CC BY
24
Веремей Е.И.1, Еремеев В.В. 2
1 СПбГУ зав. кафедрой, профессор факультета ПМ-ПУ [email protected], 2 СПбГУ доцент, проректор, [email protected]
Синтез H-оптимальных цифровых систем с учетом модальных требований
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
Цифровая система, модальное требование, проектирование, обратная связь, спектральный метод, синтез.
АННОТАЦИЯ:
Рассматриваются вопросы аналитического проектирования цифровых систем с обратной связью на базе идеологии H-оптимизации. Основное внимание уделяется спектральному методу минимизации функционалов, представленных нормами передаточных функций замкнутых цифровых систем как элементов пространств Харди и . В отличие от
известных подходов, предлагаются методы синтеза обратных связей с заданной структурой и фиксированными корнями характеристического полинома.
1. Введение
Современные цифровые динамические системы управления и обработки сигналов практически полностью формируются с непосредственным применением компьютерных устройств и технологий, что определяет необходимость математической формализации решаемых ими функциональных задач. С этим связаны усилия прикладных математиков и ИТ-специалистов, направленные на выбор, модификацию и разработку математических методов моделирования, анализа, синтеза и практической реализации цифровых систем. Такие методы должны в максимальной степени соответствовать возможностям компьютерных средств, с помощью которых они реализуются, что в конечном итоге определяет суммарную эффективность соответствующих процессов управления и обработки информации.
В частности, одним из наиболее популярных подходов к формализованному проектированию встраиваемых систем малой мощности служит постановка и решение задач Я-оптимизации для линейных стационарных (LTI) объектов со скалярными управлениями и возмущениями (SISO). Общие положения и универсальные методы теории H-оптимального синтеза представлены, например, в работе [1], а специфика SISO-задач отражены в статьях [2, 3].
Однако необходимо отметить, что известные подходы к решению этих задач в ряде практически значимых ситуаций могут приводить к
существенным трудностям. Их причина лежит в основе классической постановки задач минимизации, где допустимым является множество стабилизирующих регуляторов. При этом любое его сужение существенно усложняет поиск решения и требует формирования специализированных методов синтеза.
Особый интерес представляет поиск оптимальных решений на множестве обратных связей с заранее заданной структурой. Существо этой проблемы и возможные подходы к ее решению детально представлены в обзоре [4]. Однако и такое сужение допустимого множества не всегда достаточно в практических задачах, где дополнительно вводятся определенные динамические требования к синтезируемой системе.
В статье [5] была высказана и реализована идея минимизации среднеквадратичных функционалов на множестве регуляторов фиксированной структуры с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы.
Целью данной работы является представление новых аналитических и вычислительных методов оптимизации SISO LTI систем по нормам пространств Харди H2 и при фиксированной структуре обратной связи, обеспечивающей желаемое размещение корней (модальные требования) характеристического полинома замкнутой системы (ХПЗС). Эти методы позволяют уменьшить время вычислений и объем оперативной памяти, что имеет особую значимость при использовании расчетных алгоритмов синтеза для перенастройки управления в режиме реального времени. Это имеет особое значение для адаптивной реализации в составе различных встраиваемых систем автоматического управления и обработки сигналов, в частности - для автономных систем управления мобильными роботами.
2. Постановки SISO задач дискретного синтеза
Ниже рассматриваются две центральные задачи синтеза обратных связей (регуляторов), для LTI динамического объекта управления с математической моделью дискретного времени n, представленной в виде следующего разностного уравнения:
A(q)y[n] = B(q)u[n] + d[n] , n e N1 . (1)
Здесь y, u и d - скалярные дискретные процессы:y -контролируемая переменная, u - сигнал обратной связи (управление), d -внешнее воздействие; A(q) и B(q) - взаимно простые полиномы степеней ns и m ^ ns -1 от оператора q сдвига на такт вперед.
Будем замыкать объект (1) обратной связью
U = W(q)y , (2)
с передаточной функцией W(q) = Wi(q)/W2(q), Wi,W2 - полиномы. В результате замыкания получим SISO-систему (1), (2) с уравнением
[А(ч) - B(q)W(зО]у = d , где d = {d[t]> - случайный стационарный эргодический процесс со спектральной плотностью мощности
Srf (^ )|^z - Si(z)Si() , Si(z) - N(z)/ T(z) , (3)
N (z) и T( z) - шуровские полиномы (все их корни находятся в открытом единичном круге D на комплексной плоскости).
