CC BY
93
УДК 65.011.56
А.Ю. Набилкин, С.А. Кравченко, В.П. Бирюков
СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МНОГОМЕРНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ЛКГ-РЕГУЛЯТОРА ФОРМЫ НЕЖЕСТКИХ ВАЛОВ
ПРИ ТОКАРНОЙ ОБРАБОТКЕ
На основе методики синтеза стохастического линейно-квадратичного регулятора создан пятиканальный регулятор, который с учетом дальнейшей интерполяции управляющих воздействий на всю длину вала позволяет управлять профилем вала по всей его длине. Методом компьютерного моделирования показана эффективность разработанной системы управления.
Нежесткий вал, формирующий фильтр, фильтра Калмана, многомерный стохастический линейно-квадратичный гауссов регулятор, уравнение Риккати, оптимальное управление
A.Yu. Nabilkin, S.A. Kravchenko, V.P. Biryukov
SYNTHESIS AND EFFICIENCY ANALYSIS OF MULTIVARIABLE STOCHASTIC LQG-REGULATOR OF NON-RIGID SHAFTS FORM IN LATHING
In the article five-channel regulator is created on a basis of stochastic linear-quadratic regulator synthesis methodology, allowing shaft profile control along its length considering further interpolation of control inputs along the shaft length. Efficiency of the developed system is shown by computer simulation.
Non-rigid shaft, generating filter, Kalman filter, the multivariate stochastic linear-quadratic Gaussian regulator, Riccati equation, optimal control
В данной работе производится синтез и анализ эффективности многомерного стохастического ЛКГ регулятора системы управления обработкой нежестких валов.
Для построения пятиканального регулятора использована хорошо известная процедура синтеза дискретного линейно-квадратичного стохастического регулятора выхода [1-6]. Во-первых, это автоматически обеспечило синтез многоканального регулятора, во-вторых, получен оптимальный с точки зрения отработки статистических возмущений с заданными характеристиками регулятор. Так как процедура синтеза ЛКГ-регулятора разработана для входных сигналов типа белый шум, то были исследованы статистические характеристики возмущающих воздействий, построены модели формирующих фильтров с белым шумом на входе. Построение расширенной модели объекта с учетом формирующих фильтров позволило получить типовую структуру объекта управления с белым шумом на входе для синтеза ЛКГ-регулятора. На данном этапе принято допущение, что ошибка отработки задающего воздействия внутренним контуром пренебрежимо мала, и при синтезе ЛКГ регулятора внутренний контур заменен безинерционным звеном с единичным коэффициентом передачи. Расширенная модель объекта управления имеет вид
х(к +1) = Ax(k) + Bu(k)
у (к) = Сх(к) + Du(k) + n(k), ()
где х - вектор параметров состояния размерностью n=40; и - вектор входных воздействий, включающий управляющие воздействия размерностью; r=5 (ui-us) и случайный процесс типа белый шум размерностью f=5 для формирования возмущающих воздействий; у - вектор управляемых переменных размерностью m=5 (у1-у5); n — белый шум размерностью f=5 ошибки измерения управляемых переменных. Матрицы состояния А40х40, управления B40xS, выхода С5х40, проходная DSxS ввиду их громоздкости, не приводятся.
Синтез многомерного стохастического линейно-квадратичного гауссова регулятора. Линейно-квадратичный стохастический регулятор, включает две составляющие [1-4]: оптимальный фильтр, вычисляющий оценку состояния объекта управления в виде условного среднего при заданных значениях управляющих воздействий и наблюдений выходного сигнала; оптимальный детерминированный регулятор, определяющий линейную обратную связь относительно оцениваемого состояния объекта. В качестве критерия оптимальности используется среднее значение квадратичного функционала
N
J (u) = E ^ у[к ]TR1 у[к ] + u[k ]TR2u[k ] (2)
к =1
где R1- диагональная матрица размерности m X m весовых коэффициентов вклада координат выхода управления в минимизируемую квадратичную ошибку системы; R2 - диагональная матрица размерности r X r весовых коэффициентов мощности управляющих воздействий, rii > 0, rij = 0 при i Ф j .
