеза непосредственно на основе решения системы (7), когда эталонный полином задается в виде (5).

Второй способ, описанный в [7, 8], позволяет по 2т-параметрам (L, KT) цифрового МР с наблюдателем определять коэффициенты передаточной функции соответствующего, но не эквивалентного, последовательного регулятора m-го порядка:

U{z) =

(10)

D(z) = -

Y(z)

= K\zE - Ad + BdKT+ LClY^L,

где т-вектор-столбец Ь и т-вектор-строка Кт обратных связей наблюдателя и МР предварительно вычисляются методом размещения полюсов.

Однако при включении рассчитанного этим способом ПР в прямую цепь замкнутой САУ может возникать большое перерегулирование. При включении ПР в цепь обратной связи, что не всегда приемлемо на практике, перерегулирование снижается. Но для его полного устранения требуется параметрическая оптимизация.

Если при оптимизации ПР с совмещенным синтезом на основе второго способа значения вектора Ь не варьируются, то ее можно осуществлять в пространстве только т параметров - полюсов замкнутой САУ с МР.

Примеры синтеза и оптимизации

Пример 1. Проведем оптимизацию цифрового ПР в 5-мерном пространстве полюсов следящей системы с ОУ 3-го порядка:

WO) =

К

{T2s2 + 2%Ts + V)s'

где K = 50, T = 0,05 c, £ = 0,707. Период дискретности зададим T0 = 0,005 c, ограничение выхода регулятора U = 10.

r J r max

После дискретизации и канонического преобразования получим следующие параметры модели ОУ:

a1 = -0,8681; a2 = 2,7270; a3 = -2,8588; b1 = 3,7469E - 4; b2 = 0,0016; b3 = 4,0215E - 4.

Для замкнутой системы с регулятором 2-го порядка

2

D z) = g Z + g2Z + g z + h2 z + h1

выберем эталонный полином вида (5) с одним вещественным и двумя парами комплексных полюсов

у; = 0,75; у2,з = 0,8 ±./0,1; у4,5 = 0,85 ±./0,2.

Матричные блоки алгебраической системы вида (7) составим по параметрам канонической дискретной модели ОУ, а правая часть примет вид:

= [<h, а2, <h~<h> а1~а2> а5-аз]Т-

«г

»

Од —а

Решив систему, получим значения параметров регулятора

ё1 = 16,1502; ^ = -35,9814; ^ = 20,1666; к1 = 0,4351; к2 = -1,1993,

обеспечивающие в дискретно-непрерывной системе при ступенчатом входном воздействии ё[п] = 0,2 переходный процесс с большим перерегулированием (кривая у (0 на рис. 3), которое вызвано влиянием нулей передаточной функции

замкнутой системы:

\ (г) =__

зам В{г)С{г) + А(г)Н(г) '

Для его исключения осуществим оптимизацию по критерию (8) с совмещенным синтезом, принимая в качестве пяти оптимизируемых параметров вещественные и мнимые части полюсов

Р = р1;р2 + Р3*/;р2 -р3*/; р4 + р5*/;р4 -р5*/].

Задав весовые коэффициенты (с = 0,5Е - 3; г = 1,0Е - 3), после оптимизации получим параметры ПР, обеспечивающие переходный процесс без перерегулирования (кривая у(0 на рис. 3).

Рис. 3. Результаты оптимизации в пространстве пяти полюсов

Увуп®

Vf)

0.1

0,15 t, С

Рис. 4. Результаты оптимизации в пространстве трех полюсов (первый способ)

Пример 2. Оптимизируем параметры цифрового ПР регулятора 2-го порядка из примера 1, задавая при предварительном синтезе МР эталонный полином с тремя полюсами

Y1 = 0,75; y2,3 = 0,85 ± ./0,2.

По методикам, описанным в [2, 4, 9], либо с помощью функции acker пакета MATLAB вычислим вектор параметров МР

KT= [6,7079 -0,2412 0,0037].

По выражениям (9) находим следующие значения параметров ПР:

g = 151,8836; g2 = -350,4421; g3 = 205,2664; h1 = 0,0656; h2 = 0,3263, при которых переходный процесс имеет большое

ществив оптимизацию в пространстве трех полюсов по критерию (8) с совмещенным синтезом по формулам (9), получим параметры ПР, обеспечивающие переходный процесс без перерегулирования (кривая y (t) на рис. 4).