Введем в рассмотрение обобщенную передаточную функцию H (z) замкнутой системы, которая определяется тождеством
H(z, W)H(z-i, W) - Hy (z, W)Hy (z-i, W) + с2Hu (z, W)Hu (z-i, W) . (4)
Здесь с = const, Hy = W2( z VЛ( z) и Hu = Wi( z)/A( z) - передаточные функции этой системы по выходу и по управлению соответственно, A(z) -её характеристический полином
A(z) = A(z)W2(z) - B(z)Wi(z) . (5)
Для оценки качества динамических процессов в замкнутой системе будем использовать два следующих функционала:
J(W) = IH(z, W)Si (z)||2 , (6)
Jx (W) = |\H(z,W)Si(z)||2 , (7)
значения которых, согласно (1) - (7) зависят от выбора передаточной функции W (z) обратной связи (2) в пределах соответствующих допустимых множеств. Для их задания введем в рассмотрение множество RL рациональных дробей P(z) без полюсов на единичной окружности, а также гильбертово пространство RL2с RL правильных функций со
1 —
скалярным произведением <pi, p 2) = — Jpi(gjm )p2(ej) и нормой
2л _—
1 —
2 i Г I |2
lpll2 =—J|p(ejю^ . Справедливо представление RL2 = rh2 ©rh^, где
—
0
пространство КН2 содержит все функции аналитические в круге D , а его дополнение ян^ - вне этого круга. Введем также пространство ^
правильных дробей, имеющих норму = р(^^ = <тоХ]'р(е ^ ,
выделяя из него подпространство кн», включающее все элементы аналитические вне круга D . Заметим, что множества КН2 и кн» могут трактоваться, как частные случаи пространств Харди ([1]).
С учетом введенных обозначений сформулируем базовые задачи Н-оптимизации в классической постановке для системы (1), (2):
3(W) = |н(W^ тт , о2 = { w : Н(V) е КН2> . (8)
J (W) = I\H(W„ ^ mrn , W : H(W) e RH^} .
Детальное обсуждение особенностей и методов решения этих задач проведено в статьях [2, 3]. Отметим лишь, что оптимальные регуляторы, полученные в результате синтеза, являются единственными и обладают конкретной структурой, однозначно определяемой исходными данными. Основным её недостатком, порождающим ряд проблем, связанных с реализацией, является высокая степень полинома W2, т.е. высокий порядок регулятора, который не меньше порядка n объекта.
В связи с отмеченной особенностью, перейдём к задачам типа (8), однако на более узких допустимых множествах. С этой целью введем понятие структуры обратной связи.
Определение 1. Будем говорить, что регулятор (2) имеет структуру v}, отражая этот факт записью W еШ, если степени полиномов W , W2 равны М и v соответственно:
deg(W1) = М , deg(W2) = v . (9)
Замечание. Будем считать, что для любого элемента структуры Ш коэффициент при старшей степени полинома W2 равен единице.
Определение 2. Допустимыми множествами ma2 и в задачах Н-оптимизации будем называть совокупности регуляторов с передаточными функциями W 2 ПШ и W ПШ (указанные пересечения считаем не пустыми) соответственно, которые для замкнутой системы обеспечивают выполнение определённых динамических требований, подлежащих заданию в каждой конкретной ситуации.
В данной работе рассматриваются оптимизационные задачи
J(W) = IH(z,W)S1(z)||2 ^ mm , (ю)
JM(W) = IH(z,W)Sl(z)|£ ^ rem (ц)
для частых вариантов требований к динамике замкнутой системы.
3. Параметрический подход к синтезу
Простейшей идеей, на которой можно базировать методы решения задач (10), (11), является численная параметризация передаточной функции с введением вектора h е Ep настраиваемых параметров: W = W(z,h) = W1(z,h)/ W2(z,h). В частном случае, в качестве этого вектора может выступать упорядоченная совокупность всех коэффициентов полиномов Wi и W2 . Если коэффициент при старшей степени z в знаменателе равен единице, здесь имеем p = v + M +1. Однако зависимость функции W от вектора h может быть и более сложной.