Данный функционал является обобщенным критерием, объединяющим квадратичную интегральную ошибку (первый элемент) и расход энергии на управление (второй элемент). Выбор соотношений матриц весовых коэффициентов R1 и R2 обеспечивает получение минимально возможной
ошибки для заданных координат при допустимых диапазонах изменения управляющих воздействий. Оптимальный закон управления имеет вид [1-6]:
u = -K ■ х ,
где K - матрица линейного регулятора, определяемая выражением
K = (R2 + BT (CTR1C + P) B)-1 BT (CTR1C + P) A, (3)
X - оцениваемое состояние объекта, определяемое уравнением состояния наблюдающего устройства:
х(к +1) = AX(k) + Bu(k) + F (у(к) - CX(k) - DX (к)), (4)
где F - матрица внутренней обратной связи фильтра Калмана, определяемая выражением:
F = ASCT (V2 + CSCT )-1, P, S - симметричные положительно определенные (n ■ n) матрицы, определяе-
мые уравнениями Риккати:
P = R1 + ATPA - ATPB(R2 + BTPB)-1 BTBA S = ASA'1 - ASCT (V2 + CSCT)-1CSAT + V1 (5)
V1, V2 - ковариационные матрицы белых шумов возмущающих воздействий и ошибок наблюдений.
Синтез ЛКГ-регулятора и наблюдателя произведен в системе Ма^аЬ [4-6]. С помощью функции Цгу получена матрица регулятора, а с помощью функции ка1тап модель наблюдающего устройства на основе фильтра Калмана, обеспечивающая фильтрацию измеряемых параметров пространства состояний объекта как условных средних при заданных значениях управляющих воздействий и выходных переменных. Полученная матрица регулятора имеет вид:
К =
0 -1,12Е-15 -5,7 2Е-16
0 7,14Е-16 1,20Е-14
0
0 185Е15
0 62Е16
0 -3ДО6
0 7Д1Е-16
1,40Е-14 0 0
1,21Е-13 0 0
0 -1,56Е-16 2,48Е-15
4,82Е-16 -5,57Е-15
734Е16
-153Е14
-178Е15
295Б-14
5,34Е-16 -9,33Е-16 -2,97 Е-14 0 0
1,60Е-16 -4,7 0Е-15 2,38Е-14 0 0
0 1,62Е-16 -6,20Е-15 1,93 Е-14 0 0
4,92Е-15 0 0
-1,80Е-17 -3,59Е-16 4,90Е-15
-7,84Е-16 1,79Е-14 4,52Е-14
0
0
1,50Е-17
-7,36Е-18
-2,76Е-18
-2,37Е-14 0 0
494-4 0 0026616 0,151934
1,13Е-14 0 7,03Е-15 5,34Е-14
-8,46Е-16 0 -2,96Е-15 -1,07Е-15
1,87Е-14 0 -1,26Е-15 9,75Е-15
2,74Е-18 4,79Е-19 3,36Е-15
-2,47Е-18 3,89Е-16
4,84Е-17 -4,12Е-15
-1,10Е-16 -4,35Е-16
-1,30Е-16 4,85Е-15
2,31Е-19 -8,42Е-20
-0,0018
1,04Е-15
1,32Е-14
-1,20Е-14
1,85Е-16 6,87Е-16 6,13Е-15 -5,04Е-16
0,026616 0,151934 -0,0018
-3,90Е-15 -2,20Е-14 -7,58Е-15
-1,62Е-15
0,026616
-2,89Е-15 -2,05Е-14 -6,77Е-16 -3,28Е-15
-1,14Е-17 1,96Е-16
-3,47Е-17 1,25Е-16
-3,81Е-1
4,56Е-17 3,48Е-16
4,01Е-20 1,79Е-19
-3,11Е-15 5,80Е-15 1,54Е-17 -6,18Е-15 2,86Е-15
-9,76Е-15 -7,84Е-15 2,19Е-15 6,08Е-15 3,92Е-16
0,151934 -0,0018 2,71Е-15 1,50Е-14 -4,41Е-16
-1,32Е-14 -9,11Е-15 0,026616 0,151934 -0,0018
1,53Е-15
-1,31Е-15
6,34Е-15
3,61Е-15
-3,35Е-14 0
1,16Е-14 0
-9,48Е-17 2,99Е-15 0
-4,79Е-14 0
-4,35Е-16 0
1,38Е-14 -6,26Е-15
-6,36Е-15 -5,56Е-15
3,78Е-14 1,95Е-15
2,10Е-14 1,93Е-15
0 -232Е-17 -226Е-17 59Е16 0 -13СЕ-15 99Е15 -351Е15 329Е15 2)0Е14 23Е16 344Е16 -223Е-15 -593Е15 576Е16 -1.00В-14 -560-17
0,026616 0,151934 -0,0018
Формирование многомерного регулятора (МІМО регулятора), произведено путем объединения фильтра Калмана и регулятора. Структурная схема полученного многомерного регулятора приведена нарис. 1.