Пример 3. Для системы с ОУ из примера 1 функцией acker рассчитаем предварительно параметры цифрового наблюдателя и МР, а затем, используя (10) с помощью функции ss2tf определим параметры цифрового ПР 3-го порядка:

2

D( Z ) = 3g3 Z + g2 Z + g

z + h z2 + h2 z + h

где

= 173,0863; = -396,7341; gъ = 230,4027;

к1 = 0,0661; к2 = 0,5544; къ = 0,1588.

Переходный процесс в системе с синтезиро-перерегулирование (кривая у (?) на рис. 4). Осу- ванным ПР (кривая у (?) на рис. 5) имеет перере-

10

-5

0,05

Vй

v[n]

0,1

0,15 t, С

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

0

0,05

Увуп<1> v(i)

/-----

0.1

Рис. 5. Результаты оптимизации в пространстве трех полюсов (второй способ)

0,15 t, С

гулирование, хотя в системе с МР оно отсутствовало. Осуществив оптимизацию ПР по критерию (8) в пространстве трех полюсов системы с МР и совмещенным синтезом на основе преобразования (10), получим переходный процесс без перерегулирования (кривая у(0 на рис. 5).

Оптимизация ПР высокого порядка непосредственно в (2т — 1)-пространстве параметров неэффективна по затратам времени и не гарантирует обеспечение устойчивости. Процесс оптимизации в пространстве полюсов регуляризируется процедурой используемого алгебраического метода синтеза. В общем случае размерность этого пространства (параметров метода синтеза) равна

количеству параметров регулятора (2т - 1), а при синтезе на основе структурных преобразований может быть снижена до т.

Предложенная методика оптимизации с тремя различными вариантами процедур совмещенного синтеза позволяет осуществлять компьютерную настройку параметров ПР целенаправленно и эффективно. При этом в процессе оптимизации для оценивания критерия следует использовать нелинейную модель динамики САУ, учитывающую ограничение выхода регулятора и другие нелинейности.

Параметрическая оптимизация аналоговых ПР с совмещенным алгебраическим синтезом проводится аналогичным образом [2, 4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Изерман, Р. Цифровые системы управления [Текст]/Р. Изерман; пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

2. Козлов, В.Н. Теория автоматического управления. Компьютерные технологии: учеб. пособ. [Текст]/В.Н. Козлов, Н.В. Ростов.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.

3. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления [Текст]/Б. Куо; пер. с англ.-М.: Машиностроение, 1986.

4. Ростов, Н.В. Компьютерные технологии в науке. Синтез и оптимизация: учеб. пособ. [Текст]/Н.В. Ростов. -СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2008.

5. Ростов, Н.В. Синтез и автоматизация проектирования электромеханических исполнительных систем автоматических манипуляторов:

Автореф. дис. ... канд. техн. наук. [Текст]/Н.В. Ростов. -Л.: ЛПИ, 1986.

6. Franklin, G.F. Feedback Control of Dynamic Systems: [Текст-j/G.F. Franklin, J.D. Powell, A. Emami-Naeini; 4 ed//Upper Saddle River. -Prentice Hall, 2002.

7. Ogata, K. Discrete-Time Control Systems [Текст]/К. Ogata; 2 ed//Upper Saddle River. -Prentice Hall, 1995.

8. Ogata, K. Modern Control Engineering [Текст]/К. Ogata; 4 ed//Upper Saddle River. -Prentice Hall, 2002.

9. Rostov, N.V. Computer-Aided Design of Digital Control Systems [Текс^/N.V. Rostov, S. Chae, Y.S. Oh. -SPbSTU Publishing Center, 2001.

УДК 621.37

Н.Н. Прокопенко, П.С. Будяков, В.Г. Манжула

метод повышения коэффициента усиления

SiGe-ОПЕРАцИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ С НИЗКОВОЛЬТНЫМ ПИТАНИЕМ

Внедряемый российскими предприятиями для производства радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) нового поколения SiGe технологический процесс SGB25VD не допускает построения схем с р-п-р транзисторами, используемых в классиче-

ских схемотехнических решениях активных нагрузок в виде токовых зеркал [1-3]. Это не позволяет применять традиционные активные нагрузки в ОУ СВЧ диапазона. Как следствие, в качестве элементов коллекторной цепи входного каскада