Определение 3. Будем говорить, что структура v} регулятора
(2) является полной, если степени ^ и V передаточной функции Ж(^ Ь) , а также размерность р и состав компонентов вектора И таковы, что с помощью выбора этого вектора (т.е. назначения конкретных величин настраиваемых параметров) можно обеспечить произвольный спектр корней ХПЗС = Аз^,Ь) (5) замкнутой системы (1), (2). В противном случае будем называть структуру ^ неполной.
Заметим, что, независимо от полноты или неполноты структуры, на множествах 0 а 2 и 0 а® функционалы -1 (Ж) и •/2(Ж) с очевидностью ограничены снизу, т.е. имеют точные нижние границы ^о и о . Это позволяет сформулировать следующие задачи параметрического оптимального синтеза:
7(Ь) = J(ЖСs, Ь)) = ||НСz, Ь)^(z)||2 ^ пО , (12)
СЬ) = J® Ь)) = |НС^z)\\2ao ^ ы1 , (13)
где НСz, Ь) = НСz,WСz, Ь)) , оА2 = { Ь е Ер ЖСz, Ь) е Оа2 }, 0,2 = { Ь е Ер Ж ( z, Ь) еО а®}.
Обратим внимание на тот факт, что задачи (12) и (13) относятся к классу конечномерных задач нелинейного программирования с весьма сложно заданными допустимыми множествами. Это обстоятельство дополнительно осложняется тем, что вопрос о достижимости указанных точных нижних границ является открытым, т.е. решением чаще всего служат минимизирующие последовательности векторов Ь .
Одним из возможных путей преодоления отмеченных трудностей служит переход к эквивалентным задачам на безусловный экстремум, который был впервые предложен в работе [7]. Тем не менее, данный переход эффективен не для любых вариантов задач в рамках параметрического синтеза.
В связи с отмеченным обстоятельством, далее уделим особое внимание частной ситуации, в которой задача синтеза в заданной структуре, вообще говоря, имеет аналитическое решение.
4. Синтез с заданным спектром корней
Рассмотрим частный вариант задач (10) и (11) о минимизации функционалов J Ж) = | |н с z,w ) z )||2 и J ® Ж) = | |н с z,w ) z)|| 2 на допустимом множестве регуляторов заданной структуры V},
обеспечивающих фиксированный заданный спектр Л = {Х15 X 2,..., X к} корней ХПЗС (5), которые отличны от корней полинома т(¿0 . В этом случае указанное множество имеет вид
О а2 = 0 а® ={Ж V} : АС z )Жг( z) - ВС zWl( z) - QС z)}, (14)
Q(z) = (z -XI-X2-Xк), ( )
где Q(2) - желаемый характеристический полином степени к замкнутой системы. Выбор количества к назначаемых корней должен удовлетворять условию к = к1, к1 = тах{и + ш + ц>. Заметим, что если к < к1, то радиус шара робастной устойчивости в пространстве параметров объекта и регулятора будет нулевым, что недопустимо в практических ситуациях.
Очевидно, что при произвольном выборе степеней ^ и V множество яа 2 в рамках данной задачи может оказаться пустым либо содержащим единственный элемент.
Лемма 1. Для того, чтобы в рамках структуры ^ существовало сколь угодно много регуляторов, обеспечивающих любой заданный спектр Л = {^1,X2,...,Xк> корней ХПЗС (5), необходимо и достаточно, чтобы степени ^ и V удовлетворяли неравенствам
ц>п - 1, V>ш-1. (15)
Доказательство. Рассмотрим полиномиальное уравнение
А(2)Щ(2)-в(2)^(2) - Q(2) с неизвестными W1 и ^ , которое сводится к системе, состоящей из к =тах{п + ^ш + ц> линейных уравнений относительно компонент вектора h е Ер коэффициентов этих полиномов, р = +1. Решение этой системы с любым полиномом Q существует тогда и только тогда, когда выполняется соотношение +1 > тах{п + ^ш + ц>. Отсюда следует, что
п3 -1 , V > ш -1 . (16)
Нетрудно проверить, что если хотя бы одно из соотношений (16) будет выполнено со знаком равенства, то к =р, т.е. матрица системы относительно вектора И является квадратной. В силу взаимной простоты полиномов А и В эта матрица не вырождена, и система имеет только единственное решение. ■
Далее будем считать, что неравенства (16) выполнены, что позволяет говорить о существовании нетривиального решения задач (10), (11) на допустимых множествах (14). Для поиска оптимального регулятора вначале осуществим полиномиальную параметризацию этих множеств.