Рис. 1. Структурная схема многомерной системы управления
1,95Е-18
-1,13Е-19
Рис. 2. Временные ряды выходного сигнала при замкнутой и разомкнутой системах для разных запаздываний
Анализ эффективности построенного регулятора продольного профиля. Анализ эффективности построенного регулятора произведен методом математического моделирования работы системы в Ма^аЬ при подаче возмущающих воздействий с полученными характеристикам. На рис. 2 приведены результаты моделирования в виде графиков регулируемой переменной для разомкнутой и замкнутой систем для одной из исследуемых точек по множеству обрабатываемых заготовок при различных значениях транспортного запаздывания г=4, 3, 2, 1. Для оценки эффективности работы системы использовался коэффициент эффективности, показывающий во сколько раз дисперсия разомкнутой системы при действии возмущения боль-
5 2
1 р 2 2
ше дисперсии замкнутой системы: кэф = —, 5р , 5зу - дисперсии регулируемой переменной для разо-
з
мкнутой и замкнутой систем.
В таблице сведены показатели эффективности системы для различных транспортных запаздываний. Из графиков и таблицы видно, что при уменьшении величины запаздывания с 4 до 1 происходит существенное увеличение эффективности работы регулятора (рис. 3). Это связано с тем, что при уменьшении транспортного запаздывания повышается быстродействие замкнутого контура системы и расширяется частотный диапазон эффективной работы системы управления.
Значения дисперсий и коэффициента эффективности при разомкнутой и замкнутой системах
z s2o s2y кэфф
1 0,0013 0,00013 10,02
2 0,0013 0,00031 4,23
3 0,0013 0,00047 2,84
4 0,0013 0,00059 2,25
i 5 2 5 3 5
; 1 I = л
|
:
j
1 . ы -
II
Рис. 3. Падение коэффициента эффективности при увеличении Z
Рис. 4. Диапазон изменения управляющего воздействия
Полученный диапазон изменения управляющих воздействий по положению резца по поперечной оси (рис. 4) является допустимым для технологического процесса и показывает правильность выбора матриц Rb R2.
Выводы
1. На основе методики построения стохастического линейно-квадратичного регулятора создан пятиканальный регулятор, который с учетом дальнейшей интерполяции управляющих воздействий позволяет управлять профилем вала по всей его длине.
2. Методом компьютерного моделирования показана эффективность разработанной системы управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Квакернак Х. Линейные оптимальные системы управления / Х. Квакернак, Р. Сиван. М.: Мир. 1977. 654с.
2. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц. М.: Наука, 1985. 294 с.
3. Методы классической и современной теории автоматического управления: т.3. Синтез регуляторов систем управления / под ред. К.А. Пупкова, М. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 616 с.
4. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAD / Ю. Лазарев. СПб.: Питер, Изд. Группа BHV, 2005. 512 с.
5. Перемульер В.М. Пакеты расширения Matlab. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox /
В.М. Перемульер. М.: САЛОН-ПРЕСС, 2008. 224с.
6. Медведев В.С. Control System Toolbox / В.С. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог МИФИ, 1999.
287 с.
Набилкин Артем Юрьевич -
аспирант кафедры «Технология и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал) Саратовского государственного технического университета
Кравченко Станислав Алексеевич -
аспирант кафедры «Технология и автоматизация
Artyom Y. Nabilkin -
Postgraduate of department «Technology and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management» (branch) of Saratov State Technical University
Stanislav A. Kravchenko -
Postgraduate of department «Technology
машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал) Саратовского государственного технического университета
Бирюков Владимир Петрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Технология и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал) Саратовского государственного технического университета
Статья пос
and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management (branch) of Saratov State Technical University
Vladimir P. Biryukov -
Dr. Sc., professor of department «Technology and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management (branch) of Saratov State Technical University
в редакцию 30.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011