Теорема 1. Для того, чтобы регулятор (2) со структурой ^ обеспечивал заданный спектр Л = {Х^ X 2,., X к > корней ХПЗС (5), необходимо и достаточно, чтобы его числитель ^^ и знаменатель удовлетворяли тождествам
V (2) - !(2) - А(2)Р(2), W2 (2) - Р(2) - В(2)Р(2) , (17)
Здесь ! и Р - полиномы, причем !(2Vр(2) = wa(2) а2 - передаточная функция любого регулятора структуры ^, дающего желаемый спектр Л , а Р(2) - произвольный полином степени
г = тт{[^- п, V- ш> . (18)
Доказательство. Для доказательства достаточности заметим, что по условию теоремы имеет место тождество
А(*)Р(^) - В(^)а(- Q(s) . (19)
Зададим произвольный полином Р( 2) со степенью (18). Тогда имеем w = ^ е^ , где wl и удовлетворяют (17), причем регулятор (2) с данной передаточной функцией дает ХПЗС
Д(2) = А(2^2(2) - В(22) =
= А(2)[Р(2) - В(2)Р(2)] - В(2)[!(2) - А(2)Р(2)] - Q(2), т.е. принадлежит множествам иа2 = иа» .
Необходимость. Пусть существует регулятор, для которого выполняется тождество Д(2) = А(2^2(2) - В(2)W1(2) - Q(2). Вычитая из него тождество (19), имеем А(2)Р2(2) - В(2)Р1(2) - ° где Р2 - W2 -р , Р1 - W1 , откуда следует Р2 - ВР , Р1 - АР, где Р - полином степени (18), т.е. справедливо представление (17). ■
Таким образом, теорема 1 определяет взаимно однозначное соответствие между множествами и а 2 = и а» передаточных функций регуляторов и множеством ир полиномов степени г = тт{^-п,ш>.
Это соответствие позволяет утверждать, что задачи (10) и (11) для данного варианта допустимых множеств иа2 = иа» эквивалентны более простым оптимизационным задачам
3(р) = 3^(р)) = I|н(2,W(p))sl(2)12 ^ шш , (20)
J» (Р) = 3» (W(Р)) = IН(2, w(Р)^ (2)||» ^ тт _ (21)
Решение задачи (20) базируется на следующем утверждении:
Теорема 2. На множестве ир существует единственный полином Р0(2) = НГ2Г + Нг-12Г 1 + ... + Н12 + Н0, определяющий оптимальный регулятор в задаче (20) с передаточной функцией w = Wo = Wol(2)lW02(2), где Wol (2) - !(2) - А(2)Ро (2), Wo2 (2) - Р(2) - В(2)Ро (2). Этот полином строится конструктивно, как решение системы линейных уравнений
МИ = т (22)
относительно вектора И = {НГ Нг-1 ... Н1 Н0)Т его коэффициентов, где матрица М и вектор т однозначно определяются исходными данными задачи.
Доказательство. Здесь приведем лишь общую схему, которая аналогична работам [5, 6]. Прежде всего, минимизируемый функционал представляется в явной зависимости от полинома-параметра Р(2) .
Далее доказывается сильная дифференцируемость этого
функционала на множестве 0p и формируется выражение для его первой вариации (дифференциала Фреше). Необходимое (и в данном случае -достаточное) условие экстремума состоит в равенстве нулю этой вариации для оптимального полинома Р0(z), что определяет интегральное уравнение для его поиска, сводящееся к системе (22). ■
Что касается задачи (21) н® - оптимального синтеза, как показано в работе [2], её решение сводится к решению задачи (21) со специально заданным спектром возмущения.
5. Пример синтеза
Пусть задан дискретный объект с математической моделью
(д - 1.01)у[п] = 0.01005(и[п] + d[n]), п е N1 для которого А(z) = z - 1.01, В(z) = 0.01005 , п, = 1, т = 0 .
Будем считать, что на объект действует возмущение d, представляющее собой гауссовский белый шум с постоянным спектром, т.е. N(= т(= 1, Рэ = Яэ = 0 . К указанным исходным данным добавим весовой множитель с = 1 и найдем решение задачи (20).
В соответствии с принятым подходом зафиксируем структуру обратной связи, удовлетворяющей условиям (16) со степенями м- = V = 2, что позволит задать к =тах{п + ^т + м} =3 корня ХПЗС. Находим степень г = тт{м-п,^т} =1 полиномов-параметров Р(э) .
На втором шаге зададим желаемый спектр корней л = {0 97, 0 98, 0 99}, тем самым определяя полином
z) = z3 - 2.94z2 + 2.88z - 0.941 , т.е. к = 3 .
Третий шаг состоит в построении опорного регулятора с передаточной функцией Жа(= !(э)/Р(, обеспечивающего заданный спектр. Решая полиномиальное уравнение А(эЖэ) - В(э)!(¿0 = ),
находим «(¿) = -6z2 + 11.9z - 5.89 , Р(г) = г2 - 1.99г + 0.99 .
На четвертом шаге находим оптимальный полином Р0(г) = -3 55г + 3 52 , и, наконец, формируем передаточную функцию Ж0( г) = Ж01( г V Ж02( г) оптимального регулятора, где
Ж01(э) = а(э) - А(э)Р0(э) = -2.39г2 + 4.66г - 2.27 ,
Ж02(э) = Р(э) -В(э)Р0(э) = г2 -1.95г + 0.955 .
Построенный оптимальный регулятор обеспечивает следующее значение минимизируемого функционала:
J(Р,) = J(Ж(Р0)) = |НС= 0.024 ,
а для опорного регулятора имеем J (0) = J (Ж(0)) = |\Н (г,Жа ^(г)^ = 0.042, что существенно хуже.
6. Заключение
Данная работа написана в плане развития идеи модального синтеза в заданной структуре, представленной в работах [5] и [6], с приложением к задачам Я-оптимизации SISO LTI систем. Приводится обоснование одного из вариантов экономичных алгоритмов расчета оптимальных цифровых систем. Как и в классических задачах синтеза [3], нахождение передаточной функции Wобратной связи однозначно определяет соответствующий цифровой фильтр, обладающий линейным и стационарным свойством. Его реализация в виде программного кода не вызывает никакого труда и легко автоматизируется. В этом смысле привлечение оптимизационного подхода в рассматриваемом случае можно трактовать как автоматизированное формирование программного обеспечения, реализующего обратные связи в замкнутых цифровых системах. Практическая направленность предложенного подхода определяется указанием пути для существенного сокращения вычислительных затрат на проведение Я-оптимального синтеза при наличии структурных и модальных ограничений по сравнению с «2-Рикккати» или LMI методами. Подобное сокращение не играет существенной роли для однократного решения задач синтеза в лабораторных условиях, однако весьма значимо для адаптивной перенастройки обратных связей в режиме реального времени, в частности - в системах управления автономными мобильными роботами или в различных встраиваемых системах.
Литература
1. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - 227 p.
2. Веремей Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач Hg-оптимизации систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2011. - № 3. - С. 52 - 61.
3. Веремей Е.И. Вопросы оптимизации цифровых систем управления и обработки сигналов // Тр. Седьмой международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование». - М.: ИНТУИТ.РУ 2012. - С. 974-982.
4. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н. и др. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры // Управление большими системами. 2007. вып. 19. С. 23-126 http://ubs.mtas.ru/search/search_results_ubs_new.php? publication_id=3178&IBLOCK_ID=20.
5. Еремеев В. В. Синтез оптимальных регуляторов с учётом заданного расположения нулей характеристического полинома замкнутой системы. - В сб.: Математические методы исследования управляемых механических систем. Л., Изд-во ЛГУ, 1982, с.57-63.
6. Веремей Е.И., Еремеев В.В. Выбор оптимальных параметров обратной связи специальной структуры // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия, — 1988. — Т. 2, — № 8. — С. 91 - 94.
7. Веремей Е.И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия РАН. Техн. Кибернетика. 1986. — № 4. С. 123-130.
